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2 粒径的概念

2 粒径的概念
2 粒径的概念

角(基础)知识讲解

角(基础)知识讲解 撰稿:孙景艳审稿:赵炜 【学习目标】 1.掌握角的概念及角的表示方法,并能进行角度的互换; 2. 借助三角尺画一些特殊角,掌握角大小的比较方法; 3.会利用角平分线的意义进行有关表示或计算; 4. 掌握角的和、差、倍、分关系,并会进行有关计算; 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质,会用余角、补角及性质进行有关计算; 6.了解方位角的概念,并会用方位角解决简单的实际问题. 【要点梳理】 【高清课堂:角397364 角的概念】 要点一、角的概念 1.角的定义: (1)定义一:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.如图1所示,角的顶点是点O,边是射线OA、OB. (2 )定义二:一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形,射线旋转时经过的平面部分是角的内部.如图2所示,射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时,形成的图形叫做角,起始位置OA是角的始边,终止位置OB是角的终边. 要点诠释: (1)两条射线有公共端点,即角的顶点;角的边是射线;角的大小与角的两边的长短无关.(2)平角与周角:如图1所示射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时,所形成的角叫做平角,如图2所示继续旋转,OB和OA重合时,所形成的角叫做周角. 2.角的表示法:角的几何符号用“∠”表示,角的表示法通常有以下四种: 图1 图2

要点诠释: 用数字或小写希腊字母表示角时,要在靠近角的顶点处加上弧线,且注上阿拉伯数字或小写希腊字母. 3.角的画法 (1)用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角. (2)用量角器可以画出任意给定度数的角. (3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角. 要点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒,把一个周角平均分成360等份,每一份就是1°的角,1° 的1 60 为1分,记作“1′”,1′的 1 60 为1秒,记作“1″”.这种以度、分、秒为单位的角 的度量制,叫做角度制. 1周角=360°,1平角=180°,1°=60′,1′=60″. 要点诠释: 在进行有关度分秒的计算时,要按级进行,即分别按度、分、秒计算,不够减,不够除的要借位,从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算,在相乘或相加时,当低位得数大于等于60时要向高一位进位. 2.角的比较:角的大小比较与线段的大小比较相类似,方法有两种. 方法1:度量比较法.先用量角器量出角的度数,然后比较它们的大小. 方法2:叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较. 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小:如下图,由图(1)可得∠AOB<∠A′O′B′;由图(2)可得∠AOB=∠A′O′B′;由图(3)可得∠AOB>∠A′O′B′.

角的概念与表示(教案)

7.3角的概念与表示 川沙中学南校徐莲 教学目标 1. 理解角的概念,掌握角的有关名称,并能用字母正确表示角. 2. 能识读并画出方向角. 3. 经历角的概念的形成与角的表示过程,体会数学的严谨性、规范性、简洁性. 4. 经历方向角的表示过程来体会数学与生活的密切关系. 教学重点 1.角的概念及表示法. 2.方向角的表示. 教学难点 1.角的概念及内部和外部的认识. 2.方向角的识别与表示. 一.引入课题:角 背景图:时钟、剪刀、五角星、墙面. 二. 新课 1. 角的两种定义 角是具有公共端点的两条射线组成的图形. 这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边. 角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个 位置所成的图形.初始位置的那条射线叫做角的 始边,终止位置的那条射线叫做角的终边. 2. 角的内部和外部 角的始边转到角的终边所经过的平面部分,叫做角的内部,简称角内. 本书中所说的角,除了周角外,未加说明的 角是指小于平角的角 3. 角的表示方法 (1)用三个大写字母表示,如∠AOB或∠BOA (注意:顶点字母必须写在中间). 顶点: 边: (2)用角的顶点字母表示,如:∠O(只有一个角时).

(3)用一个数字表示,如:∠1、∠2. (4)也可用一个希腊字母表示, 如:∠α、∠β、∠γ. 练一练 (1)在下面图中用阴影表示∠1的外部. (2) ①给角标出字母,写出角的记号,并指明角的顶点和边. ②D、E分别是CB、CA上的点,∠ACB与∠DCE 是同一个角吗? ③∠DCE和∠CDE指的是同一个角吗? ④∠E这种记法有错误吗?若有,请加以改正. 4. 方向角 探索:如图,射线ON、OE、OS、OW分别表示 从点O出发北、东、南、西的四个方向.你能说出图中 射线OA,OB,OC,OD分别表示什么方向吗? 用射线表示方向的一种基本形式:例题:已知迪斯尼乐园在川沙中学南校约 南偏西35°的方向,如果用点O表示川沙中 学南校,用点A表示迪斯尼乐园,画出从川沙 中学南校到迪斯尼乐园方向的射线.

