高三数学一轮复习精品学案：§2.6 对数与对数函数(步步高)

1．对数的概念

一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则

如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝________________； ②log a M

N ＝________________；

③log a M n ＝________ (n ∈R )． (2)对数的性质 ①a log a N ＝________；

②log a a N ＝________(a >0，且a ≠1)． (3)对数的换底公式

log a b ＝log c b

log c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．

3．对数函数的图象与性质

指数函数y ＝a x 与对数函数________互为反函数，它们的图象关于直线________对称． 『知识拓展』

1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1

log b a ；

(2)log am b n ＝n

m

log a b .

其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )

(3)函数y ＝log 2x 及y ＝13

log 3x 都是对数函数．( )

(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x

与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )

(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，????1

a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( )

1．(教材改编)(log 29)·(log 34)等于( ) A.14 B.1

2

C ．2

D ．4 2．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )

3．已知a ＝2log 3.4

5，b ＝4log 3.6

5

，c ＝3log 0.3

1()

5

，则( )

A ．a >b >c

B ．b >a >c

C ．a >c >b

D ．c >a >b

4．(2016·成都模拟)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为________．

5．(教材改编)若log a 3

4

<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________．

题型一 对数的运算

例1 (1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋

n ＝________. (2)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618

log 64＝________.

思维升华 对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

(1)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.

(2)(2016·济南模拟)2(lg2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1＝________.

题型二对数函数的图象及应用

例2(1)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()

A．a>1，c>1 B．a>1,0

C．01 D．0

(2)(2017·合肥月考)当0

2时，4

x

A．(0，

2

2) B．(

2

2，1)

C．(1，2) D．(2，2)

思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

(1)若函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()

(2)(2016·新疆乌鲁木齐一诊)设f (x )＝|ln(x ＋1)|，已知f (a )＝f (b )(a 0 B ．a ＋b >1 C ．2a ＋b >0

D ．2a ＋b >1

题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小

例3 (2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x

－m |

－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，

b ＝f (log 25)，

c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b

D ．c ＜b ＜a

命题点2 解对数不等式

例4 (1)若log a 2

3

<1，则a 的取值范围是____________．

(2)设函数f (x )＝?????

log 2

x (x >0)，log 12(－x )(x <0)，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－1,0)∪(0,1)

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1,0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(0,1)

命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．

(1)当x ∈『0,2』时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间『1,2』上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．

思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法 ①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较；

③借用中间量(0或1等)进行估值比较．

(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．

(1)设函数f (x )＝?

????

21－

x ，x ≤1，

1－log 2x ，x >1，则满足

f (x )≤2的x 的取值范围是( ) A ．『－1,2』 B ．『0,2』 C ．『1，＋∞)

D ．『0，＋∞)

(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1』上递减，则a 的取值范围为( ) A ．『1,2) B ．『1,2』 C ．『1，＋∞) D ．『2，＋∞)

3．比较指数式、对数式的大小

考点分析 比较大小问题是每年高考的必考内容之一：

(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.

典例(1)(2016·全国乙卷)若a>b>0,0

A．log a c

C．a cc b

(2)(2016·河南八市质检)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则()

A．b>c>a B．b>a>c

C．a>b>c D．c>a>b

(3)若实数a，b，c满足log a2

A．a

C．c

提醒：完成作业第二章§2.6

答案精析

基础知识 自主学习 知识梳理

1．x ＝log a N a N

2．(1)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③n log a M (2)①N ②N 3．(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) (4)y >0 y <0 (5)y <0 y >0 (6)增函数 (7)减函数 4．y ＝log a x y ＝x 思考辨析

(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 考点自测

1．D 2.B 3.C 4.(3

4，1』

5.???

?0，3

4∪(1，＋∞) 题型分类 深度剖析 例1 (1)12 (2)1 跟踪训练1 (1)433

(2)1

例2 (1)D (2)B 『(1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0

(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当022，所以a 的取值范围为(2

2

，1)．』

跟踪训练2 (1)B (2)A 例3 C

例4 (1)(0，2

3

)∪(1，＋∞) (2)C

解析 (1)当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内为增函数，所以log a 2

3

当0

故0

.

综上，a 的取值范围为(0，2

3

)∪(1，＋∞)．

(2)由题意可得?????

a >0，

log 2a >－log 2a 或?

????

a <0，log 1

2

(－a )>log 2(－a ).

解得a >1或－10且a ≠1， 设t (x )＝3－ax ，

则t (x )＝3－ax 为减函数，

x ∈『0,2』时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈『0,2』时，f (x )恒有意义， 即x ∈『0,2』时，3－ax >0恒成立．

∴3－2a >0.∴a <3

2

.

又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪????1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间『1,2』上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，

∴a >1，x ∈『1,2』时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，

∴?????

3－2a >0，

log a (3－a )＝1，即???

a <3

2

，a ＝32.

故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间『1,2』上为减函数，并且最大值为1. 跟踪训练3 (1)D (2)A 高频小考点

典例 (1)B (2)C (3)A

『(1)对A ：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg c

lg b ，

因为0b >0，所以lg a >lg b ， 但不能确定lg a 、lg b 的正负， 所以它们的大小不能确定，所以A 错； 对B ：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg b

lg c

，

而lg a >lg b ，两边同乘以一个负数1

lg c 改变不等号方向，所以B 正确；

对C ：由y ＝x c 在第一象限内是增函数， 即可得到a c >b c ，所以C 错； 对D ：由y ＝c x 在R 上为减函数， 得c a

(2)因为20.3>20＝1,0＝log π1b >c ，故选C.

(3)由log a2

③0