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GL.普物I-Ch.9-1,2振动,阻尼振动等等

汽车振动练习题

判断题 1、系统作与激振力同频率的简谐振动,振幅决定于激振力的幅值、频率以及系统本身的物理特性。 A.对 2、当初始条件为零,即==0时,系统不会有自由振动项。 A.错 3、隔振系统的阻尼愈大,则隔振效果愈好。 A.对 4、任何系统只有当所有自由度上的位移均为零时,系统的势能才可能为零。B.错 5、对于多自由度无阻尼线性系统,其任何可能的自由振动都可以被描述为模态运动的线性组合。对 6、一个周期激振力作用到单自由度线性系统上,系统响应的波形与激振力的波形相同,只是两波形间有一定的相位差。错 7、单自由度线性无阻尼系统的自由振动频率由系统的参数确定,与初始条件无关。对 8、多自由度振动系统的运动微分方程组中,各运动方程间的耦合,并不是振动系统的固有性质,而只是广义坐标选用的结果。对 9、无阻尼振动的固有频率只与质量和刚度有关,是系统的固有特性,与外界初始激励(初始条件)无关。对 10、对数衰减系数可以用来求阻尼比。() A.对 11、单自由度系统在简谐激励力作用下,系统将产生一个与激励力相同频率的简谐振动,但滞后一个相角。 A.对 12、线性系统内各个激励产生的响应是互不影响的。 A.对 13、两个同频率的简谐振动在同方向的合成运动是该频率的简谐振动。 A.对 14、简谐振动的加速度,其大小与位移呈正比,而方向与位移相反,始终指向平衡位置。 A.对 15、所有表示周期振动的周期函数都可以展开成Fourier级数的形式。 B.错 16、广义坐标必须能完整地描述系统的运动。 A.对 17、在欠阻尼和过阻尼的情况下,运动都将衰减为零。()对 18、对于无阻尼系统,速度超前位移90度。() A.对 19、瑞利法的基础是能量守恒定律。() A.对 20、有阻尼系统自由振动的频率有可能是零。() A.对 21、有阻尼系统自由振动的频率有时大于无阻尼系统的固定频率。() A.对 22、能量守恒定律可用于推导有阻尼系统和无阻尼系统的运动微分方程。() A.对 23、当质量块在垂直方向振动时,推导运动微分微分方程时都可以不计重力。() A.对 24、对于单自由度系统而言,无论质量是在水平面还是在斜面上运动,运动微分方程都是相同的。 A.对 25、在空气中振动的系统可以看作是一个阻尼系统。() A.对 26无阻尼系统的振幅不随时间变化。() A.对 27、离散系统和集中参数系统是相同的。() A.对 28、广义坐标不一定是笛卡尔坐标。() A.对 29、几个不同位置质量的等效质量可以用动能等效得到。() A.对 30、简谐运动是周期运动。() A.对

阻尼振动与受迫振动 实验报告

《阻尼振动与受迫振动》实验报告 一、实验目的 1. 观测阻尼振动,学习测量振动系统基本参数的方法; 2. 研究受迫振动的幅频特性和相频特性,观察共振现象; 3. 观测不同阻尼对受迫振动的影响。 二、实验原理 1. 有粘滞阻尼的阻尼振动 弹簧和摆轮组成一振动系统,设摆轮转动惯量为J ,粘滞阻尼的阻尼力矩大小定义为角速度d θ/dt 与阻尼力矩系数γ的乘积,弹簧劲度系数为k ,弹簧的反抗力矩为-k θ。忽略弹簧的等效转动惯量,可得转角θ的运动方程为 220d d J k dt dt θθγθ++= 记ω0为无阻尼时自由振动的固有角频率,其值为ω0=k/J ,定义阻尼系数β =γ/(2J ),则上式可以化为: 2220d d k dt dt θθ βθ++= 小阻尼即22 00βω-<时,阻尼振动运动方程的解为 ( )) exp()cos i i t t θθβφ=-+ (*) 由上式可知, 阻尼振动角频率为d ω=阻尼振动周期为2d d T π ω= 2. 周期外力矩作用下受迫振动的解 在周期外力矩Mcos ωt 激励下的运动方程和方程的通解分别为 22cos d d J k M t dt dt θθγθω++= ()( )) ()exp cos cos i i m t t t θθβφθωφ=-++- 这可以看作是状态(*)式的阻尼振动和频率同激励源频率的简谐振动的叠加。 一般t >>τ后,就有稳态解 ()()cos m t t θθωφ=- 稳态解的振幅和相位差分别为 m θ=