关于矩阵秩的证明

关于矩阵秩的证明 -----09数应鄢丽萍 中文摘要 在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征,而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩,矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩,由于矩阵的行秩与列秩相等,故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。 关键词:初等变换向量组的秩极大线性无关组

约定用E 表示单位向量,A T 表示矩阵A 的转置,r(A)表示矩阵A 的秩。在涉及矩阵的秩时,以下几个简单的性质: (1) r(A)=r(A T ); (2) r(kA)=? ??=≠0 00 )(k k A r (3) 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵,则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0 (5) r ???? ??B O O A =r(A)+r(B)≤r ??? ? ??B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B) 矩阵可以进行加法,数乘,乘法等运算,运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

定理1:设A,B 为n ×n 阶矩阵,则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得 ???? ??B O O A →???? ??B A O A →???? ??+B B A O A 即???? ??E E O E ???? ??B O O A ???? ??E E O E =??? ? ??+B B A O A 由性质5可得 r ???? ??B O O A =r ??? ? ??+B B A O A 则有r(A)+r(B)≥r(A+B) 定理2(sylverster 公式)设A 为s ×n 阶矩阵,B 为n ×m 阶矩阵,则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB) 证:由初等变换可得 ???? ??O A B E n →? ??? ??-AB O B E n →???? ??-AB O O E n 即? ??? ??-s n E A O E ??? ? ??O A B E n ? ??? ? ?-m n E O B E =???? ??-AB O O E n 则r ???? ??O A B E n =r ??? ? ??-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)

三角函数基本概念

三角函数基本概念 1.角的有关概念 (1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角.(2)从终边位置来看,可分为象限角和轴线角. (3)若α与β是终边相同的角,则β可用α表示为S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }(或{β|β=α+2k π,k ∈Z }). 2.象限角 3.弧度与角度的互化 (1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad 表示. (2)角α的弧度数:如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么l =rα,角α的弧度数的绝对值是|α| = l r . (3)角度与弧度的换算①1°=π 180rad ;②1 rad =?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式:设扇形的弧长为l ,圆心角大小为α(rad),半径为r ,又l =rα,则扇形的面积为 S =12lr =12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么 y 叫做的正弦,记作sin x 叫做的余弦,记作cos x y 叫做的正切,记作tan α 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正,二正弦,三正切,四余弦 5.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P ,过P 作PM 垂直于x 轴于M ,则点M 是点P 在x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点P 的坐标为(cosα,sinα),即P(cosα,sinα),其中cosα=OM ,sinα=MP ,单位圆与x 轴的正半轴交于点A ,单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ,则tanα=AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.

角的概念

课题:角的概念推广(第一课时) 教学目的: 1.掌握用“旋转”定义角的概念,理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。 3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程,培养学生用运动变化观点审视事物,从而深刻理解推广后的角的概念。 教学重点:理解并掌握正角负角零角的定义,掌握终边相同的角的表示方法。教学难点:终边相同的角的表示 内容分析: 本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义,象限角的概念,终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点,理解静是相对的,动是绝对的,并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法,通过实际问题,使角的推广变得更为必要,如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等,都能形成角的概念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题,让学生从不同角度作答,理解终边相同的角的概念,并给以表示,从特殊到一般,归纳出终边相同的角的表示方法,达到突破难点之目的。 教学过程: 一、复习引入: 1.回忆:初中是如何定义角的? 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 这种概念的优点是形象、直观、容易理解,角的范围是,但其仅从图形的形状来定义角,弊端在于“狭隘”。 2.生活中很多实例会不在范围 如:体操运动员转体,跳水运动员向内、向外转体 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度? 这些例子不仅不在范围,而且方向不同,有必要将角的概念推广到任意角,用运动的思想来研究角的概念。 二、讲解新课: 1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB,就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角α的始边,旋转终止的射线 OB叫做角α的终边,射线的端点O叫做角α的顶点. 突出“旋转”注意:“顶点”“始边”“终边” ⑵.“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。 特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫做零角.记法:角或可以简记成。 ⑶意义 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。 1° 角有正负之分如:a=210° b=-150°g=660°

