§8-5--微分方程应用举例
§8-5 微分方程应用举例
在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用．
应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行：
(1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；
(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解； (3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势．
例1 有一个30?30?12(m 3
)的车间，空气中CO 2的容积浓度为0.12%．为降低CO 2的含量，用一台风量为1500(m 3
/min )的进风鼓风机通入CO 2浓度为0.04%的新鲜空气，假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为1500(m 3
/min )的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动10min 后，车间中CO 2的容积浓度为多少？
解 车间体积为10800m 3
．设鼓风机开动t （min ）后，车间空气中CO 2的含量为x =x (t )，那么容积浓度为
10800
x
． 记在t 到t +dt 这段时间内，车间CO 2含量的改变量为dx ，则 dx =该时间段内CO 2通入量-该时间段内CO 2排出量
=单位时间进风量?进风CO 2的浓度?时间-单位时间排风量?排风CO 2浓度?时间 =1500?0.04%?dt -1500?
10800
x
?dt ， 于是有
dt
dx
=1500?0.04% -1500?10800x
即
dt dx =36
5
(4.32-x ) 初始条件x (0)=10800?0.12%=12.96．
方程为可分离变量的方程，其通解为 x (t )=4.32+C t e
36
5-．
将初始条件代入上式，得C =8.64．于是在t 时刻车间内空气中CO 2的含量为 x (t )=4.32(1+2t e
36
5-)．
所以鼓风机打开10min 后，车间中CO 2浓度为
10800
47
.610800)10(=
x =0.06%． 例2 (马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比．若已知t =t 0时人口总数为x 0，试根据马尔萨斯模型，确定时间t 与人口总数x (t )之间的函数关系．据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为14.8‰，假定年增长率一直
保持不变，试用马尔萨斯方程预测2005年我国的人口总数．
解 记t 时的人口总数为x =x (t )，则人口的增长率为
dt
dx
，据人口指数增长模型为dt
dx
=rx (t ),(r 为比例系数，即马尔萨斯增长指数) (1) 并附初始条件：x (t 0)=x ．
方程是可分离变量方程，易得它的通解为x =C e rt ．将初始条件x (t 0)=0x 代入，得C =x 00rt e -．于是时间t 与人口总数x (t )之间的函数关系为x (t )=x 0)(0t t r e -．
将t =2005, t 0= 1990, x 0=11.6, r =0.0148代入，可预测出2005年我国的人口总数为 x |t =2005=11.6e 0.0148?(2005-1990) ≈14.5(亿)．
例3 有一由电阻、电感串接而成的电路,如图8-6所示，其中电源电动势E =E 0sin ωt ,(E 0,ω为常量），电阻R 和电感L 为常量，在t =0时合上开关S ，其时电流为零，求此电路中电流i 与时间t 的函数关系．
解 由电学知识，电感L 上的感应电动势为L
dt
di
，根据回路电压定律，有 E =R i+L
dt
di ， 即
L
E i L R
dt di 0=+sin ωt ， (1) 初始条件为i (0)=0．
方程是一阶非齐次线性微分方程，它的通解为 i (t )=C t L
R e
-+
2
2
2
0L
R E ω+ (R sin ωt -ωL cos ωt )．
将初始条件i (0)=0代入上式，得C =
2
220L
R L
E ωω+．于是所求电流为 i (t )=
2
220L R E ω+(ωL t L
R e
-
+ R sin ωt -ωL cos ωt ), (t ≥0)．
例4 轻质油料滴入静水中后会迅速扩散，在水面形成一层圆形油膜．设油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比，滴入油料的体积为V 0，油料在水中扩散过程中的形状近似看做圆柱体，初始t =0时圆柱高度为h 0，求油膜半径与时间t 的关系． 解 设圆柱体油料半径r =r (t )，厚度h =h (t )，则在任何时刻t 有 πr 2(t )?h (t )=V 0． (1) 两边对t 求导，得 2πr (t )
dt dr h (t )+πr 2(t )dt
dh =0， 据油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比,
)(t kh dt
dr
=,得
图8-6
L
S
图8-7
2kh 2
(t )+)(0t h V πdt dh =0，即 dt dh =-2k 25
h V π(t )．
分离变量后成为 )(2
5
t h
-dh =-2k
V πdt ，
两边积分得31)(23
t h -=k 0V πt +C ，或h (t )=??