22 02arctan βω φωω =- 其中,φ的取值范围为(0,π),反映摆轮振动总是滞后于激励源支座的振动。 3. 电机运动时的受迫振动运动方程和解 弹簧支座的偏转角的一阶近似式可以写成 ()cos m t t ααω= 式中α m 是摇杆摆幅。由于弹簧的支座在运动,运动支座是激励源。弹簧总转 角为()cos m t t θαθαω-=-。于是在固定坐标系中摆轮转角θ的运动方程为 ()22cos 0m d d J k t dt dt θθγθαω++-= 也可以写成 22cos m d d J k k t dt dt θθγθαω++= 于是得到 2 m θ= 由θ m 的极大值条件0m θω? ?=可知,当外激励角频率ω=系统发生共振, θ m 有极大值 α 引入参数(0ζβωγ==,称为阻尼比。 于是,我们得到 m θ= ()() 02 02arctan 1ζωωφωω=- 三、实验任务和步骤 1. 调整仪器使波耳共振仪处于工作状态。 2. 测量最小阻尼时的阻尼比δ和固有角频率ω0。 3. 测量阻尼为3和5时的振幅,并求δ。 4. 测定受迫振动的幅频特性和相频特性曲线。 四、实验步骤。

阻尼振动与受迫振动 实验报告

《阻尼振动与受迫振动》实验报告一、实验目的1.观测阻尼振动,学习测量振动系统基本参数的方法;2.研究受迫振动的幅频特性和相频特性,观察共振现象;3.观测不同阻尼对受迫振动的影响。 二、实验原理1.有粘滞阻尼的阻尼振动弹簧和摆轮组成一振动系统,设摆轮转动惯量为J ,粘滞阻尼的阻尼力矩大小定义为角速度d θ/dt 与阻尼力矩系数γ的乘积,弹簧劲度系数为k ,弹簧的反抗力矩为-k θ。忽略弹簧的等效转动惯量,可得转角θ的运动方程为 220d d J k dt dt θθγθ++=记ω0为无阻尼时自由振动的固有角频率,其值为ω0=,定义阻尼系数k/J β=γ/(2J ),则上式可以化为: 2220d d k dt dt θθβθ++=小阻尼即时,阻尼振动运动方程的解为2200βω-< (*)( )) exp()cos i i t t θθβφ=-+由上式可知,阻尼振动角频率为 ,阻尼振动周期为d ω=2d d T π=2.周期外力矩作用下受迫振动的解 在周期外力矩Mcos ωt 激励下的运动方程和方程的通解分别为22cos d d J k M t dt dt θθγθω++=()( ))()exp cos cos i i m t t t θθβφθωφ=-++-这可以看作是状态(*)式的阻尼振动和频率同激励源频率的简谐振动的叠加。一般t >>τ后,就有稳态解 ()()cos m t t θθωφ=-稳态解的振幅和相位差分别为路须同时切断习题电源,备制造厂家出具高中资料需要进行外部电源高中资料

m θ=2202arctan βωφωω=-其中,φ的取值范围为(0,π),反映摆轮振动总是滞后于激励源支座的振动。3.电机运动时的受迫振动运动方程和解弹簧支座的偏转角的一阶近似式可以写成 ()cos m t t ααω=式中αm 是摇杆摆幅。由于弹簧的支座在运动,运动支座是激励源。弹簧总转角为。于是在固定坐标系中摆轮转角θ的运动方程为()cos m t t θαθαω-=-()22cos 0m d d J k t dt dt θθγθαω++-=也可以写成 22cos m d d J k k t dt dt θθγθαω++= 于是得到m θ=由θm 的极大值条件可知,当外激励角频率时, 0m θω ??=ω=系统发生共振,θm 有极大值。α 引入参数,称为阻尼比。(0ζβ ωγ==于是,我们得到 m θ=()()0202arctan 1ζωωφωω=-三、实验任务和步骤 1.调整仪器使波耳共振仪处于工作状态。 2.测量最小阻尼时的阻尼比ζ和固有角频率ω0。进行隔开处理;同一线槽内人员,需要在事前掌握图纸电机一变压器组在发生内部

第四节有阻尼的自由振动

第四节有阻尼自由振动 (Damped Free Vibration) 前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。实际系统的机械能不可能守恒,因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼,例如粘性阻尼、库伦阻尼(干摩擦阻尼)、和结构阻尼及流体阻尼等。尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法,但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。 一、粘性阻尼(Viscous Damping) ------------- 最常见的阻尼力学模型 在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体,通常就认为受到粘性阻尼。粘性阻尼力与相对速度成正比,即 =& F cx F--- 粘性阻尼力,x&--- 相对速度 ? c--- 粘性阻尼系数(阻尼系数),单位:N S m

二、粘性阻尼自由振动 () k x ?+ 以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。由牛顿运动定律,得运动方程 mx cx kx ++= &&&(2-10) 设方程的解为 ()st x t Ae = 代入式(2-10),得 2 ()0 st ms cs k Ae ++= 因为0 A≠,所以在任一时间时均能满足上式条件为 20 ms cs k ++=(2-11) ------ 系统的特征方程(频率方程) 它的两个根为 1,22 c s m =-±(2-12)