中医基础理论-阴阳学说

第三单元阴阳学说 细目一:阴阳的概念及属性 1.阴阳的基本含义 阴阳的含义:是对自然界相互关联的某些事物或现象对立双方属性的概括。 《类经·阴阳类》“阴阳者,一分为二也。” 阴阳的内涵: (1)阴阳是一个抽象的概念,所指无定在 (2)既相互关联又相互对立的事物和现象及其属性,才能用阴阳来说明。 如天地、日月、上下、内外等。 阴阳和矛盾的关系 阴阳说明的是一些特殊的矛盾范畴。 2.事物阴阳属性的绝对性和相对性: (1)相对性:阴阳中复有阴阳(可分性);在一定的条件下,二者可相互转化;比较的对象发生了变化,事物阴阳属性也会变化。 (2)绝对性:当对立面固定不变时,事物的阴阳属性是固定不变的。 阳 阴 细目二:阴阳学说的基本内容 1.阴阳的一体观 2.阴阳对立制约 3.阴阳互根互用 4.阴阳交感互藏

5.阴阳消长 6.阴阳转化 7.阴阳的自和平衡 1.阴阳一体观 含义:阴阳双方在一个统一体中,协调共济。 表现: ①阴阳虽然对立,但在一个统一体中协调共济。 ②统一体中的阴阳相互依赖而存在,任何一方不能脱离另一方而单独存在。 ③统一体中的阴阳双方,每一方都涵有另一方,阴中含阳,阳中寓阴,所谓阴阳互藏。 2.对立制约 含义:对立,即统一体中阴阳两个方面的属性相反。 制约,阴阳双方在一定限度内相互牵制互为胜负。 举例:“动极者镇之以静,阴亢者胜之以阳” 3.互根互用 含义:互根,阴阳相互依存、互为根本。双方各以对方为自己存在的前提。互用,在阴阳相互依存的基础上,阴阳双方又相互资生、相互为用。 举例:“阴在内,阳之守也;阳在外,阴之使也。”;“阴阳又各互为其根,阳根于阴,阴根于阳;无阳则阴无以生,无阴则阳无以化。”“孤阴不生,独阳不长”。 4.交感互藏 交感——阴阳二气在运动中相互感应而交合。阴阳交感是宇宙万物赖以生成和变化的根源。 互藏——相互对立的阴阳双方,任何一方中都蕴含有另一方。 5.阴阳消长 消长含义:阴阳双方数量或比例上的对比变化。 消,减少;长,增加。

(完整版)角的概念的推广(教学设计)

§2 角的概念的推广 【教学目标】 1.通过实例,理解角的概念推广的必要性,了解任意角的概念,根据角的旋转方向,能判断正角、负角和零角; 2.学会建立直角坐标系来讨论任意角,理解象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法; 3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程,体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】 1.了解任意角的概念,初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念; 2.初步学会终边相同的角的表示方法. 【教学难点】 终边相同的角的集合的表示方法. 【教学方法】 六环节分层导学法 【课前准备】 (学案导学)教师编印导学案,提前两天下发,指导学生完成并检查. 学生预习教材P6-8相关内容,完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容,形成对角的概念的推广的初步认识;学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分,至少明确本节课的研究主线. (小组交流)学生分组交流讨论,分享自己的学习心得,解决个别同学存在的困惑,共同梳理出自己小组存在的问题,以便在课堂上得到及时解决。 (检查反馈) 学生自主学习能力比较差,主要存在以下问题: 1)书写不够规范,角的单位“°”容易漏写; 2)思维不够严谨,审题不仔细,做题往往不注意条件; 3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练; 4)概念辨析缺乏方法. 完成较好的学生有:白焕焕、杨宇、杨强、何楠.

【教学过程】 一、导入新课 初中阶段我们学习了“角的概念”,请大家思考一下问题: (1)初中学过的角是如何定义的,角的范围又是怎样的? (2)跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示? (3)汽车在前进和后退中,车轮转动的角度如何表示才合理? (4)工人师傅在拧紧或拧松螺丝时,扳手转动的角度如何表示比较合适? 学生围绕以上问题进行讨论,从而得出正角、负角和任意角的有关概念. 教师对学生的回答进行总结,并强调:在日常生活中,我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角,这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题,即在初中学习的基础上,将角的概念推广到任意角. 【板书】角的概念的推广 二、展示评价 学生以组推荐代表展示导学案的完成情况,并回答问题:本节课中学习了哪些新概念,这些概念分别是如何定义的?其他同学补充完善,不同组别之间展开交流点评,教师根据学生的回答情况进行板书,并点拨、激励、评价. 展示形式:实物投影展示导学案的完成情况,口头表述回答教师所提问题. 三、导引探究 教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法,学会建立直角坐标系来讨论任意角,理解象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法. 探究1:判断角所在象限 例1在0°~360°之间,找出与下列各角终边相同的角,并分别指出它们是第几象限角: (1)480°;(2)-760°;(3)932°; 归纳小结:判断角α所在象限的方法:先在0°~360°之间,找出与所求角终边相同的角β,因为α与β终边相同,因此只需判断角β所在象限,即为角α所在象限. 跟踪训练1:象限角的概念: 第一象限角的集合可表示为____________ ______; 第二象限角的集合可表示为_________ ________ _; 第三象限角的集合可表示为;

