最全2012高考文科试题解析(三角函数)
2012高考文科试题解析分类汇编：三角函数
一、选择题
1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象 （A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移 12个单位 （D ） 向右平移1
2
个单位
2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，π?<<0，直线4
π
=x 和4
5π
=
x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=
（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4
3.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ??
=-≤≤ ??
?的最大值与最小值之和为
(A)2 (B)0 (C)－1 (D)1-
4.【2012高考全国文3】若函数()sin ([0,2])3
x f x ?
?π+=∈是偶函数，则=? （A ）2
π （B ）32π （C ）23π （D ）35π
5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3
sin 5
α=，则sin 2α= （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25
24
6.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17-
（A ）-
B ）12-（
C ）12 （D
7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是
8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若2
2
2
sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）
A 、钝角三角形
B 、直角三角形
C 、锐角三角形
D 、不能确定
9.【2012高考四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连
接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）
（1
B
C
D
10.【2012高考辽宁文6
】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α= (A)
-1 (B)
2- (C) 2
(D) 1 11.【2012高考江西文4】若
sin cos 1
sin cos 2
αααα+=-，则tan2α=
A. -34
B. 34
C. -43
D. 43
12.【2012高考江西文9】已知2
()sin ()4f x x π
=+若a =f （lg5），1
(lg )5
b f =则 A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1
13.【2012高考湖南文8】 在△
ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于
A
D.4
14.【2012高考湖北文8】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长
为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
15.【2012高考广东文6】在△ABC 中，若60A ∠= ，45B ∠= ，BC =AC =
A. B. C.
D.
2
16.【2102高考福建文8】函数f(x)=sin(x-4
π
)的图像的一条对称轴是 A.x=4π B.x=2π C.x=-4π D.x=-2
π
17.【2012高考天津文科7】将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4
π
个单位长度，
所得图像经过点（
34
π，0），则ω的最小值是
（A ）1
3
（B ）1 C ）5
3
（D ）2
二、填空题
18.【2012高考江苏11】（5分）设α为锐角，若4cos 65απ?
?+= ??
?，则)122sin(π+a 的值为
▲ ．
19.【2102高考北京文11】在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=
3
π，则∠C 的大小为_________。 20.【2102高考福建文13】在△ABC 中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，3=BC ，
则AC=_______.
21.【2012高考全国文15】当函数sin cos (02)y x x x π=≤<取得最大值时，
x =___________.
22.【2012高考重庆文13】设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且
1
cos 4
a b C =
=1，=2，，则sin B = 23.【2012高考上海文3】函数sin 2
()1cos x f x x
=
-的最小正周期是
24.【2012高考陕西文13】在三角形ABC 中，角A,B,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若a=2 ，
B=
6
π
，b= . 三、解答题
25.【2012高考浙江文18】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为
a ，
b ，
c ，且bsinA=。
（1）求角B 的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.
26.【2012高考安徽文16】（本小题满分12分）
设△ABC 的内角C B A ,,所对边的长分别为,,,c b a ，且有
C A C A A B sin cos cos sin cos sin 2+=。
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ) 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长。
27.【2012高考山东文17】(本小题满分12分)
在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列； (Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .
28.【2012高考湖南文18】（本小题满分12分） 已知函数()sin()(,0,02
f x A x x R π
ω?ωω=+∈><<的部分图像如图5所示.
（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）求函数()()()12
12
g x f x f x π
π
=-
-+
的单调递增区间.
29.【2012高考四川文18】(本小题满分12分)
已知函数2
1()cos
sin cos 2222
x x x f x =--。 （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若()10
f α=sin 2α的值。
30.【2012高考广东文16】（本小题满分12分）
已知函数()cos 46x f x A π??
=+ ???，x ∈R ，且3f π??
= ???
（1）求A 的值； （2）设0,2παβ??
,∈????，4304317f απ??+=- ???，28435f βπ?
?-= ??
?，求cos()αβ+的
值.
