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2018年河北省衡水中学高三一模理科数学试题(1)(可编辑修改word版)

2018年河北省衡水中学高三一模理科数学试题(1)(可编辑修改word版)
2018年河北省衡水中学高三一模理科数学试题(1)(可编辑修改word版)

2 ? ?

2

河北省衡水中学 2018 高三第一次模拟理科数学试题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1. 设全集为实数集 R , M

x

2

, N x 1 x ,则图中阴影部分表示的集合是

( )

A . {x -2 ≤ x < 1}

B . {x -2 ≤ x ≤ 2

} C . {x 1 < x ≤ 2}

D . {x x < 2}

2. 设 a ∈ R , i 是虚数单位,则“ a = 1 ”是“

a + i

为纯虚数”的( )

a - i

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

3.若{a n } 是等差数列,首项 a 1 > 0, a 2011 + a 2012 > 0 , a 2011 ? a 2012 和 S n > 0 成立的最大正整数 n 是(

A .2011

B .2012

C .4022

D .4023

< 0 ,则使前 n 项 4. 在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居众显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人”, 根据连续 7 天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是( )

①平均数 x ≤ 3 ;②标准差 S ≤ 2 ;③平均数 x ≤ 3 且标准差 S ≤ 2 ; ④平均数 x ≤ 3 且极差小于或等于 2;⑤众数等于 1 且极差小于或等于 1。

A .①②

B .③④

C .③④⑤

D .④⑤

5. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 中,对角线 B 1D 与平面A 1BC 1 相交于点E ,则点 E 为△A 1BC 1 的( )

A .垂心

B .内心

C .外心

D .重心

?3x - y - 6 ≤ 0, 6.设 x , y 满足约束条件 ?

x - y + 2 ≥ 0, ?x , y ≥ 0, a 2 + b 2 的最小值是( )

若目标函数 z = ax + b y (a , b > 0) 的最大值是 12,则

A. 6 13

B. 36 5

C. 6 5

D. 36

13

7.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为 ( )

A .16

B .4

C .8

D .2 8.已知函数 f ( x ) = 2 s in(

x +) (ω > 0, -π < ? < π) 图像

的一部分(如图所示),则ω 与? 的值分别为( )

A . 11 , -

5π B . 1, - 2π C . 7 , - π D . 10 6 4 , - π 5 3

3 10 6 9. 双曲线 C 的左右焦点分别为 F 1, F 2 ,且 F 恰为抛物线 y 2

= 4x 的焦点,设双 曲线C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF 1F 2 是以 AF 1 为底边的等腰三角形, 则双曲线C 的离心率为( )

A .

B .1 +

C .1 +

D . 2 + 10. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x 1, x 2 ,不等式

2 3 3

1

线 3 x 1 f (x 1 ) + x 2 f (x 2 ) < x 1 f (x 2 ) + x 2 f (x 1 ) 恒成立,则不等式 f (1 - x ) < 0 的解集为(

)

A. (-∞,0)

B. (0,+∞)

C. (-∞,1)

D. (1,+∞)

11. 已知圆的方程 x 2 + y 2 = 4 ,若抛物线过点 A (0,-1),B (0,1)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( ) x 2 y 2 x 2 y

2 A.

3 +

4 =1(y ≠0) B. 4 + 3 =1(y ≠0) x 2 y 2 x 2 y 2

C. 3 + 4 =1(x ≠0)

D. 4 + 3

=1 (x ≠0) 12. 设 f (x ) 是定义在R 上的函数,若 f (0) = 2008 ,且对任意 x ∈ R ,满足

f (x + 2) - f (x ) ≤ 3? 2x , f (x + 6) - f (x ) ≥ 63? 2x ,则 f (2008) =(

) A. 22006 + 2007 B . 22008 + 2006 C . 22008 + 2007 D . 22006 + 2008

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 在区间[-6,6],内任取一个元素 x O ,若抛物线 y=x 2 在 x=x o 处的切线的倾角为

,则

? 3?

∈ ? , ? 的概率为 。

? 4 4 ?

14. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 15. 在 ?ABC 中, P 是 BC 边中点,角 A , B , C 的对边分别是a

, b , c , 若 + + =

, 则

?ABC 的 形 状 为 。 c AC aPA bPB 0 16. 在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列 {A j }

, j = 1,2, ,以及

在第一象限内的抛物 y 2 = 3

x 上从左向右依次取点列

2

{B k }, k = 1,2, ,使 ?A k -1B k A k ( k = 1,2, )都是等边三角形,其中 A 0

是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

17.(本小题满分 12 分)

在 △ ABC 中 , a , b , c 是 角 m ? n = ( + 2)ab .

(1)求角C ; A , B , C 对 应 的 边 , 向 量 m = (a + b , c ) , n = (a + b ,-c ), 且 (2)函数 f (x ) = 2 sin( A + B ) cos 2 (x ) - cos( A + B ) sin(2x ) - 1 > 0)

的相邻两个极值的横 ( 2

坐标分别为 x 0 - 2

、 x 0 ,求 f (x ) 的单调递减区间.

18.(本小题满分 12 分)

已知四边形 ABCD 满足 AD / / B C , BA = AD = DC = 1

BC = a ,E 是 BC 的中点,将△BAE

2

沿 AE 翻折成 ?B 1 AE , 使面B 1 AE ⊥ 面AECD ,F 为 B 1D 的中点.

(1) 求四棱锥 B 1 - AECD 的体积;

3 (2) 证明: B 1E / /面ACF ;

(3) 求面 ADB 1与面ECB 1 所成锐二面角的余弦值.

19.(本小题满分 12 分)

现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性, 约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1) 求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2) 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3) 用 X ,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X -Y |,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) 是定义在[-e , 0) ?(0, e ] 上的奇函数,当 x ∈(0, e ]时, 是自然界对数的底, a ∈ R )

(1) 求 f (x ) 的解析式; f (x ) = ax + ln x (其中 e

(2) 设 g (x ) =

, ,求证:当 a = -1 时,且 x ∈[- e ,0) , f (x ) > g (x ) + 1 恒成立; 2

(3)

是否存在实数 a ,使得当 x ∈[-e , 0) 时, f (x ) 的最小值是 3 ?如果存在,求出实数 a

的值;如果不存在,请说明理由。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用 2B

铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.

21. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲

已知 PQ 与圆 O 相切于点 A ,直线 PBC 交圆于 B 、C 两点,D 是圆上一点,且 AB ∥CD ,DC 的延长线交 PQ 于点 Q

(1) 求证: AC 2 = CQ ? AB

(2) 若 AQ=2AP ,AB= ,BP=2,求 QD.

22.(本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程

ln x

x

?

+

)

2

在平面直角坐标系中,曲线 C 1 的参数方程为 ?x = a c os

?

y = b s in (a >b >0,为参数),以 Ο

为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知

曲线 C 1 上的点 M (2,

3) 对应的参数= , =

3

与曲线 C 2 交于点 D ( 4

2, )

4

(1)求曲线 C 1,C 2 的方程;

1

1

(2)A (ρ1,θ),Β(ρ2,θ+ )是曲线 C 1 上的两点,求

1

23.(本小题满分 l0 分) 选修 4—5:不等式选讲

2 的值。

2

已知关于 x 的不等式| 2x +1| - | x -1|≤ log 2 a (其中 a > 0 ).

