有限元2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)综述

第2章 弹性力学平面问题有限单元法

2.1 三角形单元(triangular Element)

三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:

①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵

设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。

在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1)

二、单元位移函数和形状函数

前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构

造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:

(,)123

u u x y x y ααα==++

546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a

式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)

{}???

??

?????=?????

????

?????????????=m j i m e

d d d d m j j i v u v u v u i {}

i

i j j m X Y X (2-1-1)Y X Y i

e

j m m F F F F ??

??

????

????

??==??????????????????

确定。将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:

1

23i i i u x y ααα

=++

123

j j j u x y ααα=++ (a)

1

23m m m u x y ααα

=++

和

54

6i i i v x y ααα

=++

546

j j j v x y ααα=++ (b)

54

6m m m v x y ααα

=++

利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、

3α :

11A A

α=

22

A A

α

=

33

A A

α

=

式中行列式:

1

i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =

2111i i j j m m

u y A u y u y =

3111i i j j

m m

x u A x u x u =

2111i i j j m m

A

x y A x y x y ==

A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:

11()2m m i i

j j a u a u a u A α=++ 21()2m m i i

j j bu b u b u A α=++ （C ）

31()2m m

i i j j c u c u c u A α=

++

式中:

m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-

m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）

m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-

为了书写方便，可将上式记为: m m i j i a x y x y =- m i

j b

y y =- (,,)i j m m i j

c x x =-

(,,)i j m 表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)

式。 将(c)式代入2-1-2中,整理后可得:

(,)(,)(,)m m i i j j

u N x y u N x y u N x y u =++

同理: (,)(,)(,)m m i i j j

v N x y v N x y v N x y v =++ （2-1-2）b 式中: 1()2i

i i i N a b x c y A

=++ (,,)i j m (2-1-3)

将三角形单元的位移函数用矩阵表示：

或：

4)a -1-(2

v u i v u v u m 0 j 0 i 0 0 m 0 j 0 ),(m j i i ?????

?

?????????????????????

???=??????????=m N N N N N N v u f i y x 4)b

-1-(2 }]{[}{e d N f v u =???

???????=

三、单元的应变和应力

１、应变──几何矩阵[B]

由弹性力学知,弹性力学平面问题的几何方程： x

u x

ε?=?； y v y ε?=? ； xy u v y x ε??=+??

用矩阵表示

00x y xy x u v y y x εεε?

?

??????????????????????????

????????????

???????

?

???=?????

或， {}{}H f ε????

= (2-1-5)

[H]称为微分符矩阵,又称为微分算子,“[H]{f}”实际上不是一般的矩阵乘,

可以称为微分符矩阵[H]作用在{f}上,其作用规律符合矩阵乘积规定，实际上是按[H]对{f}求导。

将2-1-4式的{f}=[N]{d}代入: {ε

}=[H][N]{d}=[B]{d} 2-1-6

式中: (2-1-7)

0000

00000000012m i j m i j m i j m i j m m i

i j j x

N N N B H N y N N N y x b b b c c c c b c b c b A ????????????

????????????????

?

???

?????????

?

?

????????

???

??

???==?????=

称为几何矩阵，对于上述三角形单元，[B]是常量矩阵,因此常把这种三角形单

元称为常应变单元

２、应力矩阵[S]

由弹性力学知,由应力求应变的物理方程是:

()1x x y E

σμσε=-

()1y y x E

σμσε=-

2(1)xy xy xy

E

G

τμγτ+==

由上式解出应力,得到由应变表示应力的物理方程: ()21x y x E εμεσμ

=+-

()21y x y E εμεσμ

=+-

2121xy

xy E μγτμ-

=?- 用矩阵表示:

{}

{}

x y xy D σσσετ????

????

??????????

??==

21010(1)00

21D E μ

μμμ

?

?

??????????

???????

?

=-- 2-1-8

称为弹性矩阵。

将2-1-6式{ε}=[B]{d}代入上式得: {}{}{}

{}

e

e

D D B d S d σε????????????????=== 2-1-9 式中:

221111*********m m i i j j m m i i j j m m i i j j S D B b

c b c b c E b c b c b c A c b c b c b μμμμμμμμ

μμμμμ???????

????????????

???

?

?

?

???

???

?

????????

?

==-------

2-1-10

上式称为应力矩阵,是结点位移与应力之间的关系矩阵,在上述三角形单元中它也是一个常量矩阵(常应力单元)。

四、单元刚度矩阵

有了几何矩阵[B]和弹性矩阵[D]后,我们便可将其代入在§1-3中推导出的单元刚度矩阵的一般表达式: T v

K B D B dv ??????????

??????

=?

对于平面问题，积分

dz t =?，是单元的厚度，并假定t 在单元内不变化(常数)，

所以三角形单元的单刚:

T K t B D B dxdy ????????????????

=??

积分式内的两个矩阵都是常量,矩阵乘后,积分得三角形单元的 单元刚度矩阵：

ii ij im ji jj jm mm mi mj K K K K K K K K K K ????

????????????

= 2-1-11

子块:

21122114(1)22r s r s r s r s rs r s r s r s r s b b c c b c c b Et K A c b b c c c b b μμμμμμμ????

????

??

???

?

--++=

---++ (r,s=i,j,m)

上式常称为各向同性常应变单刚(stiffness matrix for isotropic constant strain triangle in plane stress)

上面的[K]是在图1及2-1-1式的位移排列顺序和(2-1-2)a 下导得的,对此作些改变,便会获得不同的单元刚度矩阵形式,如将位移列阵的排列改为: {d}=[ui uj um vi vj vm ]T 。

（可自行推导,此种单元刚度矩阵的显式可参见《Finite Element Analysis Fundamentals 》）

作业3：

1．求形函数N i (x,y)在三角形形心（x c ,y c ）上的函数值。

2．设图中i 点有水平位移u i =1，试由单元刚度方程写出 各链杆的反力；并证明各水平、竖向反力之和为0。

3．求图示单元1、2的单元刚度矩阵和应力矩阵。

（结论：将单元逆时针转动180度，则单刚无影响而应力矩阵反号）

2.2 三角形单元中几个问题的讨论

一、形函数的物理意义 由(2-1-4)a

{

}

{}

000(,)

000

i i e

m i j j m j i j m m u v N N N u u f x y N d

v v N N N u v ?????????

