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大学数学实验

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项目一

矩阵运算与方程组求解

实验1 行列式与矩阵

实验目的

掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Mathematica (4.0以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.

基本命令

在Mathematica 中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.

1. 表在形式上是用花括号括起来的若干表达式, 表达式之间用逗号隔开. 如输入

{2,4,8,16}

{x,x+1,y,Sqrt[2]}

则输入了两个向量.

2. 表的生成函数

(1) 最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下:

Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n }; Range[m, n]—生成表{m ,…,n };

Range[m, n, dx]—生成表{m ,…,n }, 步长为d x . (2) 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令

Table[n^3,{n,1,20,2}]

则输出 {1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}

输入

Table[x*y,{x,3},{y,3}]

则输出 {{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}

3. 表作为向量和矩阵

一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵

???

? ??5432 可以用数表{{2,3},{4,5}}表示.

输入

A={{2,3},{4,5}}

则输出 {{2,3},{4,5}}

命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如, 输入命令:

MatrixForm[A] 则输出 ???

?

??5432 但要注意, 一般地, MatrixForm[A]代表的矩阵A 不能参与运算.

输入

B={1,3,5,7}

输出为

{1,3,5,7}

输入

MatrixForm[B]

输出为

??????

? ??7531 虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量, 但实质上Mathematica 不区分行向量与列向量. 或者说在运算时按照需要, Mathematica 自动地把向量当作行向量或列向量.

下面是一个生成抽象矩阵的例子. 输入

Table[a[i,j],{i,4},{j,3}] MatrixForm[%]

则输出

???

?

??

?

?

?]3,4[]2,4[]1,4[]3,3[]2,3[]1,3[]3,2[]

2,2[]1,2[]3,1[]2,1[]1,1[a a a a a a a a a a a a 注:这个矩阵也可以用命令Array 生成,如输入

Array[a,{4,3}]//MatrixForm

则输出与上一命令相同.

4. 命令IdentityMatrix[n]生成n 阶单位矩阵. 例如,输入

IdentityMatrix[5]

则输出一个5阶单位矩阵(输出略).

5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n 阶对角矩阵. 例如,输入

DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]

则输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}

它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.

6. 矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵A 与B 的加法;k*A 表示数k 与矩阵A 的乘法; A.B 或Dot[A,B]表示矩阵A 与矩阵B 的乘法.

7. 求矩阵A 的转置的命令:Transpose[A].

8. 求方阵A 的n 次幂的命令:MatrixPower[A,n]. 9. 求方阵A 的逆的命令:Inverse[A]. 10.求向量a 与b 的内积的命令:Dot[a,b].

实验举例

矩阵A 的转置函数Transpose[A] 例1.1 求矩阵的转置. 输入

ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}}; Transpose[ma]//MatrixForm

输出为

???

?

??

?

??411365243271 如果输入

Transpose[{1,2,3}]

输出中提示命令有错误. 由此可见, 向量不区分行向量或列向量.

矩阵线性运算

例1.2 设,291724,624543???

?

??=???? ??=B A 求.24,A B B A -+ 输入

A={{3,4,5},{4,2,6}};

B={{4,2,7},{1,9,2}}; A+B//MatrixForm 4B-2A//MatrixForm

输出为

???

? ??--???

? ??43241801081151267

如果矩阵A 的行数等于矩阵B 的列数, 则可进行求AB 的运算. 系统中乘法运算符为“.”, 即

用A.B 求A 与B 的乘积, 也可以用命令Dot[A,B]实现. 对方阵A , 可用MatrixPower[A,n]求其n 次幂.

例1.3 设,148530291

724,36242543???

?

??

?

?

?=?

??? ??=mb ma 求矩阵ma 与mb 的乘积. 输入

Clear[ma,mb];

ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}};

mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}}; ma.mb//MatrixForm

输出为

???

? ??655642566532

矩阵的乘法运算

例1.4 设,101,530291724???

?

? ??=????? ??=B A 求AB 与,A B T 并求.3A

输入

Clear[A,B];

A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}}; B={1,0,1};

A.B

输出为

{11,3,5}

这是列向量B 右乘矩阵A 的结果. 如果输入

B.A

输出为

{4,5,12}

这是行向量B 左乘矩阵A 的结果,A B T 这里不需要先求B 的转置. 求方阵A 的三次方, 输入

MatrixPower[A,3]//MatrixForm

输出为

????

? ??26047754444932141555660119 例1.5 设,421140123,321111111???

?

?

??--=????? ??--=B A 求A AB 23-及.B A T

输入

A={{-1,1,1},{1,-1,1},{1,2,3}} MatrixForm[A]

B={{3,2,1},{0,4,1},{-1,2,-4}} MatrixForm[B]

3A.B -2A//MatrixForm

Transpose[A].B//MatrixForm

则输出A AB 23-及B A T 的运算结果分别为

???

?

? ??-----334421424141010

???

?

? ??----10120821

444

求方阵的逆

例1.6 设,512364103325

2312??

??

?

?

?

?

?=A 求.1-A 输入

Clear[ma]

ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}}; Inverse[ma]//MatrixForm

则输出

????

??????

? ??-------

-165

2116114581081218192

82921116112

1162147 注: 如果输入

Inverse[ma//MatrixForm]

则得不到所要的结果, 即求矩阵的逆时必须输入矩阵的数表形式

例1.7 求矩阵????

??

? ??--027926243043286345248127

的逆矩阵.

解 A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}

MatrixForm[A]

Inverse[A]//MatrixForm

例1.8 设,221331317

230

,512143513312

4403????

??

?

?

?=???????

?

?=B A 求.1B A - 输入

Clear[A,B];

A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}}; B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}}; Inverse[ma].B//MatrixForm

输出为

??????????

?

?

?

-----1671635583891

8989325

16916619

对于线性方程组,b AX =如果A 是可逆矩阵, X ,b 是列向量, 则其解向量为.1b A -

例1.9 解方程组??

???-=-+=+-=++.2442,

63,

723z y x z y x z y x 输入

Clear[A,b];

A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}}; b={7,6,-2}; Inverse[A].b

输出为

{1,1,2}

求方阵的行列式

例1.10 求行列式 .3

3

5

1

1102

4

315

2113------=

D 输入

Clear[A];

A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}}; Det[A]

输出为

40

例1.11 求.111111111

1112

222

222

2d

d

d d c c c c b b b b a a a a D +

+++

=

输入

Clear[A,a,b,c,d];

A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1}, {c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}}; Det[A]//Simplify

则输出

2

222d c b a )

abcd 1)(d c )(d b )(d a )(c b )(c a )(b a (+--------

例1.12 计算范德蒙行列式.1111145

44

43

42

41

353433323125

24

23

22

2

1

54321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 输入

Clear[x];

Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm

输出为

??

?????

? ??44

4

4

43333322222]5[]4[]3[]2[]

1[]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[11111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

再输入

Det[van]

则输出结果比较复杂(项很多)若改为输入

Det[van]//Simplify

Factor[Det[van]]

则有输出

(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4]) (x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5]) (x[3]-x[5])(x[4]-x[5])

例1.13 设矩阵 ,60

975

73872396511

02497

46

2

7

3?????

??

? ??----=A 求.),(|,|3A A tr A 输入

A={{3,7,2,6,-4},{7,9,4,2,0},{11,5,-6,9,3},{2,7,-8,3,7},{5,7,9,0,-6}}

MatrixForm[A] Det[A] Tr[A]

MatrixPower[A,3]//MatrixForm

则输出3),(|,|A A tr A 分别为

11592 3

?

?

????

??

??---1257454772666801

3841222451984174340410063122181713

22815162631501848

358294

944

2062

726

向量的内积

向量内积的运算仍用“.”表示, 也可以用命令Dot 实现 例1.14 求向量}3,2,1{=u 与}0,1,1{-=v 的内积. 输入

u={1,2,3}; v={1,-1,0}; u.v

输出为

-1

或者输入

Dot[u,v]

所得结果相同.

实验习题

1.设,150421321

,111111111???

?? ??--=????? ??--=B A 求A AB 23-及.B A '

2.设,001001???