31.【2012高考辽宁文17】(本小题满分12分)
在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；
(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。
32.【2012高考重庆文19】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设函数
()sin()f x A x ω?=+（其中0,0,A ωπ?π>>-<< ）在6
x π
=
处取得最大值2，其图
象与轴的相邻两个交点的距离为
2
π
（I ）求()f x 的解析式； （II ）求函数
426cos sin 1
()()
6
x x g x f x π
--=
+的值域。
33.【2012高考新课标文17】（本小题满分12分）
已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA (1) 求A
(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c
34.【2102高考北京文15】（本小题共13分） 已知函数x
x
x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=
。
（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间。
35.【2012高考陕西文17】（本小题满分12分）
函数()sin()16
f x A x π
ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之
间的距离为
2
π
， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2π
α∈，则()22
f α
=，求α的值。
36.【2012高考江苏15】（14分）在ABC ?中，已知3AB AC BA BC =
．
（1）求证：tan 3tan B A =；
（2）若cos C =求A 的值．
37.【2012高考天津文科16】（本小题满分13分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的分别是a,b ，c 。已知. （I ）求sinC 和b 的值；
（II ）求cos （2A+
3
д
）的值。
38.【2012
高考湖北文
18】（本小题满分12分）设函数
22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=+?-+()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，
其中ω，λ为常数，且1
(,1)2
ω∈.
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π
(,0)4
，求函数()f x 的值域.
39.【2012高考全国文17】(本小题满分10分) （注意：在试题卷上．．．．．作答无效．．．．
） ABC ?中，内角A ．B ．C 成等差数列，其对边,,a b c 满足223b ac =，求A ．
2012高考文科试题解析及答案：三角函数
一、选择题
1.【答案】C
cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1，平移
12
2.【答案】A
【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题.
【解析】由题设知，
πω=544
ππ-，∴ω=1，∴4π?+=2k π
π+（k Z ∈），
∴?=4k π
π+（k Z ∈），∵0?π<<，∴?=4
π，故选A.
3.【答案】A
考点：三角函数图像与性质 解析:126
2==
π
π
T ，函数定义域为[0,9],所以，根据三角函数图像
最大值为2)5(=f ，最小值为3)0(-=f
，最大值与最小值之和为2
4.【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。 【解析】由[]()sin
(0,2)3
x f x ?
?π+=∈为偶函数可知，y 轴是函数()f x 图像的对称轴，而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得，故
3(0)sin
13()3
3
2
2
f k k k Z ?
?
π
π
π?π==±?
=
+?=
+∈，而[]0,2?π∈，故0k =时，32
π
?=
，故选答案C 。 5.【答案】A
【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。
【解析】因为α为第二象限角，故cos 0α<，而3
s
i n 5
α=，
故4c o s 5
α==-，
所以24
sin 22sin cos 25
ααα==-
，故选答案A 。
6.【答案】C
【解析】：sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=
sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172
+-====
【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用473017=+
7.【答案】A
【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质，具体考查了在x 轴上的伸缩变换，
在x 轴、y 轴上的平移变化，利用特殊点法判断图像的而变换。
【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π??
???变为1,02π??
- ???
，选A. 8.【答案】A
【解析】由正弦定理，得
,sin 2,sin 2,sin 2C R
c
B R b A R a ===代入得到222a b c +<， 由余弦定理的推理得222
cos 02a b c C ab
+-=
<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.
【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.
9. 【答案】B
10
10cos 1sin 10
10
3EC
ED 2CD
-EC ED CED cos 1CD 5
CB AB EA EC 2
AD AE ED 11AE ][22
2
2
2
22
2=
∠-=∠=
?+=
∠∴==++==+=
∴=CED CED ）（，正方形的边长也为解析
[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.
10. 【答案】A
【命题意图】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。
【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A
【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。
11. 【答案】B
【解析】先利用同角函数间的关系求出tan α，再利用二倍角公式求出tan 2α. 因为
sin cos 1
sin cos 2αααα+=-，所以2(sin cos )sin cos αααα+=-，则sin 3cos αα=-
，所以sin tan 3cos ααα==-.故22tan 3
tan 21tan 4
ααα==-.故选B.
【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，二倍角公式等. 体现了考纲中要求会进行简单的恒等变换，来年关于恒等变换的考查可能会涉及到和与差的三角函数公式. 熟练掌握三角公式，灵活变换是解决这类问题的关键.
12. 【答案】C
【解析】先利用三角恒等变换化简()f x 函数解析式，再通过换元寻找,a b 之间的数量关系.
因为()21cos 21sin 22sin 422x x f x ππθ?
?-+ ?
+????=+== ??