?
?????+C t V k 0(31π
．代入(1)，得 r （t ）=3
1
003???
????????? ??+?C t V k V ππ （2） 由初始条件πr 2(0)h (0)=πr 2(0)h 0=V 0，得r (0)=0
0h V π；代入(2)得C =2
3)3(10kh ．回代到(2)，最终得油膜半径与时间t 的关系为 r (t )= 31
23
00
])(3[
h V t kV ππ
+．
例5 一边长为3m 的立方体形状的木材浮于水面上处
于平衡位置，然后向水里按下x 0(m )后松手，物体会在上面上下沉浮振动(图8-8)．已知振动的周期为2s ，水的密度 为1，试求物体的质量及物体沉浮振动的规律．
解 设物体的质量为m ，物体在时刻t 相对于平衡位 置的位移为x ，振动规律为x =x (t )．因为x 是相对于平衡位
置的位移，物体所受重力已经被抵消，故物体在振动过程中只要考虑浮力的作用．
假设x 以向下为正向．由阿基米德原理，当物体位移为x 时所受浮力F (x )与x 的符号相反，大小为：
F (x )=-3?3?x ?1000g=-9000x g, (g=9.8m/s 2为重力加速度)． 由牛顿第二定律得 m
22dt x d =-9000g x ，即 m 2
2dt
x
d +9000g x =0 这是一个二阶常系数齐次方程，满足初始条件
x (0)=x 0, x '(0)=0．
其特征方程为r 2
+
m
9000
=0，特征根为r 1,2=±m g 9000i ，通解为
x (t )=C 1cos
m g 9000t +C 2sin m
g
9000t ． 图8-8
由周期T =
m
g 90002π
=2，解得
π=m g 9000，m =2
9000πg ≈8937(kg)． 所以
x (t )=C 1cos πt +C 2sin πt ． 由初始条件，得C 1=x (0)=x 0，C 2=
π
)
0(x '=0，所以物体的位移规律为x (t )=x 0cos πt ．
例6 在例3的电路上，若再串接一个的电容C ，且R 2-
C
L
4<0, (电路中电阻较小或电容较小)．求合上开关后电路上电流的变化的 一般形式．
解 以Q (t )表示电路上流动的电量，则由电学知识，电容两 端的电动势为E C =
C 1Q ；电感两端的电动势E L = L dt di
= L 2
2
dt
Q d ； 电阻两端的电动势E R =Ri =R
dt
dQ
．据回路电压定律，有 L 22dt Q d + R dt dQ +C 1Q=E 0sin ωt ，或
22dt Q d +L R dt dQ +CL
1
Q =L E 0sin ωt ， (3) 方程(3)是二阶线性常系数的，对应的特征方程为 r 2+
L R r +CL 1=0，特征根r 1 =L 21(-R -C L R 42-), r 2=L
21
(-R +C L R 42-)．
因为R 2-
C
L
4<0，所以(3)对应的齐次方程的通解为 Q *(t )=t
L R e
2-(C 1sin
2)2(1L R CL -t +C 2cos 2)2(1L
R CL -t )． 设Q **
(t )为(3)的一个特解，据公式可得 Q **
(t )=t r e 1??--?dt dt e t L
E e t r t r r ]sin [2120
)(ω． 应用积分公式
C
bx b bx a b a e bxdx e ax
ax
+-+=?)cos sin (sin 22C bx a bx b b a e bxdx e
ax
ax
+++=?)cos sin (cos 2
2，
可得 Q **
(t )=-
)(2
220r L E +ωt
r e 1?+-dt t t r e t r )cos sin ([21ωωω =-
)
)((21
2
22
2
r r L E ++ωω[r 2(-r 1sin ωt -ωcos ωt )+ω(ωsin ωt -r 1cos ωt )]
图8-7
=-)
)((21
2
22
2
r r L E ++ωω[(ω2-r 1r 2)sin ωt -ω(r 1+r 2)cos ωt ] =-)
)((2122220
r r L E ++ωω[(ω2-
CL 1)sin ωt +ωL
R
cos ωt ] =-]
)()[(22120L R CL L E ωω+-[(ω2-CL 1)sin ωt +
L R ωcos ωt ] 即 Q **
(t )=-2
1]
)(
)[(2
2
12
L
R CL
L E ωω+-
sin (ωt +?), tan ?=
CL
L
R
12
-
ωω． (4)
所以方程(3)的通解为 Q (t )=t
L R e 2-(C 1sin
2)2(1L R CL -t +C 2cos 2)2(1L
R CL -t ) -2
1]
)(
)[(2
2
12
L
R CL
L E ωω+-
sin (ωt +?)．
根据i =
dt
dQ
，即得电路上电流变化的一般形式为 i (t )= t
L R e 2-(23)2(1sin
L
R CL C - +C 4cos 2)2(1L R CL -t )
-
2
1
]
)()[(2
2
1
2
0L R CL L E ωωω
+-cos (ωt +?)，
其中?由(3)确定．且21242213)2(12,)2(12L
R
CL C L RC C L R CL C L RC C -+-=---
= 习题8-5
1. 一曲线过点(1,1)，且曲线上任意点M (x ,y )处的切线与过原点的直线OM 垂直，求此曲线方程．
