人教版高中数学必修2全册学案(完整版)

第一章 立体几何初步

一、知识结构

二、重点难点

重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定

与性质定理证明与应用。

第一课时 棱柱、棱锥、棱台

【学习导航】

学习要求

1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。

2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用

名称的含义。

3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何

体简单作图方法

4．了解多面体的概念和分类．

【课堂互动】

自学评价

1． 棱柱的定义： 表示法：

思考:棱柱的特点：.

【答】 2． 棱锥的定义： 表示法：

思考:棱锥的特点：.

【答】 3．棱台的定义： 表示法：

思考:棱台的特点：.

【答】

4．多面体的定义：

5．多面体的分类：

⑴棱柱的分类

⑵棱锥的分类

⑶棱台的分类

【精典范例】

例1：设有三个命题：

甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；

乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；

丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。

以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3

例2：画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法：

⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；

⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；

⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点

互助参考７页例１

⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．

互助参考７页例１

点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得

思维点拔：

解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：

例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？

答：不能．

点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。

自主训练一

1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？

答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到．

2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？

答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。

答：４个面，四面体．

第二课时圆柱、圆锥、圆台、球

【学习导航】

知识网络

A

C

B

D

A1

C1

B1

D1

学习要求

1．初步理解圆柱、圆锥、圆台和球

的概念。掌握它们的生成规律。

2．了解圆柱、圆锥、圆台和球中一些常用名称的含义。

3．了解一些复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们由哪些简单

几何体组合而成。

4．结合日常生活中的一些具体实例，

体会客观世界中事物与事物之间内在

联系的辨证唯物主义观点，初步学会

用类比的思想分析问题和解决问题．【课堂互动】

自学评价

1．圆柱的定义：

母线

底面

轴

2．圆锥的定义：

3．圆台的定义：

4．球的定义：

5．旋转面的定义：

６．旋转体的定义：

７．圆柱、圆锥、圆台和球的画法。【精典范例】

例1：给出下列命题：

甲：圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线

乙：圆台的任意两条母线必相交

丙：球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没

有母线。

其中正确的命题的有（Ａ）

A．0 B. 1 C. 2 D. 3

例2：如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？。

【解】互助参考９页例１

例３：指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的？。

甲乙

【解】互助参考９页例２

思维点拨：

如何解答一个复杂几何体的组成情况，主要是将原几何体分割成柱、锥、台和球后再解答。

如：以正六边行的一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体由哪些简单几何体组成的？

解：是由一个圆柱，两个圆台挖去两个圆锥所得几何体。

自主训练

1. 指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成？ 答：略

2. 如图，将平行四边形ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？

D C

答：圆锥和圆柱

3．充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋

转生成？ 答：圆

【师生互动】

第三课时 中心投影和平行投影

【学习导航】 知识网络

学习要求

1．初步理解投影的概念。掌握中心投

影和平行投影的区别和联系。

2．了解并掌握利用正投影鉴别简单组合体

的三视图。 3．初步理解由三视图还原成实物图的思维

方法．

【课堂互动】 自学评价

1．投影的定义： .

2．中心投影的定义： 平行投影的定义： 平行投影的分类： 3．主视图（或正视图）的定义： 俯视图的定义： 左视图的定义：

【精典范例】

一、如何画一个实物的三视图？

例1：画出下列几何体的三视图。

解答：互助参考12页例1

点评：1.画三视图的方法和步骤

(1)选择确定正前方，确定投影面，正前方应垂直于投影面，然后画出这时的正投影面------主视图

(2)自左到右的方向垂直于投影面，画出这时的正投影------左视图

⑶自上而下的方向是固定不变的。在物体下

方确定一个水平面作为投影-----俯视图

2.作图规律：长对正，宽相等，高平齐 例2：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图。

解答：互助参考13页例２

二、如何由三视图还原成实物图。

例 3.根据下面的三视图, 画出相应空间图形的直观图.

主视图 左视图

俯视图 解略．

点评:解决这类问题，需要充分发挥空间想象能力。一般的从主视图出发，然后是左视图、俯视图，画图后检验。

自主训练一

根据下列的主视图和俯视图，找出对应的物体，填在下列横线上。

(1) B (2) D (3) A (4) C

主视图

俯视图

(1)

