上海市闸北区2016年中考数学二模试卷含答案解析

2016年上海市闸北区中考数学二模试卷

一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．下列代数式中，属于分式的是（）

A．﹣3 B．C．D．﹣4a3b

2．的值为（）

A．2 B．﹣2 C．土2 D．不存在

3．下列方程中，没有实数根的方程是（）

A．x2+2x﹣1=0 B．x2+2x+1=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2﹣x﹣2=0

4．方程组的解是（）

A．B．C．D．

5．如图，已知∠BDA=∠CDA，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）

A．BD=DC B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD

6．若⊙O1与⊙O2相交于两点，且圆心距O1O2=5cm，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径？（）

A．1cm、2cm B．2cm、3cm C．10cm、15cm D．2cm、5cm

二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．计算：a5÷a2=．

8．分解因式：3x2﹣6x=．

9．不等式组的解集是．

10．函数y=的定义域是．

11．二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=．

12．袋子里有4个黑球，m个白球，它们除颜色外都相同．经过大量实验，从中任取一个球恰好是黑球的概率是，则m的值是．

13．某中学九（1）班5个同学在体育测试“1分钟跳绳”项目中，跳绳个数如下：126，134，118，152，148．这组数据中，中位数是．

14．某企业2013年的年利润为100万元，2014年和2015年连续增长，且这两年的增长率相同，据统计2015年的年利润为125万元．若设这个相同的增长率为x，那么可列出的方程是．

15．如图，AB∥DE，△ACB是等腰直角三角形，且∠C=90°，CB的延长线交DE于点G，则∠CGE=度．

16．如图，在△ABC中，点D在AC边上且AD：DC=1：2，若，，那么=（用向量、表示）．

17．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP?CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．如

图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．写出点M （，0）关于以原点O为圆心，1

为半径的⊙O的反演点M′的坐标．

18．如图，底角为α的等腰△ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC上的点D重

合，点C与点E重合，联结AD、CE．已知tanα=，AB=5，则CE=．

三．解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．计算：cos30°+|1﹣|﹣（）﹣1．

20．解方程：．

21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB 于点E，且sin∠DAB=，DB=3．求：

（1）AB的长；

（2）∠CAB的余切值．

22．甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图所示，y

甲、y

乙

分别表示甲、乙离开A地y（km）与已用时间x（h）之间的关系，且直线y

甲

与直

线y

乙

相交于点M．

（1）求y

甲

与x的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；

（2）求A、B两地之间距离．

23．如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．（1）求证：四边形AECD为平行四边形；

（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△AEC∽△ADF；

（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．

24．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．

（1）求证：AB∥CD；

（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．

25．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，⊙B与边AB相交于点D，与边BC相交于点E，设⊙B的半径为x．

（1）当⊙B与直线AC相切时，求x的值；

（2）设DC的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）若以AC为直径的⊙P经过点E，求⊙P与⊙B公共弦的长．

2016年上海市闸北区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．下列代数式中，属于分式的是（）

A．﹣3 B．C．D．﹣4a3b

【考点】分式的定义．

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【解答】解：A、3是整式，故A错误；

B、a﹣b是整式，故B错误；

C、是分式不是整式，故C正确；

D、﹣4a3b是整式，故D错误；

故选：C．

2．的值为（）

A．2 B．﹣2 C．土2 D．不存在

【考点】算术平方根．

【分析】直接根据算术平方根的定义求解．

【解答】解：因为4的算术平方根是2，所以=2．

故选A．

3．下列方程中，没有实数根的方程是（）

A．x2+2x﹣1=0 B．x2+2x+1=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2﹣x﹣2=0

【考点】根的判别式．

【分析】分别求出每一个方程中判别式△的值，如果△＜0，那么一元二次方程没有实数根．

【解答】解：A、∵△=4+4=8＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根；

B、∵△=4﹣4=0，∴方程有两个相等的两个实数根；

C、∵△=1﹣8=﹣7＜0，∴方程没有实数根；

D、∵△=1+8=9＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根；

故选C．

4．方程组的解是（）

A．B．C．D．

【考点】解二元一次方程组．

【分析】本题解法有多种．可用加减消元法或代入消元法解方程组，解得x、

y的值；也可以将A、B、C、D四个选项的数值代入原方程检验，能使每个方程的左右两边相等的x、y的值即是方程的解．

【解答】解：将方程组中4x﹣y=13乘以2，得

8x﹣2y=26①，

将方程①与方程3x+2y=7相加，得

x=3．

再将x=3代入4x﹣y=13中，得

y=﹣1．

故选B．

5．如图，已知∠BDA=∠CDA，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）

A．BD=DC B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD

【考点】全等三角形的判定．

【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上定理逐个判断即可．

【解答】解：A、BD=DC，∠BDA=∠CDA，AD=AD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；