?，不妨令lg 5t =，则1lg 5t =-，
所以()()1sin 2lg 52t a f f t +===，()11sin 2lg 52t b f f t -??
==-= ???
，所以1a b +=.故选C.
【点评】本题考查三角恒等变换，二倍角公式以及换元思想，综合性较强，体现了考纲中对于综合能力的考查解决，来年这种题型仍必不可少，涉及知识点多种多样，主要考查考生的综合素质.本题的难点在于三角函数的变换，熟练掌握三角函数的各种公式，并能灵活应用是解题的关键.
13.【答案】B
【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知222
2cos AC AB BC AB BC B =+-??，
即2
7422cos60c c =+-???
，2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=
设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22
ABC S AB BC B BC h =
= ，知
1132sin 60222h ???=?? ，解得2
h =. 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.
14.【答案】D
【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.
15.【答案】B
由正弦定理得：
sin sin sin 60sin 45
BC AC AC
AC A B ??
=?=?=16.【答案】C ．
考点：三角函数的对称性。
难度：中。
分析：本题考查的知识点为三角函数的性质，熟记三角函数的对称轴的公式即可。 解答：令)(24Z k k x ∈+=
-
ππ
π，
则)(4
3Z k k x ∈+=ππ
,
当1-=k 时，4
π
-
=x 。
17.【答案】D
【解析】函数向右平移
4
π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπ
ωπωπ-
=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(sin =-ππω，即,2
)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2，选D.
【答案】D
二、填空题
18.
【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。 【解析】∵α为锐角，即02
<<
π
α，∴
2=
6
6
2
6
3
<<
π
π
π
π
πα+
+
。 ∵4cos 65απ??+= ???，∴3sin 65απ?
?+= ??
?。
∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ?????
?+=++ ? ? ??????
? 。
∴7cos 2325απ?
?+= ???
。
∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
343434a a a a π
π
πππππ???
?+
+
-+-+ ? ????
?
247
=
2525- 19.【答案】?90
【解析】222
cos 2b c a A c bc
+-=?=sin sin c a C A =，故sin 12C C π=?=。 【考点定位】本小题主要考查的是解三角形，所用方法并不唯一，对于正弦定理和余弦定理
此二者会其一都可以得到最后的答案。
20.【答案】
2．
考点：正弦定理。 难度：易。
分析：本题考查的知识点为三角形中正弦定理的应用。 解答：在ABC ?中，
R C c
B b A a 2sin sin sin ===， 所以ABC
AC
BAC BC ∠=∠sin sin
解得=
AC 2。
21.【答案】6
5π
【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值域的问题。首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。
【解析】由sin 2sin()3
y x x x π
=-=-
由5023
3
3x x π
π
ππ≤
≤-
<
可知22sin()23
x π
-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值，32x ππ-=时即56
x π
=取得最大值。
22.【答案】
4
15
23.【答案】π
【解析】根据韪得：1
()sin cos 2sin 222
f x x x x =+=
+ 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.
24.【答案】2.
【解析】根据余弦定理，得(2
22222cos 2224b a c ac B =+-=+-??=， 所以2b =．
三、解答题
25.【答案】
【解析】（1） bsinA=acosB ，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即得
tan B =3
B π
∴=
.
（2） sinC=2sinA ，由正弦定理得2c a =，由余弦定理2
2
2
2cos b a c ac B =+-，
229422cos
3
a a a a π
=+-?，解得a =2c a ∴==
26.【解析】（Ⅰ）,,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=>
2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23
A A π
?=
?=
（II ）2
2
2
2
2
2
2cos 2
a b c bc A a b a c B π
=+-?==+?=
在Rt ABD ?中，AD ===
27.【答案】 (I)由已知得：
sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=， sin sin()sin sin B A C A C +=， 2sin sin sin B A C =，
再由正弦定理可得：2b ac =， 所以,,a b c 成等比数列.
(II)若1,2a c ==，则22b ac ==，
∴2223
cos 24
a c
b B a
c +-==，
sin C ==
∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B ==??=.
28.
【答案】
【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(
),21212T T
πππ
πω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126
A ππ???+=+=即. 又55450,,=26636πππππ???π<<∴<+<+ 从而，即=6
π
?.
又点0,1（）在函数图像上，所以sin 1,26
A A π
==，故函数f （x ）的解析式为
()2sin(2).6
f x x π
=+
（Ⅱ）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ????