第四课时 直观图画法

【学习导航】 知识网络

学习要求

1．初步了解中心投影和平行投影的

区别。

2．初步掌握水平放置的平面图形的

直观图的画法和空间几何体的直观图的画法

3．初步了解斜二测画法

【课堂互动】

自学评价

1．消点的定义： . 2．斜二测画法步骤⑴ ⑵

⑶ ⑷ 【精典范例】

一、怎样画水平放置的正三角形的直观图

例1：画水平放置的正三角形的直观图。 解答：互助参考14页例1

点评：在条件“平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半”之下，正三角形的直观图为斜三角形。

自主训练一

画水平放置的正五边形的直观图。

解答：略

例2.画棱长为2cm 的正方体的直观图. 解答：互助参考15页例2

(2)

(3)

(4) A B

C D

点评：空间图形的直观图的画法。

规则是：已知图形中平行于x 轴，y 轴和z 轴的线段，在直观图中保持平行性不变；平行于x 轴，z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段长度为原来的一半。

自主训练二

用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm 的长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的直观图 仿照例２作图

第五课时 平面的基本性质

【学习导航】

知识网络

学习要求

1.初步了解平面的概念.

2.了解平面的基本性质(公理1-3)

3.能正确使用集合符号表示有关点 、线、面的位置关系.

4.能运用平面的基本性质解决一些简

单的问题

【课堂互动】 自学评价

1．平面的概念： . 2．平面的表示法 ３．公里１：

符号表示 4. 公里2：

符号表示 ５．公里３：

符号表示 问题：举出日常生活中不共线的三点确定一个平面的例子．

【精典范例】

例1：已知E 、F 、G 、H 分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD 各边AB 、AD 、BC 、CD 上的点, 且直线EF 和GH 交于点P, 求证: B 、

D 、P 在同一条直线上.

证明：

∵P ∈EF,而E ∈AB,F ∈AD ∴EF ì平面ABD ∴P ∈平面ABD 同理，P ∈平面BDC

∴P ∈平面ABD ∩平面BDC ∴B 、D 、P 在同一条直线上

思维点拔：

证明多点共线，通常利用公里2，即两相交平面交线的唯一性；证明点在相交平面的交线上，必须证明这些点分别在两个平面内。

自主训练

如图, 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为AB,AA 1中点，求证CE,D 1F,DA 三条直线交于一点。

A E F

D

B G

H

C P

A F

证略．

例2.如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 下列命题是否正确? 并说明理由.

①AC1在平面CC1B1B内;

②若O、O1分别为面ABCD、A1B1C1D1的中心, 则平面AA1C1C与平面B1BDD1的交线为OO1 .

③由点A、O、C可以确定平面;

④由点A、C1、B1确定的平面与由点A、C1、D确定的平面是同一个平面.

解（１）不正确

（２）正确

（３）不正确

（４）正确．自主训练

1.为什么许多自行车后轮旁装一只撑脚？

2.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α

外”正确的是（Ｂ）

Ａ．Ａ?l,l?α

B．Ａ?l,l?α

C．Ａìl,l?α

D．Ａìl,l?α

3.下列叙述中，正确的是（Ｄ）Ａ．因为Ｐ?α，Ｑ?α，所以ＰＱ?αＢ．因为Ｐ?α,Ｑ?β，所以α?β＝ＰＱＣ．因为ＡＢìα,Ｃ?ＡＢ，Ｄ?ＡＢ，所以ＣＤ?α

Ｄ．因为ＡＢìα,ＡＢìβ，所以Ａ?α?β，且Ｂ?α?β

第六课时平面的基本性质

【学习导航】

知识网络

学习要求

A

1

1.了解平面基本性质的3个推论, 了解

它们各自的作用.

2.能运用平面的基本性质解决一些简

单的问题.

【课堂互动】

自学评价

1．推论１： .

已知：

求证：

解答：互助参考22页推论１

2．推论２：

已知：

求证：

３．推论３：

符号表示：

仿推论1、推论2的证明方法进行证明。【精典范例】

一、如何证明共面问题．

例1：已知: 如图A∈l , B∈l, C∈l, D?l, 求证: 直线AD、BD、CD共面.

解答：互助参考22页例１

思维点拔：

简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这个平面内，这种证明点线共面的方法称为＂落入法＂

例2.如图: 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, P为棱BB1的中点, 画出由A1 , C1 , P三点所确定的平面α与长方体表面的交线.

解答：互助参考2３页例２

自主训练一

证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内．

已知：

求证：

证明：

（１）如图，设直线a,b，c相交于点

Ｏ，直线d和a,b，c分别交于M,N,P

直线d和点Ｏ确定平面α，证法如例１

A

B

D

C

l

α

C

A

M

N

o

P

d

α

(2)

设直线a,b ，c, d 两两相交，且任意三条不共线，交点分别为M,N,P,Q,R,G ∵直线a 和b 确定平面α ∴a ∩c=N,b ∩c=Q ∵N,Q 都在平面α内

∴直线c ì平面α，同理直线d ì平面α

∴直线a,b ，c, d 共面于α

【学习延伸】

如图, 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点, AC ∩BD=P , A 1C 1∩EF=Q , 求证:

(1) D 、B 、F 、E 四点共面’

(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点, 则P 、Q 、R 三点共线 .