2. 设质量为m 的降落伞从飞机上下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开飞 机时(t =0)速度为零．求降落伞下落的速度与时间的函数关系．
3. 设火车在平直的轨道上以16m/s 的速度行驶．当司机发现前方约200m 处铁轨上有异物 时，立即以加速度-0.8m/s 2
制动(刹车)．试问： (1)自刹车后需经多长时间火车才能停车？ (2)自开始刹车到停车，火车行驶了多少路程？
4 太阳能热水器加热水时，在某时间段水温度升高的速度与水温成反比．现设某型号的太 阳能热水器的比例系数为0.1．试求把水从10?C 加热到80?C 需要多少时间？ 5. 如图是一个由电阻R ，电容C 及直流电源E 串联而成的电 路．当开关S 闭合时，电路中有电流i 通过，电容器逐渐 充电，电容器的电压U C 逐渐升高，求电容器上电压U C 随 时间t 变化的规律．(提示：由电学知识知，U C =
C
Q
，于是
有i =
dt
dQ
，再利用回路定律E =U C +Ri ．)
常微分方程的实际应用
常微分方程的实际应用 于萍 摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。 关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用
Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process. Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use
§8-5--微分方程应用举例
§8-5 微分方程应用举例 在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用． 应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行： (1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件； (2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解； (3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势． 例1 有一个30?30?12(m 3 )的车间，空气中CO 2的容积浓度为0.12%．为降低CO 2的含量，用一台风量为1500(m 3 /min )的进风鼓风机通入CO 2浓度为0.04%的新鲜空气，假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为1500(m 3 /min )的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动10min 后，车间中CO 2的容积浓度为多少？ 解 车间体积为10800m 3 ．设鼓风机开动t （min ）后，车间空气中CO 2的含量为x =x (t )，那么容积浓度为 10800 x ． 记在t 到t +dt 这段时间内，车间CO 2含量的改变量为dx ，则 dx =该时间段内CO 2通入量-该时间段内CO 2排出量 =单位时间进风量?进风CO 2的浓度?时间-单位时间排风量?排风CO 2浓度?时间 =1500?0.04%?dt -1500? 10800 x ?dt ， 于是有 dt dx =1500?0.04% -1500?10800x 即 dt dx =36 5 (4.32-x ) 初始条件x (0)=10800?0.12%=12.96． 方程为可分离变量的方程，其通解为 x (t )=4.32+C t e 36 5-． 将初始条件代入上式，得C =8.64．于是在t 时刻车间内空气中CO 2的含量为 x (t )=4.32(1+2t e 36 5-)． 所以鼓风机打开10min 后，车间中CO 2浓度为 10800 47 .610800)10(= x =0.06%． 例2 (马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比．若已知t =t 0时人口总数为x 0，试根据马尔萨斯模型，确定时间t 与人口总数x (t )之间的函数关系．据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为14.8‰，假定年增长率一直
常微分方程在数学建模中的应用(免费版)
常微分方程在数学建模中的应用 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==． ， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9 1006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 ) 1961(02.09 e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人 口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）． 但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地
常微分方程在数学建模中的应用.