121函数的概念(1)补充练习

变式训练 1.已知a 、b ∈N *,f (a +b )=f (a )f (b ),f (1)=2,则 )2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________.分析:令a =x ,b =1(x ∈N *), 则有f (x +1)=f (x )f (1)=2f (x ), 即有) ()1(x f x f +=2(x ∈N *). 所以,原式= 2006222++=4012. 答案:4012 2.2007山东蓬莱一模,理13设函数f (n )=k (k ∈N *),k 是π的小数点后的第n 位数字,π= 3.1415926535…,则[]{} 100 )10(f f f 等于________. 分析:由题意得f (10)=5,f (5)=9,f (9)=3,f (3)=1,f (1)=1,…, 则有[]{} 100 )10(f f f =1. 答案:1 2.2007山东济宁二模,理10已知A={a ,b ,c },B={-1,0,1},函数f :A→B 满足f (a )+f (b )+f (c )=0,则这样的函数f (x )有( ) A.4个 B.6个 C.7个 D.8个 活动:学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不同的函数,因此对f (a ),f (b ),f (c )的值分类讨论,注意要满足f (a )+f (b )+f (c )=0. 解:当f (a )=-1时, 则f (b )=0,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有2个; 当f (a )=0时, 则f (b )=-1,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=-1或f (b )=0,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有3个; 当f (a )=1时, 则f (b )=0,f (c )=-1或f (b )=-1,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有2个. 综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个). 故选C. 点评:本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数. 变式训练 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y =x 2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( ) A.9个 B.8个 C.5个 D.4个 分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数. 令x 2=1,得x =±1;令x 2=4,得x =±2. 所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},

小学线和角的基本概念总复习

小学六年级数学总复习(九) 班级______ 姓名_______ 得分__________ 复习内容: ① 线和角的基本概念 ② 平面几何图形的基本概念 一、填空 1. 2. 从一点引出( ),就组成一个角,这个点叫做角的( ),这( ) 叫做角的边。 3. 两条直线相交,有一个角是直角,这两条直线叫做( ),其中一条直线叫做另一 条直线的( ),这两条直线的交点叫做( )。 4. 一个三角形有两条边相等,这个三角形叫做( )。如果这个三角形的顶角是70°, 其余两个底角各是( )度。 5. 直角度数的 31 ,等于平角度数的()(),等于周角度数的()() 。 6. 在直角三角形中,如果一个锐角的度数是另一个锐角度数的一半,那么这两个锐角的度 数分别是( )度和( )度。 7. 一个三角形的每个角都是60°,如果按角分,这个三角形是( )三角形;如果按边 分,这个三角形是( )三角形。 8. 平行四边形的两组对边( ),两组对角( )。 9. 在梯形里,互相平行的一组对边分别叫梯形的( )和( ),不平形的一组对边 叫梯形的( )。 10. 等腰三角形有( )条对称轴,等边三角形有( )条对称轴,长方形有( )条 对称轴,正方形有( )条对称轴,等腰梯形有( )条对称轴,圆有( )条对称轴。 二、判断(对的请在括号内打“√”,错的打“×”。) 1. 一条直线长10厘米。……………………………………………………( ) 2. 角的两条边越长,角就越大。………………………………………… ( ) 3. 通过圆心的线段叫做圆的直径。……………………………………… ( ) 4. 比90°大的角叫做钝角。……………………………………………… ( ) 5. 两个正方形一定可以拼成一个长方形。……………………………… ( ) 6. 四条边相等的四边形不一定是正方形。……………………………… ( ) 7. 经过两点可以作无数条直线。………………………………………… ( ) 8. 两条不平行的直线一定相交。………………………………………… ( ) 9. 平角是一条直线。……………………………………………………… ( ) 10.平行四边形没有对称轴。……………………………………………… ( )