????=-+-++ ? ?????????????
2sin 22sin(2)3
x x π
=-+
12sin 22(sin 22)2x x x =-
sin 2x x =
2sin(2),3
x π
=- 由222,2
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
得5,.12
12
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ?
?-+∈???
?
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期
1152(),1212T πππ=-=从而求得22T
πω==.再利用特殊点在图像上求出,A ?，从而求出f
（x ）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ω?=+的单调性求得.
29.[解析]（1）由已知，f （x ）=2
12
x cos 2
x sin 2
x cos 2--
2
1sinx 21cosx 121--+=）（
）
（4
x cos 22π+=
所以f （x ）的最小正周期为2π，值域为???
?
??
?-
22,22，。…………………6分 （2）由（1）知，f （α）=，
）（10
2
34cos 22=+πα 所以cos （5
34
=
+
π
α）。 所以）（）（
4
2cos 22
cos 2sin π
ααπ
α+
-=+-=
25
7251814cos 212
=-=+-=）（πα，…………………12分 [点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，
考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.
30.【答案】（1
）cos cos
312
64
2
f A A A ππππ????
=+==
= ? ???
??
，解得2A =。 （2）
43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα?????
?+=++=+=-=-
? ? ??????
?，即15
sin 17
α=
， 2842cos 2cos 3665f ππβπββ???
?-=-+== ? ????
?，即4cos 5β=。
因为0,
2παβ??,∈????
，所以8cos 17α==
，3sin 5β==， 所以8415313
cos()cos cos sin sin 17517585
αβαβαβ+=-=?-?=-。
31.【答案】
【命题意图】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比
数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。
【解析】（1）由已知1
2=+,++=,=
,cos =
32
B A
C A B C B B π
π∴ ……6分
（2）解法一：2
=b ac ，由正弦定理得23sin sin =sin =4
A C B
解法二：2
=b ac ，222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B ac ac ，由此得22+-=,a c ac ac 得=a c
所以===3A B C π，3
sin sin =4
A C ……12分
【点评】第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。
【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形
内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。
32.【答案】（Ⅰ）6
π
?=
（Ⅱ）7
75[1,)(,]442
【解析】
223
1cos 1(cos )2
2x x =
+≠因2cos [0,1]x ∈，且21
cos 2
x ≠
故()g x 的值域为775
[1,)(,]442
33.
【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用，是简单题.
【解析】(Ⅰ)由sin sin c C c A -及正弦定理得
s i n s i n s i n s i n s i n
A C A C C -
= 由于sin 0C ≠，所以1
sin()62
A π-=，
又0A π<<，故3A π
=.
(Ⅱ) ABC ?的面积S =1
sin 2
bc A 故bc =4，
而 2222cos a b c bc A =+- 故22
c b +=8，解得b c ==2.
34.【答案】(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x x f x x x x x
x
--===-
{}π
sin 21cos 221|π4x x x x x k k ?
?=-+=--≠∈ ???Z ，，。
（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π．
（2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ??-+????，
k ∈Z ，3πππ8k k ??
+ ???