则方程(2-10)的通解为 1211212s t s t c t m x A e A e e A A e =+?? ?=+ ??? (2-13) 式中1A 和2A 为任意常数,由初始条件 00(0),(0)x x x x ==&& 确定。显然方程(2-10)的解(2-13)的性质取决于 是实数、零,还是虚数。 当 2 02c k m m ??-= ??? 时的阻尼系数称为临界阻尼系数,用0c 表示。因此 02n c m ω== 令 02n c c c c m ζω=== 叫做阻尼比。 ∵ 022n c c m m ζζω==

对无阻尼两自由度自由振动的振动系统

对无阻尼两自由度自由振动的振动系统,质量块1和质量块2有初始位移x1=2,x2=2,初速度x3=0.8,x4=1.3。弹簧刚度k1=9,k2=12,k3=9。质量均为3kg。求位移与时间之间的关系。 syms k1k2k3m1m2abcdX1X2C1C2wehpsi1psi2r1r2tx1x2x3x4; X1=C1*cos(w_1*t-psi1)+C2*cos(w_2*t-psi2); X2=C1*r1*cos(w_1*t-psi1)+C2*r2*cos(w_2*t-psi2); x1=2; x2=2; x3=0.8; x4=1.3; k=[9,12,9]; m=[3,3]; a=(k(1)+k(2))/m(1); b=k(2)/m(1); c=k(2)/m(2); d=(k(2)+k(3))/m(2); y1=w^2-(a+d)*w+(a*d-b*c); y=solve('w^2 - 14*w + 33=0',w); e=y(1); h=y(2); w=[e,h]; A=[(a-e^2)/b,(a-h^2)/b]; r1=simplify(A(1)); r2=simplify(A(2)); C1=(abs(r2-r1))^(-1)*sqrt((r2*x1-x2)^2+(r2*x3-x4)^2/e^2); C2=(abs(r2-r1))^(-1)*sqrt((x2-r1*x1)+(x4-r1*x3)^2/h^2); psi1=atan((r2*x3-x4)/(e*(r2*x1-x2))); psi2=atan((r1*x3-x4)/(h*(r1*x1-x2))); ts=0:0.01:10; X1=C1*cos(e*ts-psi1)+C2*cos(h*ts-psi2); X2=C1*r1*cos(e*ts-psi1)+C2*r2*cos(h*ts-psi2); plot(ts,X1,'b',ts,X2,'r')

第1章--单自由度系统的自由振动题解

习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型,房顶质量为m ,视为一刚性杆;柱子高h ,视为无质量的弹性杆,其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解:由于两根杆都是弹性的,可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量,由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向,则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆,长为 l ,重量为W ,用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程,并求出振动固有周期。 解:给杆一个微转角 2 a =h 2F cos α=mg 由动量矩定理: a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 F sin α 2 θ h mg

其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 1-3求题1-3图中系统的固有频率,悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3,悬臂梁的质量忽略不计。 解:悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧,因此,k 1与k 2串联,设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联,设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联,设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += ',212132k k k k k k ++=',4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩,I 是圆盘的转动惯量,各个轴段的转动惯量不计,材料剪切弹性模量为G 。 解: 111/l GJ k = (1) 222/l GJ k = (2) 333/l GJ k = (3) )/(23323223l J l J J GJ k += (4) ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 )由( 题1-3图 题1-4图

第一章4阻尼振动受迫振动

学案4阻尼振动受迫振动 [学习目标定位] 1.知道阻尼振动和无阻尼振动并能从能量的观点给予说明.2.知道受迫振动的概念.知道受迫振动的频率等于驱动力的频率,而跟振动物体的固有频率无关.3.理解共振的概念,知道常见的共振的应用和危害. 1.振幅是表示振动强弱的物理量.对同一振动系统,振幅越大,表示振动系统的能量越大. 2.简谐运动是一种理想化的振动状态,没有考虑阻力做功,即没有能量损失.弹簧振子和单摆在振动过程中动能和势能不断相互转化,机械能守恒(忽略阻力的作用). 一、阻尼振动 1.系统在振动过程中受到阻力的作用,振动逐渐消逝,振动能量逐步转变为其他能量,这种振动叫做阻尼振动. 2.系统不受外力作用,也不受任何阻力,只在自身回复力作用下的振动,称为自由振动,又叫做无阻尼振动.自由振动的频率,叫做系统的固有频率.固有频率由系统本身的特征决定. 二、受迫振动 如果用周期性的外力作用于振动系统,补偿系统的能量损耗,使系统持续等幅地振动下去,这种周期性外力叫做驱动力,系统在驱动力作用下的振动叫做受迫振动. 三、共振 驱动力的频率等于振动物体的固有频率时,受迫振动的振幅最大,这种现象叫做共振. 一、阻尼振动 [问题设计] 在研究弹簧振子和单摆振动时,我们强调忽略阻力的影响,它们做的振动都属于简谐运动.在实验室中让一个弹簧振子振动起来,经过一段时间它将停止振动,你知道是什么原因造成的吗 答案阻力阻碍了振子的运动,使机械能转化为内能. [要点提炼] 对阻尼振动的理解