???????????????????

????

???????

??

???????????

==

可以看出,当u ι =1,其它5个位移分量为0时,u(x,y)=Ni(x,y),或当v i =1其余为0时 v (x,y)=N i (x,y)(如图所示)。

故形函数Ni(x,y)表示当结点i 发生单位位移时,在单元内部产生的位移分布状态,函数Nj ,Nm 亦具有类似的性质,因此,Ni ,Nj ,Nm 称为位移的形状(态)函数,简称形函数,[N]即称形函数矩阵（shape function ）。

二、形函数的几何意义

在单元分析中，很重要的一步是构造位移函数，得出以形函数和结点位移乘积表示的单元位移场。

{}

{}

000000

i i e m i

j j m j i j m m u v N N N u f N d v N N N u v ????

???????????

???=?

?????

?

?

??

???

???????????

= 其中形函数: 12i i i i N a b x c y A ?? ??

?=++ (),,i j m 而

m i j b y y =-

x m i j c x =-

将其代回:

j

m m j i y x y x a -=

1

()()21121m m m m i j i j j j j m m

N x y x y y y x x x y A x y x y A

x y ??

????

=-+-+-= 若从单元内任意点p(x,y)向各顶点引连线,将其分成三个小三角形,则上式中的行列式恰好是小三角形pjm 面积的2倍

即: 1211221i x y A

A i N x y i j j A A A

x y m m

=== 同理可得:

j j A N A = m m A N A

=

由此可得如下结论(三角形单元的几何性质)

1. 任意一点形函数之和等于1,（ Ni +Nj +Nm =1）

2. 形函数为≥0,且 ≤1的值, 0≤(Ni ,Nj ,Nm )≤1

3. 顶点坐标上的形函数值:

当(x,y)坐标取在i 点时, Ni =1, Nj =Nm =0 当(x,y)坐标取在j 点时, Ni =1, Nj =1, Nm =0 当(x,y)坐标取在m 点时

, Ni =Nj =0, Nm =1

因此:Ni ,Nj ,Nm 又称为面积坐标

面积坐标的概念在讲叙六结点三角形单元时将得到应用。

三、有限元的收敛性

解的收敛性也可理解为一个问题的解的精度，较粗的分，影响一个实际问题的解的精度可分成三个方面：

实际物理问题→①理想化力学模型→②有限元求解方法（解法）→③数字截断。

此处仅讨论解法。绪论中提到，有限元作为一种数值方法可以认为是李兹法（弹性力学解）的一种特殊形式，不同之处在于有限元法的形函数（在弹力称试探函数）是定义于单元（子域）而不是全域。李兹法的收敛条件是要求试函数具有完全性和连续性。那么它在有限元法中又是如何具体体现的？ 可从两方面：

严格的数学论证（用变分原理，可参考王勖成书pp60-63）； 物理方面，也就是单元模型问题（三角形单元的位移摸式）。

１、位移模式的收敛性条件 ① 完备性

一个有限元解的必要条件是要求该单元的位移函数必须能表示刚体位移和常应变状态。 例如对于上述平面问题的三角形单元，其位移函数应能保证单元能够在不产生应变的前提下，在其平面内的任意方向上平移和转动，如图示悬臂深梁即可解释上述之理由。

现考察上述三角形单元位移函数对刚体位移的描述。

设单元产生刚体位移，原点的水平位移U 0

；竖向位移V0；转角φ0， 则任

意点位移：

00(,)(,)u x y u y v x y v x

=-=+00φφ

显然它包含在我们所设的位移模式中。

对于常应变问题，可以这样理解：当有限元网络不断细分，每个单元的尺度都

趋于很小的极限尺寸时，每个单元的应变即应趋于常数，结构内部任何复杂变化都可以被近似。由于三角形单元本身就是常应变单元，故它自然满足。

②连续性

又称为协调性要求。是指变形后相邻单元在公共边界处的位移（变形）是连续的，即相邻单元之间既不发生“间隙”又不“重叠”。

从能量原理上讲，如果单元在交界面上的位移不连续，将在交界面引起无限大的应变，而我们在建立能量方程（总势能表达式）或泛函数公式时没有考虑这种情况，因此，有限元解就不可能（难于）收敛于真正解。

对于上述三角形单元，由于位移函数是线性的，即单元中的一条直线变形后仍为直线，而相邻单元在两个公共点上的位移又应是相等的（位移谐调），所以条件②得到满足。从而保证了变形后相邻单元在公共边界处的位移（变形）是连续的

条件２得不到满足时，不能收敛到精确解，但不等于它不收敛，对有些位移函数，尽管它不能满足条件②，但当单元大小划分得恰当时，仍能获得很好的近似结果，这便非协调元问题。

因此常把条件１称为必要条件，条件２称为充分条件。

２、位移法解的下限性质

用能量变分法可以证明，有限元位移法得到的位移解，总体上不大于真正解。即解具有下限性质。

位移解下限性质可以这样理解：所划分单元是原来连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际加强了，因此连续体刚度随之加强，故求得的近似解总体上（而不是每一点）将小于精度解。

又由此可知，杆件结构原本只在结点约束，且位移模式与假设者相同（精确方法：力法，位移法），故有限元法对于杆件结构所求得的是精确解。

３、求解误差问题

结构内力分析程序的有效性和解题速度等，在很大程度上都取决于方程组的求解方法。线性方程组的解法很多，限于篇幅这里将不作具体介绍。读者可参阅有关书籍和借鉴已有程序中的方法。