?

? ??=λλλA 求.10A 一般地?=k A (k 是正整数).

3.求?

??

???

?? ??+++++a a a a

a

1111111111111111111111111的逆. 4.设,321011324???

?

? ??-=A 且,2B A AB +=求.B

5.利用逆矩阵解线性方程组?????=++=++=++.

353,2522,

132321

321321x x x x x x x x x

实验2 矩阵的秩与向量组的极大无关组

实验目的

学习利用Mathematica 求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组.

基本命令

1. 求矩阵M 的所有可能的k 阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].

2. 把矩阵A 化作行最简形的命令:RowReduce[A].

3. 把数表1,数表2, …,合并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入

Join[{{1,0,-1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]

则输出 {{1,0,-1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}

实验举例

求矩阵的秩

例2.1 设,815073*********???

?

? ??-------=M 求矩阵M 的秩.

输入

Clear[M];

M={{3,2,-1,-3,-2},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}}; Minors[M,2]

则输出

{{-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11},{-14,22,18,-10,10,-2, -16,16,18,22},{7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11}}

可见矩阵M 有不为0的二阶子式. 再输入

Minors[M,3]

则输出

{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}

可见矩阵M 的三阶子式都为0. 所以.2)(=M r

例2.2 已知矩阵???

?

? ??----=1t 0713123123M 的秩等于2, 求常数t 的值.

左上角的二阶子式不等于0. 三阶子式应该都等于0. 输入

Clear[M];

M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}}; Minors[M,3]

输出为

{{35-7t,45-9t,-5+t}}

当5=t 时, 所有的三阶子式都等于0. 此时矩阵的秩等于2.

例2.3 求矩阵?

??

???

?? ??-----322

421163109511404

7116的行最简形及其秩. 输入

A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,-9,0},{-1,3,-16,-1},{2,-4,22,3}} MatrixForm[A]

RowReduce[A]//MatrixForm

则输出矩阵A 的行最简形

??

?????? ??-000

00001000

0510

01

01 根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为3.

矩阵的初等行变换

命令RowfReduce[A]把矩阵A 化作行最简形. 用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆.

例2.4 设,413112212228

32A ???

?

? ??--=求矩阵A 的秩.

输入

Clear[A];

A={{2,-3,8,2},{2,12,-2,12},{1,3,1,4}}; RowReduce[A]//MatrixForm

输出为

?????

? ?

?-

00

003232102301 因此A 的秩为2.

例2.5 用初等变换法求矩阵???

?

?

??343122321的逆矩阵.

输入 A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}

MatrixForm[A]

Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixForm RowReduce[%]//MatrixForm Inverse[A]//MatrixForm

则输出矩阵A 的逆矩阵为

???

?

? ??---1112/532/3231

向量组的秩

矩阵的秩与它的行向量组, 以及列向量组的秩相等, 因此可以用命令RowReduce 求向量组的秩.

例2.6 求向量组)0,3,0,2(),2,5,4,0(),1,1,2,1(231=--=-=ααα的秩. 将向量写作矩阵的行, 输入

Clear[A];

A={{1,2,-1,1},{0,-4,5,-2},{2,0,3,0}}; RowReduce[A]//MatrixForm

则输出

???????

?

?

?

-00002154100230

1 这里有两个非零行, 矩阵的秩等于2. 因此, 它的行向量组的秩也等于2.

例2.7 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是否线性相关?

输入

Clear[A];

A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}}; RowReduce[A]//MatrixForm

则输出

??

?

?

?

?

?

?

?0000010010102001

向量组包含四个向量, 而它的秩等于3, 因此, 这个向量组线性相关.

例2.8 向量组)3,1,1(),2,1,3(),7,2,2(321=-==ααα是否线性相关?

输入

Clear[A];

A={{2,2,7},{3,-1,2},{1,1,3}}; RowReduce[A]//MatrixForm

则输出

????

? ??100010001 向量组包含三个向量, 而它的秩等于3, 因此, 这个向量组线性无关.

向量组的极大无关组 例2.9 求向量组

)0,5,1,2(),0,2,1,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα

的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示.

输入

Clear[A,B];

A={{1,-1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,-1,2,0},{2,1,5,0}}; B=Transpose[A];

RowReduce[B]//MatrixForm

则输出

??

?

?

?

?

?

?

?-000002/51000101102/10301

在行最简形中有三个非零行, 因此向量组的秩等于3. 非零行的首元素位于第一、二、四列,

因此421,,ααα是向量组的一个极大无关组. 第三列的前两个元素分别是3,1,于是

.3213ααα+=第五列的前三个元素分别是,2

5,1,21-

于是.25

214215αααα++-=

向量组的等价

可以证明:两个向量组等价的充分必要条件是: 以它们为行向量构成的矩阵的行最简形具有相同的非零行, 因此, 还可以用命令RowReduce 证明两个向量组等价.

例2.10 设向量

),7,3,5,4(),12,5,8,5(),2,1,2,3(),3,1,1,2(2121--=--=--=-=ββαα 求证:向量组21,αα与21,ββ等价.

将向量分别写作矩阵A , B 的行向量, 输入

Clear[A,B];

A={{2,1,-1,3},{3,-2,1,-2}}; B={{-5,8,-5,12},{4,-5,3,-7}}; RowReduce[A]//MatrixForm RowReduce[B]//MatrixForm

则输出

?????

?

?

?

--

7137510747101 与

?????

?

?

?

--

7137510747101 两个行最简形相同, 因此两个向量组等价.

实验习题

1.求矩阵??

?

?

?

?

?

??----=12412116030242

201

211A 的秩.

2.求t , 使得矩阵???

?

? ??-=t A 23312231的秩等于2.

3.求向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩.

4.当t 取何值时, 向量组),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα的秩最小?

5.向量组)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321-=--=--==αααα是否线性相关?

6.求向量组)6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(321===ααα的最大线性无关组. 并用极大无关组线性表示其它向量.

7.设向量),6,3,3,2(),6,3,0,3(),18,3,3,8(),0,6,3,1(2121=-=-=-=ββαα求证:向量组21,αα 与21,ββ等价.

实验3 线性方程组

实验目的

熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Mathematica 命令各类求线性方程组的解. 理解计算机求解的实用意义.

基本命令

1.命令NullSpace []A ,给出齐次方程组0=AX 的解空间的一个基.

2.命令LinearSolve []b A ,,给出非齐次线性方程组b AX =的一个特解.

3.解一般方程或方程组的命令Solve 见Mathematica 入门.

实验举例

求齐次线性方程组的解空间

设A 为n m ?矩阵,X 为n 维列向量,则齐次线性方程组0=AX 必定有解. 若矩阵A 的 秩等于n ,则只有零解;若矩阵A 的秩小于n ,则有非零解,且所有解构成一向量空间. 命令 NullSpace 给出齐次线性方程组0=AX 的解空间的一个基.

例3.1 求解线性方程组?????

??=---=++=+--=--+.

0532,0375,

023,02432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x

输入

Clear[A];

A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; NullSpace[A]

则输出

{{-2,1,-2,3}}

说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量(-2,1,-2,3)是解空间的基.

注:如果输出为空集{ },则表明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.

例3.2 求解线性方程组?????

?

?=---=++=+--=-++0

53203750

232302432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 输入

Clear[A];

A={{1,1,2,-1},{3,-2,-3,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; Nullspace[A]

输出为

{ }

因此解空间的基是一个空集,说明该线性方程组只有零解.

例3.3 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是否线性相关?

根据定义, 如果向量组线性相关, 则齐次线性方程组

04433221

1='+'+'+'ααααx x x x 有非零解.

输入

Clear[A,B];

A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}}; B=Transpose[A]; NullSpace[B]

输出为

{{-2,-1,0,1}}

说明向量组线性相关,且02421=+--ααα

非齐次线性方程组的特解

例3.4 求线性方程组?????

?

?=----=++=+--=--+4

53223752

22342432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的特解.

输入

Clear[A,b];

A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; b={4,2,-2,4} LinearSolve[A,b]

输出为

{1,1,-1,0}

注: 命令LinearSolve 只给出线性方程组的一个特解.

