搜档网
当前位置:搜档网 › 数学:新人教B版必修二 2.3圆的方程 同步练习1人教版必修2B

数学:新人教B版必修二 2.3圆的方程 同步练习1人教版必修2B

数学:新人教B版必修二 2.3圆的方程 同步练习1人教版必修2B
数学:新人教B版必修二 2.3圆的方程 同步练习1人教版必修2B

圆的方程 同步练习 第Ⅰ卷(选择题,共50分)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号

填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.方程05242

2

=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是

( )

A .

14

1

<<

m m 或

C .4

1

m

2.方程03222

2

2

=++-++a a ay ax y x 表示的图形是半径为r (0>r )的圆,则该圆 圆心在

( )

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

3.若方程2

2

2

2

0(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x =对称, 必有 ( ) A .E F = B .D F = C .D E = D .,,D E F 两两不相等 4.点(1,2-a a )在圆x 2+y 2

-2y -4=0的内部,则a 的取值范围是 ( )

A .-1

B . 0

C .–1

1

D .-5

1

2

220x y x y +-+=的周长是

( )

A .22π

B .2π

C .2π

D .4π 6.两圆x 2+y 2-4x +6y =0和x 2+y 2-6x =0的连心线方程为

( )

A .x +y +3=0

B .2x -y -5=0

C .3x -y -9=0

D .4x -3y +7=0

7.如果圆x 2+y 2+D x +E y +F=0与x 轴相切于原点,则

( )

A .E ≠0,D=F=0

B .D ≠0,E ≠0,F=0

C .

D ≠0,E=F=0

D .F ≠0,D=E=0

8.过点A (1,-1)与B (-1,1)且圆心在直线x+y -2=0上的圆的方程为 ( )

A .(x -3)2+(y +1)2=4

B .(x -1)2+(y -1)2=4

C .(x +3)2+(y -1)2=4

D .(x +1)2+(y +1)2=4

9.方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是

( )

A .一条直线及一个圆

B .两个点

C .一条射线及一个圆

D .两条射线及一个圆

10.要使022=++++F Ey Dx y x 与x 轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有 ( )

A .0,0422>>-+F F E D 且

B .0,0>

C .0,0≠≠F D

D .0

第Ⅱ卷(非选择题,共100分)

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分). 11.圆2

2

2

()()x a y b r -+-=过原点的充要条件是 . 12.求圆2

21x y +=上的点到直线8x y -=的距离的最小值 . (13、14题已知)已知方程2

2

2

4

2(3)2(14)1690x y t x t y t +-++-++=表示一个圆. 13. t 的取值范围 .

14.该圆半径r 的取值范围 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15.(12分)已知一圆经过点A (2,-3)和B (-2,-5),且圆心C 在直线l :230x y --= 上,求此圆的标准方程.

16.(12分)已知△ABC 的三个项点坐标分别是A (4,1),B (6,-3),C (-3,0),求 △ABC 外接圆的方程.

17.(12分)求经过点A(2,-1),和直线1=+y x 相切,且圆心在直线x y 2-=上的圆的 方程.

18.(12分)已知圆x 2+y 2+x -6y +3=0与直线x +2y -3=0的两个交点为P 、Q ,求以PQ 为直径的圆的方程.

19.(14分)已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半, 求:(1)动点M 的轨迹方程;(2)若N 为线段AM 的中点,试求点N 的轨迹.

20.(14分)已知圆2

2

:-4-14450,C x y x y ++=及点(-2,3 )Q . (1)(,1) P a a +在圆上,求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率; (2)若M 为圆C 上任一点,求||MQ 的最大值和最小值; (3)若实数,m n 满足2

2

-4-14450m n m n ++=,求-3

=+2

n K m 的最大值和最小值.

参考答案

一、BDCDA CABDA 二、11.222

r b a

=+;12.

13223

+;13.7

11<<-t ;14.0r <≤477; 三、15.解:因为A (2,-3),B (-2,-5),

所以线段AB 的中点D 的坐标为(0,-4), 又 5(3)1222

AB

k ---==--,所以线段AB 的垂直

平分线的方程是24y x =--.

联立方程组23024x y y x --=??