引起求解过程中出现误差的原因很多，也很复杂。除了程序设计本身的错误等问题外，其中还有许多属于数学中的误差理论问题。但不管怎样，一般来说，遇到下列几种情况，方程组的解就有可能出现问题（“病态”）１、总刚度矩阵中元素间的数量级相差很远，且无一定规律；

２、消去过程中出现严重的有效数位损失或数值很小的元素等；

３、矩阵的行列式值相对来说很小，或其中某些行（列）接近线性相关。为了尽量克服方程组“病态”，保证解的正确性，通常采取的办法有：

１、改变算法，寻求一种较好的求解方法：

２、提高数学的有效位，如采用双精度（甚至双双精度）变量等；

３、尽量避免使矩阵元素间数量级相差太大；

４、尽量减小带宽。一般来说，带宽较小的矩阵比带宽较大的矩阵误差会更小；

５、尽量将位移值较大的位移分量排在位移列阵的前面，比如在高层结构计算简图中，结点编号采用从上到下的顺序等。

五、单刚的性质

１、对称性（位移互等定理）

２、奇异性（即，不能根据结点力反求结点位移）

３、分块性质，按结点划分子块

六、荷载等效变换

在有限元分析中，都须把作用在单元内部或边界上的荷载统统按静力等效原则转换到结点上，变成结点荷载代入方程组后,方可求解结点位移（如图）。

静力等效的原则是转换后的结点荷载与原荷载在任意虚位移上所的虚功相等。下面利用虚位移原理推导其一般公式。

荷载变换的一般公式

设在单元内部或边界上的任意点M(x,y,z)处作用有荷载P(如图)。其外荷载列阵用{P}表示,单元的等效结力列阵用{R}表示。

设由于该单元发生某一虚位移场{f}*

而引起的结点虚位移为{d}* ,

}*

荷载作用点M的相应虚位移为{f

M

由静力等效原则有:

}*T{P}

{d}*T{R}={f

M

因虚位移{f}* 应符合位移模式规律:{f}*=[N]{d}*

将其代入得:

{d}*T {R}={d}*T [N M ]T {P} 由此得:

{R}=[N M ]T {P} (2-2-1)

* [N M ]—N 在M 点的形函数值。

如果将{P}看成是作用在单元上的任意广义力(体积力、集中力、弹性力)，则荷载等效变换的一般表达式为:

{R}=∫V [N]T {R}dv (2-2-2)

下面具体分析三角形单元上常见荷载的转换

1、集中力

设在单元ij 边界上的d 点处作用一沿x 方向的集中力P,其作用点到i,j 的距离分别为li ,lj (如图) 由式2-2-1得

0000000000ix i i iy i jx j j jy j m mx m my m R N N R N R N N P P R N N R N R N ??????

??????????????????

??????????????????

?????

?????????

??????????

????????????

??????????

???

???==

根据形函数Ni(i,j,m)的几何性质,它们在d 点上的函数值分别为

j i i l A N A l ==; ; 0m N = 于是得:

{}0000T

j i P R l l l ??????

= (2-2-3)

2、分布力

设在单元ij 边界上的作用有沿x 方向的三角形分布力, 取微段ds, 视其为集中力

{}

0q t sds dp l ??????

????????

=

l

l N i

j =

根据集中力计算公式 (2-2-3)，可得dp 产生的等效结点力:

{}

20000T tqs dR ds s l s l

??????=-

于是积分可得:

{}{}

202300132000000l l s l s tqs tql R dR ds ds l ????????????????????????

????????????

????

????

??????

????

-===??

(2-2-4)

如果是沿x 方向作用均布载, 则有

{}[]T tql

R 0001012

= (20101008更正) 由上知, 作用在ij 边界上沿x 方向的力, 等效变换后只存在i,j 结点x 方向的分量,其余四个分量为0,如果外荷载方向是任意的,则可首先将其分解成x,y 方向，然后再作变换。

3、体积力

设在单元内作用有均匀分布的体积力,单位面积上的体积力分量： {}x y W W t W ????

?

???

?

?

= 由式2-2-1得:

{}

0000i i x y A m m N N W R tdxdy W N N ????

?

???

????????????

??????????

=?? 由于t,Wx ,Wy 在单元内为常量,可提到积分号外, 而 ?Ni(x,y)dxdy=A/3 (i,j,m) 故

{},

,,,,3T

x y x y x y At R W W W W W W ??

?

?

??

= 2-2-4

从上面三种荷载的等效变换结果可以看出，它们均符合刚体力学中力的分解、合成原则，其原因是我们所取三角形单元的位移函数是线性函数。换句话说，荷载等效变换的结果与单元位移函数（形函数）有关。

作业4：

１、求图示三角形单元的等效结点荷载

已知：t=1.5cm, Wx =0 Wy =-0.003kg/cm3

P=6kg q=2kg/cm a=20cm

部分答案:

Rjx =-15.0111kg, Rjy =-8.9265kg。

２、用有限元法计算图示结构的各支座反力。

E=constant, μ=0.15

参考答案:X2 =0.4039→，Y2 =0

（分成两个三角形单元）

基于弹性力学理论和有限元法分析应力集中问题的讨论

基于弹性力学理论和有限元法分析应力集中问题的讨论 材料在外形急剧变化的部位，局部应力可以超出名义应力的数倍，对于脆性材料局部过早开始破坏，从而，削弱了构件的强度，降低了构件的承载能力。因此在工程實际中，为了确保构件的安全使用，必须科学合理的分析计算应力集中现象，以便找寻到更好的避免措施。本文首先基于弹性力学理论分析带孔无限宽板的应力分布情况，将对象的受力转化成数学表达，结论应证了应力集中的几个特性。 标签：应力集中系数；有限元分析；无限宽板；弹性力学；Inventor运用；ANSYS 1、应力集中 1.1弹性力学中概念，指物体形状、材料性质不均匀导致的局部应力急剧增高的现象。 1.2应力集中系数 最大局部应力与名义应力的比值称为理论应力集中系数ɑ。可以明确地反应应力集中的程度。 最大局部应力σmax可根据弹性力学理论、有限元法计算得到，也可由实验方法测得；名义应力σn是假设构件的应力集中因素（如孔、缺口、沟槽等）不存在，构件截面上的应力。 2、孔周应力在理想状态下的弹性力学理论分析 2.1定义受单向均匀拉伸荷载的无限宽平板，孔径2α圆孔，建立如图一理想模型。 由于结构的对称性，仅分析图一上半段1/4部分x轴正向的状态： 1）圆孔右顶点单元，即当θ=0，r=α时，代入式（2）解算得σy=3σ； 2）距孔0.2倍孔半径外，即当θ=0，r=1.2α时，代入式（2）解算得σy=2.071σ； 3）距孔1倍孔半径外，即当θ=0，r=2α时，代入式（2）解算得σy=1.221σ； 4）距孔1.5倍孔半径外，即当θ=0，r=2.5α时，代入式（2）解算得σy=1.122σ； 5）距孔2倍孔半径外，即当θ=0，r=3α时，代入式（2）解算得σy=1.074σ；

弹性力学及有限元基础复习权威版(最新)

《弹性力学及有限元基础》复习思考题 ★1．对弹性体所做的基本假设? 答：连续性假设；均匀性假设；各向同性假设；弹性假设；小变形假设； ★2．用D'Alember 原理由平衡方程推导运动微分方程? 答：微元体的平衡微分方程的表达式为： 31 112111 2332 122221 23 132333 31 23000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ????+++=?????????+++=? ????????+++=? ???? 根据D'Alember 原理，将运动物体看成是静止的，将惯性力22()u t ρ?-?当作体力加到微元体上，由上式 可以直接写出弹性动力学问题的运动微分方程： 23111211 12123232 12222221 2321323333321 23()()() u f x x x t u f x x x t u f x x x t σσσρσσσρσσσρ?????+++=????????????+++=? ???????????+++=?????? ☆3．什么是应力张量? 我们说一点的应力状态是什么涵义? 答：应力张量是一点应力状态的完整描述，它有面元方向和分解方向两个方向性，共有九个分量，由于存在对称性，其独立分量只有六个。应力张量是与坐标选择无关的不变量，但其分量与坐标有关，当已知某坐标系中的九个分量时，其他坐标系中的分量均可由应力转换公式确定。 一点的应力状态是一个具有双重方向性的物理量，其中第一个是面元的方向，用其法矢量ν表示，第二个是作用在该面元上的应力矢量方向，一般用其三个分量来表示。 4．在引出 Cauchy 应力公式时， 我们假设四面体处于平衡状态， 如不处在平衡状态则如何? 答：如果不处在平衡状态，Cauchy 应力公式仍然满足，关系式的成立与是否平衡无关。 5．在什么情况下剪应力互等定律不成立? 答：无论在变形体的内部或者表面上，若存在体力偶时，剪应力互等定律不成立。 6．任意斜截面上的正应变和剪应变的意义是什么? 答：应变张量的三个对角分量x ε、y ε、z ε称为正应变，分别等于坐标轴方向三个线元的单位伸长率，伸长为正，缩短为负。应变张量的三个非对角分量xy ε、yz ε、zx ε称为剪应变，分别等于变形前沿该分量下标所示两坐标方向的、相互正交的线元在变形后的夹角减小量之半。 7．刚性位移，刚性转动，刚体位移，刚体转动有何区别? 答：（1）刚性位移：物体内任意两点间无相对位移；（2）刚性转动：应变张量为0，转动张量不为0；（3）刚体位移：运动分为变形运动和刚体运动，每点都发生相同的位移就叫作刚体位移；（4）刚体转动：用刚性

弹性力学及有限元法学习总结

弹性力学及有限元法学习总结 摘要：本文就弹性力学的研究对象与方法，弹性力学的基本假设，研究方法，有限元法的基本思想，数学基础，有限元分析的基本步骤进行阐述。 正文：弹性力学是固体力学的一个分支学科，是研究固体材料在外部作用下（外 部作用一般包括：荷载、温度变化以及固体边界约束改变），弹性变形及应力状态的一门学科。 弹性力学的研究对象： 材料力学--研究杆件（如梁、柱和轴）材料力学的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。 结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构结构力学（如桁架、刚架等）。弹性力学--研究各种形状的弹性体，如杆弹性力学件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。 弹性力学研究方法： 在研究方法上，弹力和材力也有区别：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程; 三套方程在边界s 上考虑受力或约束条件，建立边界条件并在边界条件下求解上边界条件; 边界条件述方程，得出较精确的解答。 弹性力学的基本假设： 1）连续性，假定物体是连续的。连续性因此，各物理量可用连续函数表示。 2）均匀性与各向同性假设假定固体材料是均匀的，并且在各个方向上物理特性相同，也即材料的物理性质在空间分布上是均匀的（或不变的）3）小变形假设假定固体材料在受到外部作用（荷载、温度等）后的位移（或变形）与物体的尺寸相比是很微小的，在研究物体受力后的平衡状态时，物体尺寸及位置的改变可忽略不计，物体位移及形变的二次项可略去不 计，由此得到的弹性力学微分方程将是线性的。 4）完全弹性假设假设固体材料是完全弹性的。 5）无初始应力假设假定外部作用（荷载、温度等）之前，物体处于无应力状态，由弹性力学所求得的应力仅仅是由外部作用（荷载、温度等）所 引起的。 有限元法的基本思想： 有限元是一种结构分析的方法，先把所有系统分解为他们的元件或单元，这些元件的行为已经被充分的了解，再把元件重新组装成原来的系统。及将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连接在一起的单元组

