2 ? ?
2
河北省衡水中学 2018 高三第一次模拟理科数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1. 设全集为实数集 R , M
x
2
, N x 1 x ,则图中阴影部分表示的集合是
( )
A . {x -2 ≤ x < 1}
B . {x -2 ≤ x ≤ 2
} C . {x 1 < x ≤ 2}
D . {x x < 2}
2. 设 a ∈ R , i 是虚数单位,则“ a = 1 ”是“
a + i
为纯虚数”的( )
a - i
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.若{a n } 是等差数列,首项 a 1 > 0, a 2011 + a 2012 > 0 , a 2011 ? a 2012 和 S n > 0 成立的最大正整数 n 是(
)
A .2011
B .2012
C .4022
D .4023
< 0 ,则使前 n 项 4. 在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居众显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人”, 根据连续 7 天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是( )
①平均数 x ≤ 3 ;②标准差 S ≤ 2 ;③平均数 x ≤ 3 且标准差 S ≤ 2 ; ④平均数 x ≤ 3 且极差小于或等于 2;⑤众数等于 1 且极差小于或等于 1。
A .①②
B .③④
C .③④⑤
D .④⑤
5. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 中,对角线 B 1D 与平面A 1BC 1 相交于点E ,则点 E 为△A 1BC 1 的( )
A .垂心
B .内心
C .外心
D .重心
?3x - y - 6 ≤ 0, 6.设 x , y 满足约束条件 ?
x - y + 2 ≥ 0, ?x , y ≥ 0, a 2 + b 2 的最小值是( )
若目标函数 z = ax + b y (a , b > 0) 的最大值是 12,则
A. 6 13
B. 36 5
C. 6 5
D. 36
13
7.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为 ( )
A .16
B .4
C .8
D .2 8.已知函数 f ( x ) = 2 s in(
x +) (ω > 0, -π < ? < π) 图像
的一部分(如图所示),则ω 与? 的值分别为( )
A . 11 , -
5π B . 1, - 2π C . 7 , - π D . 10 6 4 , - π 5 3
3 10 6 9. 双曲线 C 的左右焦点分别为 F 1, F 2 ,且 F 恰为抛物线 y 2
= 4x 的焦点,设双 曲线C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF 1F 2 是以 AF 1 为底边的等腰三角形, 则双曲线C 的离心率为( )
A .
B .1 +
C .1 +
D . 2 + 10. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x 1, x 2 ,不等式
2 3 3
1
线 3 x 1 f (x 1 ) + x 2 f (x 2 ) < x 1 f (x 2 ) + x 2 f (x 1 ) 恒成立,则不等式 f (1 - x ) < 0 的解集为(
)
A. (-∞,0)
B. (0,+∞)
C. (-∞,1)
D. (1,+∞)
11. 已知圆的方程 x 2 + y 2 = 4 ,若抛物线过点 A (0,-1),B (0,1)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( ) x 2 y 2 x 2 y
2 A.
3 +
4 =1(y ≠0) B. 4 + 3 =1(y ≠0) x 2 y 2 x 2 y 2
C. 3 + 4 =1(x ≠0)
D. 4 + 3
=1 (x ≠0) 12. 设 f (x ) 是定义在R 上的函数,若 f (0) = 2008 ,且对任意 x ∈ R ,满足
f (x + 2) - f (x ) ≤ 3? 2x , f (x + 6) - f (x ) ≥ 63? 2x ,则 f (2008) =(
) A. 22006 + 2007 B . 22008 + 2006 C . 22008 + 2007 D . 22006 + 2008
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 在区间[-6,6],内任取一个元素 x O ,若抛物线 y=x 2 在 x=x o 处的切线的倾角为
,则
? 3?
∈ ? , ? 的概率为 。
? 4 4 ?
14. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 15. 在 ?ABC 中, P 是 BC 边中点,角 A , B , C 的对边分别是a
, b , c , 若 + + =
, 则
?ABC 的 形 状 为 。 c AC aPA bPB 0 16. 在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列 {A j }
, j = 1,2, ,以及
在第一象限内的抛物 y 2 = 3
x 上从左向右依次取点列
2
{B k }, k = 1,2, ,使 ?A k -1B k A k ( k = 1,2, )都是等边三角形,其中 A 0
是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是
。
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17.(本小题满分 12 分)
在 △ ABC 中 , a , b , c 是 角 m ? n = ( + 2)ab .