=--?,解得12

x y =-??

=-?.

所以,圆心坐标为C (-1,-2),半径

||r CA =22(21)(32)10=++-+=,

所以,此圆的标准方程是2

2(1)

(2)10x y +++=.

16.解:解法一:设所求圆的方程是2

22()()x a y b r -+-=.

因为A (4,1),B (6,-3),C (-3,0)都在圆上,

所以它们的坐标都满足方程①,于是

222222222(4)(1),

(6)(3),(3)(0).

a b r a b r a b r ?-+-=?-+--=?

?--+-=?

可解得

21,3,25.a b r =??=-??=?

所以△ABC 的外接圆的方程是2

2(1)

(3)25x y -++=.

解法二:因为△ABC 外接圆的圆心既在AB 的垂直平分线上,也在BC 的垂直平分线上,所以先求AB 、

BC 的垂直平分线方程,求得的交点坐标就是圆心坐标.

∵31

264AB

k --==--,0(3)1363

BC k --==---, 线段AB 的中点为(5,-1),线段BC 的中点为3

3(,)2

2

-,

∴AB 的垂直平分线方程为

1

1(5)2

y x +=-, ①

BC 的垂直平分线方程33

3()22

y x +=-. ②

E

x

y O

C

B

A

x

y

B

A

x-2y-3=0O

解由①②联立的方程组可得1,

3.

x y =??

=-?∴△ABC 外接圆的圆心为E(1,-3),

半径22||(41)(13)5r

AE ==-++=.

故△ABC 外接圆的方程是2

2(1)

(3)25x y -++=.

17.解:因为圆心在直线x y 2-=上,所以可设圆心坐标为(a ,-2a ),据题意得:

2

|

12|)12()2(22--=+-+-a a a a , ∴ 222

)1(2

1

)21()2(a a a +=

-+-, ∴ a =1, ∴ 圆心为(1,-2),半径为

2, ∴所求的圆的方程为2)2()1(22=++-y x .

18.解:已知圆x

2

+y 2+x -6y +3=0与直线x +2y -3=0的两个交点为P 、Q ,求以PQ 为直径的圆的

方程.

解法1:设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则点P 、Q 的坐标满足方程组

x 2+y 2+x -6y +3=0,x +2y -3=0,

x 1=1,x 2=-3,

解方程组,得

y 1=1,y 2=3,

即点P (1,1),Q (-3,3)∴线段PQ 的中点坐标为(-1,2)

|PQ|=221221)()(y y x x -+-=25,故以PQ 为直径的圆的方程是:

(x +1)2+(y -2)2=5

解法2:设所求圆的方程为x

2

+y 2+x -6y +3+λ(x +2y -3)=0,

整理,得:x 2+y 2

+(1+λ)x +(2λ-6)y +3-3λ=0,

此圆的圆心坐标是:(-2

+,3-λ), 由圆心在直线x +2y -3=0上,得

-2

1λ++2(3-λ)-3=0 解得λ=1

故所求圆的方程为:x 2+y 2

+2x-4y=0.

19.解:(1)设动点M (x ,y )为轨迹上任意一点,则点M 的轨迹就是集合

P 1

{|||||}2

M MA MB ==

. 由两点距离公式,点M 适合的条件可表示为

22221

(2)(8)2

x y x y -+=

-+ 平方后再整理,得

2216x y +=. 可以验证,这就是动点M 的轨迹方程.

(2)设动点N 的坐标为(x ,y ),M 的坐标是(x 1,y 1).

由于A (2,0),且N为线段AM 的中点,所以

122x x +=

, 1

02

y y +=.所以有122x x =-,12y y = ① 由(1)题知,M 是圆2

216x y +=上的点,

所以M 坐标(x 1,y 1)满足:2

21116x y +=②

将①代入②整理,得2

2(1)

4x y -+=.