例3.5 求线性方程组?????

??=---=++=+--=--+4

53223752

2234243214324321

4321x x x x x x x x x x x x x x x 的特解.

输入

Clear[A,b];

A={{1,1,2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; b={4,2,2,4}

Linearsolve[A,b]

输出为

Linearsolve::nosol:Linear equation encountered which has no solution.

说明该方程组无解.

例3.6 向量)4,3,1,2(-=β是否可以由向量

)1,3,2,1(1-=α,)11,12,5,5(2-=α,()3,6,3,13-=α 线性表示?

根据定义, 如果向量β可以由向量组32,1,ααα线性相关, 则非齐次线性方程组

βααα'='+'+'33221

1x x x 有解.

输入

Clear[A,B,b];

A={{1,2,-3,1},{5,-5,12,11},{0,5,7,3},{1,-3,6,3}}; B=Transpose[A]; b={2,-1,3,4}; Linearsolve[B,b]

输出为

{31,3

1

,0} 说明β可以由32,1,ααα线性表示,且213

1

31ααβ+=

例3.7 求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式,2c bx ax ++并画出其图形.

根据题设条件有 ,9246117

00??

???=+?+?=+?+?=+?+?c b a c b a c b a 输入

Clear[x];

A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}} y={7,6,9}

p=LinearSolve[A,y]

Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t} f[x_]=p.{x^2,x,1};

Plot[f[x],{x,0,2},GridLines ->Automatic,PlotRange ->All];

则输出c b a ,,的值为

{2,-3,7}

并画出二次多项式7322+-x x 的图形(略).

非齐次线性方程组的通解

用命令Solve 求非齐次线性方程组的通解.

例3.8 求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足9)1(,20)1(='=-'f f 的4次多项式).(x f 解 设,)(234e dx cx bx ax x f ++++=则有

?????

??

??=+++=+-+-=+-+-=++++=9

234202343

10d c b a d c b a e d c b a e d c b a e 输入

Clear[a,b,c,d,e];q[x_]=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e;

eqs=[q[0]= =0,q[1]= =1,q[-1]= =3,q ’[-1]= =20,q ’[1]= =9]; {A,y}=LinearEquationsToMatrices[eqs,{a,b,c,d}]; p=LinearSolve[A,y];f[x_]=p.{x^4,x^3,x^2,x,1};

Plot[f[x],{x,-1,1},GridLines->Automatic,PlotRange->All];

则输出所求多项式

,4

35427431419)(234x x x x x f -++-

=

非齐次线性方程组的通解

用命令solve 求非齐次线性方程组的通解.

例3.9解方程组?????

?

?=+-=+-=++-=++-5

3323

221242143143214321x x x x x x x x x x x x x x

输入

solve[{x-y+2z+w==1,2x-y+z+2w==3,x-z+w==2,3x-y+3w==5},{x,y,z,w}] 输出为

{{x →2-w+z,y →1+3z}}

即3412x x x +-=,3231x x +=.于是,非齐次线性方程组的特解为(2,1,0,0).对应的齐次线性方程组的基础解系为(1,3,1,0)与(-1,0,0,1).

例3.10解方程组?????

?

?-=++-=++-=+-=-+-3

37133

44324324214324321x x x x x x x x x x x x x 解法1 用命令solve

输入

solve[{x-2y+3z-4w==4, y-z+w==-3,x+3y+w==1,-7y+3z+3w==-3},{x,y,z,w}] 输出为

{{x →-8,y →3, z →6, w →0}}

即有唯一解81-=x ,32=x ,63=x ,04=x .

解法 2 这个线性方程组中方程的个数等于未知数的个数,而且有唯一解 ,此解可以表示为

b A x 1-=.其中A 是线性方程组的系数矩阵,而b 是右边常数向量. 于是, 可以用逆阵计算唯一解.

输入

Clear[A,b,x];

A={{1,-2,3,-4},{0,1,-1,1},{1,3,0,1},{0,-7,3,1}}; b={4,-3,1,-3}; x=Inverse[A].b 输出为

{-8,3,6,0}

解法 3 还可以用克拉默法计算这个线性方程组的唯一解.为计算各行列式,输入未知数的

系数向量,即系数矩阵的列向量.

输入

Clear[a,b,c,d,e]; a={1,0,1,0}; b={-2,1,3,-7}; c={3,-1,0,3}; d={-4,1,1,1}; e={4,-3,1,-3};

Det[{e,b,c,d}]/ Det[{a,b,c,d}] Det[{a,e,c,d}]/ Det[{a,b,c,d}] Det[{a,b,e,d}]/ Det[{a,b,c,d}] Det[{a,b,c,e}]/ Det[{a,b,c,d}] 输出为

-8 3 6 0

例3.10当a 为何值时,方程组?????=++=++=++1

11

321

321321ax x x x ax x x x ax 无解、

有唯一解、有无穷多解?当方程组有解时,求通解.

先计算系数行列式,并求a ,使行列式等于0. 输入

Clear[a];

Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}];

Solve[%==0,a]

则输出

{{a →-2},{a →1},{a →1}}

当a 2-≠,a 1≠时,方程组有唯一解.输入

Solve[{a*x +y +z ==1,x +a*y +z ==1,x +y +a*z ==1},{x,y,z}] 则输出{{x →

,21a + y →,21a

+ z →a +21

}}

当a =-2时,输入

Solve[{-2x+y+z==1,x -2y+z==1,x+y -2z==1},{x,y,z}]

则输出

{ }

说明方程组无解. 当a =1时,输入

Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]

则输出

{{x →1-y -z}}}

说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解 系为为(-1,1,0)与(-1,0,1).

例3.11 求非齐次线性方程组 ?????-=+-+=-+-=+-+2

53442231

24321

43214321x x x x x x x x x x x x 的通解.

解法1 输入

A={{2,1,-1,1},{3,-2,1,-3},{1,4,-3,5}};b={1,4,-2}; particular=LinearSolve[A,b] nullspacebasis=NullSpace[A]

generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular] generalsolution//MatrixForm 解法2 输入

B={{2,1,-1,1,1},{3,-2,1,-3,4},{1,4,-3,5,-2}} RowReduce[B]//MatrixForm

根据增广矩阵的行最简形, 易知方程组有无穷多解. 其通解为

?

???

??? ??-+??????? ??-+??????? ?

?+??????? ??007/57/6107/97/1017/57/14321t k x x x x (k ,t 为任意常数)

实验习题

1.解方程组?????=++=++=+-.

024,02,

032321

321321x x x x x x x x x

2.解方程组?????=++-=++-=++-.

0111784,02463,

03542432143214321x x x x x x x x x x x x

3. 解方程组?????-=-+-=+-=-+-.

22,

3,

44324314324321x x x x x x x x x x 4.解方程组?????=++-=+++=-++.

254,32,

224321

43214321x x x x x x x x x x x x

5.用三种方法求方程组?????

?

?=-+=-+=-+=-+12

7875329

934,

8852321321321321x x x x x x x x x x x x 的唯一解. 6.当b a ,为何值时,方程组????

?

??-=+++=--+-=++=+++1

232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解、有无穷多解?对后

者求通解.

实验4 交通流模型(综合实验)

实验目的

利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,建立交通流模型. 掌握线性代数在交通规划方面的应用.

应用举例

假设某城市部分单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)如图4.1所示.

300300300

200500

x x 8x 图4.1

试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.

假定上述问题满足下列两个基本假设

(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量; (2)全部流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.

于是, 根据图4.1及上述基本两个假设, 可建立该问题的线性方程组

?????

???????

???

?

?=++==+-==+=+=+=+-=+=+-1000

60020040010008001800200500300863101099875

1217654432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 即

??

??

???

?

?????

??? ??=

????????????????

?????????????????? ??---10006002004001000800800200500300001

01

001

1000000000110

000

0000010000000000110000000000010001000000001100

0110000000000110000000001110

10987654

321x x x x x x x x x x 若将上述矩阵方程记为b Ax =,则问题就转化为求b Ax =的全部解. 下面我们利用Mathmatica 软件来求解

1、输入矩阵A ,并利用RowReduce[A ]命令求得A 的秩为8. 输入

RowReduce[A]//MatrixForm Out[2]//MatrixForm=

则输出

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

?