《弹性力学及有限单元法》学习指南

第一章绪 论 学习指导 在学习本章时，要求学生理解和掌握下面的主要内容： 1、弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别； 2、弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处； 3、弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。 §1－1弹性力学的内容 弹性体力学，简称弹性力学，弹性理论（Theory of Elasticity或Elasticity），研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。这里指出了弹性力学的研究对象是弹性体；研究的目标是变形等效应，即应力、形变和位移；而引起变形等效应的原因主要是外力作用，边界约束作用（固定约束，弹性约束，边界上的强迫位移等）以及弹性体内温度改变的作用。 首先，我们来比较几门力学的研究对象。理论力学一般不考虑物体内部的形变，把物体当成刚性体来分析其静止或运动状态。材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。结构力学研究杆系结构，如桁架、刚架或两者混合

的构架等。而弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。 其次，从研究方法来看，弹性力学和材料力学既有相似之外，又有一定区别。弹性力学研究问题，在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。而材料力学虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的。例如，材料力学常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，使问题的求解大为简化；並在许多方面进行了近似的处理，如在梁中忽略了бy的作用，且平衡条件和边界条件也不是严格地滿足的。一般地说，由于材料力学建立的是近似理论，因此得出的是近似的解答。但是，对于细长的杆件结构而言，材料力学解答的精度是足够的，附合工程上的要求（例如误差在5%以下）。对于非杆件结构，用材料力学方法得出的解答，往往具有较大的误差。这就是为什么材料力学只研究和适用于杆件问题的原因。 弹性力学是固体力学的一个分支，实际上它也是各门固体力学的基础。因为弹性力学在区域内和边界上所考虑的一些条件，也是其他固体力学必须考虑的基本条件。弹性力学的许多基本解答，也常供其他固体力学应用或参考。 弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科中占有重要的地位。这是因为，许多工程结构是非杆件形状的，须要用弹性力学方法进行分

弹塑性力学有限单元法-交通运输工程学院-中南大学

中南大学2014年博士研究生入学考试 《弹塑性力学有限单元法》考试大纲 本考试大纲由交通运输工程学院教授委员会于2013年7月通过。 I.考试性质 弹塑性力学有限单元法是我校“载运工具运用工程”专业博士生入学考试的专业基础课，它是为我校招收本专业博士生而实施的具有选拔功能的水平考试；其目的是科学、公平、有效地测试考生掌握弹性力学、塑性力学及有限单元数值方法课程的基本知识、基本理论，以及相关理论和方法分析解决实际问题的能力；评价的标准是高等学校优秀硕士毕业生能达到的及格或及格以上水平，以保证被录取者能较好的掌握了本专业必备的基础知识。 II.考查目标 弹塑性力学有限单元法课程考试弹性力学、塑性力学及有限单元数值方法等内容，重点在检查力学基本概念与基本方法的掌握和应用，难度适中，覆盖主要章节，能区分学生优劣层次。要求考生：（1）掌握弹塑性力学的基本知识、结构有限元分析的基本方法和过程，要求学生具备使用有限元方法进行车辆结构强度分析的能力。 Ⅲ.考试形式和试卷结构 1、试卷满分及考试时间 本试卷满分为100 分，考试时间为180 分钟 2、答题方式 答题方式为闭卷，笔试。 3、试卷内容结构 弹性力学约30 % 30 有限单元法约50 % 50

塑性力学基本理论约20 % 20 Ⅳ.考查内容 1. 弹性力学 （1）掌握弹性力学问题基本方程及边界条件。 （2）掌握应力理论及变形理论、二阶张量的坐标转换； （3）掌握使用位移法和应力法求解弹性力学问题； （4）掌握使用半逆解法求解简单平面问题； 2. 有限单元法 （1）掌握有限元方法的基本概念； （2）掌握平面、空间及等参单元分析的过程 （3）掌握有限单元位移模式的选取、刚度矩阵数值积分方法；（4）掌握结构刚度矩阵性质、边界条件处理； （5）掌握薄板弯曲问题有限元分析方法； （6）掌握车辆典型结构有限元分析的步骤和处理技巧； 3. 塑性力学 （1）掌握塑性力学的基本概念； （2）掌握Tresca和Mises屈服条件； （3）掌握几种常用的弹塑性力学模型； （4）掌握应力空间和屈服曲面的概念、加载曲面和塑性流动法则；

塑性力学发展历史

塑性力学发展历史 塑性力学又称塑性理论，是固体力学的一个分支，它主要研究固体受力后处于塑性变形状态时，塑性变形与外力的关系，以及物体中的应力场、应变场以及有关规律，及其相应的数值分析方法。物体受到足够大外力的作用后，它的一部或全部变形会超出弹性范围而进入塑性状态，外力卸除后，变形的一部分或全部并不消失，物体不能完全恢复到原有的形态。要注意的是塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，永久变形与时间有关的部分属于流变学研究的范畴。 一般将塑性力学分为数学塑性力学和应用塑性力学，其含义同将弹性力学的分为数学弹性理论和应用弹性力学是类似的。前者是经典的精确理论，后者是在前者各种假设的基础上，根据实际应用的需要，再加上一些补充的简化假设而形成的应用性很强的理论。从数学上看，应用塑性力学粗糙一些，但从应用的角度看，它的方程和计算公式比较简单，并且能满足很多结构设计的要求。 塑性力学的主要内容 从学科建立过程来看，塑性力学是以实验为基础，从实验中找出受力物体超出弹性极限后的变形规律，据以提出合理的假设和简化模型，确定应力超过弹性极限后材料的本构关系，从而建立塑性力学的基本方程。解出这些方程，便可得到不同塑性状态下物体中的应力和应变。 塑性力学的基本实验主要分两类：单向拉伸实验和静水压力实验。通过单向拉伸实验可以获得加载和卸载时的应力-应变曲线以及弹性极限和屈服极限的值；在塑性状态下，应力和应变之间的关系是非线性的且没有单值对应关系。由静水压力实验得出，静水压力只能引起金属材料的弹性变形且对材料的屈服极限影响很小（岩土材料则不同）。 为简化计算，根据实验结果，塑性力学采用的基本假设有：①材料是各向同性和连续的。 ②平均法向应力不影响材料的屈服，它只与材料的体积应变有关，且体积应变是弹性的，即静水压力状态不影响塑性变形而只产生弹性的体积变化。这个假定主要根据是著名的 Brid-gman试验。③材料的弹性性质不受塑性变形的影响。这些假设一般适用于金属材料；对于岩土材料则应考虑平均法向应力对屈服的影响。