B、AB=AC，∠BDA=∠CDA，AD=AD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD ≌△ACD，故本选项正确；

C、∠B=∠C，∠BDA=∠CDA，AD=AD，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；

D、∠BDA=∠CDA，AD=AD，∠BAD=∠CAD，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；

故选B．

6．若⊙O1与⊙O2相交于两点，且圆心距O1O2=5cm，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径？（）

A．1cm、2cm B．2cm、3cm C．10cm、15cm D．2cm、5cm

【考点】圆与圆的位置关系．

【分析】由各选项中⊙O1与⊙O2的半径以及圆心距O1O2=5cm，根据圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系，得出⊙O1与⊙O2的位置关系即可求解．

【解答】解：A、∵5＞2+1，∴d＞R+r，∴两圆外离，故本选项错误；

B、∵5=2+3，∴d=R+r，∴两圆外切，故本选项错误；

C、∵5=15﹣10，∴d=R﹣r，∴两圆内切，故本选项错误；

D、∵5﹣2＜5＜5+2，∴R﹣r＜d＜R+r，∴两圆相交，故本选项正确；

故选D．

二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．计算：a5÷a2=a3．

【考点】同底数幂的除法．

【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可．

【解答】解：a5÷a2=a5﹣2=a3．

8．分解因式：3x2﹣6x=3x（x﹣2）．

【考点】因式分解-运用公式法．

【分析】首先确定公因式为3x，然后提取公因式3x，进行分解．

【解答】解：3x2﹣6x=3x（x﹣2）．

故答案为：3x（x﹣2）．

9．不等式组的解集是1＜x＜3．

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式x+1＞2，得：x＞1，

解不等式2x＜6，得：x＜3，

∴不等式组的解集为：1＜x＜3，

故答案为：1＜x＜3．

10．函数y=的定义域是x≤1．

【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．

【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．

【解答】解：根据题意得：1﹣x≥0，

解得x≤1．

11．二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=1．

【考点】二次函数的性质．

【分析】将二次函数配方成顶点式即可确定对称轴方程．

【解答】解：∵y=x2﹣2x+b

=x2﹣2x+1+b﹣1

=（x+1）2+b﹣1

故对称轴是直线x=1．

故答案为：1．

12．袋子里有4个黑球，m个白球，它们除颜色外都相同．经过大量实验，从中任取一个

球恰好是黑球的概率是，则m的值是4．

【考点】概率公式．

【分析】根据概率公式列出从中任取一个球恰好是黑球的概率公式，求出m的值即可．【解答】解：袋子里有4个黑球，m个白球，若从中任取一个球恰好是黑球的概率是

，根据题意可得：

=，

解得m=4．

故答案为：4．

13．某中学九（1）班5个同学在体育测试“1分钟跳绳”项目中，跳绳个数如下：126，134，118，152，148．这组数据中，中位数是134．

【考点】中位数．

【分析】把这组数按从大到小（或从小到大）的顺序排列，因为数的个数是奇数个，所以中间哪个数就是中位数．

【解答】解：按照从小到大的顺序排列为：118，126，134，148，152，

中位数为：134．

故答案为：134；

14．某企业2013年的年利润为100万元，2014年和2015年连续增长，且这两年的增长率相同，据统计2015年的年利润为125万元．若设这个相同的增长率为x，那么可列出的方程是100（1+x）2=125．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年年利润是100（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的年利润，即可列出方程．

【解答】解：设增长率为x，根据题意2014年为100（1+x）万元，2015年为100（1+x）2万元．

则100（1+x）2=125；

故答案为：100（1+x）2=125．

15．如图，AB∥DE，△ACB是等腰直角三角形，且∠C=90°，CB的延长线交DE于点G，则∠CGE=135度．

【考点】平行线的性质；等腰直角三角形．

【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC的度数，再由平行线的性质求出∠DGB 的度数，根据补角的定义即可得出结论．