??

?

?

??-0000000

000

00000000001000000000010000000000110000000010100000000001100000000001000000010010000001

0001

2、应用命令NullSpace[A]求出齐次线性方程组0=Ax 的基础解系. 输入

In[3]:=NullSpace[A]//MatrixForm Out[3]//MatrixForm=

则输出

???

? ??----00000110110011100000 由此即得到所求齐次线性方程组的基础解系:

???????????????

? ??--+???????????????? ??--=+=00000110110011100000212211C C c c ξξη, (21,C C 为任意常数). 3、输入增广阵(A b ),求出其秩为8, 由,108)()(=<==n Ab r A r 知方程组有无穷多个解. 输入

RowReduce[Ab]//MatrixForm

Out[5]//MatrixForm=

则输出

????

???

?

??

??

???

?

??-00

00000

000

00000000000600100000000040001000000001000001100000080000101000005000000011000200000000010000

0000100108000000010001 4、应用命令LinearSolve[A, b],求得非齐次线性方程组b Ax =的一个特解. 输入

LinearSolve[A,b]

Out[9]={{800},{0},{200},{500},{0},{800},{1000},{0},{400},{600}}

则得到所求非齐次线性方程组的一个特解:

T )6004000100080005002000800(*=ξ

综上所述,我们就得到了非齐次线性方程组b Ax =的全部解为

,*2211*ξξξξη++++=C C x (21,C C 为任意常数).

在解的表示式中, x 的每一个分量即为交通网络中未知部分的具体流量, 该问题有无穷多解(为什么? 并思考其实际意义).

本模型具有实际应用价值, 求出该模型的解, 可以为交通规划设计部门提供解决交通堵塞、车流运行不畅等问题的方法, 知道在何处应建设立交桥, 那条路应设计多宽等, 为城镇交通规划提供科学的指导意见. 但是,在本模型中,我们只考虑了单行街道这样一种简单情形,更复杂的情形留待读者在更高一级的课程中去研究. 此外,本模型还可推广到电路分析中的网络节点流量等问题中.

实验报告

请读者应用本模型的思想方法, 为你所在或你熟悉的城镇建立一个区域的交通流量模型. 并提供一个具体的解决方案, 即从无穷多个解中根据具体限制确定出一个具体的解决方案.

《数学实验》试题答案

北京交通大学海滨学院考试试题 课程名称:数学实验2010-2011第一学期出题教师:数学组适用专业: 09机械, 物流, 土木, 自动化 班级:学号:姓名: 选做题目序号: 1.一对刚出生的幼兔经过一个月可以长成成兔, 成兔再经过一个月后可以 繁殖出一对幼兔. 如果不计算兔子的死亡数, 请用Matlab程序给出在未来24个月中每个月的兔子对数。 解: 由题意每月的成兔与幼兔的数量如下表所示: 1 2 3 4 5 6 ··· 成兔0 1 1 2 3 5··· 幼兔 1 0 1 1 2 3··· 运用Matlab程序: x=zeros(1,24); x(1)=1;x(2)=1; for i=2:24 x(i+1)=x(i)+x(i-1); end x 结果为x = 1 1 2 3 5 8 13 21 3 4 5 5 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 1094 6 7711 2865 7 46368 2.定积分的过程可以分为分割、求和、取极限三部分, 以1 x e dx 为例, 利用

已学过的Matlab 命令, 通过作图演示计算积分的过程, 并与使用命令int() 直接积分的结果进行比较. 解:根据求积分的过程,我们先对区间[0,1]进行n 等分, 然后针对函数x e 取和,取和的形式为10 1 i n x i e e dx n ξ=≈ ∑ ? ,其中1[ ,]i i i n n ξ-?。这里取i ξ为区间的右端点,则当10n =时,1 x e dx ?可用10 101 1.805610 i i e ==∑ 来近似计算, 当10n =0时,100 100 1 01 =1.7269100 i x i e e dx =≈ ∑?,当10n =000时,10000 10000 1 1 =1.718410000 i x i e e dx =≈ ∑ ?. 示意图如下图,Matlab 命令如下: x=linspace (0,1,21); y=exp(x); y1=y(1:20); s1=sum(y1)/20 y2=y(2:21); s2=sum(y2)/20 plot(x,y); hold on for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b') end syms k;symsum(exp(k/10)/10,k,1,10);%n=10 symsum(exp(k/100)/100,k,1,100);%n=100 symsum(exp(k/10000)/10000,k,1,10000);%n=10000

高等数学实验试题

东华大学20 ~ 20 学年第__ __学期期_末_试题A 踏实学习,弘扬正气;诚信做人,诚实考试;作弊可耻,后果自负 课程名称______高等数学实验___________使用专业____ 班级_____________姓名________________学号__________ 机号 要求:写出M 函数(如果需要的话)、MATLAB 指令和计算结果。1.设矩阵A = 6 14230215 1 0321 21----, 求A 的行列式和特征值。 2. 设 f (x ,y ) =2x cos (xy 2 ),求 21,2 x y f x y ==???。

3. 求积分? --1 2 2 1)2(x x xdx 的数值解。 4. 求解微分方程0.5e - x d y -sin x d x=0, y (0)=0, 要求写出x =2 时的y 值。 5. 求解下列方程在k=6,θ=π/3附近的解???=-=-1)sin (3 )cos 1(θθθk k

6. 取k 7. 编写一个M 函数文件,使对任意给定的精度ε, 求N 使得 επ≤-∑=612 1 2 N n n 并对ε= 0.001求解。

8. 在英国工党成员的第二代加入工党的概率为0.5,加入保守党的概率为0.4,加入自由党的概率为0.1。而保守党成员的第二代加入保守党的概率为0.7,加入工党的概率为0.2,加入自由党的概率为0.1。而自由党成员的第二代加入保守党的概率为0.2,加入工党的概率为0.4,加入自由党的概率为0.4。求自由党成员的第三代加入工党的概率是多少?假设这样的规律保持不变,在经过很多代后,英国政党大致分布如何?

数学实验 课程设计

安徽工业大学 大学数学实验课程设计 姓名: 班级: 任课老师:

数学实验 课程设计 问题提出: 某容器盛满水后,低端直径为0d 的小孔开启(图)。根据水力学知识,当水面 高度h 时,水冲小孔中流出的速度v =(g 为重力加速度,0.6为孔口的收缩系数)。 ⑴若容器为倒圆锥形(如图1),现测得容器高和上底面直径均为1.2m ,小孔直径为3cm ,问水从小孔中流完需要多长时间;2min 水面高度是多少。 ⑵若容器为倒葫芦形(如图2),现测得容器高为1.2m ,小孔直径为3cm ,有低端(记作x=0)向上每隔0.1m 测出容器的直径D (m )如表所示,问水从小孔中流完需要多少时间;2min 时水面的高度是多少。 图1 : 图2: 问题分析: (1) 倒圆锥形容器流水问题中随时间t 液面高度h 也在变化,同时水的流速也 在变化,再写变化难以用普通的方程进行模拟求解,考虑建立常微分方程竟而代入数值求解。水面的直径等于液面的高度。可以建立容器中水流失的液面高度对时间t 的变化率。 假设t 时,液面的高度h ,此时水的流速流量Q 为:00.6(/4)d π ; 则 在t ?时间内液面下降高度为h ?,可得到关系式:220( )2 4 d dt h dh π = ;