所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心,以2为半径的圆(如图中的虚圆为所求). 20.解:(1)∵ 点P (a ,a +1)在圆上,

∴ 045)1(144)1(22=++--++a a a a , ∴ 4=a ,

P (4,5),

102)35()24(||22=-++=PQ , K PQ =3

14

253=---,

(2)∵ 圆心坐标C 为(2,7),

24)37()22(||22=-++=QC ,

262224||max =+=MQ ,222224min ||=-=MQ 。

(3)设点(-2,3)的直线l 的方程为:

032 )2(3=+--+=-k y kx x k y 即,,

易知直线l 与圆方程相切时,K 有最值, ∴

221|

3272|2

=++---k

k k ,

32±-=k

∴2

3

+-=

m n K 的最大值为32+-,最小值为32--.

高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计

人教A版必修2 4.1.1 圆的标准方程 1 教学目标 (1)知识与技能 在平面直角坐标系中探索圆的方程,掌握圆的标准方程,会判断点与圆的位置关系,能根据条件求圆的标准方程。 (2)过程与方法 通过设置问题情境,让学生经历从几何到代数,从代数到几何解决问题的过程,强调图形在解决问题中的辅助作用,提高学生分析问题,解决问题的能力。 (3)情感态度价值观 通过对问题的探索,培养学生良好的学习习惯,增强学生主动探究知识、合作交流的意识,使学生获得成功的体验,增强数学学习的兴趣和信心。 2 教学重点 推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程 3 教学难点

圆的标准方程的应用,根据不同的条件求圆的标准方程。 4 教材分析 本章在前一章的基础之上,在直角坐标系中建立圆的方程,其本质是用代数的方法研究图形,体现数形结合的重要思想方法,为日后进一步学习圆锥曲线,导数等奠定基础。因此,本章第一节的内容设计紧扣数与形的结合,强调图形在分析问题中的辅助作用,同时也要学会将几何问题代数化,用代数处理几何问题。 5 学情分析 学生已经学习了直线与方程,知道了在平面直角坐标系中直线可以用方程表示,并通过方程研究直线,为本节课做了准备,提供了基础,本节内容仅仅是这个过程的一个延续。本教学设计适合中等水平的学生学习。 6 教学方法与辅助手段 (1)以问题为载体,以任务为驱动式教学,突出类比学习,数形结合思想解决问题的思维过程 (2)多媒体课件和几何画板软件辅助教学 7 教学过程

7.1 问题情境引入 我们知道,在平面直角坐标系内确定一条直线的几何要素-----直线上的一点和直线的倾斜角,其代数含义是这个点的坐标以及这条直线的斜率,进而建立了直线的代数方程,通过方程研究直线,用代数的知识和方法去解决直线的问题。 类似地,我们可不可以用同样的方法建立圆的方程呢?回顾圆的定义,提出具体探究任务。 【运用几何画板,让学生形象感知圆的轨迹的形成过程,再次强化圆的几何特征,为建立圆的代数方程指明方向】 7.2 学习任务一:探索圆的标准方程 问题情境1 在平面直角坐标系中,已知圆心C(a,b),半径等于r,试写出圆的方程 学生活动:给予充分时间让学生尝试建立圆的方程,先独立思考完成,然后小组内交流

职高数学试题及答案

1.如果log3m+log3n=4,那么m+n的最小值是( ) A.4 B.4 C.9 D.18 2.数列{a n}的通项为a n=2n-1,n∈N*,其前n项和为S n,则使S n>48成立的n的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 3.若不等式|8x+9|<7和不等式ax2+bx-2>0的解集相同,则a、b的值为( ) A.a=-8 b=-10 B.a=-4 b=-9 C.a=-1 b=9 D.a=-1 b=2 4.△ABC中,若c=2a cosB,则△ABC的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 5.在首项为21,公比为的等比数列中,最接近1的项是( ) A.第三项 B.第四项 C.第五项 D.第六项 6.在等比数列中,,则等于( ) A. B. C.或 D.-或- 7.△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=bx,则A的度数等于( ) A.120° B.60° C.150° D.30° 8.数列{a n}中,a1=15,3a n+1=3a n-2(n∈N*),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A.a21a22 B.a22a23 C.a23a24 D.a24a25 9.某厂去年的产值记为1,计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从今年起到第五年,这个厂的总产值为( ) A.1.14 B.1.15 C.10×(1.16-1) D.11×(1.15-1) 10.已知钝角△ABC的最长边为2,其余两边的长为a、b,则集合P={(x,y)|x=a,y=b}所表示的平面图形面积等于( )

