用SOR迭代法

一、数值求解如下正方形域上的Poisson 方程边值问

二、2222(,)2,0,1

(0,)(1,)(1),01(,0)(,1)0,

01u u f x y x y x y u y u y y y y u x u x x ???

??-+==<

==-≤≤??==≤≤?

二、用椭圆型第一边值问题的五点差分格式得到线性方程组为

2,1,1,,1,10,1,,0,141,?,?,?,?0,1

i j i j i j i j i j ij

j N j i i N u u u u u h f i j N

u u u u i j N -+-+++----=≤≤====≤≤+，

写成矩阵形式Au=f 。其中 三、基本原理

程序步骤：所有的步骤基本一致 1． 设置u ，n ，并给u ，n 赋初值； 2． While 语句循环，到的6步 3． Up 我第K 次迭代的值； 4． 分别进行计算，sum=0; 例如:

Jacobi :sun= sum+A(i,j)*Ub; SOR 和Gauss_Seidel= sum+A(i,j)*u; 各自进行相应的下不运算。

5． 计算|Up-u|

8． 在块的迭代中调用了追赶法的求解子程序zg ，在SOR 设计了A 得自动生成子程序

creat_matix.

1122N N v b v b u f v b ???? ? ? ?

?== ? ? ? ?????

4114114ii A -?? ?- ?= ?- ?

-?

? 11,12,1,121,22,2,21,2,,2211,12,1,121,22,2,221,2,,(,,...,),(,,...,),......,(,,...,)(,,...,)?,(,,...,)?,......,(,,...,)?

1,999,

0.10.01

1T T N N T

N N N N N T T N N T N N N N N v u u u v u u u v u u u b h f f f b h f f f b h f f f h N h N ====+=+=+===+取或则或,2,,1,2,...,i j f i j N

==

1122NN A I I A A I I

A -?? ?-

?= ?

- ?-?

?

四、编写求解线性方程组Au=f的算法程序，用下列方法编程计算，并比较计算速度。1．用Jacobi迭代法求解线性方程组Au=f。

function [u,k]=Jacobi(n,ep,it_max)

%JACOBI迭代法求Au=f;

%n迭代次数;

%ep为精度要求;

% it_max为最大迭代次数;

% u为方程组的解;

% k为迭代次数;

h=1/(n+1);

f(2:n+1,2:n+1)=h*h*2;%给f赋初值

u=zeros(n+2,n+2);v=zeros(n+2,n+2);k=1;

%给u赋初值

for j=2:n+1

u(1,j)=(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

u(n+2,j)=(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

end

%开始迭代

while k<=it_max

v=u;

for i=2:n+1

for j=2:n+1

u(i,j)=(v(i-1,j)+v(i+1,j)+v(i,j-1)+v(i,j+1)+f(i,j))/4;

end

end

if max(abs(u-v))

break;

end

k=k+1;

end

2．用块Jacobi迭代法求解线性方程组Au=f。

function x=zg(a,b,c,d)

%求解三对角方程的追赶法

n=length(b);

u(1)=b(1);y(1)=d(1);

for i=2:n l(i)=a(i)/u(i-1);

u(i)=b(i)-l(i)*c(i-1);

y(i)=d(i)-l(i)*y(i-1); % 追赶法求解之追过程求解Ly=d

end

x(n)=y(n)/u(n); % 追赶法求解之赶过程求解Uz=y

for m=n-1:-1:1

if u(m)==0 ,D=0,break; end

x(m)=(y(m)-c(m)*x(m+1))/u(m);

end

function [u,k]=Jacobi_block(n,ep,it_max)

% 用块jacobi迭代法求解线性方程组A*u=f

% u: 方程组的解；k: 迭代次数；n: 非边界点数；

% a: 方程组系数矩阵的下对角线元素；b: 方程组系数矩阵的主对角线元素；

% c: 方程组系数矩阵的上对角线元素；d: 追赶法所求方程的右端向量；% ep: 允许误差界; %it_max:迭代的最大次数；% function x=zg(a,b,c,d) 子函数追赶法求解；

h=1/(n+1);

f(2:n+1,2:n+1)=h*h*2;

a=-1*ones(1,n); b=4*ones(1,n);c=-1*ones(1,n);k=1;

u=zeros(n+2,n+2);

%给u赋初值

for j=2:n+1

u(1,j)=(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

u(n+2,j)=(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

end

%开始迭代

while k<=it_max

Ub=u;

for j=2:n+1

d(1:n)=f(2:n+1,j)+Ub(2:n+1,j-1)+Ub(2:n+1,j+1) ;

x=zg(a,b,c,d); % 调用子函数追赶法求解

u(2:n+1,j)=x';

end

if max(abs(Ub-u))

break;

end

k=k+1;

end

3．用SOR迭代法求解线性方程组Au=f,用试算法确定最佳松弛因子。

function [u,k]=SOR(n,ep,w,it_max)