图1 1.系统受到摩擦力或其他阻力作用.系统克服阻尼的作用要消耗机械能,因而振幅减小,最后停下来,阻尼振动的图像如图1所示. 2.能量变化:由于振动系统受到摩擦阻力和其他阻力作用,系统的机械能随时间减少,同时振幅也在逐渐减小.阻尼越小,能量减少越慢,振幅减小越慢;阻尼过大时,系统将不能发生振动. 3.物体做阻尼振动时,振幅虽不断减小,但振动的频率仍由自身结构特点所决定,并不会随振幅的减小而变化.例如:用力敲锣,由于锣受到空气的阻尼作用,振幅越来越小,锣声减弱,但音调不变. 二、受迫振动 [问题设计] 图2 如图2所示,当弹簧振子自由振动时,振子就会慢慢地停下来,怎样才能使振子能够持续振动下去 答案有外力作用于弹簧振子. [要点提炼] 1.受迫振动 加在振动系统上的周期性外力,叫做驱动力.系统在驱动力作用下的振动叫做受迫振动.2.受迫振动的周期和频率 物体做受迫振动时,振动稳定后的频率等于驱动力的频率,跟系统的固有频率无关(填“有关”或“无关”). 三、共振 [问题设计] 你知道部队过桥时为什么要便步走吗 答案防止共振现象发生. [要点提炼]

第2章 单自由度系统的受迫振动题解

习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ,作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ,相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ,若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用,求系统的稳态响应。 解:由题意,可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x =1.103 cos(3t -51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用,当激振频率ω1 =6rad/s 时,系统发生共振;给

质量块增加1 kg 的质量后重新试验,测得共振频率ω2 =5.86rad/s ,试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解:设原系统的质量为m ,弹簧常数为k 由 m k p n = ,共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m =20.69 kg ,k =744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上,使梁产生静挠度st δ,转子重Q ,重心偏离轴线e ,梁重及阻尼可以不计,求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解:列出平衡方程可得: 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以:2n kg P W Q h w e W ==, 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示,作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=,弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =,写出系统的运动微分方程,并求稳态振动。 题2-4图

第三章----单自由度有阻尼系统的振动

第三章 单自由度有阻尼系统的振动 3—1 阻尼的作用与分类 前述无阻尼的振动只是一种理想情况,在这种情况下,机械能守恒,系统保持持续的周期性等幅振动。但实际系统振动时,不可避免要受到各种阻尼的影响,由于阻尼的方向始终与振动体的运动方向相反,因此对系统作负功,不断消耗系统的能量,使自由振动不断衰减最终停止,强迫振动的振幅受到抑制。 阻尼有各种来源,情况比较复杂,主要有下列三种形式。 1.干摩擦阻尼: 两个干燥表面互相压紧并相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻尼,阻尼大小与两个面之间的法向压力N 成正比,即符合摩擦定律F=fN ,式中f 是摩擦系数。 2.粘性阻尼: 物体以中、低速度在流体中运动时所受到的阻力称为粘性阻尼。有润滑油的滑动面之间 产生的阻尼就是这种阻尼。粘性阻尼与速度的一次方成正比,即x c F ,式中c 为粘性阻尼系 数,它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑介质的粘性,单位为N ·s/cm 。物体以较大速度 在流体中运动时(如3m/s 以上),阻尼将与速度的平方成正比,即2 x b F ,式中b 为常数,此种阻尼为非粘性阻尼。 3.结构阻尼、 材料在变形过程中,由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼,称为结构阻尼。其性质比较复杂,阻尼的大小取决与材料的性质。 由于粘性阻尼在数学处理时可使求解大为简化,所以本节先以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。在遇到非粘性阻尼时则可用等效粘性的办法作近似计算。有关等效粘性阻尼的概念和计算方法在本章后面再作介绍。 3-2具有粘性阻尼的自由振动 单自由度有阻尼振系的力学模型如图3-1所示,包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点,建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为 kx x c x m -=- 式中 : x c 为阻尼力,负号表示阻尼力方向与速度方向相反。