由此可知水下降h ? 时需要的时间:20 40.6 4 h dh t d π π ?= = 根据此关系式知道。 (2) 在第二问中,考虑倒葫芦形容器时因为他的高度h 不同容器直径D 变化 没有规律可循,同第一题相比我们只知道他的一些数值,这就需要我们建立高度h 和容器直径D 之间的关系矩阵,然后再欧拉方程和龙格—库塔方法找出时间t 和液面高度之间的分量关系。 由(1)可同理推知:假设在时间t 时,液面高度为h ,此时流量 为 2 00.6(/4)d π;经过t ?时,液面下降h ?,若我们取的t 是在t(n)和t(n+1) 之间的某一时刻,于是就可在误差范围内得到 (1)()t n t n t +=+?;可以得 到 204 (1)()0.64 h d h dt t n t n d π π =+-=- = ; 建立模型: (1) 在试验中我们不考虑圆锥的缺省对流水的影响,以及其他外界因素和玻璃 的毛细作用,试验中水可以顺利流完。实验中重力加速度g=9.82 /m s ;倒圆锥的液面最初高度为H=1.2m ,液面直径D=1.2m=0.03,小孔的直径为 0d =0.03m ; 接上文中分析结论代入数据:即在T 时间内将1.2m 的液面高度放完, (matlab 不支持一些运算符号,故用matlab 运算格式) dt=-((pi/4)h^2*dh)/(0.6*(pi/4)*d^2*sqrt(gh))=-(h^1.5*dh)/(0.6*d^2*sqrt(g)) h 是由0→1.2m 对t 积分 用matlab 计算上式 编辑文件:a1.m , d0=0.03; g=9.8; syms h t=(h^1.5)/(0.6*d0^2*sqrt(g)); T=int(t,0,1.2); eval(T) 运行结果: >> a1 ans =

大学数学实验

大学数学实验 项目一 矩阵运算与方程组求解 实验1 行列式与矩阵 实验目的 掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Mathematica (4.0以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式. 基本命令 在Mathematica 中, 向量和矩阵是以表的形式给出的. 1. 表在形式上是用花括号括起来的若干表达式, 表达式之间用逗号隔开. 如输入 {2,4,8,16} {x,x+1,y,Sqrt[2]} 则输入了两个向量. 2. 表的生成函数 (1) 最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下: Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n }; Range[m, n]—生成表{m ,…,n }; Range[m, n, dx]—生成表{m ,…,n }, 步长为d x . (2) 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令 Table[n^3,{n,1,20,2}] 则输出 {1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859} 输入 Table[x*y,{x,3},{y,3}] 则输出 {{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}} 3. 表作为向量和矩阵 一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵 ??? ? ??5432 可以用数表{{2,3},{4,5}}表示. 输入 A={{2,3},{4,5}} 则输出 {{2,3},{4,5}} 命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如, 输入命令: MatrixForm[A] 则输出 ??? ? ??5432 但要注意, 一般地, MatrixForm[A]代表的矩阵A 不能参与运算. 输入 B={1,3,5,7} 输出为 {1,3,5,7} 输入 MatrixForm[B] 输出为

大学数学数学实验(第二版)第7,8章部分习题答案

一、实验内容 P206第六题 function f=wuyan2(c) y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.41 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4] t=[0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210] f=y-c(1)/(1+c(1)/3.9-1)*exp^(-c(2)*t) c0=[1 1] c=lsqnonlin('wuyan2',c0) P206第七题 function f=wuyan1(c) q=[0.4518 0.4862 0.5295 0.5934 0.7171 0.8964 1.0202 1.1963 1.4928 1.6909 1.8548 2.1618 2.6638 3.4634 4.6759 5.8478 6.7885 7.4463 7.8345 8.2068 8.9468 9.7315 10.5172 11.7390 13.6876 ]; k=[0.0911 0.0961 0.1230 0.1430 0.1860 0.2543 0.3121 0.3792 0.4754 0.4410 0.4517 0.5595 0.8080 1.3072 1.7042 2.0019 2.2914 2.4941 2.8406 2.9855 3.2918 3.7214 4.3500 5.5567 7.0477]; l=[4.2361 4.3725 4.5295 4.6436 4.8179 4.9873 5.1282 5.2783 5.4334 5.5329 6.4749 6.5491 6.6152 6.6808 6.7455 6.8065 6.8950 6.9820 7.0637 7.1394 7.2085 7.3025 7.3470 7.4432 7.5200]; f=q-c(1)*k.^c(2).*l.^c(3) c0=[1 1 1] c=lsqnonlin('wuyan1',c0) c = 0.4091 0.6401 1.1446 a=0.4091 α=0.6401 β=1.1446 P239第五题 c=[-20 -30]; A=[1 2;5 4]; b=[20 70]; v1=[0 0]; [x,f,ef,out,lag]=linprog(c,A,b,[],[],v1) z=-f x = 10.0000 5.0000

清华大学数学实验报告4

清华大学数学实验报告4

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电13 苗键强2011010645

一、实验目的 1.掌握用 MATLAB 软件求解非线性方程和方程组的基本用法, 并对结果作初步分析; 2.练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解。 二、实验内容 题目1 【问题描述】 (Q1)小张夫妇以按揭方式贷款买了1套价值20万元的房子,首付了5万元,每月还款1000元,15年还清。问贷款利率是多少? (Q2)某人欲贷款50 万元购房,他咨询了两家银行,第一家银行 开出的条件是每月还4500元,15 年还清;第二家银行开出的条件是每年还45000 元,20年还清。从利率方面看,哪家银行较优惠(简单假设:年利率=月利率×12)? 【分析与解】 假设初始贷款金额为x0,贷款利率为p,每月还款金额为x,第i 个月还完当月贷款后所欠银行的金额为x i,(i=1,2,3,......,n)。由题意可知: x1=x0(1+p)?x x2=x0(1+p)2?x(1+p)?x x3=x0(1+p)3?x(1+p)2?x(1+p)?x ……

x n=x0(1+p)n?x(1+p)n?1???x(1+p)?x =x0(1+p)n?x (1+p)n?1 p =0 因而有: x0(1+p)n=x (1+p)n?1 p (1) 则可以根据上述方程描述的函数关系求解相应的变量。 (Q1) 根据公式(1),可以得到以下方程: 150p(1+p)180?(1+p)180+1=0 设 f(p)=150p(1+p)180?(1+p)180+1,通过计算机程序绘制f(p)的图像以判断解p的大致区间,在Matlab中编程如下: fori = 1:25 t = 0.0001*i; p(i) = t; f(i) =150*t*(1+t).^180-(1+t).^180+1; end; plot(p,f),hold on,grid on; 运行以上代码得到如下图像:

重庆大学数学实验 方程模型及其求解算法 参考答案

实验2 方程模型及其求解算法 一、实验目的及意义 [1] 复习求解方程及方程组的基本原理和方法; [2] 掌握迭代算法; [3] 熟悉MATLAB软件编程环境;掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句); [4] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程; 通过该实验的学习,复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法(简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等),初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念,掌握数学的思维方法,熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。 二、实验内容 1.方程求解和方程组的各种数值解法练习 2.直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习 3.针对实际问题,试建立数学模型,并求解。 三、实验步骤 1.开启软件平台——MATLAB,开启MATLAB编辑窗口; 2.根据各种数值解法步骤编写M文件 3.保存文件并运行; 4.观察运行结果(数值或图形); 5.根据观察到的结果写出实验报告,并浅谈学习心得体会。 四、实验要求与任务 基础实验 1.用图形放大法求解方程x sin(x) = 1. 并观察该方程有多少个根。 画出图形程序: x=-10:0.01:10; y=x.*sin(x)-1; y1=zeros(size(x)); plot(x,y,x,y1) MATLAB运行结果:

-10-8-6-4-20246810 -8-6 -4 -2 2 4 6 8 扩大区间画图程序: x=-50:0.01:50; y=x.*sin(x)-1; y1=zeros(size(x)); plot(x,y,x,y1) MATLAB 运行结果: -50-40-30-20-1001020304050 由上图可知,该方程有偶数个无数的根。

