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(精校版)2016年新课标Ⅱ理数高考试题文档版(含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）

（A ）(31)

-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （）

（A ）{1}（B ）{1

2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =（）（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8

（4）圆

2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（）（A ）43-

（B ）3

（C ）3（D ）2

（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π

（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π

个单位长度，则平移后图像的对称轴为（）

（A ）x =k π2–π6 (k ∈Z ) （B ）x =k π2+π6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π

12 (k ∈Z )

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的

x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（）

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3

5，则sin 2α=（）

（A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–7

（10）从区间[]

0,1随机抽取2n 个数

1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，

构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，

…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）学科&网

（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m

（11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b

-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 211

3MF F ∠=,

则E 的离心率为（）

（A ）2 （B ）3

（C ）3 （D ）2

（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，学.科网若函数1x y x

+=与()

y f x =图像的交

点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则

()m

i x y =+=∑（）

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分

(13)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =5

，a =1，则b =.

(14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .

（3）如果α∥β，m ?α，那么m ∥β. 学科.网

（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，学.科网乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln （x +1）的切线，则b =。

三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=1

28.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如

[][]0.9=0lg99=1，.

（I ）求111101b b b ，，；

（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.

18.（本小题满分12分）

某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5

保费 0.85a

a 1.25a 1.5a 1.75a 2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5

概率

0.30 0.15

0.20

0.10

0. 05

（I ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ,F 分别在AD ,CD 上，AE =CF =

，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=.

学.科.网

（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；

（II ）求二面角B D A C '--的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆E :22

x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.

（I ）当t =4，AM AN =时，求△AMN 的面积；（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. （21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x

x 2f (x)x 2

+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2

x =(0)x e ax a g x x

-->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA ,DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .

(I) 证明：B,C,G,F 四点共圆；

(II)若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积. 学科&网

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x +6）2+y 2=25.

（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数()11

f x x x =-

++，M 为不等式f (x ) ＜2的解集. （I ）求M ；

（II ）证明：当a ,b ∈M 时，∣a +b ∣＜∣1+ab ∣。

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学答案

第Ⅰ卷

一.选择题：

（1）【答案】A （2）【答案】C （3）【答案】D （4）【答案】A （5）【答案】B （6）【答案】C （7）【答案】B （8）【答案】C （9）【答案】D （10）【答案】C （11）【答案】A （12）【答案】B

第Ⅱ卷

二、填空题

(13)【答案】

(14) 【答案】②③④ （15）【答案】1和3 （16）【答案】1ln 2-

三.解答题

17.（本题满分12分）

【答案】（Ⅰ）10b =，111b =，1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项n a ，再根据已知条件求111101b b b ，，；（Ⅱ）用分段函数表示n b ，学.科.

网再由等差数列的前n 项和公式求数列{}n b 的前1 000项和．

试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，学.科.网解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =

111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======

（Ⅱ）因为0,

110,

1,10100,

2,1001000,

1000.

n n n b n n ≤

≤

所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.?+?+?= 考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，学.科网对数的运算. 【结束】

18.（本题满分12分）

【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为

X ，学.科网求X 的分布列，再根据期望公式求解..

【解析】

试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=

（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+= 又()()P AB P B =，故()()0.153

(|).()()0.5511

P AB P B P B A P A P A =

=== 因此所求概率为

.11

（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为

X 0.85a a

1.25a 1.5a 1.75a 2a

0.30

0.15

0.20 0.20 0.10 0.05

0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05

1.23EX a a a a a a a

=?+?+?+?+?+?=

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 考点：条件概率，随机变量的分布列、期望.

【结束】

19.（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）295

. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'D H OH ⊥，最后证'

D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解. 试题解析：（I ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由A

E C

F =得

AE CF

AD CD

=，故//AC EF . 因此EF HD ⊥，从而'

EF D H ⊥.由5AB =,6AC =得2204DO B AB AO ==

-=.

由//EF AC 得

OH AE DO AD ==.学.科网所以1OH =，'3D H DH ==. 于是'2222'2

3110D H OH DO +=+==，

故'

D H OH ⊥.

又'

D H EF ⊥，而OH EF H ?=，

所以'

D H ABCD ⊥平面.

（II ）如图，以H 为坐标原点，HF

的方向为x 轴的正方向，学.科网建立空间直角坐标系H xyz -，则

()0,0,0H ，()3,1,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()'

0,0,3D ，(3,4,0)AB =-

，()6,0,0AC = ，

()'3,1,3AD = .设()111,,m x y z = 是平面'ABD 的法向量，则'

m AB m AD ??=???=??

，即11111340330x y x y z -=??++=?，所以可以取()4,3,5m =- .设()222,,n x y z = 是平面'

ACD 的法向量，则'00

n AC n AD ??=???=??

，即222260330x x y z =??++=?，A

C D

E H O

z x

所以可以取()0,3,1n =- .于是1475cos ,255010m n m n m n

?-<>===-

， 295

sin ,25m n <>= .因此二面角'B D A C --的正弦值是

295

. 考点：线面垂直的判定、二面角. 【结束】

20.（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）144

；（Ⅱ）(

)

2,2.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ?的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k .

试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22

143

x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为

.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入

22143

x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，学.科网所以1127y =. 因此AMN ?的面积AMN S ?11212144

227749

??=. （II ）由题意3t >，0k >，()

,0A t -.