微分方程应用 1 引言 常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介 通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助． 建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介
常微分方程在高中物理中的应用
微分方程在高中物理中的应用 高中阶段，我们经常会遇到一些需要定性分析的物理问题，其实如果我们应用高等数学 的知识，可以把其中一些问题进行定量的分析。 例如，质量为m 的物体从高度H 自由下落，所受阻力f 与速度v 成正比，g 为重力加速 度这是我们平时常见的一类问题。但我们只知道速度V 最终会趋近于某一数值v0。下面我 进行一下定量分析。 根据题目所给信息，可列出动力学方程 mg-kv=ma ① a=dv/dt ② 结合①式可得mg-kv=mdv/dt 这里移项可得dt=mdv/(mg-kv)③ 两边同时积分便可的到 V=mg(ce*(-kt/m)+1)/k 又∵自由下落，可得t=0时v=.0 ∴v=mg(1-e*(-kt/m))/k ④ 由④式知，当t 趋近于正无穷时，e*(-kt/m)=0， 此时v=mg/k ⑤ 若按照正常思路，当物体受力平衡时，mg=kv,此时也能得到⑤式的结论。 而在高考中，更为常见的是在电磁场中的同类问题，我们不妨看一下下面这一道例题 （2012·山东理综）如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹 角为θ，上端接有定值电阻，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B 。将质量为m 的导 体棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的 拉力，并保持拉力的功率为P ，导体棒最终以2v 的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直 且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g ，下列选项正 确的是 A ．P =2mg sin θ B ．P =3mg sin θ C ．当导体棒速度达到v /2时加速度为12 g sin θ D ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力 所做的功 我们根据题目也可以列出动力学方程 Mgsin θ-B*2L*2V/R=ma ① a=dv/dt ② 同样可以解得v=(mgR sin θ/B*2L*2)(1-e*(-B*2L*2t/mR))③ 从③式可以看出当t 趋近于正无穷时，v=mgR sin θ/B*2L*2即B*2L*2v/R=mg sin θ转化而来。 所以题目中所说当速度到达V 时开始匀速运动存在明显错误。应改为近似于做匀速直线运 动。
常微分方程的应用
常微分方程的应用
17 《常微分方程应用》结课作业 学院：轻工与纺织学院 班级：服装设计与工程13-1班 学号：201321805024 姓名：周志彬
常微分方程经济应用 微分方程在不仅在物理学、力学上有广泛的应用，在经济学和管理科学等实际问题中也比比皆是，本次我们将集中讨论微分方程的经济应用。读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决经济管理实际问题的魅力. 随着社会经济的迅速发展,数学在我们的生活中可以说无处不在,尤其是在经济管理中的应用越来越广泛.经济学必须进行定量研究.而常微分方程是对经济管理问题进行定量研究的最重要、最基本的数学工具之一，为了研究经济变量之间的联系及其内在规律,常常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式,并由此确定所研究函数的形式,从而根据一些已知条件来确定该函数的表达式.从数学上讲,就是建立微分方程并求解微分方程.用微分方程解决问题，下面就是几个例子：
一、公司资产函数 例。某公司t 年净资产有)(t W (百万元), 并且资产本身以每年5%的速度连续增长, 同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资. (1) 给出描述净资产)(t W 的微分方程; (2) 求解方程, 这时假设初始净资产为;0 W (3) 讨论在700,600,5000=W 三种情况下, )(t W 变化 特点. 解 (1) 利用平衡法，即由净资产增长速度＝资产本身增长速度－职工工资支付速度 得到所求微分方程 .3005.0-=W dt dW (2) 分离变量，得 .05.0600 dt W dW =- 两边积分，得 11(ln 05.0|600|ln C C t W +=-为正常数），于是 , |600|05.01t e C W =- 或 ).(600105.0C C Ce W t ±==- 将0)0(W W =代入，得方程通解： .)600(60005.00 t e W W -+= 上式推导过程中,600≠W 当600=W 时，0=dt dW 知
【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值
a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈，
数学建模——微分方程的应用