%SOR迭代法%n迭代次数%ep为精度要求% it_max为最大迭代次数

% u为方程组的解% k为迭代次数%w为松弛因子

h=1/(n+1);

f(2:n+1,2:n+1)=h*h*2;

u=zeros(n+2,n+2);k=1;

for j=2:n+1

u(1,j)=(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

u(n+2,j)=(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

end

while k<=it_max

uk=u;%用于存放的k次迭代的值

for i=2:n+1

for j=2:n+1

u(i,j)=w*(-4*u(i,j)+u(i-1,j)+u(i+1,j)+u(i,j-1)+u(i,j+1)+f(i,j))/4;

u(i,j)=u(i,j)+uk(i,j);

end

end

if max(abs(uk-u))

break;

end

k=k+1;

end

4．用块SOR迭代法求解线性方程组Au=f,用试算法确定最佳松弛因子。function [AA,A]=creat_matrix(n)

%自动的生成矩阵A

A=zeros((n)^2,(n)^2);%定义A的对角的对成NXN的方阵

AA=4*eye(n);

for i=1:n

for j=1:n

if abs(i-j)==1

AA(i,j)=1;

end

end

end

AB=eye(n);

%安矩阵的块给A赋值

for k=1:n

for i=1:n

for j=1:n

A((i+(k-1)*n),(j+(k-1)*n))=AA(i,j);

end

end

end

for k=1:n

for i=1:n

for j=1:n

A((i+k*n),(j+(k-1)*n))=AB(i,j);

A((i+(k-1)*n),(j+k*n))=AB(i,j);

end

end

end

function [u,k]=SOR_block(n,w,ep,it_max)

% 用块SOR迭代法求解线性方程组A*u=f

% u: 方程组的解；k: 迭代次数；n: 非边界点数；% ep: 允许误差界;

%it_max:迭代的最大次数；%A=creat-matrix（n），为创建A矩阵的子函数；[AA,A]=creat_matrix(n); %调用子函数；

h=1/(n+1);

k=1;

f(2:n+1,2:n+1)=h*h*2;

u=zeros(n+2,n+2);

for j=2:n+1

u(1,j)=(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

u(n+2,j)=(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

end

while k<=it_max

uk=u;

er=0;

for i=1:n

sum=zeros(n,1);

for j=1:n

sum=sum+A((((i-1)*n+1):i*n),(((j-1)*n+1):j*n))*u(2:n+1,j+1);

end

u(2:n+1,i+1)=uk(2:n+1,i+1)+w*inv(AA)*(f(2:n+1,i+1)-sum);

er=er+norm(uk(:,i+1)-u(:,i+1),1);

end

if max(abs(er/n^2))

break;

end

k=k+1;

end

5．用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Au=f。

function [u,k]=Gauss_Seidel(n,ep,it_max)

%G--s迭代法%n迭代次数%ep为精度要求% it_max为最大迭代次数

% u为方程组的解% k为迭代次数

h=1/(n+1);

f(2:n+1,2:n+1)=h*h*2;

u=zeros(n+2,n+2);k=1;

for j=2:n+1

u(1,j)=(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

u(n+2,j)=(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

end

while k<=it_max

uk=u;%用于存放的k次迭代的值

for i=2:n+1

for j=2:n+1

u(i,j)=(u(i-1,j)+u(i+1,j)+u(i,j-1)+u(i,j+1)+f(i,j))/4;%用于存放的k+1次迭代的值end

end

if max(abs(u-uk))

break;

end

k=k+1;

end

6．用块Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Au=f。

function [u,k]=Gauss_Seidel_block(n,ep,it_max)

% 用块Gauss-seidel迭代法求解线性方程组A*u=f

% u: 方程组的解；k: 迭代次数；n: 非边界点数；

% a: 方程组系数矩阵的下对角线元素；b: 方程组系数矩阵的主对角线元素；

% c: 方程组系数矩阵的上对角线元素；d: 追赶法所求方程的右端向量；% ep: 允许误差界; %it_max:迭代的最大次数；% function x=zg(a,b,c,d) 子函数追赶法求解；

h=1/(n+1);

f(2:n+1,2:n+1)=h*h*2;

a=-1*ones(1,n); b=4*ones(1,n);c=-1*ones(1,n);k=1;

u=zeros(n+2,n+2);

for j=2:n+1

u(1,j)=(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

u(n+2,j)=(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

end

% for j=2:n+1

% f(2,j)=h*h+(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

% f(n+1,j)=h*h+(j-1)*h*(1-(j-1)*h);

% end

while k<=it_max

Ub=u;

for j=2:n+1

d(1:n)=f(2:n+1,j)+u(2:n+1,j-1)+u(2:n+1,j+1) ;

x=zg(a,b,c,d); % 用追赶法求解

u(2:n+1,j)=x';

end

if max(abs(Ub-u))

break;

end

k=k+1;

end

五、各种算法的实验结果对比

在MA TLAB中输入

n=9; ep=0.000000001; it_max=1000; w=1.8;

1)[u,k]=Jacobi(n,ep,it_max) 回车

u =

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0 k = 332

tic;[u,k]= (n,ep,it_max);toc;

Elapsed time is 0.011470 seconds.

2)[u,k]=Gauss_Seidel(n,ep,it_max) 回车

k = 174

>> tic;[u,k]= (n,ep,it_max);toc;

Elapsed time is 0.006760 seconds.

3)[u,k]= (n,ep,w,it_max) 回车

k =91

>> tic;[u,k]=SOR(n,w,ep,it_max);toc;

Elapsed time is 0.000497 seconds.