角的概念

2°角可以任意大 实例:体操动作:旋转2周(360°X 2=720° 3周(360°X 3=108。3°还有 零角一条射线,没有旋转 角的概念推广以后,它包括任意大小的正角、负角和零角.要注意,正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。 2.“象限角” 为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点与坐标原点重合,角的始边与轴的正半轴重合,这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,我们称其为界限角) 下面由学生自己分别举出终边在一、二、三、四象限的角以及界限角(各举两例)例如:30°、390°、-330°是第一象限角,- 1 95 °、1 20°是第二象限角,585°、1 1 80 °是第三象限角,300°、-60°是第四象限角。90°、0°、-180°都是界限角。 3.终边相同的角 ⑴ 观察:390 ,-330 角,它们的终边都与30 °角的终边相同 ⑵探究:终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和: 390°=30°+ 360 ° -330 °=30°-360 ° 30°=30°+0X 360 ° 对于任意一个角,若其终边与a相同,那么它们之间都相差360°的整数倍。 ⑶结论:所有与角a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合: (即:任何一个与角a终边相同的角,都可以表示成角a与整数个周角的和。)⑷注意以下三点:

(1) a 是任意角; (2)与a 之间是“ +号”, 如-30 °,应看成+(-30 )°; (3)终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍. 三、讲解范例: 例1:写出与下列各角终边相同的角的集合,并指出它们是哪个象限的角(1)(2)(3)(4) 解:(1)与终边相同的角的集合是 因为是第一象限角,所以集合中的角都是第一象限的角。 (2)与终边相同的角的集合是 因为是第二象限角,所以集合中的角都是第二象限的角。 (3)与终边相同的角的集合是 因为是第三象限角,所以集合中的角都是第三象限的角。 (4)与终边相同的角的集合是 因为是第四象限角,所以集合中的角都是第四象限的角。 四、课堂练习: 1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是否都是锐角?小于90°的角是锐角吗? (答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定是锐角;小于90°的角可能是零角或负角故它不一定是锐角) 2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在x轴的正半轴上,作出下列 各角,并指出它们是哪个象限的角?

小学线和角的基本概念总复习

小学线和角的基本概念总 复习 The latest revision on November 22, 2020

小学六年级数学总复习(九) 班级______ 姓名_______ 得分__________ 复习内容: ① 线和角的基本概念 ② 平面几何图形的基本概念 一、填空 1. 2. 从一点引出( ),就组成一个角,这个点叫做角的( ),这 ( ) 叫做角的边。 3. 两条直线相交,有一个角是直角,这两条直线叫做( ),其中一条 直线叫做另一条直线的( ),这两条直线的交点叫做( )。 4. 一个三角形有两条边相等,这个三角形叫做( )。如果这个三角形 的顶角是70°,其余两个底角各是( )度。 5. 直角度数的3 1,等于平角度数的()(),等于周角度数的()()。 6. 在直角三角形中,如果一个锐角的度数是另一个锐角度数的一半,那么这 两个锐角的度数分别是( )度和( )度。 7. 一个三角形的每个角都是60°,如果按角分,这个三角形是( )三角 形;如果按边分,这个三角形是( )三角形。 8. 平行四边形的两组对边( ),两组对角( )。 9. 在梯形里,互相平行的一组对边分别叫梯形的( )和( ),不平 形的一组对边叫梯形的( )。 10. 等腰三角形有( )条对称轴,等边三角形有( )条对称轴,长方形 有( )条对称轴,正方形有( )条对称轴,等腰梯形有( )条对 称轴,圆有( )条对称轴。 二、判断(对的请在括号内打“√”,错的打“×”。) 1. 一条直线长10厘米。…………………………………………………… ( ) 2. 角的两条边越长,角就越大。………………………………………… ( ) 3. 通过圆心的线段叫做圆的直径。……………………………………… ( ) 4. 比90°大的角叫做钝角。……………………………………………… ( )

角的概念的推广教学设计

《角的概念的推广》——教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广,首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义,然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念,最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性: 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节:任意角的概念的推广,45分钟。 3、教学目标 知识目标:掌握用旋转定义角的概念;理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义,培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标:通过布置课前任务——培养学生的自学能力; 通过让学生讨论、讲解——锻炼学生的语言表达能力; 通过让学生解决生活中与数学相关的问题——提高学生分析问题、解决问题的能力。 情感目标:通过解决生活中的数学问题——让学生感悟数学的实用性; 通过小组活动——培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点:理解并掌握正角、负角、零角的定义,掌握象限角的判断方法。 教学难点:旋转方向的观察、象限角的判断。