，k ∈Z 。
35.【解析】（Ⅰ）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =．
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π
，∴最小正周期T π=，∴2ω=． 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16
f x x π
=-+．
（Ⅱ）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1
sin()62πα-=，
∵02πα<<，∴663
πππ
α-<-<，∴66ππα-=，故3πα=．
36.【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =
，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即
c o s =3c o s A C A B C B 。
由正弦定理，得
=
sin sin AC BC
B A
，∴sin cos =3sin cos B A A B 。 又∵0B >，。∴sin sin =3cos cos B A
B A
即tan 3tan B A =。
（2）∵ cos 0C A B +=-- 。 由 （1） ，得2 4tan 213tan A A =--，解得1tan =1 tan =3A A -，。 ∵cos 0A >，∴tan =1A 。∴= 4 A π 。 【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。 【解析】（1）先将3AB AC BA BC = 表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 （2）由cos C = 可求tan C ，由三角形三角关系，得到()tan A B π?-+???，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A 的值。 37.【答案】 【解析】（I ）cos (0,)sin A A A π=∈?= sin sin sin sin a c c A C A C a =?== 2222 2cos 201a b c bc A b b b =+-?+-=?= （II ）23 sin 22sin cos 22cos 14 A A A A A ===-=- 3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -++=-= 38. 解：（Ⅰ）因为2 2()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6x ωλ=-+. 由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得π sin(2π)16ω-=±， 所以ππ2ππ()62k k ω- =+∈Z ，即1 ()23 k k ω=+∈Z ． 又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故5 6ω=. 所以()f x 的最小正周期是 6π 5 . （Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π ()04 f =， 即5πππ 2sin()2sin 6264λ=-?-=-=，即λ=. 故5π ()2sin()36 f x x =-()f x 的值域为[22-. 【解析】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能 力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位，可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式2T π ω = 来求解;求三角函 数的值域，一般先根据自变量x 的范围确定函数x ω?+的范围.来年需注意三角函数的单调性，图象变换，解三角形等考查. 39. 【命题意图】： 本试题主要考查了解三角形的运用。该试题从整体看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理求解三角形中的角的问题。试题整体上比较稳定，思路比较容易想，先利用等差数列得到角B ，然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案。 【解析】由A ．B ．C 成等差数列可得2B A C =+，而A B C π++=，故33 B B π π=?=且23 C A π =- 而 由 223b ac =与正弦定理可得 22 22sin 3sin sin 2sin 3sin( )sin 3 3 B A C A A π π =??=- 创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 三角函数 一、选择题 1．已知 α 为第三象限角，则 2 α 所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4－＝( )． A ．－ 4 3 3 B ． 4 3 3 C ．－ 4 3 D ． 4 3 4．已知tan θ＋θtan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝51 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－ 4 3 B ．－ 3 4 C ． 4 3 D ． 3 4 6．已知sin α ＞sin β，那么下列命题成立的是( )． A ．若α，β 是第一象限角，则cos α ＞cos β B ．若α，β 是第二象限角，则tan α ＞tan β C ．若α，β 是第三象限角，则cos α ＞cos β D ．若α，β 是第四象限角，则tan α ＞tan β 7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3 π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π± 3 π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ?B ?C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝31 ，则sin β 的值是( )． A ．3 1 B ．－3 1 C ． 3 2 2 D ．－ 3 2 2 9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为( )． A ．??? ??2π ，4π∪??? ??4π5 ，π B ．?? ? ??π ，4π C ．?? ? ??4π5 ，4π D ．??? ??π ，4π∪??? ? ?23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )． A ．y ＝sin ??? ? ? 3π － 2x ，x ∈R B ．y ＝sin ?? ? ??6π ＋ 2x ，x ∈R C ．y ＝sin ??? ? ? 3π ＋ 2x ，x ∈R D ．y ＝sin ??? ? ? 32π ＋ 2x ，x ∈R 二、填空题 11．函数f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在区间??? ???3π4π ，上的最大值是 ． 12．已知sin α＝ 552，2 π ≤α≤π，则tan α＝ ． 13．若sin ??? ??α ＋ 2π＝53，则sin ?? ? ??α － 2π＝ ． 14．若将函数y ＝tan ??? ? ? 4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数y ＝tan ??? ? ? 6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为 ． 15．已知函数f (x )＝21(sin x ＋cos x )－2 1 |sin x －cos x |，则f (x )的值域是 ． 16．关于函数f (x )＝4sin ??? ? ? 3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题： 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210 7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 任意角的三角函数 一、选择题 1．以下四个命题中，正确的是( ) A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B ．｛α｜α＝k π＋6 π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6 π ，k ∈Z ｝ C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0 D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋2 3π＜α＜2k π，k ∈Z ｝ 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin α tan α＞0 B ．cos α tan α＞0 C ．sin α cos α＞0 D ．sin α cot α＞0 3．角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ． 