把松弛系数w调整为0.8,1.0,1.1, 1,7,1.8发现；迭代次数在w=1。8时最少，为91步。

4) [u,k]=Jacobi_block(n,ep,it_max)

u =

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0

0 0.0256 0.0413 0.0508 0.0560 0.0577 0.0560 0.0508 0.0413 0.0256 0

0 0.0413 0.0686 0.0859 0.0955 0.0986 0.0955 0.0859 0.0686 0.0413 0

0 0.0508 0.0859 0.1088 0.1216 0.1258 0.1216 0.1088 0.0859 0.0508 0

0 0.0560 0.0955 0.1216 0.1364 0.1412 0.1364 0.1216 0.0955 0.0560 0

0 0.0577 0.0986 0.1258 0.1412 0.1462 0.1412 0.1258 0.0986 0.0577 0

0 0.0560 0.0955 0.1216 0.1364 0.1412 0.1364 0.1216 0.0955 0.0560 0

0 0.0508 0.0859 0.1088 0.1216 0.1258 0.1216 0.1088 0.0859 0.0508 0

0 0.0413 0.0686 0.0859 0.0955 0.0986 0.0955 0.0859 0.0686 0.0413 0

0 0.0256 0.0413 0.0508 0.0560 0.0577 0.0560 0.0508 0.0413 0.0256 0

0 0.0900 0.1600 0.2100 0.2400 0.2500 0.2400 0.2100 0.1600 0.0900 0

k = 170

>> tic;[u,k]=Jacobi_block(n,ep,it_max);toc;

Elapsed time is 0.159638 seconds.

5)[u,k]=Gauss_Seidel_block(n,ep,it_max)

k =90

>> tic;[u,k]=Gauss_Seidel_block(n,ep,it_max);toc;

Elapsed time is 0.078421 seconds.

6)[u,k]=SOR_block(n,w,ep,it_max)

k =71

>> tic;[u,k]=SOR_block(n,w,ep,it_max);toc;

Elapsed time is 0.098572 seconds.

把松弛系数w调整为0.8,1.0,1.1,1,2 1,3发现；迭代次数在w=11时最少，为33步。

分析结果：

1．块的迭代的生成最终结果相同，一般迭代的最终结果相同，这可能是由于误差判断的方式决定的，快的迭代为均差，而一般迭代为单个元素最大的差值。

2．由上面1-3的结果课已看出，Jacobi, Gauss_Seidel,SOR在相同的条件下，迭代的次数依次递减；耗时依次递减。

3．由上面4-6的结果课已看出，用块的Jacobi, Gauss_Seidel,SOR在相同的条件下，迭代的次数依次递减；块SOR的耗时最长。应为SOR块的迭代是构造AX=b的方

式实现的，没法和前两中块的迭代作比较。

4．W对SOR迭代还是对块的SOR迭代的影响很大，只有找到各自合适的w时才能达到最少迭代次数和耗时。

matlab实验十七__牛顿迭代法(可打印修改)

实验十七牛顿迭代法 【实验目的】 1.了解牛顿迭代法的基本概念。 2.了解牛顿迭代法的收敛性和收敛速度。 3.学习、掌握MATLAB软件的有关命令。 【实验内容】 用牛顿迭代法求方程的近似根，误差不超过。 3210 ++-=3 10- x x x 【实验准备】 1.牛顿迭代法原理 2.牛顿迭代法的几何解析 3.牛顿迭代法的收敛性 4.牛顿迭代法的收敛速度 5.迭代过程的加速 6.迭代的MATLAB命令 MATLAB中主要用for,while等控制流命令实现迭代。 【实验重点】 1.牛顿迭代法的算法实现 2.牛顿迭代法收敛性和收敛速度 【实验难点】 1.牛顿迭代法收敛性和收敛速度 【实验方法与步骤】 练习1用牛顿迭代法求方程在x=0.5附近的近似 3210 ++-= x x x

根，误差不超过。 310-牛顿迭代法的迭代函数为 322()1()()321 f x x x x g x x x f x x x ++-=-=-'++相应的MATLAB 代码为 >>clear; >>x=0.5; >>for i=1:3 >>x=x-(x^3+x^2+x-1)/(3*x^2+2*x+1) >>end 可算的迭代数列的前3项0.5455，0.5437，0.5437。经三次迭代，就大大超过了精度要求。 练习2 用牛顿迭代法求方程的近似正实根，由此建2(0)x a a =>立一种求平方根的计算方法。 由计算可知，迭代格式为，在实验12的练习4中1()()2a g x x x =+已经进行了讨论。 【练习与思考】 1.用牛顿迭代法求方程的近似根。 ln 1x x =2.为求出方程的根，在区间[1,2]内使用迭代函数进行310x x --=迭代，纪录迭代数据，问迭代是否收敛？对迭代进行加速，对比加速前的数据，比较加速效果。 3.使用在不动点的泰勒公式，证明牛顿迭代法收敛原理。*x

用SOR迭代法

一、数值求解如下正方形域上的Poisson 方程边值问 二、2222(,)2,0,1 (0,)(1,)(1),01(,0)(,1)0, 01u u f x y x y x y u y u y y y y u x u x x ??? ??-+==<

MAAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

姓名 实验报告成绩 评语： 指导教师（签名） 年 月 日 说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。 实验一 方程求根 一、 实验目的 用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、 实验原理 (1)、二分法 对方程0)(=x f 在[a ，b]内求根。将所给区间二分，在分点 2a b x -=判断是否0)(=x f ；若是，则有根2a b x -=。否则，继续判断是否0)()(

+)(0x f 0))(('0=-x x x f 设0)('0≠x f ,则=x -0x )(') (00x f x f 。取x 作为原方程新的近似根1x ，然后将1x 作为0x 代入上式。迭代公式为：=+1 k x -0x )(')(k k x f x f 。 三、 实验设备：MATLAB 软件 四、 结果预测 （1）11x = （2）5x = （3）2x =0,09052 五、 实验内容 （1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根，要求误差不超 过3105.0-?。 （2）、取初值00=x ，用迭代公式=+1 k x -0x )(') (k k x f x f ，求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差不超过3105.0-?。 （3）、取初值00=x ，用牛顿迭代法求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差 不超过3105.0-?。 六、 实验步骤与实验程序 （1） 二分法 第一步：在MATLAB 软件，建立一个实现二分法的MATLAB 函数文件如下： function x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname 为函数名，a,b 为区间端点，e 为精度 fa=feval(fname,a); %把a 端点代入函数，求fa fb=feval(fname,b); %把b 端点代入函数，求fb if fa*fb>0 error('两端函数值为同号'); end

MATLAB代码 解线性方程组的迭代法

解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x;

if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵

lu分解法、列主元高斯法、jacobi迭代法、gaussseidel法的原理及matlab程序

一、实验目的及题目 1.1 实验目的： （1）学会用高斯列主元消去法，LU 分解法，Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组。 （2）学会用Matlab 编写各种方法求解线性方程组的程序。 1.2 实验题目： 1. 用列主元消去法解方程组： 1241234 123412343421233234x x x x x x x x x x x x x x x ++=??+-+=??--+=-??-++-=? 2. 用LU 分解法解方程组,Ax b =其中 4824012242412120620266216A --?? ?- ?= ? ?-??，4422b ?? ? ?= ?- ?-?? 3. 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组： 123234 1231234102118311210631125x x x x x x x x x x x x x -+=-??-+=-??-+=??-+-+ =? 二、实验原理、程序框图、程序代码等 2.1实验原理 2.1.1高斯列主元消去法的原理 Gauss 消去法的基本思想是一次用前面的方程消去后面的未知数，从而将方程组化为等价形式： 1111221122222n n n n nn n n b x b x b x g b x b x g b x g +++=??++=????= ? 这个过程就是消元，然后再回代就好了。具体过程如下： 对于1,2, ,1k n =-，若() 0,k kk a ≠依次计算

()() (1)()()(1)()()/,,1, ,k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a a a m a b b m b i j k n ++==-=-=+ 然后将其回代得到： ()() ()()()1/()/,1,2,,1 n n n n nn n k k k k k kj j kk j k x b a x b a x a k n n =+?=??=-=--? ? ∑ 以上是高斯消去。 但是高斯消去法在消元的过程中有可能会出现() 0k kk a =的情况，这时消元就无法进行了，即使主元数() 0,k kk a ≠但是很小时，其做除数，也会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散。因此，为了减少误差，每次消元选取系数矩阵的某列中绝对值最大的元素作为主元素。然后换行使之变到主元位置上，再进行销元计算。即高斯列主元消去法。 2.1.2直接三角分解法（LU 分解）的原理 先将矩阵A 直接分解为A LU =则求解方程组的问题就等价于求解两个三角形方程组。 直接利用矩阵乘法，得到矩阵的三角分解计算公式为： 1111111 11 1,1,2,,/,2,,,,,1,,,2,3, ()/,1,2, ,i i i i k kj kj km mj m k ik ik im mk kk m u a i n l a u i n u a l u j k k n k n l a l u u i k k n k n -=-===?? ==?? =-=+??=??=-=++≠?? ∑∑且 由上面的式子得到矩阵A 的LU 分解后，求解Ux=y 的计算公式为 11 111,2,3,/()/,1,2, ,1 i i i ij j j n n nn n i i ij j ii j i y b y b l y i n x y u x y u x u i n n -==+=??? =-=?? =??? =-=--?? ∑∑ 以上为LU 分解法。

迭代法实验报告

迭代法实验报告 一． 实验目的：掌握迭代方法的用处 二． 实验环境：Cfree5.0 三． 实验时间：2013年6月20日 四． 实验地点：电子信息楼1201教室 五． 实验内容：运用编程实现迭代方法可以更好的解线性方程组，得到线性方程的解。 六． 实验理论依据： 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代公式 我们注意到在雅可比迭代法中并没有对新算出的分量11k x +，12k x +， ， 11k i x +-进行充分利用．不妨设想，在迭代收敛的条件下，我们把 (1)()()()11211331111(1)()()()22112332222(1)()()()1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++--?=---+???=---+?????=---+?? 式中第一个方程算出的11k x +立即投入到第二个方程中，代替()1k x 进行计算，当12 k x +算出后代替()2k x 马上投入到第三个方程中计算，依次进行下去，这样也许会得到 更好的收敛效果．根据这种思路建立的一种新的迭代格式，我们称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代公式， 高斯=赛德尔迭代法的分量形式：