A.2 B.π-2 C.4 D.4π-2 11.在R上定义运算,若不等式对任意实数x成立,则( ) A.-1<a<1 B.0<a<2 C.-<a< D.-<a< 12.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分,请把正确答案写在横线上) 13.在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=____. 14.设变量x、y满足约束条件,则z=2x-3y的最大值为____. 15.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这 样的题目:把100个面包分给五人,使每人成等差数列,且使较多的三份之和的是较少的两份之和,则最少1份的个数是____. 16.设,则数列{b n}的通项公式为____. 三、解答题(本题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分)△ABC中,a,b,c是A,B,C所对的边,S是该三角形的面积,且 . (1)求∠B的大小; (2)若a=4,S=5,求b的值.

高一数学圆的方程、直线与圆位置关系典型例题

高一数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-.∵圆心在0=y 上,故0=b .∴圆的方程为 222)(r y a x =+-.又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r .所以所求圆的方程为20)1(22=++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x .又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22.∴点P 在圆外. 例2 求半径为4,与圆04242 2 =---+y x y x 相切,且和直线0=y 相切的圆的方程. 解:则题意,设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-: . 圆C 与直线0=y 相切,且半径为4,则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C . 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(,半径为3. 若两圆相切,则734=+=CA 或134=-=CA . (1)当)4,(1a C 时,2 2 2 7)14()2(=-+-a ,或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解),故可得 1022±=a .∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ,或2224)4()1022(=-++-y x .

高等数学同济第七版下册课后答案

1.设 u =a -b +2c , v =-a +3b -c .试用 a , b , c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2( a -b +2c ) -3( -a +3b -c ) =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明它是平 行四边形 . 证 如图 8-1,设四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ,已知 AM =MC , DM MB . 故 AB AM MB MC DM DC . 即 AB// DC AB |=| DC |,因此四边形 ABCD 3.把△ ABC 的 BC 边五等分,设分点依次为 D 1, D 2, D 3, D 4 ,再把各 分点与点 A 连接 .试以 AB =c, BC=a 表向量 D 1A , D 2A , D 3A , D A . 4 证 如图 8-2,根据题意知 1 5 1 5 1 5 BD 1 D 1D 2 D 2D 3 a, a, a, 1 5 D 3D 4 a, 1 故 D 1A =-( 1) =- a- c AB BD 5

2 D 2A =-( AB BD 2)D 3A =-( AB BD 3)=- a- c 5 3 =- a- c 5 4 D A =-( AB BD 4) =- a- c. 4 5 4.已知两点 M 1( 0, 1, 2)和 M 2( 1, -1, 0) . 试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2及 -2M 1M 2 . M 1M 2 =( 1-0, -1-1, 0-2) =( 1, -2, -2) . 解 -2M 1M 2 =-2( 1, -2, -2) =( -2, 4, 4) . 5.求平行于向量 a =( 6, 7, -6)的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量 为 ,故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 6 7 6 , , 11 11 11 ( 6, 7, -6)= , = a 11 其中 a 62 72 ( 6)2 11. 6.在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? A ( 1, -2, 3), B ( 2, 3, -4), C ( 2, -3, -4) , D ( -2, -3, 1) . 解 A 点在第四卦限, B 点在第五卦限, C 点在第八卦限, D 点 在第三卦限 . 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征?指出下列各 点的位置: A ( 3, 4, 0), B ( 0, 4, 3), C ( 3, 0, 0), D ( 0,

