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三角形中的边角关系

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）

A ．1，1，2

B ．3，7，11

C ．6，8，9

D ．3，3，6

2、下列语句中，不是命题的是（）

A ．两点之间线段最短

B ．对顶角相等

C ．不是对顶角不相等

D ．过直线AB 外一点P 作直线AB 的垂线

3、下列命题中，假命题是（）

A ．如果|a|=a ，则a ≥0

B ．如果

，那么a=b 或a=-b C ．如果ab>0，则a>0，b>0 D ．若，则a 是一个负数

4、若△ABC 的三个内角满足关系式∠B ＋∠C=3∠A ，则这个三角形（）

A ．一定有一个内角为45°

B ．一定有一个内角为60°

C ．一定是直角三角形

D ．一定是钝角三角形

5、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

6、下列命题中正确的是（）

A ．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形

B ．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角

C ．三角形外角一定是钝角

D ．△ABC 中，如果∠A>∠B>∠C ，那么∠A>60°，∠C<60°

7、若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（）

A ．3：2：1

B ．5：4：3

C ．3：4：5

D ．1：2：3

8、设三角形三边之长分别为3，8，1－2a ，则a 的取值范围为（）

A ．－6

B ．－5

C ．－2

D ．a<－5或a>2

9、如图9,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于（）

A.2cm 2

B.1cm 2

C.12cm 2

D.14

cm 2

图9 图10

10、已知：如图10，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边的高，则∠DBC=（）

A ．10°

B ．18°

C ．20°

D ．30° F E

C A

二、填空题（每小题4分，共20分）

11、已知三角形的周长为15cm，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个三角形的最短边长是．

12、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为．

13、如图13，∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝20°，则∠BOC= ．

图13 图14 图15

14、如图14，AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF= ．

15、如图15，D是△ABC的BC边上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC= ．

三、解答题（第16题6分，第17题8分，第18-21题每题9分，共50分）

16、写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．

（1）如果a＋b=0，那么a=0，b=0．（2）等角的余角相等．

（3）如果一个数的平方是9，那么这个数是3．

17、完成以下证明，并在括号内填写理由：

已知：如图所示，∠1=∠2，∠A=∠3.

求证：AC∥DE.

证明：因为∠1=∠2（），所以AB∥___（）.

所以∠A=∠4（）.

又因为∠A=∠3（），所以∠3=_ _（）.

所以AC∥DE（）.

18、如图，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm 的两个部分，求三角形各边的长．

19、如图，已知∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，求证AB∥OE∥CD.

20、如图，已知DE∥BC，FG∥CD，求证：∠CDE＝∠BGF．

21、已知△ABC，如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，

求证∠P=90°＋∠A；

三角形中的边角关系答案

一、选择题

1.C

2.D

3.C

4.A

5.D

6.D

7. B

8.B

9.B 10.B

二、填空题

11．3cm； 12．20°或120°； 13. 120°； 14. 20°； 15．24°；

三、解答题

16、（1）逆命题：如果a=0，b=0，那么a＋b=0；真命题

（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是等角的余角；假命题

（3）如果一个数是3，那么这个数的平方是9.真命题

17、已知；EC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；∠4；等量代换；内错角相等，两直线平行