(1)()()()11211331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++++++--?=---+???=---+?????=---+?? 高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式： (1)(),(0,1,2,)k k x Bx f k +=+= 其中 1()B D L U -=- ，1()f D L b -=- B 称为高斯-赛德尔迭代矩阵，f 称为高斯-赛德尔迭代常量.. 七． 运行代码如下： #include"stdio.h" #include"math.h" int main() { bool pan1=true; int n,n1,n2=0,k=0; double num[100][100],L[100][100],U[100][100],x[100],y[100],num1=0,b[100],D[100][100],x1[200][200],x2[200][200]; printf("\n"); printf("*******************************高斯迭代法解如下********************************"); printf("输入要输入矩阵的阶数为(按Enter 输入矩阵数字)：");//

MATLAB样例之雅克比迭代法

要求： 下面分别使用雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求一个方程组的近似解用的线性方程组是按实验要求给的： 7*x1+x2+2*x3=10 x1+8*x2+2*x3=8 2*x1+2*x2+9*x3=6 雅克比迭代法的matlab代码：（老师写的） A=[7,1,2;1,8,2;2,2,9]; b=[10;8;6]; if(any(diag(A))==0) error('error,pause') end eps=input('误差限eps='); N=input('迭代次数N='); D=diag(diag(A)); B=inv(D)*(D-A); f=inv(D)*b; K=0; x0=zeros(size(b)); while 1 x1=B*x0+f K=K+1; fprintf('第-次迭代的近似解为',K) disp(x1'); if norm(x1-x0,inf)N fprintf('迭代超限') end x0=x1; end 高斯-赛德尔迭代法matlab代码:（自己改的）

A=[7,1,2;1,8,2;2,2,9]; b=[10;8;6]; if(all(diag(A))==0) error('error,pause') end eps=input('误差限eps='); N=input('迭代次数N='); D=diag(diag(A)); B=inv(D)*(D-A); f=inv(D)*b; K=0; x0=zeros(size(b)); x00=x0; while 1 x11=B*x0+f; x00(1,1)=x11(1,1); x12=B*x00+f; x00(2,1)=x12(2,1); x13=B*x00+f; x00(3,1)=x13(3,1); x1=x00 K=K+1; fprintf('第-次迭代的近似解为',K) disp(x1'); if norm(x1-x0,inf)N fprintf('迭代超限') end x0=x1; end

SOR迭代法超松弛因子选取

《计算方法》实验报告（二） 实验名称：SOR 迭代法松弛因子的选取 班级： 数学1402班 姓名： 高艺萌 学号：14404210 一、 实验目的 通过本实验学习线性方程组的SOR 迭代解法以及SOR 迭代法的编程与应用。对比分析不同条件下的超松弛因子w 的取值大小会对方程组的解造成影响，通过这个实验我们可以了解的w 不同取值会对方程组的解产生的影响。培养编程与上机调试能力。 二、 实验题目 用逐次超松弛（SOR ）迭代法求解方程组b Ax =，其中 ?????????? ????????????=????????????????????????????????????????????=555555122-12-122-112-122-112-122-112-122-12-12201918321 x x x x x x A （1）给定迭代误差，选取不同的超松弛因子1>ω进行计算，观察得到的近似解向量并分析计算结果，给出你的结论； （2）给定迭代误差，选取不同的超松弛因子1<ω进行计算，观察得到的近似解向量并分析计算结果，给出你的结论； 三、 实验原理 1.逐次超松弛迭代法可以看作Gauss-Seidel 迭代法的加速， b D Ux D Lx D x k k k 1)(1)1(1)1(--+-+++= 2.SOR 迭代计算格式 b D L wD I w x U wD I w L wD x k k 111)(111)1()(])1[()-1（------+-++-= 其中，w 叫松弛因子，当w>1时叫超松弛，0

解线性方程组基本迭代法实验(ca)

Lab ．解线性方程组的基本迭代法实验 【实验目的和要求】 1．使学生深入理解Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法； 2．通过对Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法的程序设计，以提高学生程序设计的能力； 3．应用编写的程序解决具体问题，掌握三种基本迭代法的使用，通过结果的分析了解每一种迭代法的特点。 【实验内容】 1．根据Matlab 语言特点，描述Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法。 2．编写Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法的M 文件。 3．给定2020?∈R A 为五对角矩阵 ??????????????? ???????????????? ?---- -------- ------ 32 141213214 141213214141213214 141213 2141213 (1)选取不同的初始向量)0(x 及右端面项向量b ，给定迭代误差要求，分别用编写Jacobi 迭代 法和Gauss-Seidel 迭代法程序求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，通过迭代次数分析 计算结果并得出你的结论。 (2)用编写的SOR 迭代法程序，对于(1)所选取的初始向量) 0(x 及右端面项向量b 进行求解，松驰系数ω取1<ω<2的不同值，在5 )1()(10-+≤-k k x x 时停止迭代，通过迭代次数分析计算结果 并得出你的结论。 【实验仪器与软件】 1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ； 2．Matlab 6.0及以上版本。 实验讲评：