清华大学2002至2003学年第二学期数学实验期末考试试题A

清华大学2002至2003学年第二学期数学实验期末考试试题A 数学实验试题 2003.6.22 上午 (A卷;90分钟) 一. 某两个地区上半年6个月的降雨量数据如下(单位:mm): 月份123456 地区A259946337054 地区B105030204530 在90%的置信水平下,给出A地区的月降雨量的置信区 间: 在90%的置信水平下,A地区的月降雨量是否不小于70(mm)? 在90%的置信水平下,A、B地区的月降雨量是否相同? A地区某条河流上半年6个月对应的径流量数据如下(单位:m3):110,184,145,122,165,143。该河流的径流量y与当地的降雨量x的线性回归方程为;若当地降雨量为55mm,该河流的径流量的预测区间为(置信水平取90%)。 答案:(程序略) (1) [32.35,76.65] (2) 是 (3) 否 (4) y=91.12+0.9857x (5) [130.9,159.7] 二.(10分) (1)(每空1分)给定矩阵,如果在可行域上考虑线性函数,其中,那么的最小值是,最小点为;最大值是,最大点为。 (每空2分)给定矩阵,,考虑二次规划问题,其最优解为,(2) 最优值为,在最优点处起作用约束 为 。 答案:(1)最小值为11/5,最大值为7/2,最小点为(0,2/5,9/5),最大点为(1/2,0,3/2)。 (2)最优解为(2.5556,1.4444),最优值为–1.0778e+001,其作用约束为。 三.(10分)对线性方程组:,其中A=,b= (3分)当时,用高斯—赛德尔迭代法求解。取初值为,写出迭代第4步的结果=____________________。 (4分)当时,用Jacobi 迭代法求解是否收敛?__________ , 理由是_________________________________________________ 。 (3分)求最大的c, 使得对任意的,用高斯—赛德尔迭代法求解一定收敛,则c应为__________。 答案:(1)x = [ -1.0566 1.0771 2.9897]

数字电子钟课程设计实验报告

中北大学 信息与通信工程学院 通信工程专业 《电子线路及系统》课程设计任务书2016/2017 学年第一学期 学生姓名:张涛学号: 李子鹏学号: 课程设计题目:数字电子钟的设计 起迄日期:2017年1月4日~2017年7月10日 课程设计地点:科学楼 指导教师:姚爱琴 2017年月日 课程设计任务书

中北大学 信息与通信工程学院 通信工程专业 《电子线路及系统》课程设计开题报告2016/2017 学年第一学期 题目:数字电子钟的设计 学生姓名:张涛学号: 李子鹏学号:

指导教师:姚爱琴 2017 年 1 月 6 日 中北大学 信息与通信工程学院 通信工程专业 《电子线路及系统》课程设计说明书2016/2017 学年第二学期 题目:数字电子钟的设计 学生姓名:张涛学号: 李子鹏学号: 指导教师:姚爱琴 2017 年月日

目录 1 引言 (6) 2 数字电子钟设计方案 (6) 2.1 数字计时器的设计思想 (6) 2.2数字电路设计及元器件参数选择 (6) 2.2.2 时、分、秒计数器 (7) 2.2.3 计数显示电路 (8) 2.2.5 整点报时电路 (10) 2.2.6 总体电路 (10) 2.3 安装与调试 (11) 2.3.1 数字电子钟PCB图 (11) 3 设计单元原理说明 (11) 3.1 555定时器原理 (12) 3.2 计数器原理 (12) 3.3 译码和数码显示电路原理 (12) 3.4 校时电路原理 (12) 4 心得与体会 (12) 1 引言 数字钟是一种用数字电子技术实现时,分,秒计时的装置,具有较高的准确性和直观性等各方面的优势,而得到广泛的应用。此次设计数字电子钟是为了了解数字钟的原理,在设计数字电子钟的过程中,用数字电子技术的理论和制作实践相结合,进一步加深数字电子技术课程知识的理解和应用,同时学会使用Multisim电子设计软件。 2数字电子钟设计方案 2.1 数字计时器的设计思想 要想构成数字钟,首先应选择一个脉冲源——能自动地产生稳定的标准时间脉冲信号。而脉冲源产生的脉冲信号地频率较高,因此,需要进行分频,使得高频脉冲信号变成适合于计时的低频脉冲信号,即“秒脉冲信号”(频率为1Hz)。经过分频器输出的秒脉冲信号到计数器中进行计数。由于计时的规律是:60秒=1分,60分=1小时,24小时=1天,就需要分别设计60进制,24进制计数器,并发出驱动信号。各计数器输出信号经译码器、驱动器到数字显示器,是“时”、“分”、“秒”得以数字显示出来。 值得注意的是:任何记时装置都有误差,因此应考虑校准时间电路。校时电路一般

东华大学MATLAB数学实验第二版答案(胡良剑)

东华大学M A T L A B数学实验第二版答案(胡良 剑) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数学实验答案 Chapter 1 Page20,ex1 (5) 等于[exp(1),exp(2);exp(3),exp(4)] (7) 3=1*3, 8=2*4 (8) a为各列最小值,b为最小值所在的行号 (10) 1>=4,false, 2>=3,false, 3>=2, ture, 4>=1,ture (11) 答案表明:编址第2元素满足不等式(30>=20)和编址第4元素满足不等式(40>=10) (12) 答案表明:编址第2行第1列元素满足不等式(30>=20)和编址第2行第2列元素满足不等式(40>=10) Page20, ex2 (1)a, b, c的值尽管都是1,但数据类型分别为数值,字符,逻辑,注意a与c 相等,但他们不等于b (2)double(fun)输出的分别是字符a,b,s,(,x,)的ASCII码 Page20,ex3 >> r=2;p=0.5;n=12; >> T=log(r)/n/log(1+0.01*p) Page20,ex4 >> x=-2:0.05:2;f=x.^4-2.^x; >> [fmin,min_index]=min(f) 最小值最小值点编址 >> x(min_index) ans = 0.6500 最小值点 >> [f1,x1_index]=min(abs(f)) 求近似根--绝对值最小的点 f1 = 0.0328 x1_index = 24 >> x(x1_index) ans = -0.8500 >> x(x1_index)=[];f=x.^4-2.^x; 删去绝对值最小的点以求函数绝对值次小的点>> [f2,x2_index]=min(abs(f)) 求另一近似根--函数绝对值次小的点 f2 = 0.0630 x2_index = 65 >> x(x2_index) ans =

中国矿业大学软件课程设计实验报告

编号:()字号 《软件课程设计》报告 班级: 12级信息安全二班 姓名:李江涛 学号: 08123608 指导老师:徐慧 中国矿业大学计算机科学与技术学院 2013年 6 月

软件课程设计任务书 专业年级:信息安全二班 学生姓名:李江涛 任务下达日期:2013 年 4 月日 课程设计日期:2013 年 4 月5日至200年7月 3 日 课程设计题目:面向过程 目录 一第一阶段-----------面向过程 (4) 1 --------------------人民币凑数问题 (4) 1.1 需求分析 (4) 1.2 概要设计 (5) 1.3 详细设计与编码 (5)

1.5 用户使用说明 (6) 1.6 设计体会 (6) 2-------------------- 日期星期转换 (7) 2.1.需求分析: (7) 2.2 概要设计 (7) 2.4.调试分析 (10) 2.5.用户使用说明 (10) 2.6.测试分析 (10) 2.7.设计体会: (10) 二第二阶段------------面向对象 (11) 1--------------------学生管理系统 (11) 1.1----需求分析 (11) 1.2.概要设计 (11) 1.3.详细设计与编码 (11) 1.4 运行结果: (17) 1.5调试分析 (18) 1.6用户使用说明 (18) 1.7测试分析: (18) 1.8 实验体会 (18) 2 面向对象函数模板反向输出 (19) 1--------------------函数模板反向输出 (19) 1.1 需求分析: (19) 1.2函数模板反向输出源代码: (19) 1.4 运行结果: (21) 三第三部分----------可视化 (21) 1--------------------计算器: (21) 用你熟悉的一种可视化编程语言实现如下图所示的计算器。该计算器需要实现基础 的数学运算,如加,减,乘,除。 (21) 1.1重要程序 (21) 1.3运行结果图: (22) 四第四部分----------数据结构 (23) 1--------------------求矩阵的转置 (23) 1.1 需求分析: (23) 1.2 概要设计: (24) 1.3 详细设计与编码: (24) 1.4 运行结果: (27) 1.5 用户使用: (27) 1.6 设计体会: (27) 2--------------------数据结构统计选票 (27) 2.1 需求分析: (28) 2.2 概要设计: (28) 2.3 详细设计与编码: (28) 2.4 运行结果: (30)

