理工附中试卷及答案
2012-2013学年上海理工大学附属中学高二（下）期末数学试卷
一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知直线方程3x+4y﹣1=0，则它的斜率是．
2．圆的方程是x2+y2﹣4x+6y﹣3=0，那么它的圆心坐标是．
3．点A（2，﹣3）到直线3x+4y﹣4=0的距离是．
4．双曲线﹣=1的虚轴长是．
5．“复数z=x+yi（x，y∈R）为纯虚数”是x=0的条件．
6．复数z=，则|z|=．
7．若z=﹣1+，则z=．（第8题）
8．如图在△ABC中，AC=4，∠ACB=150°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA=6，则点P到直线BC的距离为：．
9．如a与b是异面直线，且a∥α，则b与平面α的位置关系是．
10．不论m为何实数，直线mx﹣y+2m﹣1=0恒过一定点，该定点的坐标是．
11．若椭圆+=1上的一点P到焦点F1的距离|PF1|=8，M是PF1的中点，O是坐标原点，则|OM|=．
12．焦点在轴x上的椭圆方程为+y2=1（a＞0），F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存
在点B，使得∠F1BF2=，那么实数a的取值范围是．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）（2009?上海）在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）双曲线﹣=1与双曲线﹣=1具有共同的（）A．实轴 B．虚轴C．焦点D．渐近线
15．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）下列各式中，正确的是（）
A．（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0?z1=z2=z3B．|z|=1?z=C．|z1+z2|=|z1|+|z2| D．|z|2=z2
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成30°角的平面的个数为（）A．2个B．4个C．6个D．8个
三、解答题（本大题共5题，满分0分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2013春?杨浦区校级期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=3，点E是棱AB上的点，当AE=2EB时，求异面直线AD1与EC所成角的大小．
18．α，β是方程x2+2x+a=0的两个根，其中a∈R，求|α|+|β|的值．
19．已知直线l：y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点，（1）若|AB|=10，求m的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．
20．如图，点P在矩形ABCD平面外，AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求直线PC与平面ABCD所成的角的大小．
21．（2013春?杨浦区校级期末）已知曲线C是到两定点F1（﹣2，0）、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合．（1）若a=，求曲线C的方程；
（2）若直线l过（0，1）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；
（3）若a=1，是否存在一直线y=kx+2与曲线C相交于两点A、B，使得OA⊥OB，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
2012-2013学年上海理工大学附属中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）已知直线方程3x+4y﹣1=0，则它的斜率是．
【分析】将直线化成斜截式，其中的一次项系数就是直线的斜率，可得本题答案．
【解答】解：∵直线方程是3x+4y﹣1=0，
∴将直线化成斜截式，得y=﹣x+
因此，直线的斜率k=﹣
故答案为：﹣
【点评】本题给出直线的一般式方程，求直线的斜率．着重考查了直线的基本量与基本形式的知识，属于基础题．
2．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）圆的方程是x2+y2﹣4x+6y﹣3=0，那么它的圆心坐标是（2，﹣3）．
【分析】由方程x2+y2﹣4x+6y﹣3=0可得（x﹣2）2+（y+3）2=16，即可得到圆心的坐标．
【解答】解：由方程x2+y2﹣4x+6y﹣3=0可得（x﹣2）2+（y+3）2=16，
∴圆心坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题．
3．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）点A（2，﹣3）到直线3x+4y﹣4=0的距离是2．
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：点A（2，﹣3）到直线3x+4y﹣4=0的距离d===2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
4．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）双曲线﹣=1的虚轴长是6．
【分析】由双曲线的标准方程﹣=1，可得b=3，从而得到虚轴的长2b．
【解答】解：由双曲线的标准方程﹣=1，可得b=3，故虚轴的长为：2b=6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
5．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）“复数z=x+yi（x，y∈R）为纯虚数”是x=0的充分不必要条件．
【分析】利用纯虚数的定义、充要条件的判定即可得出．
【解答】解：复数z=x+yi（x，y∈R）为纯虚数则：，
因此“复数z=x+yi（x，y∈R）为纯虚数”是x=0的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查了纯虚数的定义、充要条件的判定，属于基础题．
6．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）复数z=，则|z|=5．【分析】直接利用复数的模的运算法则，求解即可．
【解答】解：复数z=，
则
|z|===
=5；
故答案为：5．
【点评】本题考查复数的模的求法，注意求模的运算法则，考查计算能力，
7．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）若z=﹣1+，则z=﹣1﹣i．
【分析】利用=i，i2=﹣1，i4=1．即可得出．
【解答】解：∵=i，i2=﹣1，i4=1．
∴z=﹣1+i2011=﹣1+（i4）502?i3=﹣1﹣i．
故答案为：﹣1﹣i．
【点评】本题考查了复数的周期性、运算法则，属于基础题．
8．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）如图在△ABC中，AC=4，∠ACB=150°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA=6，则点P到直线BC的距离为：2．