高中数学必修二教案圆的标准方程

《圆的标准方程》教学设计 一、教材分析 1、教学内容 人教B版教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒3节圆的方程。本节主要研究圆的标准方程、一般方程,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,以及他们在生活中的简单运用。 2、教材的地位与作用 圆是最简单的曲线之一,这节教材安排在学习了直线之后,学习三大圆锥曲线之前,旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。同时有关圆的问题,特别是直线与圆的位置问题,也是解析几何中的基本问题,这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。应此教学中应加强练习,使学生确实掌握这单元的知识和方法。 本课是单元的第一课,和直线方程一样,教学中先设计一个问题情景,让学生讨论,并引导学生观察圆上点在运动时,不变的是什么,抓住圆的本质,突破难点。 3、三维目标 (1)知识与技能:掌握圆的标准方程的形式;能够根据题目给定条件求圆的标准方程;能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。 (2)过程与方法:加深对数形结合思想和待定系数法的理解;增强应用数学的意识。 (3)情感、态度、价值观:培养主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学习兴趣,从而培养勤于思考、勤于动手的良好品质。 4.教学重点 圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程 5. 教学难点 根据条件求圆的标准方程。 二.教法分析 高一学生,在老师的引导下,已经具备一定探究与研究问题的能力。所以在设计问题时应考虑周全和灵活性,采用启发式探索式教学,师生共同探讨,共同研究,让学生积极思考,主动学习。 在教学过程中采用讨论法,向学生提供具备启发式和思考性的问题。因此,要求学生在课上讨论,提高学生的探索,推理,想象,分析和总结归纳等方面的能力。

高一数学圆的方程经典例题

典型例题一 例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线1l 、2l 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ,半径3=r . 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324 311 34332 2 <=+-?+?= d . 如图,在圆心1O 同侧,与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意. 又123=-=-d r . ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有3个. 解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点. 设所求直线为043=++m y x ,则14 3112 2 =++= m d , ∴511±=+m ,即6-=m ,或16-=m ,也即 06431=-+y x l :,或016432=-+y x l :. 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O : 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ,则 34 36 343322 1=+-?+?=d ,14 316 34332 2 2=+-?+?= d . ∴1l 与1O 相切,与圆1O 有一个公共点;2l 与圆1O 相交,与圆1O 有两个公共点.即符合题意的点共3个. 说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解:

设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324 311 34332 2 <=+-?+?=d . ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个. 显然,上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离,r d <,只能说明此直线与圆有两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1. 到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数,一般根据圆与直线的位置关系来判断,即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断. 典型例题三 例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为222)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 124-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为: 23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C

高中数学-必修二-圆与方程-经典例题

习题精选精讲圆标准方程 已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222 )() (r b y a x =-+-;已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,即得圆心 ),(b a C 和半径r ,进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程 例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x (C)9)1() 2(22 =++-y x (D)9)1()2(22=-++y x 解 已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径,即2 243546+++= d r ==3,∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x , 故选(C). 点评:一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题 例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B ))12,12( +- (C))12,12(+-- (D))12, 0(+ 解 化为标准方程222 )(a a y x =-+,即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点,∴线心距a r a d =>-= 2 1,平方去分母得 2 2212a a a >+-,解得 1212-<<--a ,注意到0>a ,∴120-<r d 线圆相离;?=r d 线圆相切;?

高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 22)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为222)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-22224)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202=r . 所以所求圆的方程为20)1(22=++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为13 124-=--=AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22= ++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(22=++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数,故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称,被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数,故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1): 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意: 如果积分区域关于 ^ 轴对称,而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数,即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0; D 如果积分区域 D 关于: K 轴对称,而被积函数 / ( x, y) 关于: c 是奇函数,即 / ( ~x, y) = - / ( 太, y) ,则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明: ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ; IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: , y) do■ ( 其 中 A :为常数 ) ; o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2,, A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高中数学必修二《圆的标准方程》教案

教案说明 圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。 一、设计理念 设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与,课堂上建立平等、互助、融洽的关系,师生共同研究,共同提高。 二、设计思路 (1)突出重点抓住关键突破难点 求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此我布设了由浅入深的学习环境,先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路。在例题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成。 (2)学生主体教师主导探究主线 本节课的设计用问题做链,环环相扣,使学生的探究活动贯穿始终。从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下,由学生探究完成的。另外,我在例题2的教学,要求学生分组讨论,合作交流,为学生设立充分的探究空间,学生在交流成果的过程中,既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛,又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功,他们体验到成功的快乐,感受到数学的魅力。在一个个问题的驱动下,高效的完成本节的学习任务。 三、媒体设计 本节采用powerpoint媒体,知识容量大,同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容,故采用演示文稿的方式,增加信息量,节省时间。同时