【解答】解：∵△ACB是等腰直角三角形，且∠C=90°，

∴∠ABC=45°．

∵AB∥DE，

∴∠DGB=∠ABC=45°，

∴∠CGE=180°﹣45°=135°．

故答案为：135．

16．如图，在△ABC中，点D在AC边上且AD：DC=1：2，若，，那么= 2+2（用向量、表示）．

【考点】*平面向量．

【分析】由，，直接利用三角形法则求解，即可求得，又由点D在AC边上且AD：DC=1：2，即可求得答案．

【解答】解：∵，，

∴=+=+，

∵点D在AC边上且AD：DC=1：2，

∴=2=2+2．

故答案为：2+2．

17．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP?CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．如

图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．写出点M （，0）关于以原点O为圆心，1

为半径的⊙O的反演点M′的坐标（2，0）．

【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；点与圆的位置关系．

【分析】根据点P′为射线CP上一点，满足CP?CP′=r2，点P′为点P关于⊙C的反演点列式计算即可．

【解答】解：设点M′的坐标为（a，0），

由题意得， a=12，

解得，a=2，

则设点M′的坐标为（2，0），

故答案为：（2，0）．

18．如图，底角为α的等腰△ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC上的点D重合，点C与点E重合，联结AD、CE．已知tanα=，AB=5，则CE=．

【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．

【分析】如图，作AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，则BH=CH，先利用三角形函数的定义和勾股定理可计算出BH=4，则BC=2BH=8，再根据旋转的性质得∠CBE=α，BE=BC=8，接着在Rt△BEF中利用三角函数的定义可计算出EF和BF，然后在Rt△CEF中利用勾股定理计算CE．

【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，则BH=CH，

在Rt△ABH中，tan∠ABH=tanα==，

设AH=3t，则BH=4t，

∴AB==5t，

∴5t=5，解得t=1，

∴BC=2BH=8，

∵等腰△ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC上的点D重合，

∴∠CBE=α，BE=BC=8，

在Rt△BEF中，tan∠EAF=tanα==，

设AH=3x，则BH=4x，BE=5x，

∴5x=8，解得x=，

∴EF=，BF=，

∴CF=8﹣=，

在Rt△CEF中，CE==．

故答案为．

三．解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．计算：cos30°+|1﹣|﹣（）﹣1．

【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项分母有理化，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．

【解答】解：原式=++﹣1﹣3=2﹣．

20．解方程：．

【考点】解分式方程．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：x﹣5+x2﹣1=3x﹣3，

整理得：（x﹣3）（x+1）=0，

解得：x1=3，x2=﹣1，

经检验x=﹣1是增根，分式方程的解为x=3．

21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB

于点E，且sin∠DAB=，DB=3．求：

（1）AB的长；

（2）∠CAB的余切值．

【考点】解直角三角形．

【分析】（1）在Rt△BDE中，求得BE=DE=3，在Rt△ADE中，得到AE=4，根据线段的和差即可得到结论；

（2）作CH⊥AB于H，根据已知条件得到BC=6，由等腰直角三角形的性质得到

BH=CH=6，根据三角函数的定义即可得到结论．

【解答】解：（1）在Rt△BDE中，DE⊥AB，BD=3∠ABC=45°，

∴BE=DE=3，

在Rt△ADE中，sin∠DAB=，DE=3，

∴AE=4，AB=AE+BE=4+3=7；

（2）作CH⊥AB于H，

∵AD是BC边上是中线，BD=3，

∴BC=6，

∵∠ABC=45°，

∴BH=CH=6，

∴AH=7﹣6=1，

在Rt△CHA中，cot∠CAB==．

22．甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图所示，y

甲、y

乙

分别表示甲、乙离开A地y（km）与已用时间x（h）之间的关系，且直线y

甲

与直

线y

乙

相交于点M．

（1）求y

甲

与x的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；（2）求A、B两地之间距离．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）设y

