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北京市海淀区2014届高三上学期期中考试 理科数学 Word版含答案

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学(理科) 2013.11

本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选

项中,选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{1,1,2}A =-,{|10}B x x =+≥,则A B = ( A ) A. {1,1,2}- B. {1,2} C. {1,2}- D.{2}

2.下列函数中,值域为(0,)+∞的函数是( C )

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A. ()f x =

B. ()ln f x x =

C. ()2x f x =

D.()tan f x x = 3. 在ABC ?中,若tan 2A =-,则cos A =( B )

B.

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D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -,若//OB AC

,则实数

m 的值为( C )

A. 2-

B. 12-

C. 1

2

D. 2 5.若a ∈R ,则“2a a >”是“1a >”的(B )

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n

n a n =-,则数列的前n 项和n S 的最小值是(B )

A. 3S

B. 4S

C. 5S

D. 6S

7.已知0a >,函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),

x x f x ax ax x ?

∈-?=??++∈+∞?若11

()32f t ->-,则实数t 的取值范围为

(D )

A. 2

[,0)3

- B.[1,0)- C.[2,3) D. (0,)+∞

8.已知函数sin cos ()sin cos x x

f x x x

+=

,在下列给出结论中:

①π是()f x 的一个周期; ②()f x 的图象关于直线x 4

π

=

对称;

③()f x 在(,0)2

π

-上单调递减. 其中,正确结论的个数为(C )

A. 0个

B.1个

C. 2个

D. 3个

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

9.1

0(21)d x x +=?___________.2

10. 已知数列{}n a 为等比数列,若13245,10a a a a +=+=,则公比q =____________.2 11. 已知23log 5,23,log 2b a c ===,则,,a b c 的大小关系为____________.

a b c >>

12.函数π

()2sin()(0,||)2f x x =+><ω?ω?的图象如图所示,则

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ω=______________,?=__________.2π3,π

6

13.已知ABC ?是正三角形,若AC AB λ=- a 与向量AC

的夹角

大于90 ,则实数λ的取值范围是__________.2λ>

14.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足:①当[1,3)x ∈时,()1|2|f x x =--;②(3)3()f x f x =.设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次为12,,,,n x x x .若1a =,则123x x x ++=;若(1,3)a ∈,则122n x x x +++= ________________.

答案:14;6(31)n -

三、解答题: 本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证

明过程。

15.(本小题满分13分)

在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,60A = ,32,b c

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=ABC S ?=(Ⅰ)求b 的值; (Ⅱ)求sin B 的值.

解:(Ⅰ)由60A =

和ABC S ?=

1sin602bc = 分

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所以6bc =, --------------------------------------3分

又32,b c =

所以2,3b c ==. ------------------------------------5分

(Ⅱ)因为2,3b c ==,60A = ,

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分

2222367a =+-=

,即a =. ------------------------------------9分

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由正弦定理

sin sin a b

A B

=

可得------------------------------------11分

2

sin B

=

,------------------------------------12分

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所以sin B =

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.------------------------------------13分 16. (本小题满分14分)

已知函数2π

()2cos (2)14

f x x x =-++.

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(I )求()f x 的最小正周期;

(II )求()f x 在区间ππ

[,]64

-上的取值范围.

解:(I

)π

()cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分

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sin 4x x =+------------------------------------4分

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π

2sin(4)3

x =+------------------------------------6分

()f x 最小正周期为π

T 2=,------------------------------------8分

(II )因为ππ

64x -≤≤,所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分

所以π

sin(4)13

x ≤+≤-----------------------------------12分

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所以π

2sin(4)23

x +≤, -----------------------------------13分

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所以()f x

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取值范围为[. ------------------------------------14分 17.(本小题满分13分)

如图,已知点(11,0)A ,直线(111)x t t =-<<

与函数y 的图象交于点P ,与x

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轴交于点H ,记APH ?的面积为()f t . (I )求函数()f t 的解析式; (II )求函数()f t 的最大值.