18、因为BD是中线，所以AD=DC，造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论．

解：设AB=AC=2x，则AD=CD=x，

（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2x＋x=30，

∴x=10，2x=20，BC=24－10=14，三边分别为：20cm，20cm，14cm．

（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30，有2x＋x=24

∴x=8，BC=30－8=22，三边分别为：16cm，16cm，22cm．

19、证明一：∵∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°（已知），

∴∠1＝∠2（等式性质）．

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

又∵∠1＋∠3＝180°（已知），

∴OE∥CD（同旁内角互补，两直线平行），

∴AB∥OE（平行于同一直线的两直线平行），

∴AB∥OE∥CD．

证明二：∵∠1＋∠3＝180°（已知），

∴CD∥OE（同旁内角互补，两直线平行）．

又∵∠2＋∠3＝180°（已知），

而∠BOE＋∠3＝180°（邻补角定义），

∴∠2＝∠BOE（等式性质）．

∴AB∥OE（内错角相等，两直线平行）．

∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行）．

∴AB∥OE∥CD．

20、证明：∵DE∥BC（已知），

∴∠EDC＝∠DCG（两直线平行，内错角相等）．

又∵FG∥CD（已知），

∴∠DCG＝∠FGB（两直线平行，同位角相等）．

∴∠CDE＝∠BGF（等量代换）．

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、判定三角形是锐角直角钝角三角形设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0

(完整word版)沪科版八年级数学三角形中的边角关系

三角形中的边角关系知识点一、边 1、基本概念（三角形的定义、边、顶点、 △、 Rt △） 2、按边对三角形的分类：≠?? ?????? 不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形 ☆3、三边关系：（1）任意两边之和大于第三边（2）任意两边之差小于第三边验证：两条较短边之和与第三边的关系二、角 1、基本概念（内角、外角、∠ ） 2、按角对三角形的分类：???? ???? 锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形 3、三角形的内角和（1）三角形三个内角和等于180° （2)直角三角形的两个锐角互余（3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角）三、线 1、中线 (1) 定义（2）重心（3）中线是线段（4）表述方法 2、高线（1）定义（2）垂心 (3）高是线段，垂线是直线（4）表示方法（5）3种高的画法 3、角平分线（1）定义 (2)外心（3）画法（4）表示方法四、数三角形的个数（1）图形的形成过程（2）三角形的大小顺序（3）按某一条边沿着一定的方向（4）固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数基础练习 1、图中有____个三角形；其中以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有______________；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________. 2、用集合来表示“用边长把三角形分类”，下面集合正确的是（） A B C D 3、若三角形的三边长分别为3,4，x -1，则x 的取值范围是_________________________

直角三角形的边角关系(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=________，cosA=________，tanA=________．问题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A越大，正弦sinA______，余弦cosA______，正切tanA______．问题3：默写特殊角的三角函数值：问题4：计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理．直角三角形的边角关系一、单选题(共14道，每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中，，则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形

答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 3.已知为锐角，且，那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性 4.如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=，则AC等于( )

A.3 B.4 C. D.6 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：解直角三角形 5.在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

三角形的概念及边角关系

三角形㈠一、考点链接㈠三角形的分类： 1．按边分： 2. 按角分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形㈡三角形中的主要线段：三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) ㈢三角形的性质： 1．三角形中任意两边之和第三边，两边之差第三边． 2．三角形的内角和为 180° ． 3.外角与内角的关系：⑴ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ⑵ 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．二、课前热身 1. （2011昆明）如图，点D 是△ABC 的边BC 延长线上一点，∠A =70o，∠ACD =105o，则∠B =________．35° 2．如图在△ABC 中，AD 是高线，AE 是角平分线，AF 是中线. (1) ∠ADC ＝＝90°； (2) ∠CAE ＝＝12 ； (3) CF ＝＝1 2 ； (4) S △ABC ＝． 3.（07临沂）如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点D 、E 分别在AB 、AC 上，则∠1＋∠2的大小为（） A ．130° B .230° C .180° D .310° 4. （2011南通）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是 A. 3，8，4 B. 4，9，6 C. 15，20，8 D. 9，15，8 1. （2011济南）（1）如图1，△ABC 中，∠A = 60°，∠B ∶∠C = 1∶5．求∠B 的度数． C B A