二、学情分析 学习对象为中职一年级学生,虽然有一定的观察能力,他们普遍对初中数学有恐惧感,数学基础普遍较差;学生重视专业课,忽视基础课的学习;学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性,但缺乏耐心和恒心。 三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点,更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线,以掌握方法、步骤为目标,让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义,象限角的概念。树立运动变化的观点,理解静是相对的,动是绝对的,并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程,启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性;有效地渗透数学思想方法,提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标,并为激发学生的学习兴趣,我采用如下的教学策略:(1)引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 (2)任务驱动法。通过实际问题,使角的推广变得更为必要,如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等,都能形成角的概念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,突出角的概念的理解与掌握。 (3)多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念,通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要,本节课注重调动学生积极思考、主动探索,尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间,我进行了以下学法指导:(1)分类学习法:了解数学知识是有规律可循的,要弄清角的分类及分类的方法。 (2)合作学习法:通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。

矩阵的秩及其求法

第五节:矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式,有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0,任何r +1阶子式(如果存在的话)全 为0 , 称r 为矩阵A 的秩,记作R (A )或秩(A )。 规定: 零矩阵的秩为 0 . 注意:(1) 如 R ( A ) = r ,则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数,是唯一的 . (2) 有行列式的性质, (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之,如 R ( A ) = n ,则 因此,方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵,求R (B )。 解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则 R (B ) = 2. 结论:阶梯形矩阵的秩=台阶数。 例如 一般地,行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 () n m ij a A ?={}),min 1(n m k k ≤≤? ? ??? ??----=1 10145641321A 182423=C C 43334=C C 101 22--= D 1 0156 43213-=D n m ?k n k m c c () n m ij a A ?=0, r D ≠()(). T R A R A =0,A ≠0.A ≠??? ? ? ??=000007204321B 0 2 021≠????? ??=010*********A ????? ??=001021B ???? ? ??=100010011C 125034000D ?? ? = ? ? ??2 123508153000720 000 0E ?? ? ?= ? ??? ()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3 R E =

三角函数基本概念和表示

第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求: 1.任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化; 2.三角函数 (1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; (2)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点: 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置,绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止 位置,就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边,叫终边,射 线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类 为了区别起见,我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)落在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。 (1)第一象限角的集合: |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? (2)第二象限的集合:。 O

(3)第三象限角的集合: 。 (4)第四象限角的集合: 4.轴线角 角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内,构成的角的集合,称之为终边相同的角。记为: {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈,根据三角函数的定义知,终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角,如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7,角度制与弧度制 角度制:规定周角的1 360为1度的角,记作0 1,它不会因圆的大小改变而改变, 与r 无关 弧度制:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π,-2π等等,一般地, 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 (1)角的度量制有:角度制,弧度制 (2)换算关系:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。

沪教版(五四学制)六年级数学下册教案:7.2角的概念与表示

基本内容角 知识精要 概念 定义1:有公共端点的两条射线组成的图形叫角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边. 定义2:角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形,处于初始位置的那条射线叫做角的始边,终止位置的那条射线叫做角的终边. (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到,这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到,这样的角叫周角. (3)两个角可以相加(或相减),它们的和(或差)也是一个角,它的度数等于这个角的度数的和(或差). 表示方法 表示方法用三个大写字母 来表示用一个大写字母来 表示 用数字来 表示角 用希腊字母来 表示角 图示 角平分线: 从一个角的顶点出发,把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. 互余:如果两个角的度数和是,那么这两个角叫做互为余角,简称互余。(其中一个角称为另一个角的余角。) 互补:如果两个角的度数的和是,那么这两个角叫做互为补角,简称互补。(其中一个角称为另一个角的补角。) (注:同角(或等角)的余角和补角相等。) 角的度量单位换算:

热身练习 一、判断题 1、一条直线是一个平角;(ⅹ) 2、小于钝角的角都是锐角;(√) 3、如果和两角互补,和两角互余,那么;(√) 4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。(ⅹ) 5、有公共端点的两条射线叫做角。(ⅹ) 6、角的边的长短,决定了角的大小。(ⅹ) 7、互余且相等的两个角都是45°的角。(√) 8、若两个角互补,则其中一定有一个角是钝角。(ⅹ) 二、选择题 1、钟表上的时间指示为两点半,这时时针和分针之间所形的成的(小于平角)角的度数( B )。 A. B. C. D. 2、一个锐角的余角加上,就等于( C ) A.这个锐角的两倍数 B.这个锐角的余角 C.这个锐角的补角 D.这个锐角加上 3、已知、都是钝角,甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次是30°、35°、60°、75°,其中恰有正确结果.这个正确结果是( C ) A.30° B.35° C.60° D.75° 4、如图,∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=30°.图中互补的角有( B ) A.10对 B.4对 C.3对 D.14对 5、下列说法中正确的是( A ) A. 角是由一条射线旋转而成的 B. 角的两边可以度量 C. 一条直线就是一个平角 D. 平角的两边可以看成一条直线 6、下列四个图形中,能用∠,∠O,∠AOB三种方式正确表示同一个角的图形是( C ) A B C D 7、下列说法中正确的是( C ) A. 一个角的补角一定比这个角大 B. 一个锐角的补角是锐角