(1) 当 a = 4 时,求不等式的解集; (2) 若不等式有解,求实数 a 的取值范围

数学(理科)答案

一、选择题 (A )卷 CACDD DBABC CC (B )CCADD BDACB CC 二、填空题 13、

11

14 、 -

1

15、等边三角形 16. 2005

12

2

三、解答题

17、解:(1)因为 m = (a + b ,c ), n = (a + b ,-c ), m ? n = (

+ 2)ab ,所以a 2 + b 2 - c 2

=

3ab ,

故cos C = 3

2 , 0 < C <,∴C = 6

. ------------ 5 分

(2) f (x ) = 2 sin(A + B ) cos 2 (x ) - cos(A + B ) sin(2x ) - 1

2

= 2 sin C cos 2 (x ) + cos C sin(2x ) - 1

2

= cos 2 (x ) + 3 sin(2x ) - 1

2 2 = sin(2x + ------------------------

8 分

) 6

因为相邻两个极值的横坐标分别为 x 0 - 2

、 x 0 ,所以f (x ) 的最小正周期为T =

,= 1

所以f (x ) = sin(2x +

--------------------

10 分 6

由 2k + < 2x + < 2k + 3

, k ∈ Z

2 6 2

所以 f (x ) 的单调递减区间为[k + , k + 2

], k ∈ Z .----------------- 12 分

6 3 18、解:(1)取 AE 的中点 M ,连结 B M ,因为

1

,△ABE 为等边三角形,

1

BA=AD=DC= BC=a 2

则 B 1M= 3

a ,又因为面 B 1AE ⊥面 AECD ,所以 B 1M ⊥面 AECD , 2

所 以 V

= 1 ? 3 a ? a ? a ? sin = a 2 3 4

---------4 分 (2)连结 ED 交 AC 于 O ,连结 OF ,因为 AECD 为菱形,OE=OD 所以 FO ∥B 1E , 所以 B 1E / /面ACF 。 -------- 7 分

(3)连结 MD ,则∠AMD= 900 ,分别以 ME,MD,MB 1 为

3 3

2

3

3a

? ?

x,y,z 轴建系,则 E (a 2

,0,0) ,C (a , a ,0)

2

A (- a ,0,0) , D (0, 2 3 a ,0) ,

B 2 1 (0,0, 3

a ) , 所 以 1, 2

EB 1

= (- a ,0, 2 3a ) , 2 AD = (a , 2 3a ,0) ,

2 ?a x + a 2

3

ay = 0 2 AB 1 = ( 2 ,0, ) ,设 面 ECB 1 的 法 向 量 为 2 u = (x , y , z ) , ? ?- a x + ? 2 , az = 0

2

令 x=1,

u = (1,-

3 , 3

) ,同理面 ADB 1 的法向量为 3 3

1 + 1 - 1

v = (1,- 3 ,- 3 3 ) , 所以cos < u ,v >= 3 3 3 1 + 1 + 1 ? 1 + 1 + 1

= 3 , 5 3 3 3 3 故面 ADB 与面ECB 所成锐二面角的余弦值为 3 ---------

12 分

1 1

5

1 2

19.解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 .设

3

“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 A (i =0,1,2,3,4),则 P ( A ) = i 1 i 3 2 4-i

i

i C 4 (3) ( 3)

(1) 这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P ( A ) =

2

1 2 2 2 = 8 3

2

C 4 (3) ( 3) 27

(2) 设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B ,则 B = A 3

? A 4

由于 A 3 与 A 4 互斥,故

P (B ) = P ( A ) + P ( A ) = 3 1 3 2 +

4 1 4 =

1

3 4

C 4 (3) ( 3) C 4 (3) 9

1

所以,这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为9

. 7 分

20.解:(1)设 x ∈[-e , 0) ,则 -x ∈(0, e ] ,所以 f (-x ) = -ax + ln(-x ) 又因为 f (x ) 是定义在[-e , 0) (0, e ] 上的奇函数,所以 f (x ) = - f (-x ) = ax - ln(-x )

?ax - ln(-x ), x ∈[-e , 0)

故函数 f (x ) 的解析式为 f (x ) = ?ax + ln x , x ∈(0, e ] … 2 分

(2)证明:当 x ∈[-e , 0) 且 a = -1 时,

ln(-x ) ln(-x ) 1

f (x ) = -x - ln(-x ),

g (x ) = -x ,设

h (x ) =

+ -x 2

因为 f '(x ) = -1- 1 = - x +1

,;当 -1 < x < 0 时, f '(x ) > 0 ,此时 f (x ) 单调递增,所以

x x

3 ?

3 3 1 ? f (x )min = f (-1) = 1 > 0

又因为 h '(x ) = ln(-x ) -1

,所以当 -e ≤ x < 0 时, h '(x ) ≤ 0 ,此时 h (x ) 单调递减,所以

x

2 h (x ) = h (-e ) = 1 + 1 < 1 + 1 = 1 =

f (x )

max e 2 2 2 min

1

所以当 x ∈[-e , 0) 时, f (x ) > h (x ), 即 f (x ) > g (x ) + 2

…………………………6 分

(3) 解:假设存在实数 a ,使得当 x ∈[-e , 0) 时, f (x ) = ax - ln(-x ) 有最小值是 3,

则 f '(x ) = a - 1 = ax -1

x x

(ⅰ)当 a = 0 , x ∈[-e , 0) 时, f '(x ) = - 1

> 0 . f (x ) 在区间[-e , 0) 上单调递增,

x

f (x )min = f (-e ) = -1,不满足最小值是3

(ⅱ)当 a > 0 , x ∈[-e , 0) 时, f '(x ) > 0 , f (x ) 在区间[-e , 0) 上单调递增, f (x )min = f (-e ) = -ae -1 < 0 ,也不满足最小值是3