第二章单自由度无阻尼系统的振动

第二章 单自由度无阻尼系统的振动 单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数,这种独立参量称为广义坐标,广 义坐标可以是线位移、角位移等。 单自由度系统振动理论是振动理论的基础,尽管实际的机械都是弹性 体,属多自由度系统,然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律, 就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外,许多工程实际问题在一定 条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。单自由度系统的力学模型如 图2-1所示,图中,m 为质量元件(或惯性元件),k 为线性弹簧,C 为线 性阻尼器。图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统,若该系统不计阻尼, 则称之为单自由度无阻尼系统,若在质量元件上作用有持续外界激扰力, 则系统作强迫振动,如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用,则系 统作自由振动。 下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动,再进一步研究其强迫振 动。 2—1 自由振动 图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。取质量m 的静平衡位置为坐标原点,取x 轴铅直向下为正,当系统处于平衡 位置时有,δk mg =,故有静位移 δ=mg/k (a ) 当系统处在位置x 处时,作用在质量上的力系不再平衡, 有: mg x k x m ++-=)(δ (b) 式中:2 2/dt x d x = 是质量的加速度,将(a )式代入(b )式;则得 kx x m -= 即 0=+kx x m (2-1) 注意,上式中-kx 是重力与弹簧力的合力,它的大小与位移x 的大小成正比,但其方向却始终与位移的方向相反,即始终指向平衡位置,故称其为弹性恢复力。由式(2-1)可以看到,只要取物体的静平衡位置为坐标原点,则在列运动微分方程时,可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。 将(2-1)式改写成 0=+x m k x ,令2p m k = 则得 02=+x p x (2-2) 这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。其解为

苏州大学在职研究生机械振动试题

习题课及考前复习(24题) 一、考试知识点 二、考题分布情况 三、作业题 四、课堂练习题 五、经典例题 一、考试知识点 第一章 1、单自由度系统振动方程。 2、无阻尼单自由度系统的自由振动。 3、等效单自由度系统。 4、有阻尼单自由度系统的自由振动。 5、简谐力激励下的受迫振动。 6、基础简谐激励下的受迫振动。 第二章 1、多自由度系统的振动方程。 2、建立系统微分方程的方法。 3、无阻尼系统的自由振动。 4、无阻尼系统的受迫振动。 二、考题分布情况 1、主要围绕作业题、课堂练习题、经典例题题型展开。 2、复习时把握每章知识要点,理解基础题型解题方法。 3、考卷共6道大题。 三、作业题讲解 1-1一物体在水平台面上,当台面沿竖直方向作频率为5Hz的简谐振动时,要使物体不跳离台面,试问对台面的振幅有何限制? 1-3写出图所示系统的等效刚度表达式。2.5kg,k1=k2=2×105 N/m ,k3=3×105 N/m时,求系统的固有频率。

1-4图中简支梁长l=4m,抗弯刚度EI=1.96×106N·m2,且k=4.9×105N/m,m=400kg。分别求图示两种系统的固有频率。 1-6 如图示,重物挂在弹簧上,静变形为δs。现将其重新挂在未变形弹簧的下端,并给予向上的初速度 u ,求重物的位移响应和从开始运动到首次通过平衡 位置的时间。

1-7证明对于临界阻尼或过阻尼,系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。 P45.1-8:一单自由度阻尼系统,m =10kg时,弹簧静伸长δs=0.01m。自由振动20个循环后,振幅从6.4×10?3m降至1.6×103m求阻尼系数c及20个循环内阻尼力所消耗的能量.

振动习题86610

机械振动习题集

同济大学机械设计研究所 2004.9 1_简谐运动及其运算 1-1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 (1))3sin(2π ω+ =t x (2))4 10cos(4π π+ =t x (3))452cos(3?+=t x π 1-2通过简谐函数的复数表示,求下列简谐函数之和。 (1))3 sin(21π ω+ =t x )3 2sin(32πω+ =t x (2)t x π10sin 51= )4 10cos(42π π+ =t x (3))302sin(41?+=t x π )602sin(52?+=t x π )452cos(33?+=t x π )382cos(74?+=t x π )722cos(25?+=t x π 答案: (1))6.6cos(359.412?+=t x ω (2))52.4710cos(566.312?-=t x π (3))22.92cos(776.1412345?+=t x π 1-3试计算题1中)(t x 的一阶对数和二阶导数对应的复振幅,并给出它们的时间历程。 1-4设)(t x 、)(t f 为同频简谐函数,并且满足)(t f cx x b x a =++&&&。试计算下列问题 (1)已知)3712sin(10)(,25,6,5.1ο+====πt x c b a ,求)(t f (2)已知)647sin(25)(,30,7,3ο+====πt f c b a ,求)(t x 1-5简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。 1-6利用“振动计算实用工具”,通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。

振动力学考题集[1]