第八节 数学建模——微分方程的应用举例 微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 分布图示 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题 内容要点： 一、衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量. 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则 dt dx 表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为 .kx dt dx -= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少. 解方程(8.1)得通解.kt Ce x -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解 ,)(00t t k e x x --= 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素( U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭( Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226 衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.
〈常微分方程》应用题及答案
应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 ; 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f = ，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01 x x x ??。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 ' 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记
最新常微分方程及其应用
常微分方程及其应用
第5章常微分方程及其应用 习题5.2 1．求下列各微分方程的通解： （1）?Skip Record If...?；（2）?Skip Record If...?； （3）?Skip Record If...?；（4）?Skip Record If...?； （5）?Skip Record If...?；（6）?Skip Record If...?． 2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： （1）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；（2）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?； （3）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；（4）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?； （5）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；（6）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?． 5.3 可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程 案例引入求微分方程?Skip Record If...?的通解． 解两边积分，得?Skip Record If...? 两边再积分，得?Skip Record If...? 所以，原方程的通解为?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为任意常数． 5.3.1 可降阶微分方程 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢20
1. 形如?Skip Record If...?的微分方程 特点：方程右端为已知函数?Skip Record If...?． 解法：对?Skip Record If...?连续积分?Skip Record If...?次，即可得含有 ?Skip Record If...?个任意常数的通解． 2. 形如?Skip Record If...?的微分方程 特点：方程右端不显含未知函数?Skip Record If...?． 解法：令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．于是，原方程可化为?Skip Record If...?．这是关于?Skip Record If...?的一阶微分方程．设其通解为?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?．两边积分，即可得原方程通解?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为任意常数． 3. 形如?Skip Record If...?的微分方程 特点：方程右端不显含自变量?Skip Record If...?． 解法：令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．于是，原方程可化为?Skip Record If...?．这是关于?Skip Record If...?的一阶微分方程．设其通解为?Skip Record If...?，即 ?Skip Record If...?．分离变量，得?Skip Record If...?．然后两边积分，即可得原方程通解 ?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为任意常数．例5-7求微分方程?Skip Record If...?的通解． 解两边积分，得?Skip Record If...? 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢20
二阶常微分方程的解法及其应用.