弹性力学与有限元法分析及实例讲解

弹性力学与有限元法分析 弹性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性固体在受外力作用、温度改变、边界约束或其他外界因素作用下而发生的应力、形变和位移状态的科学。有限单元法是力学、数学、物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物，是随着计算机技术的广泛应用而迅速发展起来的一种数值分析方法。有限元法的基本思想就是化整为零，分散分析，再集零为整。即用结构力学方法求解弹性力学问题，实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，单元体之间仅仅通过结点相连，实现化无限自由度问题为有限稀有度问题，将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。 有限元方法经过近半个世纪的发展，目前已经成为各种工程问题特别是结构分析问题的标准分析方法，而有限元软件也已成为现代结构设计中不可缺少的工具。有限元软件是有限元理论通向实际工程应用的桥梁，它的应用极大地提高了力学学科解决自然科学和工程实际问题的能力，进一步促进了有限元方法的发展。ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，广泛用于机械制造、石油化工、航空航天、汽车交通、土木工程、造船、水利等一般工业及科学研究。 ANSYS软件的组成： （一）前处理模块 该模块为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，可以方便的构造有限元模型，软件提高了100种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。包括： 1.实体建模：参数化建模，布尔运算及体素库，拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、倒角等。 2.自动网格划分，自动进行单元形态、求解精度检查及修正。 3.在集合模型上加载：点加载、分布载荷、体载荷、函数载荷。 4.可扩展的标准梁截面形状库。 （二）分析计算模块 该模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。 （三）后处理模块 将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子流、立体切片、透明及半透明等图形方式显示出来，也可以用图表、曲线形式显示或输出。 由于现在只是对ANSYS工程软件有初步的了解和掌握，所以本次作业仅以（1）结构静力学分析为例，运用ANSYS软件对汽车连杆进行受力分析；（2）

有限单元法原理与应用(第三版)

122123 60 组建 周年60组建 周年 主要完成人：朱伯芳 受奖单位：水电中心/结构材料所 【创新性】 全面系统地阐述了有限单元法的基本原理及其在土木、水利工程问题中的应用，包括弹性力学平面问题和空间问题、薄板、薄壳、厚板、厚壳、弹性稳定、塑性力学、大位移、断裂、动力反应、徐变、岩土力学、极限分析、混凝土和钢筋混凝土、流体力学、渗流分析、热传导、工程反分析、仿真分析、网格自动生成、误差估计及自适应技术等。本书取材实用、由浅入深、先易后难，便于自学；对于实际工程中有用的计算方法力求讲述清楚并给出具体计算公式，便于应用；对有限元法的工程应用，注意工程的物理特性，要求采用的概化假定、计算参数和计算荷载等尽量接近实际，注重计算方法精度的适应性等，并重视有限元计算结果与实际观测资料相验证。【影响力】 我国最早的有限元专著之一，为在我国推广有限元法发挥了重要作用；本书共出版三版，第一版于1976年8月，第二版于1998年10月，第三版于2009 年6月；曾作为多所高校的有限元课程教材使 用；英文版已由清华大学出版社和美国Wiley 出版社联合出版；中国科学技术信息研究所编著的《中国高被引指数分析》（2011版）中，本书列为国内水利工程领域高被引图书第2名。 有限单元法原理与应用（第三版） 著作类成果 【Innovation】 This book expounds, in an all-round and systematic manner, the basic theory of the finite element method and its application to civil engineering and hydraulic engineering , including plane and space problems of elasticity, thin plate, thin shell, thick plate, thick shell, elastic stability, plasticity, large displacement, fracture, dynamic response, creep, rock and soil mechanics, limit analysis, concrete and reinforced concrete, fluid mechanics, seepage analysis, heat conduction, back analysis in engineering, simulated analysis, automatic generation of meshes, error estimation and adaptive technique. This book is learner-friendly because it contains practical content and expounds knowledge step by step and from easy to difficult; and is also easy to use because it strives to clarify the computing methods usable in actual engineering and gives corresponding formulas. Regarding the engineering application of the finite element method, it pays attention to the physical characteristics of projects, requires adopted conceptualized assumption, calculation parameter and calculation load be close enough to reality and accuracy of calculation methods be adaptive, and stresses the verification between the calculation result of the finite element method and actual observational data. 【Influence】 Amongst the earliest finite element books in China, this book plays an important role in generalizing the finite element method in China. It has registered three editions, with the first edition published in August, 1976, the second edition in October, 1998 and the third edition in June, 2009. It served as a finite element textbook of many colleges and universities; and its English version has been published jointly by Tsinghua University Press and the U.S.-based Wiley & Sons, Inc. This book ranks second amongst the highly-cited books of hydraulic engineering in China, according to the Analysis Report of Chinese Highly Cited Paper 2011 of the Institute of Scientific and Technical Information of China (ISTIC) Main Contributor : Zhu Bofang Award-winning Unit : Research Center for Sustainable Hydropower/Department of Structures and Materials THE FINITE ELEMENT METHOD THEORY AND APPLICATIONS(EDITION III)

试题及其答案--弹性力学与有限元分析(DOC)

如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。 ① I 单元的整体编码为162 ② II 单元的整体编码为426 ③ II 单元的整体编码为246 ④ III 单元的整体编码为243 ⑤ IV 单元的整体编码为564 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③⑤ 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部