1、四个振动系统中,自由度为无限大的是()。 A. 单摆; B. 质量-弹簧; C. 匀质弹性杆; D. 无质量弹性梁; 2、两个分别为c1、c2的阻尼原件,并连后其等效阻尼是()。 A. c1+c2; B. c1c2/(c1+c2); C. c1-c2; D. c2-c1; 3、()的振动系统存在为0的固有频率。 A. 有未约束自由度; B. 自由度大于0; C. 自由度大于1; D. 自由度无限多; 4、多自由度振动系统中,质量矩阵元素的量纲应该是()。 A. 相同的,且都是质量; B. 相同的,且都是转动惯量; C. 相同的,且都是密度; D. 可以是不同的; 5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统,激励频率()固有频率时, 稳态位移响应幅值最大。 A. 等于; B. 稍大于; C. 稍小于; D. 为0; 6、自由度为n的振动系统,且没有重合的固有频率,其固有频率的数目(A )。 A. 为n; B. 为1; C. 大于n; D. 小于n; 7、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)和u(s),u(r)T Mu(s)的值一定()。 A. 大于0; B. 等于0; C. 小于0; D. 不能确定; 8、无阻尼振动系统的某振型u(r),u(r)T Ku(r)的值一定()。 A. 大于0; B. 等于0; C. 小于0; D. 不能确定; 9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上,当激励频率为无限大时, 该集中质量的稳态位移响应一定()。 A. 大于0; B. 等于0; C. 为无穷大; D. 为一常数值; 10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统是()。 A. 杆的纵向振动; B. 弦的横向振动; C. 一般无限多自由度系统; D. 梁的横向振动; 11、两个刚度分别为k1、k2串连的弹簧,其等效刚度是()。 A. k1+k2; B. k1k2/(k1+k2);

《阻尼振动与受迫振动》实验报告

《阻尼振动与受迫振动》实验报告

《阻尼振动与受迫振动》实验报告 工程物理系 核41 崔迎欢 2014011787 一.实验名称:阻尼振动与受迫振动 二.实验目的 1. 观测阻尼振动,学习测量振动系统基本参数的方法; 2. 研究受迫振动的幅频特性和相频特性,观察共振现象; 3. 观测不同阻尼对受迫振动的影响。 三..实验原理 1. 有粘滞阻尼的阻尼振动 弹簧和摆轮组成一振动系统,设摆轮转动惯量为J ,粘滞阻尼的阻尼力矩大小定义为角速度d θ/dt 与阻尼力矩系数γ的乘积,弹簧劲度系数为k ,弹簧的反抗力矩为-k θ。忽略弹簧的等效转动惯量,可得转角θ的运动方程为 220d d J k dt dt θθ γθ++= 记ω0为无阻尼时自由振动的固有角频率,其值为ω0=k/J ,定义阻尼系数β=γ

/(2J ),则上式可以化为: 2220d d k dt dt θθ βθ++= 小阻尼即2 2 00 β ω-<时,阻尼振动运动方程 的解为 ())2 20exp()cos i i t t t θθβωβφ=--+ (*) 由上式可知,阻尼振动角频率为 220d ωωβ=-2d d T πω= 2. 周期外力矩作用下受迫振动的解 在周期外力矩Mcos ωt 激励下的运动方程和方程的通解分别为 22cos d d J k M t dt dt θθ γθω++= ()()) ()2 20exp cos cos i i m t t t t θθβωβφθωφ=--++- 这可以看作是状态(*)式的阻尼振动和频率同激励源频率的简谐振动的叠加。一般t >>τ后,就有稳态解 ()()cos m t t θθωφ=- 稳态解的振幅和相位差分别为 ()2 222 2 4m θωωβω = -+ 22 02arctan βωφωω=- 其中,φ的取值范围为(0,π),反映

单自由度无阻尼自由振动的系统分析

单自由度无阻尼自由振动的系统分析 在结构动力学之中,单自由度体系的振动是最简单的振动,但单自由度体系的频率计算在结构动力学计算中有着十分重要的意义,因为从中我们能得到关于振动理论的一些最基本的概念和分析方法同时也为更复杂的多质点多自由度体系振动问题奠定基础,同时现实工程中也有许多振动问题可以简化为单自由度问题近似的利用单自由度振动理论去分析解决。在单层厂房、水塔等建筑物中得到有效的利用 结构的自由振动是指结构受到扰动离开平衡位置后,不再受到任何外力影响的振动过程,此处动力系统是否有阻尼项,会直接影响到动力系统的反应。在此,我们把自由振动分为无阻尼自由振动与有阻尼的自由振动。 一、无阻尼自由系统的振动分析 目前,以弹簧-质量系统为力学模型,研究单自由度系统 的振动具有非常普遍的实际意义,因为工程中许多问题简化 后,用单自由度体系的振动理论就能得到很好的解决。而对 多自由度系统和连续振动,在特殊坐标的考察时,也会显示 出与单自由度系统类似的振动。 进行无阻尼自由振动分析的主要目的是为了获得系统固 有振动的特性,只有充分地了解系统的自身振动特性才能有 效的计算系统的动力响应,目前在单质点单自由度无阻尼自由振动体系中我们的运动方程为: 0)()(..=+t ku t u m (1) 或 0u(t))(=+ωt u (2) 其中的ω是振动圆频率,是反应系统动力的重要参数,其计算公式为:

m k m ==δω12 (3) 由上式可以看出,ω只和系统的刚度及质量有关,而与系统所受到的初始受力状态无关。ω的量纲与角速度相同为rad/s ,它反映了系统自由振动的快慢。自由振动系统的这一特性,我们在日常生活中司空见惯。比如,键盘类乐器标定后,按动某一个琴键,不管你按动的轻重如何,琴键所发出的声音的频率是一定的,按得轻或按得重仅影响声音的强弱。 (2)式经过三角函数的转换可表示为: )sin()(νω+=t A t u (4) 其通解为t A t A t u ωωsin cos ) (21+= 常数A 1与A 2与初始条件有关,01χ=A ωχ/02 =A 式(4)是标准的简谐方程其中A 是其振幅, 则ν是其初相角,他们的计算公式 202 0)(ωx x A += ,00 arctan x x v ω= 对于质点振动系统,质量越大,则系统的固有频率越低;刚度越大,则系统的固有频率越高。在实际工程中,这一规律在振动与噪声控制中具有重要意义:通过改变系统的质量或刚度,就可以改变系统的固有频率,使之落于一定的频带范围之外,从而保证在我们关心的频带范围内具有较小的振动或噪声。 二、有阻尼自由系统的振动分析 在前面所述的自由振动中,我们略去了运动的阻力。因此振动过程中机械能守恒,系统保持持久的等幅振动。但实际系统振动时不可避免地存在阻力,因X t

阻尼振动和受迫振动实验报告

清华大学实验报告 工程物理系工物40 钱心怡 2014011775 实验日期:2015年3月3日 一.实验名称 阻尼振动和受迫振动 二.实验目的 1.观测阻尼振动,学习测量振动系统参数的基本方法 2.研究受迫振动的频幅特性和相频特性,观察共振现象 3.观察不同阻尼对振动的影响 三.实验原理 1.阻尼振动 在转动系统中,设其无阻尼时的固有角频率为ω0,并定义阻尼系数β其转动的角度与时间的关系满足如下方程 解上述方程可得当系统处于弱阻尼状态下时,即β<ω0时,θ和t满足如下关系 解得阻尼振动角频率为ωd=,阻尼振动周期为

T d= 同时可知lnθ和t成线性关系,只要能通过实验数据得到二者之间线性关系的系数,就可以进一步解得阻尼系数和阻尼比。 2.周期性外力作用下的受迫振动 当存在周期性外力作用时,振动系统满足方程 θ和t满足如下关系: 该式中的第一项随着时间t的增大逐渐趋于0,因此经过足够长时间后,系统在外力作用下达到平衡,第一项等于0,在该稳定状态下,系统的θ和t满足关系: 其中;(θ∈(0,π)) 3.电机运动时的受迫振动 当波尔共振仪的长杆和连杆的长度远大于偏心轮半径时,当偏心轮电机匀速转动时,设其角速度为ω,此时弹簧的支座是弹簧受迫振动的外激励源,摆轮转角满足以下方程:

即为 与受周期性外力矩时的运动方程相同,即有 可知,当ω=ω0时φ最大为,此时系统处于共振状态。 四.主要实验仪器和实验步骤 1.实验仪器 波尔共振仪主要由振动系统和提供外激励的两个部分组成。振动系统包括弹簧和摆轮。弹簧一端固定在摇杆上。摆轮周围有一圈槽型缺口,其中有一个长缺口在平衡时对准光电门。右侧的部分通过连杆向振动装置提供外激励,其周期可进行调节。上面的有机玻璃盘随电机一起转动。当摆轮转到平衡位置时,闪光灯闪烁,照亮玻璃盘上的白色刻度线,其示数即为在外激励下摆轮转动时落后于电动机的相位。 2.实验步骤

两自由度(无阻尼强迫振动)系统

如图所示两自由度(无阻尼强迫振动)系统,证明在强迫振动共振时系统的运动为主振动。 证: 振动微分方程为 t F x k x k k x m ωsin )(12212111=-++? ? t F x k k x k x m ωsin )(22231222=++-? ? 引入符号 121m k k a += ,12m k b =,22m k c =,22 3m k k d += 111m F f = ,2 22m F f = 则振动微分方程简化为 t f bx ax x ωsin 1211=-+? ? t f dx cx x ωsin 2212=+-? ? 现令 t B x ωsin 11= , t B x ωsin 22= 代入简化的振动方程,得 1212)(f bB B a =--ω 2221)(f B d cB =-+-ω 解之得 2 12 2 2112)()(bf f d f a cf B B +--+=ωω (1) 自由振动时,振动微分方程为 0)(2212111=-++? ?x k x k k x m 0)(2231222=++-? ?x k k x k x m x1 x2 F1sinwt F2sinwt

同理解得主振型为 2 12 2 2112122222)()()()(bf f p d f p a cf f p d cf bf f p a p d c b p a i i i i i i i +--+=-=-=-=-=ν (i=1,2) (2) 由(1)、(2)两式比较可知:当i p =ω时(i=1,2) i i B B ν=)( 1 2 即在系统共振时,系统的振型为主振型,系统的振动为主振动。 李小龙 2017-3-26