2 2 B ．- 2 2 C ．± 2 2 D ．1 4.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42 x ，则sin α的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α 是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 7．点P 是角α终边上的一点，且 ，则b 的值是（ ） A 3 B －３ C ±3 D 5 8.在△ABC 中，若最大的一个角的正弦值是 ，则△ABC 是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形 9．若α是第四象限角，则 是（ ） A 第二象限角 B 第三象限角 C 第一或第三象限角 D 第二或第四象限角 10．已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） 锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围 1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ． 精锐教育学科教师辅导教案 例3：求函数y=f(x)=cos 2 2x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x- 23)2-4 5, ∴当cos2x=1,即x= k π,(k ∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k π+ 2 π ,( k ∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法 y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角?，化为y=22b a +sin （x+?）,利用函数()1sin ≤+?x 即可求解。Y=asin 2 x+bsinxcosx+mcos 2 x+n 型亦可以化为此类。 例4：已知函数()R x x x x y ∈+?+= 1cos sin 2 3cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。 [分析] 此类问题为x c x x b x a y 2 2 cos cos sin sin +?+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为 x b x a y cos sin +=型求解。 解： ().4 7,6,2262,4562sin 21452sin 23 2cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+??? ??+=+???? ??+=++=+?++?=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ 5. 利用数形结合 例5： 求函数y x x = +s in c o s 2的最值。 解：原函数可变形为y x x = ---s i n c o s () .0 2 这可看作点Ax xB (c o s s i n )() ，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 2 2 1+=上的动点。由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，y y m a x m i n .= =-333 3 ， 6、换元法 例6：若0 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 EF FK -＝26（分米）， ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 63 -（2）＝26， ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且 MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD． （1）求证：△MED∽△BCA； （2）求证：△AMD≌△CMD； （3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=17 5 S1时，求cos∠ABC的 值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 . 【解析】 【分析】 （1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA； 九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2 22c b a =+ 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 斜边的对边A A ∠= sin c a A =sin 1sin 0<A (∠A 为锐角) B A cot tan = B A tan cot = A A cot 1 tan = (倒数) 1cot tan =?A A 余切 的对边 的邻边A A A ∠∠= cot a b A =cot 0cot >A (∠A 为锐角) 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° αsin 0 2 1 2 2 2 3 1 αcos 1 2 3 2 2 2 1 0 αtan 0 3 3 1 3 - αcot - 3 1 3 3 0 6、正弦、余弦的增减性： ) 90cot(tan A A -?=)90tan(cot A A -?= B A cot tan = B A tan cot = )90cos(sin A A -?=) 90sin(cos A A -?= B A cos sin =B A sin cos =A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 斜边 A C B b a c A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 高中数学三角函数练习题及答案解析（附答 案） 一、选择题 1．探索如图所呈现的规律，判断2 013至2 014箭头的方向是() 图1－2－3 【解析】观察题图可知0到3为一个周期， 则从2 013到2 014对应着1到2到3. 【答案】 B 2．－330是() A．第一象限角B．第二象限角 C．第三象限角D．第四象限角 【解析】－330＝30＋(－1)360，则－330是第一象限角．【答案】 A 3．把－1 485转化为＋k360，kZ)的形式是() A．45－4360 B．－45－4360 C．－45－5360 D．315－5360 【解析】－1 485＝－5360＋315，故选D. 【答案】 D 4．(2019济南高一检测)若是第四象限的角，则180－是() A．第一象限的角B．第二象限的角 C．第三象限的角D．第四象限的角 【解析】∵是第四象限的角，k360－90k360，kZ， －k360＋180180－－k360＋270，kZ， 180－是第三象限的角． 【答案】 C 5．在直角坐标系中，若与的终边互相垂直，则与的关系为() A．＝＋90 B．＝90 C．＝＋90－k360 D．＝90＋k360 【解析】∵与的终边互相垂直，故－＝90＋k360，kZ，＝90＋k360，kZ. 【答案】 D 二、填空题 6．，两角的终边互为反向延长线，且＝－120，则＝________. 【解析】依题意知，的终边与60角终边相同， ＝k360＋60，kZ. 【答案】k360＋60，kZ 7．是第三象限角，则2是第________象限角． 【解析】∵k360＋180k360＋270，kZ k180＋90k180＋135，kZ 当k＝2n(nZ)时，n360＋90n360＋135，kZ，2是第二象限角，当k＝2n＋1(nZ)时，n360＋270n360＋315，nZ 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C 1、平面内，如图17，在□ABCD 中，10AB =，15AD =，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ ． （1）当10DPQ ∠=?时，求APB ∠的大小； （2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）； （3）若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积（结果保留π）． 2、如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41） 3、如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q 4、如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 5、一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米． 6、如图，某小区①号楼与?号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算?号楼的高度CD． 7、某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m） （2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m） （cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 三角函数大题转练 1.