证明略

自主训练二

1.空间四点中, 如果任意三点都不共线, 那么由这四点可确定___１或４____个平面?

2.已知四条不相同的直线, 过其中每两条作平面, 至多可确定____６____个平面.

3.已知l 与三条平行线a,b,c 都相交，求证：l 与a,b,c 共面．

证明略

第7课时 空间两

条直线的位置关系

学习要求

1.了解空间两条直线的位置关系

2.掌握平行公理及其应用

3.【课堂互动】 自学评价

１. 空间两直线的位置关系

２. 公里４：

符号表示： 思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线

C

A a

c b N

G P

α

d c M a b

R

平行

答：

３．等角定理

【精典范例】

例1：.如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 已知E、F分别是AB、BC的中点, 求证: EF//A1C1

解答：互助参考２５页例１

思维点拔：

证两直线平行的方法：

(1)利用初中所学的知识

(2)利用平行公理．

自主训练

已知：棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为CD,AD的中点，求证：四边形MNAC 是梯形．

M

证明略

点评：要证梯形，必须证明有两边平行且相等，平行的证明要善于联想平面几何知识．

例2：如图. 已知E、E1分别为正方体ABCD-A1B

1C1D1的棱AD、A1D1的中点, 求证: ∠

C1E1B1=∠CEB .

分析：设法证明E1C1//EC,E1B1//EB

证明：

解答：互助参考２６页例２

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两

边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

等角定理的证明

已知: ∠BAC和∠B1A1C1的边AB//A1B1,

AC//A1C1 , 并且方向相同.

求证: ∠BAC=∠B1A1C1

解答：互助参考２５页

A

1

A B

A

1

C

A

点评：

平几中的定义，定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用。

自主训练

1. 设AA１是正方体的一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有（ C ）Ａ.１条Ｂ.２条

Ｃ.３条Ｄ.４条

2.若OA//O1A1 , OB//O1B1 , 则∠AOB与

∠A1O1B1关系（ C ）

A.相等

B.互补

C.相等或互补

D.以上答案都不对３．如图，已知AA′，BB′，CC′，不共面，且AA′//BB′,AA′=BB′,

BB′//CC′, BB′=CC′.

求证：△ABC≌△A′B′C′

A′

A

B′

B C′

C

用平行四边形性质证明思维点拔：

凡“有且只有”的证明，丢掉“有”

即存在性步骤，或丢掉“只有”即唯一性的证明都会导致错误发生，即证明不全面，思维不严谨所致。

求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．

已知：点P?直线a

求证：过点P和直线a平行的直线b有且仅有一条．

证明：∵P?a，

∴点P和直线a确定平面α

在平面α内过点Ｐ作直线b直线a平行（由平面几何知识）

假设过点Ｐ还有一条直线c与a平行，则

∵a//b,a//c

∴b//c,这与b，c共点Ｐ矛盾．

∴直线b唯一

∴过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行

总结：(1)凡上述两类问题型的证明应有两步，即先证明事实存在，再证明它是唯一的(2)解答文字命题必须将文字语言“译”成符号语言，然后写出“已知和求证”需要作图时，要把图形作出来，最后给出“解答（证明）”

第8课时 异面直

线

一、【学习导航】

学习要求

1. 掌握异面直线的定义．

２．理解并掌握异面直线判定方法． .3.掌握异面直线所成的角的计算方法．

【课堂互动】 自学评价

３. 异面直线的定义

２．异面直线的特点

３．画法：平面衬托法

４．异面直线的判定方法

(1)定义法

(2)判定定理

(3)反证法

５．异面直线所成的角

(1)定义：

(2)【精典范例】

例1：已知ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体.

(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC 1

是异面直线; (2)求异面直线AA 1与BC 所成的角; (3)求异面直线BC 1和AC 所成的角.

互助参考２７理１

A 1 a b

a b a b

思维点拔：

(1) 证两直线异面的方法①定义法②反证法③判定定理

(2) 求两条异面直线所成的角的方法：①作②证③求

自主训练

１．指出下列命题是否正确，并说明理由： (1)过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线；

(2) 过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直． 答：（１）正确，（２）错

２．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，那些棱所在

直线与直线AA 1是异面直线且互相垂直．

答：ＣＤ，Ｃ１Ｄ１，ＢＣ，Ｂ１Ｃ１

３．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：

(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线．

４．在空间四边形ABCD 中, E 、F 分别是AB 、CD 中点, 且EF=5 , 又AD=6, BC=8. 求AD 与BC 所成角的大小.