2 1 A 三、典例精析考点一：三角形的边之间的关系 1.以长度5厘米，7厘米，9厘米，13厘米中的三条线段为边能够组成的三角形的个数共有（） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 2．在△ABC 中，BC=20，AB=2x ，AC=3x ，则x 的取值范围是。 3．下面五组线段的长度之比为：①2∶3∶4；②3∶4∶7；③7∶4∶2；④4∶2∶6；⑤7∶10∶2，其中能组成三角形的有组，它们是． 4. 若三角形的三边长分别为x-1,x,x+1，则x 的取值范围是 . 5.（2011河北）已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（） A ．2 B ．3 C ．5 D ．13 6．已知一个三角形的三边的长为5，10，2-a ，则a 的取值范围是． 7、若三角形中两条边的长分别为4厘米和1厘米，则第三边x 的长的范围是；周长l 的范围是；若周长为奇数，则第三边的长为。考点二：三角形的角之间的关系 1．已知三角形的三个外角的比为2∶3∶4，则这个三角形的三个内角之比为。 2．一个外角等于它相邻的内角，这个三角形是三角形；一个外角小于它相邻的内角，这个三角形是三角形，每个外角都是钝角，这个三角形是三角形． 3.（2011东营）一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是（） A ． 75 B ． 60 C ． 65 D ． 55 4、如图，∠A=20°，∠C=27°，∠D=45°，则∠ABC= 度。 5、如图，试求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 。 6. （2011山东济宁，3，3分）若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶4，那么这个三角形是（） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 7、如图，已知∠A=∠30°，∠BEF=105°，∠B=20°，则∠D= 。 8.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，∠B=500 ，求∠AEC 的度数. 9、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°．

三角形边角关系教案

14.1 三角形中的边角关系（1） -------边的关系 1.三角形的概念 2.三角形的表示方法及分类 3.三角形三边之间的关系 1．了解三角形的概念，掌握分类思想。 2．经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。 3．让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。三教学重难点： 1.重点：了解三角形的分类，弄清三角形三边关系 2.难点：对两边之差小于第三边的领悟四教学准备： 1.教师准备：多媒体课件 2.学生准备：四根小木条五课时安排：一节课六教学过程：（一）创设情境，探究新知 1.请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的图形三角形，引入课题我们在日常生活中几乎随处可见三角形，它简单、有趣，也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界，可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。（二）合作交流，探究新知你能画一个三角形吗? 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导：认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。并思考下面问题：（1）知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形; （2）会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征;

（3）知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念; 依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习（多媒体展示） 5.合作探究三角形的三边关系有这样的四根小棒（6cm、8cm、12cm、18cm）请你任意的取其中的三根，首尾连接，摆成三角形。（1）有哪几种取法? （2）是不是任意三根都能摆出三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？（3）用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么？小组活动：学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形；我们可以发现这四根小棒中，如果较短的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。这就是说：三角形中任何两边的和大于第三边三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题例1 ：例：一根木棒长为7，另一根木棒长为2，若要围成三角形，那么则第三根木棒长度应在什么范围呢？解：设第三条边长为a cm，则 7－2＜a＜7＋2 即5＜a＜9 结论：其它两边之差< 三角形的一边< 其它两边之和例2：已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？解（1）设等腰三角形的底边长为4 cm，则腰长为x cm。根据题意，得 x+x+4=18 解方程，得 x=7

三角形中的边角关系测试卷

《三角形中的边角关系》测试卷一、选择题 1、三角形的三边分别为3，1-2a,8,则a 的取值范围是（） -2 2、下列不属于命题的是（） A.两直线平行，同位角相等； B.如果x 2＝y 2 ,则x ＝y ； C.过C 点作CD ∥EF ； D.不相等的角就不是对顶角。 3、如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差，这个三角形是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D. 斜三角形 4、四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（） .3 5、如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A 、B 两点在网格格点上,若点C 也在网格格点上,以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C 个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ． 5 6、一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 7、图(五)为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为 4 21 平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？ A ． 11 B ． 12 C ． 13 D ． 14 8、已知如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°则ΔDFE 等于（） ° ° ° ° 9、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是( ) A ．32° B ．58° C ．68° D ．60° 10、已知：如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边的高，则∠DBC=（） A ．10° B ．18° C ．20° D ．30° 11、已知等腰三角形的一个内角为040，则这个等腰三角形的顶角为（） A.0 40 B.0 100 C.0 40或0 100 D.0 70或0 50 二、填空题 A B 30° 45° α 1 2

