二次函数压轴题

二次函数压轴题训练题

组卷：1015303544布置作业在线训练下载组卷

一．解答题（共19小题）

1．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；

（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．

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2．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（-1，-1-m）．

（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；

（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；

（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．

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3．如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交

点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）． （1）求直线BC 与抛物线的解析式；

（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求MN 的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC 为边作平行四边形CBPQ ，设平行四边形CBPQ 的面积为S 1，△ABN 的面积为S 2，且S 1=6S 2，求点P 的坐标． 显示解析

4．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A

的坐标为（-3，0）． （1）求点B 的坐标；

（2）已知a=1，C 为抛物线与y 轴的交点．

①若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P 的坐标；

②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 显示解析

5．如图1，已知A （3，0）、B （4，4）、原点O （0，0）在抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）上． （1）求抛物线的解析式．

（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D ，求m 的值及点D 的坐标．

（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标（点P 、O 、

D分别与点N、O、B对应）

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6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．

（1）求直线CD的解析式；

（2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

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7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

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8．如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，顶点为F．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；

（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：

①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；

②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．

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9．如图，抛物线y=-（x-1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A （-1，0）．

（1）求点B，C的坐标；

（2）判断△CDB的形状并说明理由；

（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S 与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

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10．如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x-t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）

（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A

（t，4）

，k=

4

t

（k＞0）

4

t

；

（2）随着三角板的滑动，当a=

1

4

时：

=ax（x-t）的顶点在函数y=?

①请你验证：抛物线y

1

1

4

x2的图象上；

②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；

-y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2-y1|的值随x的增大而增大，（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y

2

求a与t的关系式及t的取值范围．

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11．如图，抛物线y1=x2-1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右，两条抛物线相交于点C．

平移4个单位得抛物线y

2

（1）请直接写出抛物线y

的解析式；

2

（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；

（3）在第四象限内抛物线y

上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；

2

若不存在，请说明理由．

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12．如图，抛物线y=x2-2x-8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．

（1）求直线AB对应的函数关系式；

（2）有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M 点的横坐标为m，且0＜m＜3．试比较线段MN与PQ的大小．

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13．如图①，若二次函数y=

3

6

3

x的图象的对称点为C．

（1）求b、c的值；

（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；

（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y=

3

3

x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC 方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，

是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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14．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．

①AE=EF是否总成立？请给出证明；

②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上，求此时点F的坐标．

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15．如图，已知抛物线y=-

1

x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）．

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；

（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．显示解析

16．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=

1

2

x2+bx-2的图象过C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？

（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

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17．如图，已知直线y=

1

3

x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．

（1）点C的坐标是

（0，3）

线段AD的长等于

4

（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式；

（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．

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18．如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．

（1）若直线m的解析式为y=-

1

2

x+

3

2

，求A，B两点的坐标；

（2）①若点P的坐标为（-2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；

②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．

（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．

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19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=

1

2

x+

2

与直线y=x交于点A，点B在直线y=

1

2

x+

3

2

上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF 交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

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