弹性力学及有限元试题

弹性力学及有限元试题 (一) 问答题（20分） 1、什么是圣维南原理？举例说明怎样把它应用于工程问题 的简化中。 2、什么叫做一点的应力状态？如何表示一点的应力状态（要 求具体说明或表达）。 3、何谓逆解法和半逆解法？它们的理论依据是什么？ 4、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出弹性力学平面应力问题和平面应变问题的物理方程。 5、要保证有限元方法解答的收敛性，位移模式必须满足那些条 件？ (二) (10分) 1.利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程（无体力）。 2.利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。 （三）已知，其他应力分量为零，求位移场。（10分） （四）设有矩形截面的悬臂粱，在 自由端受有集中荷载F；体力可以不

计。试根据材料力学公式，写出弯应力σx和切应力τxy的表达式，并取挤压应力σy=0，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答（10分）。 （五）设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为M，试求应力分量（10分）。 提示：单位厚度上的力偶矩M的量纲是LMT-2，应力只能是M/ρ2的形式，所以可假设应力函数由：Φ=Φ(φ). (六) 铅直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，图5—18，只受重力的作用。设μ=0，试取位移分量的表达式为 用瑞利—里茨法求解（15分）。

（七）试按图示网格求解结点位移，取t =1m，μ= 0（15分）。 （八）用刚度集成法求下图所示结构的整体刚度矩阵K。（10分） 要求：单元刚度矩阵元素用e k形式表示；单元刚度矩阵用e K形式表 ij 示，其中e为单元号。

(绝密试题)弹性力学与有限元分析试题及其答案

2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ， 则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为

《弹性力学及有限元》教学大纲

《弹性力学及有限元》教学大纲 大纲说明 课程代码：5125004 总学时：40学时（讲课32学时，上机8学时） 总学分：2.5学分 课程类别：必修 适用专业：土木工程专业（本科） 预修要求：高等数学、理论力学、材料力学 课程的性质、目的、任务： 本课程是土木工程专业限选修的一门专业基础课。本课程的教学目的，是使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上进一步掌握弹性力学的基本概念、原理和方法，了解弹性力学问题的求解思路、方法和解答，为学习相关专业课程打下初步的弹性力学基础。在此基础上，使学生掌握有限单元法的基本概念、理论、方法，了解和应用ANSYS大型结构分析程序求解简单的弹性力学问题。 课程教学的基本要求： 本课程教学环节主要包括：课堂讲授、习题课、作业、答疑、上机计算、考试。采用课堂授课方式，重点章节安排习题课。课后布置一定量的习题，以便掌握弹性力学与有限单元法的基本概念、原理和方法，用弹性力学的求解方法及大型结构分析有限单元程序求解简单的弹性力学问题。考试采用开卷方式。 大纲的使用说明： 本大纲适用于土木工程本科专业40课时的《弹性力学及有限元》课程. 大纲正文 第一章绪论学时：6学时（讲课6学时） 本章讲授要点：了解弹性力学的研究内容，理解体力、面力、应力、应变和位移等基本概念，熟悉体力、面力、应力、应变、位移等力学量的记号和符号的有关规定，理解弹性力学的基本假定；了解有限单元法的发展，掌握泛函、变分和泛函极值等基本概念；了解加权残值、里兹与伽辽金等方法。 重点：弹性力学中的应力、应变和位移等基本概念；泛函、变分、驻值等基本概念；加权残值、里兹与伽辽金等方法。 难点：应力、应变；泛函、变分、驻值；加权残值法、里兹法与伽辽金法。 第一节弹性力学的内容 第二节弹性力学中的几个基本概念 第三节弹性力学中的基本假定 第四节有限单元法的发展简介 第五节变分原理.泛函.变分.驻值 第六节加权残值法、里兹法与伽辽金法

弹性力学与有限元分析试题及参考答案

弹性力学与有限元分析试题及参考答案 四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ????? ??=??+??=??+??0 0x y y x xy y yx x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+??? ? ????+??y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()() ???? ?=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。此外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，22 23xy C y -=σ，y x C y C xy 2 332--=τ，体力不计，Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 ???? ?? ?=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ 得 ?? ?=--=--+-0 230 33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即 ()()()?? ?=+=+--0 230 333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得

弹塑性有限元方法

第三章 弹塑性有限元方法的实施 §3.1 增量平衡方程和切线刚度矩阵 1、 分段线性化的求解思想 塑性变形的特点决定了塑性本构关系的非线性和多值性，上面由塑性增量理论给 出了塑性应力—应变关系{}{}ep d D d σε=???? 其中 [][] {}{}[]{}[]{} T ep T F F D D D D F F A D σσ σ σ ????=- ??+ ?????? 说明当前应力状态不仅与当前应变有关，而且和达到这一变形状态的路径（加载历史）有关。这里包含了屈服准则、强化条件和加卸载准则。 由此，对物理非线性问题，通常采用分段线性化的纯增量法和逐次迭代的方法求解。即将加载过程分成若干个增量步，选择其中任意一个增量步建立它的增量平衡方程并求解，对整个过程的求解有普遍意义。 2、 增量平衡方程和切线刚度矩阵 设t 时刻（加载至i -1步终），结构（单元）在当前载荷（广义体力{}v f 和表面力{}s f ） 的作用下处于平衡状态，此时物体内一点的应力、应变状态为{}{}σε、。在此基础上，施加一个载荷增量{}{}v s f f ??和，即从t t t →+?时刻，则在体内必然引起一个位移增量{}u ?和相应的{}σ?、{}ε?，只要{}{}v s f f ??和足够小，就有{}{}ep D σε?=?????。 倘若初始状态{}σ已知，加载过程已知，则ep D ????可以确定（即p ij d ε?可以确定，然后 可在硬化曲线上得到1p ε所对应的硬化系数）于是上面的方程成为线性的。在t t t →+?这一增量过程中，应用于虚功原理可得到如下虚功方程： ()()()0e e T T T V V s s V S f f u dV f f u dS σσδεδδ??+?-+??-+??=?? ?? （1） 根据小变形几何关系u N q B q ε?=??=?和，再由虚位移()q δ?的任意性，并设 ()()e e T T v v s s V S P P N f f dV N f f dS +?= +?+ +?? ? ，展开后，其中单元在t 时刻载荷等效节点 力：e e T T v s V S P N f dV N f dS = + ? ? ；t ?内增量载荷的等效力e e T T v s V S P N f dV N f dS ?= ?+ ?? ? 。