三角形中边与角之间的不等关系

三角形中边与角之间的不等关系《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计教学目标： 1. 通过实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系； 2. 通过实验探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略； 3. 提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣。教学重点：三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程。教学难点：如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达。教具准备：三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。教学过程一、知识回顾 1. 等腰三角形具有什么性质？ 2. 如何判定一个三角形是等腰三角形？从这两条结论来看，今后要在同一个三角形中证明两个角相等，可以先证明它们所对的边相等；同样要证明两条边相等可以先证明它们所对的角相等。二、引入新课问题：在三角形中不相等的边所对的角之间又有怎样的大小关系呢？或者不相等的角所对的边之间大小关系又怎样？方法回顾：在探究 “等边对等角”时，我们采用将三角形对折的方式，发现了“在三角形中相等的边所对的角相等”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。现在请大家拿出三角形的纸片用类似的方法探究今天的问题。三．探究新知实验与探究1：在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC沿∠BAC的平分线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，即AE=AC，这样得到∠AED=∠C，再利用∠AED是△BDE的外角的关系得到∠AED>∠B，从而得到∠C>∠B。由上面的操作过程得到启示，请写出证明过程。（提示：作∠BAC的平分线AD，在AB边上取点E，使AE=AC，连结DE。）形成结论1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。思考：是否还有不同的方法来证明这个结论？实验与探究2：在△ABC中，如果∠C>∠B，那么我们可以将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上，即∠MCN=∠B,于是MB=MC，这样AB=AM+MB=AM+MC>AC. 由上面的操作过程得到启示，请写出证明过程。形成结论2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边

直角三角形的边角关系专题复习

直角三角形的边角关系测试题 1、在Rt △ABC 中，∠A=90o，AB=6，AC=8，则sinB= ，cosC= 2、在△ABC 中，∠B=90o，2 1 cos =C ，则∠C= 3、在△ABC 中，∠C=90o，∠A=60o，AC=34，则BC= 4、在△ABC 中，∠C=90o，BC=3，AB=32，则∠A= 5、在△ABC 中，∠C=90o，若tanA= 2 1 ，则sinA= 6、在△ABC 中，若∠C=90o，∠A=45o，则tanA+sinB= 7、如图1，在△ABC 中，∠C=90o，∠B=30o，AD 是∠BAC 的平分线。已知AB=34，那么AD= 8、正方形ABCD 中，AM 平分∠BAC 交BC 于M ，AB=2，BM=1，则cos ∠MAC= 9、如果3)20tan(3=?+α，那么锐角α= 10、某校数学课外活动小组的同学测量英雄纪念碑的高，如图2所示，测得的数据为： BC=42m ，倾斜角o?=30α，测得测角仪高CD=1.5m ，则AB= 。（结果保留四位有效数字） 11、在△ABC 中，∠C=90o，BC=5，AC=12，则tanA=（） A 、512 B 、125 C 、513 D 、13 5 12、在Rt △ABC 中，∠C=90o，5 3 cos = A ，AC=6cm ，则BC=（）cm A 、8 B 、4.8 C 、3.6 D 、1.2 13、菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BD=6cm ，那么=2tan A （） A 、53 B 、54 C 、34 343 D 、34345 14、已知：如图3，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=45o，∠C=120o，AB=8，则CD 的长为（） A 、 638 B 、64 C 、238 D 、24 15、在平面直角坐标系内P 点的坐标为（cos30o，tan45o），则P 点关于y 轴对称点A 的坐标为（） A 、（ 23，1） B 、（—1，23） C 、（1,23-） D 、（1,2 3 --） 16、若等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为60o，则等腰三角形的面积为（）cm 2 A 、25 B 、325 C 、350 D 、50 17、如图4，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长l 为 A ． h sin a B ． h tan a C ． h cos a D ． h ·sin a 18、在△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且0)3sin 2(3tan 2 =-+-A B ，则△ABC 是（） A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 19、河堤横断面如图5所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1：3（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（） A ．53米 B ．10米 C ．15米 D ．103米 20、计算：（1）、?+?+?-?45tan 30cos 230tan 330sin （2）、?-?+? -? -?60tan 45tan 30sin 160cos 45cos 222 图2 a C A E B D A B 图1 B C D A 图3 图4 图5