将直线AM 的方程()y k x t =+代入

x y t +=得()222223230tk x t tk x t k t +++-= . 由()

33t k t

x t tk -?-=

+得()212

33t tk x tk

+，故()2212

6213t k AM x t

k tk +=++=

由题设，直线AN 的方程为()

y x t k =-+，故同理可得()22613k t k AN k t

+==+，由2AM AN =得22233k tk k t

=++，学科&网即()()3

2321k t k k -=-. 当3

2k =时上式不成立，

因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()2

3233

2132022

k k k k k k k -+-+-=<--，即32

02k k -<-.由此得32020k k ->??-

k k -?，解得322k <<. 因此k 的取值范围是

(

)

2,2.

考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】

（21）（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21(,].24

e .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，学科&网当(0,)x ∈+∞时，()(0)f x f >证明结

论；（Ⅱ）用导数法求函数()g x 的最值，在构造新函数00h()2

x e a x =+，又用导数法求解.

试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-?-+∞.

222

(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++

且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20x

x e x x e x ->-+-++>

（II ）32(2)(2)2

'()(()),x x e a x x g x f x a x x

-+++=

=+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.

因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为

000

000022000(1)+()(1)().2

x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+

于是0

0h()2x e a x =+，由2

(1)()'0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增所以，由0(0,2],x ∈得0022

01().2022224

x e e e e h a x =<=≤=+++

因为2x e x +单调递增，对任意2

1(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =-∈

使得(),h a λ=所以()h a 的值域是2

1(,],24

综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有最小值()h a ，()h a 的值域是2

1(,].24

考点：函数的单调性、极值与最值. 【结束】

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1

. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ?~?再证,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）证明,Rt BCG Rt BFG ??≌四边形

BCGF 的面积S 是GCB ?面积GCB S ?的2倍.

试题解析：（I ）学科&网因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ?~? 则有,

,DF DE DG

GDF DEF FCB CF CD CB

∠=∠=∠== 所以,DGF CBF ?~?由此可得,DGF CBF ∠=∠ 因此0

180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.

（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，

由G 为Rt DFC ?斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ??≌ 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ?面积GCB S ?的2倍，即

111

221.222

GCB S S ?==???=

考点：三角形相似、全等，四点共圆【结束】

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）15

±. 【解析】

试题分析：（I ）利用2

x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．

试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得圆C 的极坐标方程2

12cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，学科&网直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得

212cos 110.ρρα++=

于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=

22121212||||()4144cos 44,AB ρρρρρρα=-=+-=-

由||10AB =得2315

cos ,tan 83

αα=

=±

，所以l 的斜率为

153或153

-. 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.

【结束】

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】

试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x <-

，1122x -≤≤和1

x >三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．

试题解析：（I ）12,,21

1()1,,2

212,.2x x f x x x x ?

-≤-??

?=-<

当1

2x ≤-

时，学科&网由()2f x <得22,x -<解得1x >-；当11

22x -<<时，()2f x <；

当1

x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.

所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.

（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而

22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，

因此|||1|.a b ab +<+

考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【结束】

2016年高考真题

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）文科综合地理注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必在将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案卸载答题卡上，写在试卷上无效。 4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。二十四节气是我国独有的农业物候历，是我国优秀传统文化之一，寒露节气在每年公历10月8日左右。据此回答1-3题。 1.“露气寒冷，将凝结”是寒露时节的天气现象，可引起我国这种天气现象的气压系统是 A．蒙古高压 B.印度低压 C.阿留申低压 D.夏威夷高压 2.“上午忙麦茬，下午摘棉花”是民间描述寒露时节农事活动的谚语。在下列地区中，该谚语描述的农事活动场景最可能出现在 A.珠江三角洲 B.柴达木盆地 C.藏南谷地 D.渭河平原 3.地球绕太阳一周为360°，以春分日地球在黄道上的位置为0°，则寒露日地球在黄道上的位置为

A.15° B.105° C.195° D.285° 1.A 2.D 3.C 图1中的曲线示意中国、日本、意大利和法国四个国家的城镇化率变化情况，曲线上的圆点表示各国不同高铁线路开始运营的年份。读图1，回答4-5题。 4.图1中第一条高铁开始运营时，四个国家中乡村人口比重最小的为 A.20%-30% B.30%-40% C.40%-50% D.60%-70% 5.图1中2000-2010年高铁新运营线路最多的国家在此期间 A.工业化程度提高 B. 人口增长率增大

数学-2016年高考真题——全国Ⅲ卷(文)(精校解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅲ卷) 文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016·全国Ⅲ，文，1)设集合A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}，则?A B 等于( ) A ．{4,8} B ．{0,2, 6} C ．{0,2,6,10} D ．{0,2,4,6,8,10} 2．(2016·全国Ⅲ，文，2)若z ＝4＋3i ，则z |z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35 i 3．(2016·全国Ⅲ，文，3)已知向量BA →＝????12，32，BC →＝??? ?32，12，则∠ABC 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 4．(2016·全国Ⅲ，文，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 5．(2016·全国Ⅲ，文，5)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )

A.815 B.18 C.115 D.130 6．(2016·全国Ⅲ，文，6)若tan θ＝－13 ，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45 7．(2016·全国Ⅲ，文，7)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513 ，则( ) A ．b