《弹性力学及有限单元法》期末考试试卷

《弹性力学及有限元基础》期末考试 班级： 姓名： 学号： 一．填空题（37分） 1（9分）. 杆件在竖向体力分量f （常量）的作用下，其应力分量为：x C x 1=σ；32C y C y +=σ；0=xy τ。 支承条件如图所示，C 1 =______ ；C 2=______； C 3=______。 2（12分）. 一无限长双箱管道，深埋在地下，如图2所示，两箱中输送的气体压强均 为σ0，设中间隔板AB （图中阴影所示）的位移分量为：u = Cx , v = 0，隔板材料模量为E 和μ。计算隔板上各点的应力分量：σx = _______, σy ,= ______, σz =______。 3（9分）. 圆环的内半径为r ，外半径为R ，受内压力q 1及外压力q 2的作用。若内表 面的环向应力为0，则内外压力的关系是：_________________。 4（10分） ．等截面实 心直杆受扭矩的作用，假设应力函数为： ()() 222222y bx a by x a k -++-=Φ，扭矩引起的单位长度扭转角测得为θ，材料的剪切弹性模量为G ，a 、b 均为常数，则k = _____ 二．分析题 5．（20分）一宽度为b 的单向薄板，两长边简支，横向荷载为?? ? ??=b y p p πsin 0，计 算板的挠度方程。（设材料的弹性模量为E ，泊松比为μ，薄板的弯曲刚度为D ） 6．(20分)如图，一长度为l 的简支梁，在距右端为c 的位置作用一集中荷载P ，请用里兹法计算梁的挠度曲线。（设挠度曲线为)(x l ax w -=，a 为代求系数） 7．（23分）1cm 厚的三角形悬臂梁，长4m ，高2m 。其三个顶点i , j , k 及内部点m 的面积坐标如图所示。在面积坐标（1/8，1/2，3/8）处和j 节点处受到10kN 的集中力的作用，在jk 边受到垂直于斜边的线性分布力的作用。用一个4节点的三角形单元对此 题1图 题2图 x 题5图

弹性力学与有限元分析复习题(含答案)

分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ?? ? ? ???=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02 222=+??? ? ????+??y x y x σσ；（3）在边界上的应力 边界条件()()()() ?? ?? ?=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。此 外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，222 3xy C y -=σ，y x C y C xy 2 332--=τ，体力不计，Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 ?? ? ? ?? ?=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ 得 ? ? ?=--=--+-0230 33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即 ()()()?? ?=+=+--0 230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得

弹性力学基础及有限单元法

第一章 1、弹性力学的任务是什么 弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。 2、弹性力学的基本假设是什么?为什么要采用这些假设? (1)假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的．可以用坐标的连续函数表示。实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。 (2)假设物体是匀质的和各向同性的——物体内部各点与各方向上的介质相同，因此，物体各部分的物理性质是相同的。这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。木材不是各向同性的。 (3)假设物体是完全弹性的—一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。 (4)假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。在研究物体受力后的平衡状态时，可以不考虑物体尺寸的改变。在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此，在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。 (5)假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有关。若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。 上面基本假设中．假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。 3、举例说明各向同性的物体和各向异性的物体。 钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。木材是各异性的。 4、弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么区别? P3 弹性力学具体的研究对象主要为梁、校、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等受 力体。 在材料力学课程中，基本上只研究所谓杆状构件，也就是长度远大干高度和觅度的构 件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移，是材料力学的主要研究内 容。

【弹性力学及有限单元法】期末试卷

<<弹性力学及有限单元法>>期末试卷 姓名：班级：学号：分数： 一、列出下图所示问题的全部边界条件(，单位厚度)。在其中的小边界上，采用圣维南原理改用积分的应力边界条件来代替。 二、（a）、平面问题中的应力分量应满足哪些条件？ （b）、检查下面的应力在体力为零时是否是可能的解答. бx = 4x2,бy = 4y2, τxy=- 8xy （c）、在平面应变状态下，已知一组应变分量为 为非零的微小常数，试问由此求得的位移分量是否存在？三、平面问题,直角坐标，研究一点的变形，考虑通过P点的二个正向微段PA∥x, ,PB∥y，PA=dx, PB=dy, P点位移为u,v, (1) 正应变、剪应变的定义和正负号规定？(2) PA是x正向微段，PB是y正向微段，为何要正向微段? (3)写出A点和B点位移，推导出几何方程四、(1)平面应力问题z面上任一点的应力( s z t zx t zy) 是近似为0还是精确为0？为什么？(2)平面应变问题的z面上任一点的应力( t zx t zy) 是近似为0还是精确为0？为什么？五、空间问题的物理方程为： e x=[s x- ms y- ms z]/E r xy=t xy/G e y=[s y- ms x- ms z]/E r xz=t xz/G e z=[s z- ms x- ms y]/E r zy=t zy/G 由上式 推导出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。六、已知平面应力问题矩形梁，梁长L,梁高h, 已知 E=200000, μ= 0.2. 位移分量为：u(x,y)=6(x-0.5 L)y/E v(x,y)=3(L-x)x/E-3μy2/E 求以下物理量在点P(x=L/2,y=h/2)的值： (1) 应变分量 (2) 应力分量， (3) 梁左端（x=0）的面力及面力的合力和合力矩。七、回答以下问题：1）单元结点力是什么？正负号规定？2）单元结点荷载是什么？正