直角三角形的边角关系--知识点

直角三角形的边角关系知识考点知识讲解: 1.锐角三角函数的概念如图，在ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝a c (2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA ＝b c (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作t an A ，即t an A ＝a b (4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作c ot A ，即c ot A ＝b a 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90° (3)边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝b c t an A ＝c ot B ＝a b ， cot A ＝t an B ＝b a

3.三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1 2)倒数关系：t an A·c ot A＝1 3)商的关系：t an A＝sinA cosA ，c ot A＝cosA sinA (2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA t an(90°－A)＝c ot A， cot(90°－A)＝t an A 4．一些特殊角的三角函数值

5．锐角α的三角函数值的符号及变化规律. (1)锐角α的三角函数值都是正值 (2)若0＜α＜90°则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小. 6．解直角三角形 (1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角. (2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形. 7．解直角三角形的应用，解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念： (1)仰角、俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角 (2)坡度=坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，即i=h l (3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i=h l (4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.

三角形中的边角关系

三角形基础知识说明：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，p为三角形周长的一半，r为切圆半径，R为外接圆半径，）h a，h b，h c分别为a，b，c边上的高S△ABC表示面积。1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形，其中各条线段叫做三角形的边，每两条边组成的角叫做三角形的角（简称三角形的角）． 2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素． 3．确定三角形的条件：在三角形的元素中，边和角叫做三角形的基本元素，其中角确定三角形的形状（定形），边确定三角形的大小（定量），三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公共边（ASA）或两角与其中一角的对边（AAS），这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系． 4．三角形的“线”与“心”：（1）高线、垂心．（2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理．（3）中垂线、外接圆、外心．（4）角平分线、切圆、心、角平分线定理．（5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理．（6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质． 5．三角形的分类：（1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。（2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 6．等腰三角形的判定与性质、四线合一 7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心） 8．三角形元素之间的关系：（1）角与角的关系： ①角和定理、 ②外角定理 ③角的性质：围、关系． ④最大角、最小角． ⑤锐角三角形中任两角的和（2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（“三胞胎”）（3）边与角的关系：（“三胞胎”） ①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对的角也相等，反之也真． ②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比都相等，都等于该三角形外接圆的直径．

三角形边角关系专项练习

三角形边角关系及三线练习题典型例题【例1】已知三角形的三边长分别为 4、5、 x，则x不可能是（） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 1.【例2】一个三角形的三条边中有两条边相等，且一边长为4，还有一边长为9，则它的周长为（） 2. A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 3.相关变形：一等腰三角形两边长分别为3，5，试求该三角形的周长。 4. 5.等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（） °°°或80°° 【例3】如图SX—02，AD⊥BC，则图中以AD为高的三角形有___________个。【例4】如图SX—03，已知线段AD、AE分别是△ABC的中线和高线，且AB=5cm，AC=3cm，(1) △ABD与△ACD的周长之差为_________；(2) △ABD与△ACD的面积关系为__________。【例5】已知△ABC中，给出下列四个条件：(1) ∠A+∠B=∠C; (2) ∠A=90°－∠B; (3) ∠A：∠B：∠C=1：1：2; (4) ∠A：∠B：∠C=1：2：3. 其中能够判定△ABC是直角三角形的有（）个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【例6】如图SX—04，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求：(1) △ABC的面积；(2) CD的长。【例7】如图SX—05，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点P，且∠BPC=130°，求∠BAC SX—02 SX—03 SX—04