解:(I )由已知11,AH t PH =- -------------------------------------1分

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所以APH ?的面积为1

()(111112f t t t =--<<. ---------------------4分

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(II )解法1. 1'()(11)

2f t t =?-

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= -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =, -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表:

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-----------------------------------12分

所以当3t =时,函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分

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解法2.由1()(111112f t t t =--<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<, -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表:

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------------------------------------11分

所以当3t =时,函数()g t 取得最大值, -----------------------------------12分

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所以当3t =时,函数()f t 8=.------------------------------------13分

18.(本小题满分13分)

已知数列{}n a 满足:①20a >;②对于任意正整数,p q 都有2p q p q a a +?=成立. (I )求1a 的值;

(II )求数列{}n a 的通项公式;

(III )若2

(1)n n b a =+,求数列{}n b 的前n 项和.

解:(I )由②可得2112a a ?=,3122a a ?= -------------------------------2分

由①可得12a =. -------------------------------3分

(II )由②可得112n n a a +?=, ------------------------------6分

所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分 (III )由(II )可得21(1)421n n n n b a +=+=++,

易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列,------------------------------8分

由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1

(416)214123

n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分

19.(本小题满分14分)

已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>.

(I )当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (II )求()f x 的单调区间;

(III )若()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(I )因为1a =,2()42ln f x x x x =-+,

所以2242

'()(0)x x f x x x

-+=>, ------------------------------1分

(1)3f =-,'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分 (II )222(1)22(1)()

'()(0)x a x a x x a f x x x x

-++--==>, ----------------------------5分

由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时,在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >,在(,1)x a ∈时'()0f x <,

所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞,单调减区间是(,1)a ; ---------------7分 当1a =时,在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥,所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞;-----8分 当1a >时,在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >,在(1,)x a ∈时'()0f x <.

所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞,单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III )由(II )可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点,

所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到,-------------------------12分

即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤,

解得2e 2e

2e 2

a -≥-. ---------------------14分

20.(本小题满分13分)

已知数列{}n a 的首项1,a a =其中*

a ∈N ,*1*,3,,31,3,.

n

n n n

n a a l l a a a l l +?=∈?=??+≠∈?N N 令集合

*{|,}

n A x x a n ==∈N . (I )若4a 是数列{}n a 中首次为1的项,请写出所有这样数列的前三项; (II )求证:{1,2,3}A ?;

(III )当2014a ≤时,求集合A 中元素个数()Card A 的最大值.

解:(I )27,9,3;8,9,3;6,2,3. --------------------------------------3分

(II )若k a 被3除余1,则由已知可得11k k a a +=+,231

2,(2)3

k k k k a a a a ++=+=+;

若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31

(1)13

k k a a +≤++;

若k a 被3除余0,则由已知可得113k k a a +=,31

23

k k a a +≤+;

所以31

23

k k a a +≤+,

所以312

(2)(3)33

k k k k k a a a a a +-≥-+=-

所以,对于数列{}n a 中的任意一项k a ,“若3k a >,则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ,所以31k k a a +-≥.

所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤(否则会与上述结论矛盾!)

若3m a =,则121,2m m a a ++==;若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则

122,3m m a a ++==,

由递推关系易得{1,2,3}A ?. ---------------------------------------8分

(III )集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.

由已知递推关系可推得数列{}n a 满足:

当{1,2,3}m a ∈时,总有3n n a a +=成立,其中,1,2,n m m m =++ . 下面考虑当12014a a =≤时,数列{}n a 中大于3的各项: 按逆序排列各项,构成的数列记为{}n b ,由(I )可得16b =或9, 由(II )的证明过程可知数列{}n b 的项满足:

3n n b b +>,且当n b 是3的倍数时,若使3n n b b +-最小,需使2112n n n b b b ++=-=-,

所以,满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中,34b =或7,且33332k k b b +=-,

所以33(1)13(1)k k b b +-=-,所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列,

所以131(41)3k k b --=-?或131(71)3k k b --=-?,即331k k b =+或3231k k b =?+, 因为67320143<<,所以,当2014a ≤时,k 的最大值是6,

所以118a b =,所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分

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