(1)求角C ; A , B , C 对 应 的 边 , 向 量 m = (a + b , c ) , n = (a + b ,-c ), 且 (2)函数 f (x ) = 2 sin( A + B ) cos 2 (x ) - cos( A + B ) sin(2x ) - 1 > 0)
的相邻两个极值的横 ( 2
坐标分别为 x 0 - 2
、 x 0 ,求 f (x ) 的单调递减区间.
18.(本小题满分 12 分)
已知四边形 ABCD 满足 AD / / B C , BA = AD = DC = 1
BC = a ,E 是 BC 的中点,将△BAE
2
沿 AE 翻折成 ?B 1 AE , 使面B 1 AE ⊥ 面AECD ,F 为 B 1D 的中点.
(1) 求四棱锥 B 1 - AECD 的体积;
3 (2) 证明: B 1E / /面ACF ;
(3) 求面 ADB 1与面ECB 1 所成锐二面角的余弦值.
19.(本小题满分 12 分)
现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性, 约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1) 求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2) 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3) 用 X ,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X -Y |,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) 是定义在[-e , 0) ?(0, e ] 上的奇函数,当 x ∈(0, e ]时, 是自然界对数的底, a ∈ R )
(1) 求 f (x ) 的解析式; f (x ) = ax + ln x (其中 e
(2) 设 g (x ) =
, ,求证:当 a = -1 时,且 x ∈[- e ,0) , f (x ) > g (x ) + 1 恒成立; 2
(3)
是否存在实数 a ,使得当 x ∈[-e , 0) 时, f (x ) 的最小值是 3 ?如果存在,求出实数 a
的值;如果不存在,请说明理由。
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用 2B
铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
21. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲
已知 PQ 与圆 O 相切于点 A ,直线 PBC 交圆于 B 、C 两点,D 是圆上一点,且 AB ∥CD ,DC 的延长线交 PQ 于点 Q
(1) 求证: AC 2 = CQ ? AB
(2) 若 AQ=2AP ,AB= ,BP=2,求 QD.
22.(本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程
ln x
x
?
+
)
2
在平面直角坐标系中,曲线 C 1 的参数方程为 ?x = a c os
?
y = b s in (a >b >0,为参数),以 Ο
为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知
曲线 C 1 上的点 M (2,
3) 对应的参数= , =
3
与曲线 C 2 交于点 D ( 4
2, )
4
(1)求曲线 C 1,C 2 的方程;
1
1
(2)A (ρ1,θ),Β(ρ2,θ+ )是曲线 C 1 上的两点,求
1
23.(本小题满分 l0 分) 选修 4—5:不等式选讲
2 的值。
2
已知关于 x 的不等式| 2x +1| - | x -1|≤ log 2 a (其中 a > 0 ).
(1) 当 a = 4 时,求不等式的解集; (2) 若不等式有解,求实数 a 的取值范围
数学(理科)答案
一、选择题 (A )卷 CACDD DBABC CC (B )CCADD BDACB CC 二、填空题 13、
11
14 、 -
1
15、等边三角形 16. 2005
12
2
三、解答题
17、解:(1)因为 m = (a + b ,c ), n = (a + b ,-c ), m ? n = (
+ 2)ab ,所以a 2 + b 2 - c 2
=
3ab ,
故cos C = 3
2 , 0 < C <,∴C = 6
. ------------ 5 分
(2) f (x ) = 2 sin(A + B ) cos 2 (x ) - cos(A + B ) sin(2x ) - 1
2
= 2 sin C cos 2 (x ) + cos C sin(2x ) - 1
2
= cos 2 (x ) + 3 sin(2x ) - 1
2 2 = sin(2x + ------------------------
8 分
) 6
因为相邻两个极值的横坐标分别为 x 0 - 2
、 x 0 ,所以f (x ) 的最小正周期为T =
,= 1
所以f (x ) = sin(2x +
--------------------
10 分 6
由 2k + < 2x + < 2k + 3
, k ∈ Z
2 6 2
所以 f (x ) 的单调递减区间为[k + , k + 2
], k ∈ Z .----------------- 12 分
6 3 18、解:(1)取 AE 的中点 M ,连结 B M ,因为
1
,△ABE 为等边三角形,
1
BA=AD=DC= BC=a 2
则 B 1M= 3
a ,又因为面 B 1AE ⊥面 AECD ,所以 B 1M ⊥面 AECD , 2
所 以 V
= 1 ? 3 a ? a ? a ? sin = a 2 3 4
---------4 分 (2)连结 ED 交 AC 于 O ,连结 OF ,因为 AECD 为菱形,OE=OD 所以 FO ∥B 1E , 所以 B 1E / /面ACF 。 -------- 7 分
(3)连结 MD ,则∠AMD= 900 ,分别以 ME,MD,MB 1 为
3 3
2
3
3a
? ?