【分析】过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D，连结PD，PD的长即为点P到直线BC的距离．【解答】解：过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D，连结PD，
∵在△ABC中，AC=4，∠ACB=150°，
∴AD=AC=2，
∵P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA=6，
∴PD⊥BC，∴PD的长即为点P到直线BC的距离，
∴PD==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
9．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）如a与b是异面直线，且a∥α，则b与平面α的位置关系是平行、相交或b在α内．
【分析】作出正方体，借助正方体能够比较容易地得到结果．
【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
BB1的中点为E，CC1的中点为F，
设D1C1=a，平面ABCD为α，则a∥α．
观察图形，
知：a与AD为异面直线，AD?α；
a与AA1为异面直线，AA1与α相交；
a与EF是异面直线，EF∥α．
∴若a，b是异面直线，且a∥平面α，
则b和α的位置关系是平行、相交或b在α内．
故答案为：平行、相交或b在α内．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
10．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）不论m为何实数，直线mx﹣y+2m﹣1=0恒过一定点，该定点的坐标是（﹣2，﹣1）．
【分析】直线mx﹣y+2m﹣1=0化为m（x+2）﹣（y+1）=0，令，即可解得定点．
【解答】解：直线mx﹣y+2m﹣1=0化为m（x+2）﹣（y+1）=0，令，解得．
∴直线恒过一定点（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了直线系的应用，属于基础题．
11．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）若椭圆+=1上的一点P到焦点F1的距离|PF1|=8，M是PF1
的中点，O是坐标原点，则|OM|=5．
【分析】根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF2|=2a﹣|PF1|=10，在△PF1F2中利用中位线定理，即可得到的|OM|值．
【解答】解：∵椭圆+=1中，a=9，
∴|PF1|+|PF2|=2a=18，
结合|PF1|=8，得|PF2|=2a﹣|PF1|=18﹣8=10，
∵OM是△PF1F2的中位线，
∴|OM|=|PF2|=×10=5．
故答案为：5
【点评】本题给出椭圆的焦点三角形的一边长，求另一边中点到原点的距离，着重考查了椭圆的定义和标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
12．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）焦点在轴x上的椭圆方程为+y2=1（a＞0），F1、F2是椭圆的
两个焦点，若椭圆上存在点B，使得∠F1BF2=，那么实数a的取值范围是[，+∞）．
【分析】由椭圆方程求出b=1，c2=a2﹣1，若椭圆上存在点B，使得∠F1BF2=，则以线段F1F2为直径的圆与椭圆有交点，即有c≥b，解不等式即可得到答案．
【解答】解：∵焦点在x轴上的椭圆方程为+y2=1（a＞0），
∴b=1，c2=a2﹣1，
若椭圆上存在点B，使得∠F1BF2=，
则以线段F1F2为直径的圆与椭圆有交点，
即有c≥b，即c2≥b2，
a2﹣1≥1，又a＞0，
故a的取值范围是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆与圆的位置关系，考查基本的运算能力，属于基础题．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）（2009?上海）在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先判断p?q与q?p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【解答】解：在空间中，两条直线没有公共点，这两条直线可能是异面直线，
即由“两条直线没有公共点”不能推知“这两条直线平行”；
反过来，由“两条直线平行”可知“这两条直线没有公共点”．
因此，在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件，
故选B．
【点评】判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
14．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）双曲线﹣=1与双曲线﹣=1具有共同的（）
A．实轴 B．虚轴 C．焦点 D．渐近线
【分析】分别令方程的右边为0，可求双曲线的渐近线，即可得出结论．
【解答】解：分别令方程的右边为0，可得双曲线﹣=1与双曲线﹣=1具有共同的渐近线．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的渐近线，比较基础．
15．（3分）（2013春?杨浦区校级期末）下列各式中，正确的是（）
A．（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0?z1=z2=z3B．|z|=1?z=
C．|z1+z2|=|z1|+|z2| D．|z|2=z2
【分析】举例验证A、C、D不成立，由推证B正确．
【解答】解：对于A，取z1=2，z2=1，z3=1﹣i，满足（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0，但z1≠z2≠z3；
对于C，取z 1=1，z2=i，则，|z1|+|z2|=2，结论不成立；
对于D，取z=i可得结论不成立；
由|z|=1?|z|2=1??．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的基本运算，考查了复数的模，是基础题．
16．（3分）（2003?崇文区一模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成30°角的平面的个数为（）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【分析】列举出正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与A1B成30°角的平面，可得答案．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
A1B与平面ABC1D1、平面A1B1CD、平面BB1D1D、平面AA1C1C都成30°角．
故与A1B成30°角的平面的个数为4个
故选B
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中列举出A1B成30°角的平面是解答的关键．