目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)
二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换
METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程
常微分方程在数学建模中的应用
北方民族大学学士学位论文 论文题目:常微分方程在数学建模中的应用 院(部)名称:信息与计算科学学院 学生姓名:马木沙 专业:信计学号:20093490 指导教师姓名:魏波 论文提交时间: 论文答辩时间: 学位授予时间: 北方民族大学教务处制
摘要 本文利用常微分方程和数学建模二者之间的联系，了解微分方程的一般理论、微分方程解的存在惟一性、微分方程的稳定性问题、通过几个典型的数学模型如：人口模型、减肥的数学模型、化工车间通风模型、传染病的传播模型及定性分析等例子来体现微分方程在数学建模中的应用. 用数学理论解决实际生活中的问题.微分方程的出现以及运用微分方程在数学建模中的应用，就是为了更好地使更多的人理解并运用数学理论，更好的解决实际生活中的问题.努力在各个领域利用并渗透数学知识的广泛运用. 关键词：常微分方程，数学建模，数学模型
Abstract In this paper, ordinary differential equations and mathematical modeling contact between the two, understand the general theory of differential equations, stability problems of the existence and uniqueness of differential equations, differential equations, several typical mathematical models such as: demographic model,example of the mathematical model of weight loss, chemical plant ventilation model, spread of infectious diseases, model and qualitative analysis to reflect the application of differential equations in mathematical modeling. found that the application of mathematical theory to study and solve problems in the actual process of the emergence of ordinary differential equations andOrdinary Differential Equations in Mathematical Modeling widely used, in order to better enable ordinary people to understand and use mathematical theory, solving real-world problems. sublimation theory by the knowledge-based transformation to the ability to type, highlight the differential equationsand differential equations in mathematical modeling efforts made outstanding and significant contribution in various fields. Keywords: ordinary differential equations, mathematical modeling, mathematical model.
一阶微分方程的应用
一阶微分方程的应用
（1）数学建模列出微分方程（含初始条件）；（2）求解微分方程. 步骤: 利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.
),(y x M y x o 例1 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程. 提示: 设曲线上的动点为M (x,y ),令X = 0, 得截距由题意知微分方程为 x x y y ='-即11-=-'y x y 定解条件为.11==x y y x x ' =αtan x 此点处切线方程为它的切线在纵1、几何应用
2、物理应用（1）动力学：例2跳伞运动(如图)，求伞降落速度与时间的关系，初始时刻为原点. mg )( 阻力kv f =x o kv mg F ma -==作受力分析用ma F =
（2）热学 例3 发动机冷却系统设计 (Newton 冷却定律:冷却速度与温差成正比) dt T T k dt dT e )(-+=α. 之间的关系与试建立发动机温度t T , ),(e T t T 环境温度为工作温度为),(,e T T k -降温速率为升温速率为α
例4. 已知某车间的容积为 的新鲜空气 问每分钟应输入多少才能在30 分钟后使车间空 的含量不超过0.06 % ?提示: 设每分钟应输入t 时刻车间空气中含 则在],[t t t ?+内车间内=?x 两端除以t ?并令0→?t 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出)得微分方程 t k ??10004.0t x k ??-5400 5400( 假定输入的新鲜空气输入, 的改变量为
二阶常系数线性微分方程的应用举例
第七章常微分方程7.13 二阶常系数线性微分 方程的应用举例 数学与统计学院 赵小艳
解 受力分析 例1 （弹簧的机械振动） 如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力 作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律. pt H t f sin )(1=x x o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由t x kx pt H t x m d d d d μ--=sin 22可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位置 的位移为x (t ). .0,000====t t x x d 还应满足初始条件：
.0,000====t t x x d 还应满足初始条件：2m t x kx pt H t x m d d d d μ--=sin 22 可得m m pt h x t x t x sin 2222=++ωδd d d d 强迫振动的微分方程
2m m m pt h x t x t x sin 2222=++ωδd d d d 强迫振动的微分方程 对应齐次方程： 02222=++x t x t x ωδd d d d 自由振动的微分方程 其特征方程： 0222=++ωδλλ. ,222221ωδδλωδδλ---=-+-=. 0)1(22>-ωδ.)(2)(12222t t e C e C x ωδδωδδ-+----+=齐次方程的通解为 .0)(→∞→t x t 时，当此时物体运动按指数函数规律衰减. t x O
浅谈常微分方程的数值解法及其应用[文献综述]
毕业论文文献综述 信息与计算科学 浅谈常微分方程的数值解法及其应用 一、前言部分 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解. 后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论. 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1] “常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。 二、主体部分 2.1微分方程概念介绍
拉格朗日方程的应用及举例08讲
