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2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练:11_§ 2_9 函数模型及其应用 夯基提能作业 含解析

§2.9函数模型及其应用

A组基础题组

1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后来为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )

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答案 C 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.

2.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年的年产量保持不变,将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示,正确的是( )

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答案 A 依题意,前3年年产量的增长速度越来越快,说明总产量C的增长速度越来越快,只有选项A中的图象符合要求,故选A.

3.(2018临沂模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪

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堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的范围为( )

A.[2,4]

B.[3,4]

C.[2,5]

D.[3,5]

答案 B 根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)·x,得BC=-,由

得2≤x<6,所以

-

y=BC+2x=+(2≤x<6),由+≤10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]?[2,6),所以腰长x的范围是[3,4].

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4.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的

百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p

与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系

p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的

数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )

A.3.50分钟

B.3.75分钟

C.4.00分钟

D.4.25分钟

-

答案 B 由已知得解得

-

∴p=-0.2t2+1.5t-2=--+,

∴当t==3.75时p最大,

即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.

5.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等,则该年5月份( )

A.甲食堂的营业额较高

B.乙食堂的营业额较高

C.甲、乙两食堂的营业额相同

D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

答案 A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x(x>0),由题意可

得 m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额

y2=m×(1+x)4=(),因为-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以

y1>y2,故5月份甲食堂的营业额较高.

6.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的重要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,则至少经过小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时)

答案4

解析设n小时后他可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.

7.A、B两艘船分别从东西方向上相距145 km的甲、乙两地开出.A船从甲地自东向西行驶,B船从乙地自北向南行驶,A船的速度是40 km/h,B船的速度是16 km/h,经过h,A、B两艘船之间的距离最短.

答案

解析设经过x h,A、B两艘船之间的距离为y km,由题意可得

y=(-)()=(-),易知当x=--=

时,y取得最小值,即A、B两艘船之间的距离最短.

8.(2018杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速

度v的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.

当速度为10海里/时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,则当这艘轮船的速度为海里/时时,总费用最小.

答案40

解析设每小时的总费用为y元,行驶10海里的总费用为W元,则

y=kv2+96,又当v=10时 k×102=6,解得k=0.06,所以y=0.06v2+96,又匀速行驶10海里所用的时间为小时,故W=y=(0.06v2+96)=0.6v+≥

2·=48,当且仅当0.6v=,即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.

9.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是小时.

答案24

解析依题意有192=e b,48=e22k+b=e22k·e b,

所以e22k===,所以e11k=或-(舍去),于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·e b=×192=24(小时).

10.某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元~0.75元之间(包含0.55元和0.75元),经测算,若电价调至x 元,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)(元)成反比.又当x=0.65时,y=0.8.

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)若每千瓦时电的成本为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%?

[收益=用电量×(实际电价-成本价)]

解析(1)因为y与(x-0.4)成反比,

所以可设y=

-

(k≠0),

把x=0.65,y=0.8代入上式得0.8=

-

,

解得k=0.2,所以y=

-=

-

,

则y与x之间的函数关系式为y=

-

(0.55≤x≤0.75).

(2)根据题意,得

-

(x-0 3)=1×(0 8-0 3)×(1+20%) 整理得

x2-1.1x+0.3=0.解得x1=0.5,x2=0.6,

因为x的取值范围是[0.55,0.75],

所以x=0.5不符合题意,舍去,则x=0.6,

所以当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%. 11.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N

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为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.

(1)求a,b的值;

(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;

②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.

解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得

解得

(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),

则点P的坐标为,y'=-,

设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,

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l的方程为y-=-(x-t),

由此得A,B.

故f(t)==,t∈[5,20].

②设g(t)=t2+,

则g'(t)=2t-.

令g'(t)=0,解得t=10.

当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;

当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数.

从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,

所以g(t)min=300,

此时f(t)min=15.

答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.

B组提升题组

1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

A. B.()()-

C. D.()()-1

答案 D 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总

值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则

a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,所以

x=()()-1,故选D.

2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为( )

A.y=360-

B y=360×1 04x

C.y=

D.y=360

答案 D 设该乡镇现在人口总量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克,1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口总量为M(1+1.2%),则人均占有粮食(%)

(%)

千克,2年后,人均占有粮食

(%) (%)千克,……,x年后,人均占有粮食(%)

(%)

千克,即所求解析式

为y=360.

3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗

1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、

丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情

况.下列叙述中正确的是( )

A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多

C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

答案 D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5 km,则A错;

对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;

对于C选项:甲车以80 km/h的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(L) 则C错;

对于D选项:当行驶速度小于80 km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.

4.某公司为了实现1 000万元销售利润的目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按照销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过销售利润的25%,则下列函数最符合要求的是( )

A.y=x

B.y=lg x+1

C.y=

D.y=

答案 B 由题意知,x∈[10,1 000],符合公司要求的模型需同时满足:①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.对于y=x,易知满足① 但当x>20时,y>5,不满足要求;对于y=,易知满足① 因为>5,故当x>4时,不满足要求;对于y=,易知满足① 但当x>25时,y>5,不满足要求;对于y=lg x+1,易知满足① 当x∈[10,1 000]时,2≤y≤4,满足② 再证明lg x+1≤x·25%,即4lg x+4-x≤0,设F(x)=4lg x+4-x,则

F'(x)=-1<0,x∈[10,1 000],所以F(x)为减函数, f(x)max=F(10)=4lg 10+4-10=-2<0,满足③ 故选B.

5.(2019汤溪中学月考)某远程教育网推出两种上网学

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习卡收取佣金的方案:A方案是先收取20元学习佣金,

再按上网学习的累计时间收取佣金,B方案是直接按上

网学习的累计时间收取佣金.已知一个月的学习累计时

间t(小时)与上网费用s(元)的函数关系如图所示,则当累计学习150小时时,这两种方案收取的佣金相差元.

答案10

解析设A方案对应的函数解析式为s 1=k1t+20,B方案对应的函数解析式为s2=k2t,当t=100时,100k1+20=100k2 ∴k2-k1=,当t=150

时,150k2-150k1-20=150×-20=10.

6.(2018辽宁抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位:万元)、种黄瓜的年收入

Q(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).

(1)求f(50)的值;

(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?

解析(1)∵甲大棚投入了50万元,

∴乙大棚投入了150万元,

∴f(50)=80+4+×150+120=277 5

(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,

?20≤x≤180,

依题意得

-

故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).

令t=,则t∈[2,6],

f(t)=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,

当t=8,即x=128时, f(x)max=282.

所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元.

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