三、解答题（本大题共5题，满分0分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2013春?杨浦区校级期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=3，点E是棱AB上的点，当AE=2EB时，求异面直线AD1与EC所成角的大小．
【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出．
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
则A（1，0，0），C（0，3，0），E（2，0，0），
D1（0，0，1）．
∴=（﹣1，0，1），=（﹣2，3，0）．
∴===．
∴直线EC与直线AD1所成角的余弦值为．
【点评】本题考查了建立空间直角坐标系利用向量的夹角公式求异面直线的夹角，属于基础题．
18．（2013春?杨浦区校级期末）α，β是方程x2+2x+a=0的两个根，其中a∈R，求|α|+|β|的值．
【分析】根据韦达定理结合判别式△，即可得到结论．
【解答】解：判别式△=4﹣4a=4（1﹣a），
①若△≥0，即a≤1，则α，β为实根，
则α+β=﹣2，αβ=a，
则（|α|+|β|）2=α2+β2+2|αβ|=（α+β）2﹣2αβ+2|αβ|=4﹣2a+2|a|，
故|α|+|β|=．
当0≤a≤1时，|α|+|β|=2
a＜0时，|α|+|β|=2．
②若△＜0，即a＞1，则α，β为虚根，α=﹣1+i，β=﹣1﹣i，
故|α|+|β|=2=2．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的应用，注意要讨论判别式△．
19．（2009春?闵行区期末）已知直线l：y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点，
（1）若|AB|=10，求m的值；
（2）若OA⊥OB，求m的值．
【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；
（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．
【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）
（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
，﹣﹣﹣﹣（5分）
∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题的能力．
20．（2013春?杨浦区校级期末）如图，点P在矩形ABCD平面外，AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．
（1）证明AD⊥平面PAB；
（2）求直线PC与平面ABCD所成的角的大小．
【分析】（1）由勾股定理得AD⊥PA，由矩形性质得AD⊥AB，由此能证明AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连结PE，由已知得∠PEH是二面角P﹣BD ﹣A的平面角，由此能求出直线PC与平面ABCD所成的角的大小．
【解答】（1）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2，
得PA2+AD2=PD2，
于是AD⊥PA，
在矩形ABCD中，AD⊥AB，又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连结PE，
因为AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，
所以AD⊥PH，又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影，
由三垂线定理可知，BD⊥PE，
从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．
由题设可得，
PH=PAsin60°=，AH=PAcos60°=1，
∴BH=3﹣1=2，∴CH==2，
∴tan∠PCH===，
∴直线PC与平面ABCD所成的角的大小为arctan．
【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．（2013春?杨浦区校级期末）已知曲线C是到两定点F1（﹣2，0）、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合．
（1）若a=，求曲线C的方程；
（2）若直线l过（0，1）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；
（3）若a=1，是否存在一直线y=kx+2与曲线C相交于两点A、B，使得OA⊥OB，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）由双曲线定义得曲线C是以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，以2为实数的双曲线，由此能求出曲线C的方程．
（2）设直线l的方程为：y=kx+1，k=时，直线l为y=x+1与曲线C：=1只有一个焦点．联立，得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣6=0，当1﹣3k2≠0时，△=36k2+24（1﹣3k2）=0，由此能求出直线l的方程．
（3）当a=1时，曲线C的方程为，联立，得（3﹣k2）x2﹣4kx﹣4=0，由OA⊥OB，x1x2+y1y2=4﹣=0，能求出k．
【解答】解：（1）∵曲线C是到两定点F1（﹣2，0）、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2，∴由双曲线定义得曲线C是以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，
以2为实数的双曲线，
∴曲线C的方程为=1．
（2）∵直线l过（0，1）点，
∴当直线l的斜率不存在时，直线l为x=0，不成立；
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为：y=kx+1，
当k=时，直线l为y=x+1与曲线C：=1只有一个焦点．
联立，得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣6=0，
当1﹣3k2≠0时，
△=36k2+24（1﹣3k2）=0，
解得k=±2，
∴直线l与曲线C只有一个公共点，直线l的方程为y=±2x+1．
综上所述，直线l的方程为y=x+1或y=±2x+1．
（3）当a=1时，曲线C的方程为，
联立，得（3﹣k2）x2﹣4kx﹣4=0，
△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=﹣，
y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+k（x1+x2）+4
=++4=4，
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=4﹣=0，
3﹣k2=1，解得k=．
【点评】本题考查曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线的斜率是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；刘长柏；沂蒙松；zlzhan；minqi5；翔宇老师；sxs123；maths （排名不分先后）
菁优网
2016年6月7日