拉格朗日方程的应用及举例 拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n个方程，是一个包含n个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐标。 纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。我们将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过于繁琐，并有较多的耦合项。 应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标q和广义速度q 表示的动能函数和广义力Q。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉格朗日方程的应用。 一、动能的计算 对于系统的动能，可以写出关于广义速度q 的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。 例1-1已知质量为m，半径为r的均质圆盘D， 沿OAB直角曲杆的AB段只滚不滑。圆盘的盘面和曲 杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度 1绕通过 O点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。 解：取广义坐标x和 ，x为圆盘与曲杆接触点到 曲杆A点的距离， 为曲杆OAB的转角， = 1t。 应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心C 的速度和相对于质心平动坐标标准
常微分方程在实际生活中的应用
目录 序言 (2) 一、鉴别名画的真伪 (2) 二、测定考古发掘物的年龄 (6) 三、在军事上的应用 (8) 四、在社会经济中的应用 (13) 五、应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定 (16) 六、在人口增减规律中的应用 (17) 结束语 (18) 参考文献 (19)
常微分方程在实际生活中的应用 曹天岩 （渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国） 摘要：现代的科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用常微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程，从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断地取得了显著的成效。 常微分方程来自人类的社会实践，又是解决实际问题的一个最强有力的数学方法，在现实生活中，能用常微分方程研究的实际问题非常多，几乎在人类社会的每一个角落它都展示了无穷的威力，尤其是在工程技术、军事、经济、医学、生物、生态等领域它都发挥着极其重要的作用。所以研究常微分方程对人类社会生活有非常重要的意义和很实用的价值。本文介绍了利用常微分方程的知识和放射性物质可以衰变的特性来鉴别名画的真伪。利用放射现象测定考古发掘物的年龄，利用常微分方程了解深水炸弹在水下的运动，也就是其在军事上的应用，利用常微分方程对社会经济进行分析研究，利用牛顿冷却定律和常微分方程的知识对刑事侦察中死亡时间的鉴定，以及常微分方程在人口增减规律中的应用等几部分内容。 关键词：常微分方程应用解. Application of ordinary differential equation in actual life Cao Tianyan (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：A great deal of mathematics models in science,technique,engineering of the summary modern all can use a differential calculus a square distance to often describe, the basic and square distance of a lot of modern natural sciences is a differential calculus square distance, from the calculus theories formation, people had been use a square distance of differential calculus to describe,explain or foresee various natural phenomena, obtaining to show the result of the constantly. Often differential calculus the square distance come from the mankind's social fulfillment, is the most powerful mathematics method that resolves an actual problem again, can use a differential calculus a square distance to often study in the realistic life of the actual problem is quite a few, almost at mankind each corner of the society display endless of power is in the realms, such as engineering technique,military,economy,medical science,living creature and ecosystem...etc. particularly it develops a very and important function.So research often differential calculus the square distance have count for much meaning to mankind's social activities with the very practical value.This text introduced to make use of differential calculus often the knowledge and the radio material of the square distance can be change with of characteristic to discriminate a painting of true false.Make use of emanation the phenomenon measurement to study of ancient relics age of discover the thing, make use of a differential calculus a square distance understanding often deeply the water bomb at underwater of sport be also it to apply militarily, make use of often differential calculus the square distance is to the social economy carry on analysis research, make use of Newton to cool off laws and often differential calculus the pertaining to crime for the knowledge of the square distance is on the scout to die time of authenticate, and often differential calculus the square distance is in the population increase or decrease the application in the regulation to wait several parts of contentses. Key Words: Ordinary differential equation application solution