单自由度系统的无阻尼受迫振动

单自由度系统的无阻尼受迫振动 任学晶 13010135 机电学院 【摘要】通过学习,我们知道在实际生产生活中自由振动多是随时间不断衰减,直到最后振动停止,这是由于受到阻尼即振动过程中的阻力的作用所导致的。了解并避免受迫振动是工程中的首要问题,本文将通过运用振动微分方程来解释无阻尼受迫的合成,得出激振力频率与振幅之间的关系,对共振曲线进行分析,进而了解共振现象。 【关键词】阻尼;受迫振动;共振; 1.引言 工程中的自由振动,都会由于阻尼的存在而逐渐衰减,最后完全停止。但实际上又存在有大量的持续振动,这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗,一般都承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。例如,交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统的振动,如图1所示;弹性梁上的电动机由于转子偏心,在转动时引起的振动,如图2所示,等等。 图 1 图 2 1.1简谐激振力 工程中常见的激振力多是周期变化的。一般回转机械、往复式机械、交流电磁铁等多会引起周期激振力。简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力,简谐力F随时间变化的关系可以写成 () F H tω? =+(1) sin 其中H称为激振力的力幅;即激振力的最大值;ω是激振力的角频率;?是激振力的初相角,它们都是定值。 1.1振动微分方程

如图1所示的振动系统,其中物块的质量为m 。物块所受的力有恢复力e F 和激振力,如图3所示。取物块的平衡位置为坐标原点,坐标轴铅直向下,则恢复力e F 在坐标轴的投影为 e F kx =- 其中k 为弹簧刚度系度。 设F 为简谐激振力,在F 坐标轴上的投影可以写成式(1)的形式。质点的运动微分方程为 ()22sin d x m kx H t d t ω?=-++ 将上式两端除以m ,并设 图 3 20k m ω=,H h m = (2) 则得 ()2202sin d x x h t d t ωω?+=+ (3) 该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式,是二阶常系数非齐次线性微分方程,它的解由两部分组成,即 12x x x =+ 其中1x 对应于方程(3)的齐次通解,2x 为其特解。且齐次方程的通解为 ()10sin x A t ωθ=+ 设方程(3)的特解有如下形式: ()2sin x b t ω?=+ (4) 其中b 为待定常数,将2x 带入方程(3)得 ()()()220sin sin sin b t b t h t ωω?ωω?ω?-+++=+ 解得 22 0h b ωω=- (5)

简谐运动的能量、阻尼振动、受迫振动

简谐运动的能量、阻尼振动、受迫振动和共振的教案示例 一、教学目标 1)知道阻尼振动和无阻尼振动,并能从能量的观点给予说明。 ( (2)知道受迫振动的概念。知道受迫振动的频率等于驱动力的频率,而跟振动物体的固有频率无关。 (3)理解共振的概念,知道常见的共振的应用和危害。 二、教学重点、难点 受迫振动,共振。 三、教具 弹簧振子、受迫振动演示仪、摆的共振演示器、投影仪、投影片若干。 四、教学过程 (一)复习提问 让学生注意观察教师的演示实验。教师把弹簧振子的振子向右移动至B点,然后释放,则振子在弹性力作用下,在平衡位置附近持续地沿直线振动起来。重复两次让学生在黑板上画出振动图象的示意图(图1中的?)。 再次演示上面的振动,只是让起始位置明显地靠近平衡位置,再让学生在原坐标上画出第二次振子振动的图象(图1中的?)。?和?应同频、同相、振幅不同。 教师把画得比较标准的投影片向学生展示。

结合图象和振子运动与学生一起分析能量的变化并引入新课。 (二)新课教学 现在以弹簧振子为例讨论一下简谐运动的能量问题。 问:振子从B向O运动过程中,它的能量是怎样变化的,引导学生答出弹性势能减少,动能增加。 问:振子从O向C运动过程中能量如何变化,振子由C向O、又由O向B运动的过程中,能量又是如何变化的, 问:振子在振动过程中总的机械能如何变化,引导学生运用机械能守恒定律,得出在不计阻力作用的情况下,总机械能保持不变。 教师指出:将振子从B点释放后在弹簧弹力(回复力)作用下,振子向左 运动,速度加大,弹簧形变(位移)减少,弹簧的弹性势能转化为振子的动能。当回到平衡位置O时,弹簧无形变,弹性势能为零,振子动能达到最大值,这时振子的动能等于它在最大位移处(B点)弹簧的弹性势能,也就是等于系统的总机械能。 在任何一位置上,动能和势能之和保持不变,都等于开始振动时的弹性势能,也就是系统的总机械能。 由于简谐运动中总机械能守恒,所以简谐运动中振幅不变。如果初始时B点与O点的距离越大,到O点时,振子的动能越大,则系统所具有的机械能越大。相应地,振子的振幅也就越大,因此简谐运动的振幅与能量相对应。 问:从能量的观点来看,?和?哪一个振动的机械能多,学生答出?的机械能多。 教师可以指出:可以证明,对于简谐运动,系统的机械能与振幅的平方成正比,即

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