已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+-. （Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64 ππ -上的最大值和最小值. 2、已知函数.,1cos 2)3 2sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=π π · （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4 ,4[ππ-上的最大值和最小值. 3、已知函数()tan(2),4 f x x =+π （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （II ）设0,4?? ∈ ? ? ? πα，若()2cos 2,2 f =αα求α的大小 ： 4、已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= . （1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间. 5、 设函数2())sin 4 f x x x π = ++. （I ）求函数()f x 的最小正周期； ； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2 g x g x π+=，且当[0,]2 x π ∈时， 1 ()()2 g x f x = -，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 6、函数()sin()16 f x A x π ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相 邻两条对称轴之间的距离为2 π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2 πα∈，则()22 f α =，求α的值. ' 7、设426 f (x )cos(x )sin x cos x π =ω- ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域 （Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ?? -???? 上为增函数，求 ω的最大 值. 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π????<< ??? 个单位长度，所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6π B ．3 π C ．12π D ．23π 2．已知函数()sin 23f x x π? ?=+ ??? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π个长度单位 3 ．若11sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13 或-1 4．2014cos()3π的值为（ ） A ．12 B C ．12- D ． 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6．若sin a = -45，a 是第三象限的角，则sin()4 a π+=（ ） （A ） -10 （B ）10 （C ） -10 （D ）10 7．若552)4sin(2cos -=+π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．34- B ．4 3- C ．43 D ．34 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2(π -上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A ．向右平移 4 π个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4 π个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移2 π个单位，再向上平移1个单位 D ．向左平移2 π个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()2g π等 锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 一、 化简或求值 例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α是锐角，的值。 （2）化简()()22 sin cos cos sin a b a b αααα++-。 分析 （1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=?；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。 解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得 tan 2α=或tan 1α=-。又α是锐角，∴tan 2α=＝ tan cot αα-。由tan 2α=， 得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222 -=。 （2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝ 2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+??+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-??+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。 说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα?=等。 二、已知三角函数值，求角 例2 在△ABC 中，若2 cos sin 02A B ?-+= ??(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。 三 角 函 数 1.已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+ -. (Ⅰ)求 ()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64 ππ -上的最大值和最小值. 2、已知函数.,1cos 2)3 2sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++ =π π (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期;（Ⅱ)求函数)(x f 在区间]4 ,4[π π- 上的最大值和最小值． 3、已知函数()tan(2),4 f x x =+ π （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期; (II)设0,4?? ∈ ?? ? πα，若( )2cos 2,2 f =α α求α的大小 4、已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= . （1）求)(x f 的定义域及最小正周期;(2)求)(x f 的单调递减区间. 5、 设函数2())sin 4 f x x x π = ++. (I ）求函数()f x 的最小正周期； (II ）设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π + =,且当[0,]2 x π ∈时， 1 ()()2 g x f x = -，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 6、函数()sin()16 f x A x π ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为３， 其图像相邻两条对 称轴之间的距离为 2 π， (1)求函数()f x 的解析式；(2)设(0,)2π α∈,则()22 f α =，求α的值. 7、设 426 f (x )cos(x )sin x cos x π =ω- ω+ω,其中.0>ω (Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域 （Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ?? - ???? 上为增函数,求 ω的最大值． 任意角的三角函数练习题及答案详解 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN] 高一数学限时训练---任意角的三角函数（4） 测试时间：2007.3.20 一、选择题 1．以下四个命题中，正确的是( ) A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B ．｛?｜?＝k ?＋ 6π，k ∈Z ｝≠｛?｜?＝-k ?＋6π，k ∈Z ｝ C ．若?是第二象限的角，则sin2?＜0 D ．第四象限的角可表示为｛?｜2k ?＋23?＜?＜2k ?，k ∈Z ｝ 2．若角?