牛顿迭代法实验报告

用牛顿迭代法求非线性方程的根 一、 实验题目 求方程()013=--=x x x f 在5.1附近的根。 二、 实验引言 （1）实验目的 1. 用牛顿迭代法求解方程的根 2. 了解迭代法的原理 3. 改进和修缮迭代法 （2）实验意义 牛顿迭代法就是众多解非线性方程迭代法中比较普遍的一种，求解方便实用。 三、 算法设计 （1）基本原理 给定初始值0x ，ε为根的容许误差，η为()x f 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。 1．如果()0='x f 或迭带次数大于N ，则算法失败，结束；否则执行2. 2．计算()() 0001x f x f x x '-=. 3．若ε<-21x x 或()η<1x f ，则输出1x ，程序结束；否则执行4. 4．令10x x =，转向1. （2）流程图

四、程序设计program nndd01 implicit none real,parameter::e=0.005 real,parameter::n=9 real::x1 real::x0=1.5 integer::k real,external::f,y do k=1,9 if (y(x0)==0) then write(*,*)"失败" else x1=x0-f(x0)/y(x0) if (abs(x1-x0)

else x0=x1 end if end if end do end function f(x) implicit none real::f real::x f=x*x*x-x-1 return end function function y(x) implicit none real::y real::x y=3*x*x-1 return end function 五、求解结果 3 1.324718 4 1.324718 5 1.324718 6 1.324718 7 1.324718 8 1.324718 9 1.324718 六、算法评价及讨论 1.在求解在1.5处附近的根，不难发现在输入区间左端值为1时 需要迭代6次，而输入区间左端值为1.5时，却只要4次。初

二分法、简单迭代法的matlab代码实现

实验一非线性方程的数值解法(一) 信息与计算科学金融崔振威201002034031一、实验目的： 熟悉二分法和简单迭代法的算法实现。 二、实验内容： 教材P40 2.1.5 三、实验要求 1根据实验内容编写二分法和简单迭代法的算法实现 2简单比较分析两种算法的误差 3试构造不同的迭代格式，分析比较其收敛性 (一)、二分法程序： function ef=bisect(fx,xa,xb ,n, delta) % fx是由方程转化的关于x的函数，有fx=0。 % xa解区间上限 % xb解区间下限 % n最多循环步数，防止死循环。 %delta为允许误差 x=xa;fa=eval(fx); x=xb;fb=eval(fx); disp(' [ n xa xb xc fc ]'); for i=1: n xc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=eval(fx); X=[i,xa,xb,xc,fc]; disp(X), if fc*fa<0 xb=xc; else xa=xc; end if (xb-xa)

k=0; while abs(x-xO)>eps & k> fplot('[x A5-3*x A3-2*x A2+2]',[-3,3]);grid 得下图： 由上图可得知：方程在［-3,3］区间有根。 （2 ）、二分法输出结果 >> f='xA5-3*xA3-2*xA2+2' f = X A5-3*X A3-2*X A2+2 >> bisect(f,-3,3,20,10A(-12)) 2.0000 - 3.0000 0 -1.5000 0.0313

SOR迭代法求解线性方程组

实验三：用SOR 迭代法求解线性方程组 ?????? ? ??=??????? ????????? ??----------74.012.018.168.072.012.006.016.012.001.103.014.006.003.088.001.016.014.001.076.04321x x x x 取初始点T x )0,0,0,0()0(=，松弛因子05.1=ω，精度要求610-=ε。 1，建立SOR.m 函数文件，此函数文件可调用，程序源码如下： function [x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M) if nargin==4 eps= 1.0e-6;%精度要求 M = 200; elseif nargin<4 error; return elseif nargin ==5 M = 200; end if(w<=0 || w>=2) error; return; end D=diag(diag(A)); %求A 的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A 的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A 的上三角阵 B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U); f=w*inv((D-L*w))*b; x=B*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(x-x0)>=eps x0=x; x =B*x0+f; n=n+1; if(n>=M) disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end

2，输入矩阵。并根据要求调用函数，运行结果如下图所示： 即经过7次迭代算出结果，且求得： 1.27151.28440.48581.2843x ?? ? ?= ? ???

matlab 迭代法[精品]

matlab 迭代法[精品] 1. 矩阵 122,211,，，，，,,,,A,111A,222, 11,,,,,,,,221,,112，，，， 证明:求解以为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的，而A1 Gauss-Seidel方法是发散的;求解以为系数矩阵线性方程组的A2实验名称Gauss-Seidel是收敛的，而Jacobi方法是发散的. 2. 矩阵 1aa，，,,Aaa,1 ,,,,aa1，， (a) 参数取什么值时，矩阵是正定的. a (b) 取什么值时，求以为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收aa 敛的. 1、根据迭代收敛性的充分必要条件来判断Jacobi迭代式与Gauss-Seide 迭代式的收敛性，迭代收敛性仅与方程组系数矩阵有关，与右端无关;而且不依赖于初值的选取。实验目的 2、根据矩阵的判断定理求得矩阵元素a的取值，同时根据矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的充分条件(严格对角占优)来求a得取值。 1、(1)检验线性方程组的Jacobi迭代式的收敛性: function jacobi(A) D=zeros(3); for i=1:3 D(i,i)=A(i,i); 实验内容end (算法、程B=D^(-1)*(D-A); 序、步骤和k=max(abs(eig(B))) 方法) if k<1