的度数。相关变形：一个零件的形状如图SX —05-1 所示，按规定∠BAC=90°，∠B=21°，∠C=20°，检验工人量得∠BDC=130°，于是断定这个零件不合格。运用所学知识说明零件不合格的理由。【例8】如图SX —06，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是△BAC 的平分线，若∠B=53°，∠C=77°，求∠DAE 的度数。学习自评一、选择题 1. 有下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ) 2. A. 1cm 、2cm 、3cm B. 1cm 、4cm 、2cm 3. C. 2cm 、3cm 、4cm D. 6cm 、2cm 、3cm 4. 一个三角形的两边长为3和7，且第三边为整数，这样的三角形的周长的最小值是（） 5. A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6. 如图SX —07，△ABC 的边BA 延长得∠1 ，若∠2 ＞∠l ，则△ABC 的形状为（ ) 7. A. 钝角三角形 B. 直角三角形 8. C. 锐角三角形 D. 无法确定 9. 一个三角形的三个内角互不相等，则它的最大角不小于（） 10. A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 11. △ABC 中，如果∠A －∠B =90°，那么△ABC 是（ ) 12. A.直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形二、填空题 13. 在△ABC 中，AB=4，BC=9，则AC 的取值范围是________________。 14. 如图SX —08，求下列各图中的∠α。 15. (1) ∠α=________；(2) ∠α=________；(3) ∠α=________。 16. 已知∠A 、∠B 、∠C 是△ABC 的三个内角。(1)如果∠A=90°，∠C = 55°，那么∠B ＝ ______；(2)如果∠C=4∠A ，∠A ＋∠B =100°，那么∠A =______ ，∠B=______。 17. 如图SX —10，将等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2=________。 SX —07 SX —08 SX —10

(新)初一几何——三角形的边角关系(一)

初一几何——三角形的边角关系（一）【学习目标】 1．根据三角形、多边形内角和定理计算较复杂图形中的相关角度。 2．充分利用三角形三边关系解决相关问题。 3．学会并掌握双垂直图形。【知识库】 1、三角形的边：三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：△ABC 中，a+b>c,b+c>a,c+a>b （两点之间线段最短）由上式可变形得到： a>c －b ，b>a －c ，c>b －a 即有：三角形的两边之差小于第三边 2、高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 3、中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线【规律探索】（北京市竞赛题）如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）． A ．∠A ＝∠1＋∠2 B ．2∠A ＝∠1＋∠2 C ．3∠A ＝2∠1＋∠2 D ．3∠A ＝2（∠1＋∠2）变式：想一想，如果当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2之间又有什么数量关系呢？试画出图形并说明。【题型精讲】重难点一：三角形的面积。例一：如图，△ACB 中，∠ACB =90°，∠1=∠B ．若AC =8，BC =6，AB =10，则CD 的长为．例二：如图，等腰三角形ABC 中，两腰AB =AC ，点P 在底边BC 上任意一点，求证：点P 到两腰的距离之和等于等腰三角形腰上的高。（要求画出草图再求证）拓展延伸：已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边的AB 、AC 、BC 的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，请你探索以下问题：（1）若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，问h 1、h 2与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由；（2）若当点P 在△ABC 内（图2），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）若点P 在△ABC 外（图3 ），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由重难点二：三角形的三边关系例三：已知三角形三边分别为2，a -1，4，那么a 的取值范围是( ) A.11 2 (AB +AC ) 练习： 1、已知a 、b 、c 是ΔABC 的三边长，化简|a +b - c |-|a -b - c | B A C P