x,y,z 轴建系,则 E (a 2
,0,0) ,C (a , a ,0)
2
A (- a ,0,0) , D (0, 2 3 a ,0) ,
B 2 1 (0,0, 3
a ) , 所 以 1, 2
EB 1
= (- a ,0, 2 3a ) , 2 AD = (a , 2 3a ,0) ,
2 ?a x + a 2
3
ay = 0 2 AB 1 = ( 2 ,0, ) ,设 面 ECB 1 的 法 向 量 为 2 u = (x , y , z ) , ? ?- a x + ? 2 , az = 0
2
令 x=1,
u = (1,-
3 , 3
) ,同理面 ADB 1 的法向量为 3 3
1 + 1 - 1
v = (1,- 3 ,- 3 3 ) , 所以cos < u ,v >= 3 3 3 1 + 1 + 1 ? 1 + 1 + 1
= 3 , 5 3 3 3 3 故面 ADB 与面ECB 所成锐二面角的余弦值为 3 ---------
12 分
1 1
5
1 2
19.解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 .设
3
“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 A (i =0,1,2,3,4),则 P ( A ) = i 1 i 3 2 4-i
i
i C 4 (3) ( 3)
(1) 这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P ( A ) =
2
1 2 2 2 = 8 3
分
2
C 4 (3) ( 3) 27
(2) 设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B ,则 B = A 3
? A 4
,
由于 A 3 与 A 4 互斥,故
P (B ) = P ( A ) + P ( A ) = 3 1 3 2 +
4 1 4 =
1
3 4
C 4 (3) ( 3) C 4 (3) 9
1
所以,这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为9
. 7 分
20.解:(1)设 x ∈[-e , 0) ,则 -x ∈(0, e ] ,所以 f (-x ) = -ax + ln(-x ) 又因为 f (x ) 是定义在[-e , 0) (0, e ] 上的奇函数,所以 f (x ) = - f (-x ) = ax - ln(-x )
?ax - ln(-x ), x ∈[-e , 0)
故函数 f (x ) 的解析式为 f (x ) = ?ax + ln x , x ∈(0, e ] … 2 分
(2)证明:当 x ∈[-e , 0) 且 a = -1 时,
ln(-x ) ln(-x ) 1
f (x ) = -x - ln(-x ),
g (x ) = -x ,设
h (x ) =
+ -x 2
因为 f '(x ) = -1- 1 = - x +1
,;当 -1 < x < 0 时, f '(x ) > 0 ,此时 f (x ) 单调递增,所以
x x
3 ?