'该线性方程组的Jacobi迭代式是收敛的' else k>=1 '该线性方程组的Jacobi迭代式是发散的' end (2)检验线性方程组的Gauss-Seide迭代式的收敛性: function Gauss(A) D=zeros(3); L=zeros(3); U=zeros(3); for i=1:3 D(i,i)=A(i,i); end L(2:3,1)=A(2:3,1); L(3,2)=A(3,2); U(1,2:3)=A(1,2:3); U(2,3)=A(2,3); B=-(D+L)^(-1)*U; k=max(abs(eig(B))) if k<1 '该线性方程组的Gauss-Seidel迭代式是收敛的' else k>=1 '该线性方程组的Gauss-Seidel迭代式是发散的' end 2、(1)参数取什么值时，矩阵是正定的.(矩阵的特征值全为正) a >> syms a >> A=[1 a a;a 1 a;a a 1]; >> eig(A) ans = 2*a+1 1-a

数值实验报告

数值实验报告五 班级：2017级学号：**** 姓名：*** 2017.12.5 1.数值实验问题 试用雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法，超松驰迭代计算线性方程组： 取=(0,0,0,松弛因子分别取w=0.1t，1要求达到精度 。试通过数值计算得出不同的松弛因子所需要的迭代次数和收敛最快的松弛因子，并指出哪些松弛因子使得迭代发散。 2.数值方法 A=, L=-, U=-, D=diag() (1)雅可比迭代公式:

D. (2)高斯-赛德尔迭代法公式： (3)超松驰迭代方法公式： 其中w为松弛因子。 3.数值结果 如下表

最后四组，测得其在前10次内迭代所产生的结果，其中每一列为一

次迭代结果，分别如图： SOR-1.6 SOR-1.7 SOR-1.8 SOR-1.9 由于计算数据限制，其前五十列数据基本为空，所以取51到60列

由此看出，最后四组数据是发散的，数据结果不稳定，不收敛。所以最后四组得不到所需数据。 4．讨论 本次实验，分别用雅可比迭代公式，高斯-赛德尔迭代公式，超松驰迭代公式计算了此线性方程组。其中，雅可比和高斯迭代能够很好的进行运算，而超松驰迭代方法中，若松弛因子取得不够恰当，则会导致整个运算失败，得不到所需的结果，迭代不收敛，发散。此外，在进行初始值的赋值中，我是对每个矩阵都进行了赋值操作，而更简便的是，调用matlab中存在的函数，对矩阵进行运算，从而简化操作和代码，也使程序适用性更广。 程序代码： 1.雅可比迭代 function [x]=yakebi(D,L,U,b,j) format long B=D\(L+U);

牛顿迭代法的实验报告

牛顿迭代法实验报告 1．功能 本程序采用牛顿法，求实系数高次代数方程 f(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n=０（a n≠０）（1） 的在初始值x0附近的一个根。 2.使用说明 （1）函数语句 Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1) 调用M文件newton_1.m。 （2）参数说明 A n+1元素的一维实数组，输入参数，按升幂存放方程系数。 N整变量，输入参数，方程阶数。 X0 实变量，输入参数，初始迭代值。 NN整变量，输入参数，允许的最大迭代次数。 EPS1实变量，输入参数，控制根的精度。 3．方法简介 解非线性议程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x)=f(x0)+(x－x0)fˊ(x0)+(x－x0)2 !2) (0x f'' +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有 f(x0)+fˊ(x0)(x－x0)=0 设fˊ(x0)≠0则其解为 x1=x0－f(x0)/fˊ(x0) 再把f(x)在x1附近展开成泰勒级数，也取其线性部分作f(x)=0的近似方程。若f(x1)≠0，则得 x2=x1－f(x1)/fˊ(x1) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列 x n+1=x n－f(x n)/fˊ(x n) 4．newton_1.m程序

function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1) x(1)=x0； b=1； i=1； while(abs(b)>eps1*x(i)) i=i+1； x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))； b=x(i)-x(i-1)； if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ)； return； end end y=x(i)； i 5．程序附注 （1）程序中调用n_f.m和n_df.m文件。n_f.m是待求根的实数代数方程的函数,n_df.m 是方程一阶导数的函数。由使用者自己编写。 （2）牛顿迭代法的收敛速度：如果f(x)在零点附近存在连续的二阶微商，ξ是f(x)的一个重零点，且初始值x0充分接近于ξ，那么牛顿迭代是收敛的，其收敛速度是二阶的，即平方收敛速度。 6．例题 用牛顿法求下面方程的根 f(x)=x3+2x2+10x-20 7．运行结果 >>a=[1,2,10,-20] ； >>n=3； >>x0=1； >>nn=1000； >>eps1=1e-8； >>y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)