大学数学实验心得体会

大学数学实验心得体会 [模版仅供参考,切勿通篇使用] 大学数学实验心得体会(一) 数学,在整个人类生命进程中至关重要,从小学到中学,再到大学,乃至更高层次的科学研究都离不开数学,随着时代的发展,人们越来越重视数学知识的应用,对数学课程提出了更高层次的要求,于是便诞生了数学实验。 学期最初,大学数学实验对于我们来说既熟悉又陌生,在我们的记忆中,我们做过物理实验、化学实验、生物实验,故然我们以为数学实验与它们一样,当我们在网上搜索有关数学实验的信息时,我们才知道,大学数学实验作为一门新兴的数学课程在近十年来取得了迅速的发展。数学实验以计算机技术和数学软件为载体,将数学建模的思想和方法融入其中,现在已经成为一种潮流。 当我们怀着好奇的心情走进屈静国老师的数学实验课堂时,我们才渐渐懂得,数学实验是一门有关计算机软件的课程,就像c语言一样,需要编辑运行程序,从而进行数学运算,它不需要自己来运算,就像计算器一样,只要我们自己记下重要程序语句,输入运行程序,便可得到运行结果,大大降低了我们的运算量,

给我们生活带来许多便捷,在大一时,我学过c语言,由于这样的基础,让我能够更快的学会并应用此软件。 时间飞逝,转眼间,我们就要结课了,这学期我们学习了mathematics的基础,微积分实验,线性代数实验,概率论与数理统计实验,数值计算方法及实验。通过这学期的学习,我也积累了些自己的学习方法和心得。首先,我们要在平时上课牢记那些mathematics语言和公式,那些东西就想单词和公式一样,只需要背诵;然后,我们要看几遍书,并多看一下例题;最后,我们要多应用mathematics软件去练习。正所谓熟能生巧,我坚信,只要我们能够做到这三步,我们就能很好的掌握这门课程。 通过学习使用数学软件,数学实验建模,使我们能够从实际问题出发,认真分析研究,建立简单数学模型,然后借助先进的计算机技术,最终找出解决实际问题的一种或多种方案,从而提高了我们的数学思维能力,为我们参加数学竞赛和数学建模打下了坚实的基础,同时也为我们进一步深造和参加工作打下一定的实践基础! 大学数学实验心得体会(二) 在此期间我充分利用研修活动时间学习,感到既有辛苦,又有收获。既有付出,又有新所得。这次远程研修让我有幸与专家和各地的数学精英们交流,面对每次探讨的主题,大家畅所欲言,

《大学物理实验》模拟试卷与答案

二、判断题(“对”在题号前()中打√×)(10分) (√)1、误差是指测量值与真值之差,即误差=测量值-真值,如此定义的误差反映的是测量值偏离真值的大小和方向,既有大小又有正负符号。 (×)2、残差(偏差)是指测量值与其算术平均值之差,它与误差定义一样。(√)3、精密度是指重复测量所得结果相互接近程度,反映的是随机误差大小的程度。 (√)4、测量不确定度是评价测量质量的一个重要指标,是指测量误差可能出现的范围。 (×)7、分光计设计了两个角游标是为了消除视差。 (×)9、调节气垫导轨水平时发现在滑块运动方向上不水平,应该先调节单脚螺钉再调节双脚螺钉。 (×)10、用一级千分尺测量某一长度(Δ仪=0.004mm),单次测量结果为N=8.000mm,用不确定度评定测量结果为N=(8.000±0.004)mm。 三、简答题(共15分) 1.示波器实验中,(1)CH1(x)输入信号频率为50Hz,CH2(y)输入信号频率为100Hz;(2)CH1(x)输入信号频率为150Hz,CH2(y)输入信号频率为50Hz;画出这两种情况下,示波器上显示的李萨如图形。(8分)

差法处理数据的优点是什么?(7分) 答:自变量应满足等间距变化的要求,且满足分组要求。(4分) 优点:充分利用数据;消除部分定值系统误差 四、计算题(20分,每题10分) 1、用1/50游标卡尺,测得某金属板的长和宽数据如下表所示,求金属板的面 解:(1)金属块长度平均值:)(02.10mm L = 长度不确定度: )(01.03/02.0mm u L == 金属块长度为:mm L 01.002.10±= %10.0=B (2分) (2)金属块宽度平均值:)(05.4mm d = 宽度不确定度: )(01.03/02.0mm u d == 金属块宽度是:mm d 01.005.4±= %20.0=B (2分) (3)面积最佳估计值:258.40mm d L S =?= 不确定度:2222222 221.0mm L d d s L s d L d L S =+=??? ????+??? ????=σσσσσ 相对百分误差:B =%100?S s σ=0.25% (4分) (4)结果表达:21.06.40mm S ±= B =0.25% (2分) 注:注意有效数字位数,有误者酌情扣 5、测量中的千分尺的零点误差属于已定系统误差;米尺刻度不均匀的误差属于未

matlab数学实验练习题

Matlab 数学实验 实验一 插值与拟合 实验内容: 预备知识:编制计算拉格朗日插值的M 文件。 1. 选择一些函数,在n 个节点上(n 不要太大,如5 ~ 11)用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法,计算m 个插值点的函数值(m 要适中,如50~100)。通过数值和图形输出,将三种插值结果与精确值进行比较。适当增加n ,再做比较,由此作初步分析。下列函数任选一种。 (1)、 ;20,sin π≤≤=x x y (2)、;11,)1(2/12≤≤--=x x y (3)、;22,c o s 10 ≤≤-=x x y (4)、22),exp(2≤≤--=x x y 2.用电压V=10伏的电池给电容器充电,电容器上t 时刻的电压为 ) (0)()(t e V V V t v ---=,其中0V 是电容器的初始电压,τ是充电常数。试由下面 一组t ,V 数据确定0V 和τ。 实验二 常微分方程数值解试验 实验目的: 1. 用MATLAB 软件求解微分方程,掌握Euler 方法和龙格-库塔方法; 2. 掌握用微分方程模型解决简化的实际问题。 实验内容:

实验三地图问题 1.下图是一个国家的地图,为了计算出它的国土面积,首先对地图作如下测量: 以由西向东方向为x轴,由南到北方向为y轴,选择方便的原点,并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当地划分为若干段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标y1和y2,这样就得到了表中的数据(单位mm)。 根据地图的比例我们知道18mm相当于40km,试由测量数据计算该国土 的近似面积,并与它的精确值41288km2比较。

东南大学高等数学数学实验报告上

高等数学数学实验报告实验人员:院(系) ___________学号_________姓名____________ 实验地点:计算机中心机房 实验一 一、实验题目: 根据上面的题目,通过作图,观察重要极限:lim(1+1/n)n=e 二、实验目的和意义 方法的理论意义和实用价值。 利用数形结合的方法观察数列的极限,可以从点图上看出数列的收敛性,以及近似地观察出数列的收敛值;通过编程可以输出数列的任意多项值,以此来得到数列的收敛性。通过此实验对数列极限概念的理解形象化、具体化。 三、计算公式(1+1/n)n 四、程序设计 五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 当n足够大时,所画出的点逐渐接近于直线,即点数越大,精确度越高。对于不同解题方法最后均能获得相同结果,因此需要择优,从众多方法中尽可能选择简单的一种。程序编写需要有扎实的理论基础,因此在上机调试前要仔细审查细节,对程序进行尽可能的简化、改进与完善。 实验二 一、实验题目 制作函数y=sin cx的图形动画,并观察参数c对函数图形的影响。 二、实验目的和意义 本实验的目的是让同学熟悉数学软件Mathematica所具有的良好的作图功能,并通过函数图形来认识函数,运用函数的图形来观察和分析函数的有关性态,建立数形结合的思想。 三、计算公式:y=sin cx 四、程序设计 五、程序运行结果