动态演示图形,刺激学生的感官,引起更强的注意,提高课堂教学效率。

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法: 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程: 四、参数方程: 五、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B,圆上一动点P,讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ (2)圆内一点A,圆上一动点P,讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A点作最短的弦?(此弦垂直AC)

六、直线与圆的位置关系 1.判断方法(d 为圆心到直线的距离) (1)相离?没有公共点?0d r ? (2)相切?只有一个公共点?0d r ?=?= (3)相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 (1)知识要点 ①基本图形 ②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等 问题:直线l 与圆C 相切意味着什么? 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r (2)常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点... i )点在圆外 如定点()00,P x y ,圆:()()222x a y b r -+-=,[()()22 200x a y b r -+->] 第一步:设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步:通过d r =k ?,从而得到切线方程 特别注意:以上解题步骤仅对k 存在有效,当k 不存在时,应补上——千万不要漏了! 如:过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线,求切线方程. 答案:3410x y -+=和1x = ii )点在圆上 1) 若点()00x y ,在圆222x y r +=上,则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目. 2) 若点()00x y ,在圆()()22 2x a y b r -+-=上,则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果. 由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系,得出切线的条数. ③求切线长:利用基本图形,222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 (1)求弦长及弦长的应用问题 垂径定理....及勾股定理——常用

人教版高中数学必修二圆的标准方程教学设计

4.1.1圆的标准方程 教学目标: (1)掌握圆的标准方程,会由标准方程得出圆心与半径,能根据圆 心、半径写出圆的标准方程. (2)会用待定系数法与数形结合法求圆的标准方程. (3)培养学生用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想, (4)在探索圆的知识与特点时感受数学中的对称美与和谐美. 教学重点:圆的标准方程的得出与应用. 教学难点:根据不同的已知条件,求圆的标准方程 教学方法: 启发、引导、讨论. 教学过程: 一、新课引入 1.引入语: 通过上一章的学习,我们知道直线这一平面图形可以由一个代数中的二元一次方程来表示,称此方程为直线的方程。从而,通过方程利用代数的方法研究了直线的性质与特点。事实上,这种方法是解析几何解决问题的基本方法,我们还可以采用它研究其他的一些平面图形,比如:圆。 在直角坐标系中,两点确定一条直线,或者一点和倾斜角也能确定一条直线。圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢? (圆心,半径。圆心决定位置,半径决定大小) 那么我们能否在圆心与半径确定的条件下,找到一个方程与圆对应呢?这就是我们这节课的主要任务。(书写标题) 回顾直线方程得出的过程:在直线l 上任取一点P(x,y),找到该点的横纵坐标满足的一个关系式,通过验证,称此方程为直线的方程。 类似的,我们用得出直线方程方法来探求圆的方程。 二、讲授新课 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为(,)A a b ,半径为r (其中a 、b 、r 都是常数,0r ).设(,)M x y 为这个圆上任意一点,

那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出){}P M MA r ==,由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条 件r =① 引导学生自己 证明r =为圆的方程,得出结论. 1.若点),(00y x M 在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标适用方程①. 2.若),(00y x 是方程①的一组解,则以这组解为坐标的点),(00y x M 到圆心A 的距离为r ,即点M 在圆心为A 的圆上. 故方 程r =为圆的一个方程。 方程①可等价变为:222()()x a y b r -+-= ② 方程②形式较①式更为和谐美观。 方程②也是圆心为(,)A a b ,半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程. 特别地,若圆心为O (0,0),则圆的标准方程为:222r y x =+ 练习1 (口答) 、求圆的圆心及半径 (1)、422=+y x (2)、1)1(22=+-y x 练习2、写出下列圆的方程 (1)、圆心在原点,半径为3; 922=+y x (2)、圆心在(-3、4),半径为5 5)4()3(22=+++y x 三、例题解析 例1 已知两点A(4,9)、B(6,3),求以AB 为直径的圆的方程 分析:可以从计算圆心与半径. 解:解:圆心C (5,6)半径r=10 所求的圆的标准方程是10)6()5(22=-+-y x 把点)7,8(1M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ,左右两边相等,点1M 的坐标适合圆的方程,所以点1M 在这个圆上;把点)5,3(2M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ,左右两边不相等,点2M 的坐标不适合圆的方 程,所以点2M 不在这个圆上. 是否在这个圆上?并判断点 )5,3(),7,8(21M M