数值分析实验报告-Sor法分析

数值分析实验报告 一、 实验目的 1、会使用Sor 法求解一个线性方程组 2、熟悉matlab 语言并结合原理编程求方程组 3、改变ω的值观察实验结果 4、会分析实验结果 二、实验题目 编制Sor 迭代格式程序进行求解一个线性方程组的迭代计算情况，运行中要选用不同的松弛因子ω进行尝试 三、 实验原理 Jacobi 迭代和seidel 迭代对具体的线性方程组来说，逼近*x 的速度是固定不变的，遇到收敛很慢的情况时就显得很不实用。 Sor 法是一seidel 迭代为基础，并在迭代中引入参数ω以增加迭代选择的灵活性，具体为： ! 用seidel 迭代算出的,)()1()()1(k k J k k J x x x x x -=?++相减得到差向量与再用参数ω乘之再加上 )1()()()1()1()()()1(++++-=?+=k J k k k k k k x x x x x x x x ωωω，即的下一步迭代作为，由seidel 迭代的公式可以得到Sor 法的迭代格式为 n i x a x a b a x x k j n i j ij k j i j ij i ii k i k i ,2,1),()1()(1)1(11)()1( =--+-=∑∑+=+-=+ω ω 式中ω称为松弛因子。 四、 实验内容 用matlab 编程得到Sor 法求线性方程组的算法为： function [x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M) if nargin==4

eps= ; M = 200; elseif nargin<4 error return ： elseif nargin ==5 M = 200; end if(w<=0 || w>=2) error; return; end D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵（ U=-triu(A,1); %求A的上三角阵B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U); f=w*inv((D-L*w))*b; x=B*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(x-x0)>=eps x0=x; x =B*x0+f; n=n+1; if(n>=M) （

数学实验“线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代解法”实验报告(内含matlab程序代码)

西京学院数学软件实验任务书 课程名称数学软件实验班级数0901 学号0912020107 姓名李亚强 实验课题线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代方法。 实验目的 熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代方法。 实验要求运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成。 实验内容线性方程组的J-迭代；线性方程组的GS-迭代；线性方程组的SOR-迭代。 成绩教师

实验四实验报告 一、实验名称：线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代。 二、实验目的：熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线 性方程组121231 235210 64182514 x x x x x x x x +=?? ++=??++=-?的根，提高matlab 编程能力。 三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。 四、实验原理： 1、雅可比迭代法（J-迭代法）： 线性方程组b X A =*，可以转变为： 迭代公式(0)(1)() k 0,1,2,....k k J X X B X f +???=+=?? 其中b M f U L M A M I B J 111),(---=+=-=，称J B 为求解 b X A =*的雅可比迭代法的迭代矩阵。以下给出雅可比迭代的 分量计算公式，令),....,() ()(2)(1)(k n k k k X X X X =，由雅可比迭代公式 有 b X U L MX k k ++=+) () 1()(，既有i n i j k i ij i j k i ij k i ij b X a X a X a +- -=∑∑+=-=+1 )(1 1 )() 1(， 于

MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

姓名 ______________ 实验报告成绩 ________________________ 评语： 指导教师(签名) ___________________ 年月日 说明：指导教师评分后，实验报告交院(系)办公室保存。 实验一方程求根 一、实验目的 用各种方法求任意实函数方程f(x)0在自变量区间［a，b］上,或某一点附 近的实根。并比较方法的优劣。 二、实验原理 (1)、二分法 b a x 对方程f(x)0在［a，b］内求根。将所给区间二分，在分点2判断 b a x --------- 是否f(x)0;若是，则有根2。否则，继续判断是否f(a)?f(x) 0,若是，则令b x,否 则令a x。否则令a x。重复此过程直至求出方程f(x) °在［a,b］中的近似根为止。 (2)、迭代法 将方程f(x) °等价变换为x=? ( x)形式，并建立相应的迭代公式xk 1 9( x)。 (3)、牛顿法 若已知方程的一个近似根x°，则函数在点x°附近可用一阶泰勒多项式 P l(x) f(X°) f'(X0)(X X。)来近似，因此方程f(x) °可近似表示为

if fa*fb>0 error(' 两端函数值为同号'); f (X k ) 3 不超过 0.5 10 。 六、实验步骤与实验程序 (1)二分法 第一步：在MATLAB 7.0软件，建立一个实现二分法的 MATLABS 数文件 agui_bisect.m 女口下： fun cti on x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname 为函数名，a,b 为区间端点，e 为精度 fa=feval(fname,a); % 把a 端点代入函数，求fa fb=feval(fname,b); % 把b 端点代入函数，求fb f (X k ) 根X1,然后将X1作为X 。代入上式。迭代公式为： X k 1 X 0 f'(X k ) o f (X o ) f(X o ) f ' (Xo)(X X )0设f'(X o ) 0,则x X o f '(X o )。取x 作为原方程新的近似 实验设备： MATLAB 7.0 软 件 三、 四、 结果预测 (1) x n=0.09033 (2) X5=0.09052 (3) X 2 =0,09052 五、 实验内容 (1)、 在区间[0,1] 上用二分法求方程 10X 2 0的近似根，要求误差不超 过 05 103 O (2)、 x ° 似根。 取初值X0 0 ，用迭代公式Xk 1 3 要求误差不超过0.5 10。 x ° f '(Xk) ，求方程e x 10x 2 0的近 (3)、 取初值X0 0 ，用牛顿迭代法求方程 e X 10x 2 0的近似根。要求误差

c编的sor迭代法解线性方程组的程序

c编的sor迭代法解线性方程组的程序 2010-12-15 20:33 #include #include double norm(double *x,double *y,int n) { int i=0; double s=0; for(i=0;i