高一数学下册三角函数的基本概念知识点总结

GAGGAGAGGAFFFFAFAF 三角函数的基本概念 知识要点归纳 1、 按旋转方向的不同将角分为正角、负角和零角。即按逆时针方向旋转的角叫做正角;按顺时针方向旋转的角叫做负角;如果一条射线没有作任何旋转,则它就形成一个零角。这样角的概念便推广到了任意角。 2、 象限角要把握“两个重合,看终边”,即角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的正半轴重合,则角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,也称为非象限角。 3、 终边相同的角的集合:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合=S {},,z k 360k 0 ∈?+=αββ即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和。 4、 我们在平面几何中研究角的度量时,把周角的3601作为1度的角,当时是用度做单位来度量角,这种单位制叫做角度制;现在我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1

GAGGAGAGGAFFFFAFAF 弧度的角,用这种方法来度量角的单位制度叫做弧度制,据此定义有半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为L ,三者之间的关系为.r L =α 角度制与 弧度制的换算:000180rad 101745.0rad 1801180rad ?? ? ??=≈==πππ;,变形有 典型例题 例1、,在00360~0找出与下列各角终边相同的角,并判断它是 哪个象限:()()212010; - '.129500 练习1:找出与下列各角终边相同的角,并判断它是哪个象限: 设πβπβαα3 753750570210201-===-=,,,. 例2、用弧度制表示:①终边在x 轴上的角的集合②终边在

沪教版小学数学六年级下册教学设计《7.3角的概念与表示》教案

沪教版小学数学六年级下册教学设计 7.3 角的概念与表示 教学目标 1.掌握角的两种定义及有关概念; 2.掌握角的四种表示方法; 3.会用含方向角的射线表示方向,会通过测量说出一个点在已知参照点的什么方向上; 4.提高抽象、概括能力及操作实践能力. 教学重点与难点 1.角的两种定义及表示法; 2.会用含方向角的射线表示方向. 教学流程设计 教学过程 一.情景引入 观察:多媒体显示一个角的图形. 操作:由学生操作画角的过程. 思考:什么样的图形叫做角,即角的定义是什么? 二.学习新课:角的定义 .

1.角的定义1:角是具有公共端点的两条射线组成的图形. 观察:多媒体演示:秒针在钟面上转动; 操作:学生动手操作:把圆规的两只脚由并在一起到逐渐把一只脚旋转到另一个位置; 思考:在秒针的转动过程中,有没有给我们形成角的形象?那么角又可以是怎样形成的呢? 2.角的定义2:角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形,处于初始位置的那条射线叫做角的始边,终止位置的那条射线叫做角的终边. 说明:由学生画出角的过程,来体验角的定义的含义,并且由学生自己用文字语言来概括角的定义,比教师给出定义要有效,同时还能够提高学生的概括、归纳的文字语言的能力.其中,定义1学生较易归纳出来,而定义2可能有些困难,教师可适当作一些提示,例如,是什么线绕着什么作怎样的运动等. 3.角的表示方法: (1).用一个角的符号∠,加上三个大写英文字母表示.例如,∠ABC、∠XYZ. 角的表示方法 方法一:用三个大写字母表示。方法二:用一个大写字母表示。方法三:用一个希腊字母表示方法四:用一个数字表示。 (2).用一个角的符号∠,加上表示顶点的一个大写字母表示.例如,∠A、∠B.