六、结果的讨论和分析 c 的不同导致函数的区间大小不同。 实验三 一、实验题目 观察函数f(x)=cos x 的各阶泰勒展开式的图形。 二、实验目的和意义 利用Mathematica 计算函数)(x f 的各阶泰勒多项式,并通过绘制曲线图形,来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 三、计算公式 四、程序设计 五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 函数的泰勒多项式对于函数的近似程度随着阶数的提高而提高,但是对于任一确定次数的多项式,它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。 实验四 一、实验题目 计算定积分的黎曼和 二、实验目的和意义 在现实生活中许多实际问题遇到的定积分,被积函数往往不能用算是给出,而通过图像或表格给出;或虽然给出,但是要计算他的原函数却很困难,甚至原函数非初等函数。本实验目的,就是为了解决这些问题,进行定积分近似计算。 三、计算公式 四、程序设计 五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 本实验求的近似值由给出的n 的值的不同而不同。给出的n 值越大,得到的结果越接近准确的

南京邮电大学数学实验练习题参考答案

第一次练习 教学要求:熟练掌握Matlab 软件的基本命令和操作,会作二维、三维几何图形,能够用Matlab 软件解决微积分、线性代数与解析几何中的计算问题。 补充命令 vpa(x,n) 显示x 的n 位有效数字,教材102页 fplot(‘f(x)’,[a,b]) 函数作图命令,画出f(x)在区间[a,b]上的图形 在下面的题目中m 为你的学号的后3位(1-9班)或4位(10班以上) 计算30sin lim x mx mx x →-与3 sin lim x mx mx x →∞- 程序: syms x limit((1001*x-sin(1001*x))/x^3,x,0) 结果: 程序: syms x limit((1001*x-sin(1001*x))/x^3,x,inf) 结果: 0 cos 1000 x mx y e =,求''y 程序: syms x diff(exp(x)*cos(1001*x/1000),2) 结果: -2001/1000000*exp(x)*cos(1001/1000*x)-1001/500*exp(x)*sin(1001/1000*x)

计算 2 2 11 00 x y e dxdy +?? 程序: dblquad(@(x,y) exp(x.^2+y.^2),0,1,0,1) 结果: 计算4 2 2 4x dx m x +? 程序: syms x int(x^4/(1000^2+4*x^2)) 结果: (10)cos , x y e mx y =求 程序: syms x diff(exp(x)*cos(1000*x),10) 结果: 给出 0x =的泰勒展式(最高次幂为4). 程序: syms x taylor(sqrt(1001/1000+x),5) 结果: Fibonacci 数列{}n x 的定义是121,1x x ==, 12,(3,4,)n n n x x x n --=+=L 用循环语句编程给出该数列的前20项(要求将结果用向量的形式给出)。 程序: x=[1,1]; for n=3:20 x(n)=x(n-1)+x(n-2); end x 结果: Columns 1 through 10 1 1 2 3 5 8 13 21 3 4 5 5 Columns 11 through 20 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

大学数学实验—期末考试试题6

数学实验试题 2003.6.22 上午 班级姓名学号得分 说明: (1)第一、二、三题的答案直接填在试题纸上; (2)第四题将数学模型、简要解题过程和结果写在试题纸上;卷面空间不够时,可写在背面; (3)考试时间为90分钟。 一.(10分,每空2分)(计算结果小数点后保留4位有效数字) 地区的月降雨量的置信区间: (2)在90%的置信水平下,A地区的月降雨量是否不小于70(mm)? (3)在90%的置信水平下,A、B地区的月降雨量是否相同? (4)A地区某条河流上半年6个月对应的径流量数据如下(单位:m3):110,184,145,122,165,143。该河流的径流量y与当地的降雨量x的线性回归方程为;若当地降雨量为55mm,该河流的径流量的预测区间为(置信水平取90%)。 二.(10分) (1)(每空1分)给定矩阵,如果在可行域上考虑线性函数,其中,那么的最小值是,最小点为;最大值是,最大点为。 (2)(每空2分)给定矩阵,,考虑二次规划问题,其最优解 为,最优值为,在最优点处起作用约束为。 三.(10分)对线性方程组:,其中A=,b=

(1)(3分)当时,用高斯—赛德尔迭代法求解。取初值为, 写出迭代第4步的结果=____________________。 (2)(4分)当时,用Jacobi 迭代法求解是否收敛?__________ , 理由是_________________________________________________ 。 (3)(3分)求最大的c, 使得对任意的,用高斯—赛德尔迭代法求解一 定收敛,则c应为__________。 四.(20分)一个二级火箭的总重量为2800公斤。第一级火箭的重量为1000公斤,其中燃料为800公斤。第一级火箭燃料燃烧完毕后自动脱落,第二级火箭立即继续燃烧。第二级火箭中的燃料为600公斤。假设火箭垂直向上发射,两级火箭中的燃料同质,燃烧率为15公斤/秒,产生的推力为30000牛顿。火箭上升时空气阻力正比于速度的平方,比例系数为0.4公斤/米。 (1)建立第一级火箭燃烧时火箭运行的数学模型,并求第一级火箭脱落时的高度、速度和加速度; (2)建立第二级火箭燃烧时火箭运行的数学模型,并求火箭所有燃料燃烧完毕瞬间的高度、速度、和加速度。 (提示:牛顿第二定律f=ma,其中f为力,m为质量,a为加速度。重力加速度9.8米/平方秒。)

数字图像处理课程设计(实验报告)

上海理工大学 计算机工程学院 实验报告 实验名称红细胞数目统计课程名称数字图像处理 姓名王磊学号0916020226 日期2012-11-27 地点图文信息中心成绩教师韩彦芳

一、设计内容: 主题:《红细胞数目检测》 详细说明:读入红细胞图片,通过中值滤波,开运算,闭运算,以及贴标签等方法获得细胞个数。 二、现实意义: 细胞数目检测在现实生活中的意义主要体现在医学上的作用,可通过细胞数目的检测来查看并估计病人或动物的血液中细胞数,如估测血液中红细胞、白细胞、血小板、淋巴细胞等细胞的数目,同时也可检测癌细胞的数目来查看医疗效果,根据这一系列的指标来对病人或动物进行治疗,是具有极其重要的现实作用的。 三、涉及知识内容: 1、中值滤波 2、开运算 3、闭运算 4、二值化 5、贴标签 四、实例分析及截图效果: (1)代码如下: 1、程序中定义图像变量说明 (1)Image--------------------------------------------------------------原图变量;

(2)Image_BW-------------------------------------------------------值化图象; (3)Image_BW_medfilt-------------------------中值滤波后的二值化图像; (4)Optimized_Image_BW---通过“初次二值化图像”与“中值滤波后的二值化图像”进行“或”运算优化图像效果; (5)Reverse_Image_BW--------------------------优化后二值化图象取反;(6)Filled_Image_BW----------------------已填充背景色的二进制图像;(7)Open_Image_BW--------------------------------------开运算后的图像; 2、实现代码: %-------图片前期处理------------------- %第一步:读取原图,并显示 A = imread('E:\红细胞3.png'); Image=rgb2gray(A); %RGB转化成灰度图 figure,imshow(Image); title('【原图】'); %第二步:进行二值化 Theshold = graythresh(Image); %取得图象的全局域值 Image_BW = im2bw(Image,Theshold); %二值化图象 figure,imshow(Image_BW); title('【初次二值化图像】'); %第三步二值化图像进行中值滤波 Image_BW_medfilt= medfilt2(Image_BW,[13 13]); figure,imshow(Image_BW_medfilt); title('【中值滤波后的二值化图像】'); %第四步:通过“初次二值化图像”与“中值滤波后的二值化图像”进行“或”运算优化图像效果 Optimized_Image_BW = Image_BW_medfilt|Image_BW; figure,imshow(Optimized_Image_BW); title('【进行“或”运算优化图像效果】'); %第五步:优化后二值化图象取反,保证:‘1’-〉‘白色’,‘0’-〉‘黑色’ %方便下面的操作 Reverse_Image_BW = ~Optimized_Image_BW; figure,imshow(Reverse_Image_BW); title('【优化后二值化图象取反】');

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