(ⅲ)当 - 1 ≤ a < 0 ,由于 x ∈[-e , 0) ,则 f '(x ) = a - 1

≥ 0 ,故函数 f (x ) = ax - ln(-x )

e x

4 1

是[-e , 0) 上的增函数.所以 f (x )min = f (-e ) = -ae -1 = 3 ,解得 a = - < - (舍去)

e e

(ⅳ)当 a < - 1 时,则当 -e ≤ x < 1 时, f '(x ) = a - 1

< 0 ,此时函数 f (x ) = ax - ln(-x )

e a x 是减函数;当 1 < x < 0 时,

f '(x ) = a - 1 > 0 ,所以 f (x ) = 1

= 1- ln(- ) = 3 ,解

a

得 a = -e 2

x min

f ( ) a a 综上可知,存在实数 a = -e 2 ,使得当 x ∈[-e , 0) 时, f (x ) 有最小值3 ......................12 分

21.(Ⅰ)因为 AB ∥CD ,所以∠PAB=∠AQC, 又 PQ 与圆 O 相切于点 A ,所以∠PAB=∠ACB,

因为 AQ 为切线,所以∠QAC=∠CBA,所以△ACB ∽△CQA,所以 AC = AB

,

所以 AC 2 = CQ ? AB

………5 分

CQ AC (Ⅱ)因为 AB ∥CD ,AQ=2AP ,所以 BP PC = AP PQ = AB QC = 1

,由 AB= ,BP=2 得QC = 3 3

,PC=6

AP 为圆 O 的切线? AP 2 = PB ? PC = 12 ? QA = 4 又因为 AQ 为圆 O 的切线? AQ 2

= QC ? Q D ? QD = 16 3 3

………10 分

?

2 = a cos

?x = a cos ? 3 22.解:(1)将 M (2, 3) 及对应的参数 φ= 3 , = ;代入 ? y = b sin 得 ? ,

?a = 4 所以 ?b = 2

x 2 y 2

, 所以 C 1 的方程为 + 16 4 4 ?

= 1 , ? = b s in ? 3

设圆 C 2 的半径 R ,则圆 C 2 的方程为:ρ=2Rcosθ(或(x-R )2+y 2=R 2),将点 D ( 入得: ∴R=1

∴圆 C 2 的方程为:ρ=2cosθ(或(x-1)2+y 2=1) ----- 5 分

2, ) 代

4

3

3

2 1 2 ?

+

(2)曲线 C 1 的极坐标方程为: 2

cos 2+ 16 2 sin 2 4 = 1,将 A (ρ ,θ),Β(ρ ,θ+ ) 2 2 2 2 2

2 cos 2 (+ 2 sin 2

(+ cos sin 2

2 ) 2 2 ) 代入得: 1 + 1 = 1, + = 1 16 4 1 1 5

16 4

即 2 2 1 2

的值为 。 --------------------------- 10 分

16 23.解:(Ⅰ)当 a=4 时,不等式即|2x+1|-|x-1|≤2,当 x < ? 1

时,不等式为-x-2≤2, 解

2

1 1 1

2 得?4≤x < ? ; 当? ≤x ≤1 时,不等式为 3x≤2,解得?

≤x ≤

;当 x >1 时,不等式为

2 2

2

3

x+2≤2,此时 x 不存在. 2 综上,不等式的解集为{x |?4≤x ≤

} ------------------------------ 5 分

3

?- x - 2

? ?3x

(Ⅱ)设 f (x )=|2x+1|-|x-1|= ?x + 2

x < - 1

2 - 1

≤ x ≤ 1 2 x > 1

3

故 f (x )的最小值为? , 解得 a ≥ ,

2 4 即 a 的取值范围是[ 4

,+∞) 。 ------------------ 10 分

2

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