3 3 1 ? f (x )min = f (-1) = 1 > 0
又因为 h '(x ) = ln(-x ) -1
,所以当 -e ≤ x < 0 时, h '(x ) ≤ 0 ,此时 h (x ) 单调递减,所以
x
2 h (x ) = h (-e ) = 1 + 1 < 1 + 1 = 1 =
f (x )
max e 2 2 2 min
1
所以当 x ∈[-e , 0) 时, f (x ) > h (x ), 即 f (x ) > g (x ) + 2
…………………………6 分
(3) 解:假设存在实数 a ,使得当 x ∈[-e , 0) 时, f (x ) = ax - ln(-x ) 有最小值是 3,
则 f '(x ) = a - 1 = ax -1
x x
(ⅰ)当 a = 0 , x ∈[-e , 0) 时, f '(x ) = - 1
> 0 . f (x ) 在区间[-e , 0) 上单调递增,
x
f (x )min = f (-e ) = -1,不满足最小值是3
(ⅱ)当 a > 0 , x ∈[-e , 0) 时, f '(x ) > 0 , f (x ) 在区间[-e , 0) 上单调递增, f (x )min = f (-e ) = -ae -1 < 0 ,也不满足最小值是3
(ⅲ)当 - 1 ≤ a < 0 ,由于 x ∈[-e , 0) ,则 f '(x ) = a - 1
≥ 0 ,故函数 f (x ) = ax - ln(-x )
e x
4 1
是[-e , 0) 上的增函数.所以 f (x )min = f (-e ) = -ae -1 = 3 ,解得 a = - < - (舍去)
e e
(ⅳ)当 a < - 1 时,则当 -e ≤ x < 1 时, f '(x ) = a - 1
< 0 ,此时函数 f (x ) = ax - ln(-x )
e a x 是减函数;当 1 < x < 0 时,
f '(x ) = a - 1 > 0 ,所以 f (x ) = 1
= 1- ln(- ) = 3 ,解
a
得 a = -e 2
x min
f ( ) a a 综上可知,存在实数 a = -e 2 ,使得当 x ∈[-e , 0) 时, f (x ) 有最小值3 ......................12 分
21.(Ⅰ)因为 AB ∥CD ,所以∠PAB=∠AQC, 又 PQ 与圆 O 相切于点 A ,所以∠PAB=∠ACB,
因为 AQ 为切线,所以∠QAC=∠CBA,所以△ACB ∽△CQA,所以 AC = AB
,
所以 AC 2 = CQ ? AB
………5 分
CQ AC (Ⅱ)因为 AB ∥CD ,AQ=2AP ,所以 BP PC = AP PQ = AB QC = 1
,由 AB= ,BP=2 得QC = 3 3
,PC=6
AP 为圆 O 的切线? AP 2 = PB ? PC = 12 ? QA = 4 又因为 AQ 为圆 O 的切线? AQ 2
= QC ? Q D ? QD = 16 3 3
………10 分
?
2 = a cos
?x = a cos ? 3 22.解:(1)将 M (2, 3) 及对应的参数 φ= 3 , = ;代入 ? y = b sin 得 ? ,
?a = 4 所以 ?b = 2
x 2 y 2
, 所以 C 1 的方程为 + 16 4 4 ?
= 1 , ? = b s in ? 3
设圆 C 2 的半径 R ,则圆 C 2 的方程为:ρ=2Rcosθ(或(x-R )2+y 2=R 2),将点 D ( 入得: ∴R=1
∴圆 C 2 的方程为:ρ=2cosθ(或(x-1)2+y 2=1) ----- 5 分
2, ) 代
4
3
3
2 1 2 ?
+
(2)曲线 C 1 的极坐标方程为: 2
cos 2+ 16 2 sin 2 4 = 1,将 A (ρ ,θ),Β(ρ ,θ+ ) 2 2 2 2 2
2 cos 2 (+ 2 sin 2
(+ cos sin 2
2 ) 2 2 ) 代入得: 1 + 1 = 1, + = 1 16 4 1 1 5
16 4
即 2 2 1 2
的值为 。 --------------------------- 10 分
16 23.解:(Ⅰ)当 a=4 时,不等式即|2x+1|-|x-1|≤2,当 x < ? 1
时,不等式为-x-2≤2, 解
2
1 1 1
2 得?4≤x < ? ; 当? ≤x ≤1 时,不等式为 3x≤2,解得?
≤x ≤
;当 x >1 时,不等式为
2 2
2
3
x+2≤2,此时 x 不存在. 2 综上,不等式的解集为{x |?4≤x ≤
} ------------------------------ 5 分
3
?- x - 2
? ?3x
(Ⅱ)设 f (x )=|2x+1|-|x-1|= ?x + 2
x < - 1
2 - 1
≤ x ≤ 1 2 x > 1
3
故 f (x )的最小值为? , 解得 a ≥ ,
2 4 即 a 的取值范围是[ 4
,+∞) 。 ------------------ 10 分
2