甲=kx（k≠0），由点M的坐标利用待定系数法即可求出y

甲

关于x的函

数关系式；

（2）设y

乙=mx+n，由函数图象得出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法即可求出y

乙

关于x的函数关系式，再令x=0求出y值即可得出结论．【解答】解：（1）设y

甲

=kx（k≠0），

∵点M（0.5，7.5）在直线y

甲

的图象上，

∴0.5k=7.5，解得：k=15．

∴y

甲关于x的函数关系式为y

甲

=15x．

（2）设y

乙

=mx+n，

将点（0.5，7.5），点（2，0）代入函数关系式得：

，解得：．

∴y

乙关于x的函数关系式为y

乙

=﹣5x+10．

令y

乙

=﹣5x+10中x=0，则y=10．

∴A、B两地之间距离为10千米．

23．如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．（1）求证：四边形AECD为平行四边形；

（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△AEC∽△ADF；

（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）由E为BC中点，得到BC=2CE，再由BC=2AD，得到CE=AD，再由AD 与CE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；

（2）由四边形AECD为平行四边形，得到对角相等，再由已知角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；

（3）设AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，在Rt△ABE中，根据勾股定理表示出AE，由三角形AEC与三角形ADF相似得比例，表示出DF．由CD﹣DF表示出CF，再由AE与DC平行得比例，即可求出所求式子之比．【解答】解：（1）∵BC=2AD，点E为BC中点，

∴BC=2CE，

∴AD=CE，

∵AD∥CE，

∴四边形AECD为平行四边形；

（2）∵四边形AECD为平行四边形，

∴∠D=∠AEC，

∵∠EAF=∠CAD，

∴∠EAC=∠DAF，

∴△AEC∽△ADF，

（3）设AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，∴在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE==a，

∵△AEC∽△ADF，

∴=，即=，

∴DF=a，

∴CF=CD﹣DF=a﹣a=a，

∵AE∥DC，

∴===．

24．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，

ON=3，反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点

A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．

（1）求证：AB∥CD；

（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．

【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）首先求得C和D的坐标，证明=即可证得；

（2）分成PN∥DB和CD∥AB两种情况进行讨论，即可求解．

【解答】（1）证明：∵四边形OMPN是矩形，OM=6，ON=3，

∴P的坐标是（6，3）．

∵点C和D都在反比例函数y=的图象上，且点C在PN上，点D在PM上，

∴点C（2，3），点D（6，1）．

又∵DB⊥y轴，CA⊥x轴，

∴A的坐标是（2，0），B的坐标是（0，1）．

∵BG=2，GD=4，CG=2，AG=1．

∴=， ==，

∴=，

∴AB∥CD；

（2）解：①∵PN∥DB，

∴当DE1=BC时，四边形BCE1D是等腰梯形，此时直角△CNB≌直角△E1PD，

∴PE1=CN=2，

∴点E1的坐标是（4，3）；

②∵CD∥AB，当E2在直线AB上，DE2=BC=2，四边形BCDE2为等腰梯形，

直线AB的解析式是y=﹣x+1，

∴设点E2（x，﹣x+1），DE2=BC=2，

∴（x﹣6）2+（x）2=8，

解得：x1=，x2=4（舍去）．

∴E2的坐标是（，﹣）．

25．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，⊙B与边AB相交于点D，与边BC相交于点E，设⊙B的半径为x．

（1）当⊙B与直线AC相切时，求x的值；

（2）设DC的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）若以AC为直径的⊙P经过点E，求⊙P与⊙B公共弦的长．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）根据勾股定理，求出AG，再由割线定理，求出BH即可；

（2）由相似得出比例式，表示出DF，CF，由勾股定理建立函数关系式；

（3）根据圆的性质求出BE，CE，再用△BQP∽△BGE，求出EG即可，

【解答】解：（1）作AG⊥BC，BH⊥AC，

∵AB=AC，AG⊥BC，

∴BG=CG=2，

∴AG==4，

∵AG×BC=BH×AC，

∴BH==，

∴当⊙B与直线AC相切时，x=；

（2）作DF⊥BC，

∴DF∥AG，

∴，

∴，

∴DF=x，

∴CF=4﹣x，

在Rt△CFD中，CD2=DE2+CF2，

∴y==（＜x≤4），

（3）①作PQ⊥BC，

∵EF是⊙B，⊙P的公共弦，

∵⊙P经过点E，

∴PA=PE=PC，

∴AE⊥BC，

∵AC=AB，

∴BE=CE=2，

∵PQ∥AE，且P是AC中点，

∴PQ=AE=2，CP=3，

∴CQ=1，BQ=3，

∴BP=，

∵△BQP∽△BGE，

∴，

∴，

∴EG=，

∴EF=；

②当点E，与点C重合时，EF=．

2016年10月31日