的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin ??tan ?＞0 B ．cos ??tan ?＞0 C ．sin ??cos ?＞0 D ．sin ??cot ?＞0 3．角?的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin ?的值是( ) A ．22 B ．-22 C ．±22 D ．1 4.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42 x ，则sin α的值为（ ） A ．410 B ．46 C ．4 2 D ．－410 5.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α 是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象 限角 二、填空题 1．已知角?的终边落在直线y ＝3x 上，则sin ?＝________． 2．已知P (-3，y )为角?的终边上一点，且sin ?＝ 1313，那么y 的值等于________． 3．已知锐角?终边上一点P (1，3)，则?的弧度数为________． 4．（1）sin 49πtan 3 7π_________ 三、解答题 1．已知角?的终边过P (-3?，4)，求?的六种三角函数值 三角函数专项复习 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对 边 C 7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 8、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做 坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）。 :i h l =h l α 三角函数 令狐采学 1.已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+-. （Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64 ππ -上的最大值和最小值. 2、已知函数.,1cos 2)3 2sin()3 2sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=π π （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4 ,4[π π-上的最大值和最小值. 3、已知函数()tan(2),4 f x x =+π （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （II ）设0, 4?? ∈ ?? ? πα，若()2cos 2,2 f =α α求α的大小 4、已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= . （1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间. 5、设函数2())sin 24 f x x x π = ++. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2 g x g x π+=，且当[0,]2 x π∈时， 1 ()()2 g x f x = -，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 6、函数()sin()16 f x A x π ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3，其图 像相邻两条对称轴之间的距离为2 π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0, )2π α∈，则()22 f α =，求α的值. 7、设426 f (x )cos(x )sin x cos x π =ω-ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )=的值域 （Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ?? -???? 上为增函数，求ω的最 大值. 8、函数 2 ()6cos 3(0)2 x f x x ωωω=+->在一个周期内的图象 如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ?为正三角形. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域； （Ⅱ）若0()f x =，且0102(,)33 x ∈-，求0(1)f x +的值. 9、已知 ,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边， cos sin 0a C C b c --= （1）求A ； （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c . 10、在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosA ＝2 3 ，sinB ． (Ⅰ)求tanC 的值；(Ⅱ)若a ?ABC 的面积． 答案 1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值. 【 精 讲 精 析 】 （ Ⅰ ） 因 为 ()4cos sin()16 f x x x π =+-14cos cos )12x x x =+- 三角函数综合测试题 一、选择题（每小题5分，共70分） 1． sin2100 = A ． 2 3 B ． - 2 3 C ． 2 1 D ． - 2 1 2．α是第四象限角，5 tan 12 α=- ，则sin α= A ．15 B ．15- C ．513 D ．513 - 3. )12 sin 12 (cos ππ - )12sin 12(cos π π+＝ A ．－ 23 B ．－21 C ． 2 1 D ．23 4． 已知sinθ＝5 3 ，sin2θ＜0，则tanθ等于 A ．－4 3 B ．4 3 C ．－43或43 D ．5 4 5．将函数sin()3y x π =- 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） ，再将所得的图象向左平移3 π 个单位，得到的图象对应的僻析式是 A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π =- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6 y x π =- 6. ()2 tan cot cos x x x += A ．tan x B ． sin x C. c o s x D. cot x 7.函数y = x x sin sin - 的值域是 A. { 0 } B. [ -2 , 2 ] C. [ 0 , 2 ] D.[ -2 , 0 ] 8.已知sin αcos 8 1 = α,且)2,0(πα∈，则sin α+cos α的值为 A. 25 B. -25 C. ±25 D. 2 3 9. 2 (sin cos )1y x x =--是 A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 10．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 A ．)45,()2,4( πππ π B ．),4(ππ C ．)45,4(ππ D ．)2 3,45(),4(π πππ 11．已知，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横 坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则 A ．ω＝2，θ＝2π B ．ω＝21，θ＝2π C ．ω＝2 1，θ＝4π D ．ω＝2，θ＝4π 12. 设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7 c π =，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 13．已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8 x π =对称，则?可能是 A. 2π B.4π- C.4 π D.34π 14． 函数f (x )＝ x x cos 2cos 1- A ．在??????20π ， 、??? ??ππ ,2上递增，在??????23,ππ、??? ??ππ 2,23上递减 B ．在??????20π，、??? ??23ππ，上递增，在??? ??ππ,2、??? ??ππ 223， 上递减 C ．在?? ????ππ， 2、??? ?? ππ223，上递增，在?? ????20π，、??? ??23ππ， 上递减 D ．在????? ? 23, ππ、??? ??ππ2,23上递增，在?? ????20π，、??? ??ππ,2上递减 二.填空题（每小题5分，共20分,） 15. 已知??? ? ?- ∈2, 2ππα，求使sin α=3 2 成立的α= 16．sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________三角函数练习题及答案
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