高中数学圆的方程综合训练试题

圆的方程综合训练试题 一、选择题 1.直线0643=+-y x 与圆4)3()2(2 2=-+-y x 的位置关系是( ) A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心王新敞 2.若直线0=++a y x 与圆a y x =+2 2相切,则a 为( ) A.0或2 B.2 C.2 D.无解王新敞 3.两圆094622 =+-++y x y x 和0191262 2=-+--+y x y x 的位置关系是( ) A.外切 B.内切 C.相交 D.外离王新敞 4.以M (-4,3)为圆心的圆与直线052=-+y x 相离,那么圆M 的半径r 的取值范围是( ) A.0<r <2 B.0<r <5 C.0<r <25 D.0<r <10 5.两圆2 2 2 r y x =+与r r y x ()1()3(2 2 2 =++->0)外切,则x 的值是( ) A.10 B. 5 C.5 D. 2 10 王新敞 6.已知半径为1的动圆与圆16)7()5(2 2 =++-y x 相切,则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.25)7()5(2 2=++-y x B. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(2 2=++-y x C. 9)7()5(2 2=++-y x D. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(2 2=++-y x 王新敞 7.以点(-3,4)为圆心,且与x 轴相切的圆的方程是( ) A. 16)4()3(22=++-y x B. 16)4()3(2 2=-++y x C. 9)4()3(22=++-y x D. 9)4()3(2 2=-++y x 王新敞 二、填空题 8.圆02410222=-+-+y x y x 与圆08222 2=-+++y x y x 的交点坐标是 王新敞

必修二圆的方程

圆的方程 ()() 2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材119P 例2 往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 条件 方程形式 圆心在原点 ()222 0x y r r +=≠ 过原点 ()()()2 2 2 2 2 20x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 2 2 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 2 2 0x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:如教材122P 例r 4 2.2 2 40D E F +->常可用来求相关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数,故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称,被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数,故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1): 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意: 如果积分区域关于^轴对称,而被积函数/(x,y)关于y是奇函数,即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0; D 如果积分区域D关于:K轴对称,而被积函数/(x,y)关于:c是奇函数,即/(~x,y)=-/(太,y),则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明: (1)jj da=(其中(7为的面积); IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:,y)do■(其中A:为常数); o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2,,A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

新人教版必修二高中数学 《圆的标准方程》 教学设计-2019最新整理

新人教版必修二高中数学《圆的标准方程》教学设计-2019 最新整理 知识与技能:1、掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径; 2、会用两种方法求圆的标准方程:(1)待定系数法;(2)利用几何性质 教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程: 情境设置: 问题:①圆的定义? 学生回忆所学知识:①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,确定圆的要素是圆心和半径。 问题:②如果把直线放在直角坐标系下,那么其对应的方程是二元一次方程,那么如果把一个圆放在坐标系下,其方程有什么特征?如何写出这个圆的所在的方程? 二、探索研究: 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径

为r 。(其中a 、b 、r 都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点 间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 ①r 化简可得: ②222()()x a y b r -+-= 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的 标准方程。 总结出点与圆的关系的判断方法:00(,)M x y 222()()x a y b r -+-= (1)=点在圆上 2200()()x a y b -+-2r ? (2)<点在圆内220 0()()x a y b -+-2r ? (3)>点在圆外 2200()()x a y b -+-2r ? 三、知识应用与解题研究 (一)练习 1、指出下列方程表示的圆心坐标和半径: (1); 222=+y x (2); 5)1()3(22=-+-y x (3)()。222)1()2(a y x =+++0≠a 2、写出下列圆的标准方程:(P120-121练习1、3、4) (1)圆心在C(-3,4),半径长为;5 (2)圆心在C(8,-3),且经过点M(5,1); (3)圆心在(-1,2),与y 轴相切 (4)以P1(4,9)、P2(6,3)为直径的圆; (5)已知△ABC的顶点坐标分别是A(4,0),B(0,3),

相关主题