阴阳学说的概念基本内容中医学应用

阴阳学说的概念、基本内容、中医学应用: 一、阴阳的概念 (一)阴阳的基本概念 阴阳,是对自然界相互关联的某些事物或现象对立双方属性德概括。 最初含义:日光的向背而言,朝向日光为阳,背向日光为阴。后变为:概括世界具有对立属性的事物和现象双方的抽象概念。天星医考 (二)事物的阴阳属性 阴阳学说认为,宇宙间凡属相互关联且又相互对立的事物或现象,或同一事物内部相互对立的两个方面,都可以用阴阳来概括分析其各自的属性。 二、阴阳学说的基本内容 (一)阴阳对立制约 阴阳对立制约,是指属性相反的阴阳双方在一个统一体中的相互斗争、相互制约和相互排斥。(二)阴阳互根互用 阴阳互根,是指一切事物或现象中相互对立着阴阳两个方面,具有相互依存,互为根本的关系。阴阳互用,是指阴阳双方具有相互资生、促进和助长的关系。 (三)阴阳交感与互藏 阴阳交感,是指阴阳二气在运动中相互感应二交合,亦即相互发生作用。天星医考 (四)阴阳消长 1、阴阳互为消长在阴阳双方彼此对立制约的过程中,阴与阳之间可出现某一方增长而另一方消减,或某一方消减而另一方增长的互为消长的变化。前者称为阳长阴消或阴长阳消,后者称为阳消阴长或阴消阳长。 2、阴阳皆消皆长在阴阳双方互根互用的过程中,阴与阳之间又会出现某一方增长而另一方亦增长,或某一方消减而另一方亦消减的皆消皆长的消长变化。前者称为阴随阳长或阳随阴长,后者称为阴随阳消或阳随阴消。天星医考 (五)阴阳转化 阴阳转化,是指事物的总称属性,在一定条件下可以向其相反的反向转化,即属阳的事物可以转化为属阴的事物,属阴的事物可以转化为属阳的事物。阴阳双方的消长运动发展到一定阶段,事物内部阴与阳的比例出现了颠倒。则该事物的属性即发生转化,所以说转化是消长的结果。 (六)阴阳自合与平衡 阴阳自合,是指阴阳双方自动维持和自动恢复其协调平衡状态的能力和趋势。阴阳平衡,是指阴阳双方在相互斗争、相互作用中处于大体趋势的状态,即阴阳协调和相对稳定状态。三、阴阳学说在中医学中的应用 指导疾病的防治

矩阵的秩与行列式的几何意义

矩阵的秩与行列式的几何意义 2016年7月16日16:39:30 1 关于面积:一种映射 大家会说,面积,不就是长乘以宽么,其实不然。我们首先明确,这里所讨论的面积,是欧几里得空间几何面积的基本单位:平行四边形的面积。平行四边形面积的定义,几何上说是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦。 然而为了应对更一般情形和更高维度的数理问题,我们有必要把面积的定义推广开来。注意到以下事实: 面积是一个标量,它来自于(构成其相邻边)两个矢量。因此,我们可以将面积看成一个映射: 其中V就是一个矢量,V*V代表两个矢量的有序对;f就是面积的值。 下面我们将说明这个映射是一个线性映射。 从最简单的例子出发。如果第一个矢量是(1,0),第二个矢量是(0,1);也就是说,两个矢量分别是X和Y轴上的单位正向量,那么由这两个矢量张成的四边形就是一个正方形,其面积根据定义,就是长乘以宽=1*1=1。 因此有: 如果我们把第一个矢量”缩放“a倍,面积将会相应是原来的a倍;把第二个矢量“缩放”b倍,面积也会成为原来的b倍。如果同时缩放,很显然,面积将会变成原面积的ab倍。这表明,面积映射对于其两个操作数(矢量)的标量积是各自线性的,如下:

最后,我们要说明,面积映射对于其操作数(矢量)的矢量加法也是线性的。因为矢量加法操作的本身是线性的,那么其面积映射理应对此也是一个线性映射。这里我们打算从几个实际的例子出发,说明映射的加法线性性的后果。 显然(两个共线矢量所张成的平行四边形还是一条线,因此面积为0): 假定面积映射是一个关于矢量加法的线性映射,那么我们有: 注意计算过程中用到了上面的结论。这说明: 也就是说,交换相互垂直操作数矢量的顺序,面积映射取负。孰正孰负取决于认为的定义。一般,我们把X轴单位矢量在前,Y轴单位矢量在后,从X轴到Y 轴张成的一个平行四边形的面积,取做正号。 1.1 右手定则 由此我们引入右手定则。注意右手定则只在三维空间中有效。如果以X正方向为首,Y正方向为尾,右手定则告诉我们,纸面向外是面积的正方向;如果反过来,那么纸面向内就是该面积的正方向,与规定的正方向相反,取负号。那么面积正负号的几何意义就明显了。 由此,我们不难得到平面内任意两个矢量所张成的平行四边形的面积(*): 我们不难看到,所谓面积就是一个2x2矩阵的行列式:

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