解析：取BD 的中点Ｈ，利用中位线性质，有EH//AD,FH//BC, ∠EHF 或其补角为AD 与BC 所成角，可以求得∠EHF ＝９０°

【学习延伸】

已知A 是△BCD 所在平面一点，AB=AC=AD=BC=CD=DB ，E 是BC 的中点， (1)求证直线AE 与BD 异面

(2)求直线AE 与BD 所成角的余弦值

(1)反证法

(2)取ＣＤ的中点Ｆ，连接ＥＦ，可达到平移的目的．直线AE 与BD

A D 1

C 1 A

B D

C B C A

D E

F a

b a b a b

H

第9课时 直线与

平面的位置关系

学习要求

1.掌握直线与平面的位置关系.

２．掌握直线和平面平行的判定与性质定

理． .3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题．

【课堂互动】

自学评价

４. 直线和平面位置关系

位置关系 符号表示 图形表示

直线a 在平面α内

直线a 在平面α相交

直线a 在平面α相交

２．直线在平面内是指： ３．直线和平面平行的判定定理

符号表示

说明：本章中出现的判定定理的证明不作要求

４．直线和平面平行的性质定理

已知：

互助参考31页

证明：

【精典范例】 例1：如图, 已知E 、F 分别是三棱锥A-BCD 的侧棱AB 、AD 中点, 求证: EF//平面BCD.

A

E F

B

D

互助参考31页例１

自主训练一

已知正方形ABCD 所在的平面和正方形ABEF 所在的平面相交与AB ，M 、N 分别是AC 、BF 上的点且AM=FN 求证：MN//平面BCE

证明：作NP//AB 交BE 于点P 作NQ//AB 交BC 于点Q

,MQ MC NP NB

AB AC EF BF == 而AC=BF,AM=FN, ∴MC=NB,有AB=EF ∴MQ//NP,有MQ=NP

∴四边形MQNP 是平行四边形． ∴MN//PQ,而PQ ì平面BCE ∴MN//平面BCE

例 2.一个长方体木块如图所示, 要经过平面A 1C 1内一点P 和棱BC 将木块锯开, 应怎样画线?

互助参考31页例２

例 3.求证: 如果三个平面两两相交于直线, 并且其中两条直线平行, 那么第三条直线也和它们平行. 已知：

求证：

互助参考31页例３

[思考]: 如果三个平面两两相交于三条直线, 并且其中的两条直线相交, 那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系?

A 1

F E

A B

N M D C

自主训练二

1.指出下列命题是否正确，并说明理由：

(1).如果一条直线不在平面内，那么这条直线就与这个平面平行；错

(2).过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；正确

(3).过平面外一点有无数个直线与这条平面平行。正确

2.已知直线a,b 和平面α，下列命题正确的是

A.若a//α,b ìα则

B. 若a//α,b//α则

C. 若a//b,b ìα则a//α

D. 若a//b,b ìα则a//α 3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面中：

(1)与直线AB 平行的平面是：面A 1C 1, 面DC 1

(2)与直线A A 1平行的平面是：面BC 1, 面DC 1

(3)与直线AD 平行的平面是：面BC 1, 面A 1C 1

第10课时 直线与

平面垂直

学习要求

1.掌握直线与平面的位置关系.

２．掌握直线和平面平行的判定与性质定

理． .3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题．

【课堂互动】

自学评价

５. 直线和平面垂直的定义: 符号表示： 垂线： 垂面： 垂足： 思考：在平面中，过一点有且仅有一条直线

与已知直线垂直，那么在空间。

(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？

答：

垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直

３．点到平面的距离：

４．直线与平面垂直的判定定理：

符号表示 ５．直线和平面垂直的性质定理：

已知： 求证： A 1

证明：互助参考34

６．直线和平面的距离：

【精典范例】

例1：.求证: 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条直线也垂直于这个平面.

证明：互助参考34例1

思维点拔：

要证线面垂直，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，或利用定义进行证明。Rt△ABC所在平面外一点Ｓ，且SA=SB=SC (1)求证：点Ｓ在斜边中点Ｄ的连线SD⊥面ABC

(2)若直角边BA=BC，求证：BD⊥面SAC

自主训练如图, 已知PA⊥α, PB⊥β, 垂足分别为A、B, 且α∩β= l , 求证: AB⊥l .

证明：略

例2.已知直线l // 平面α , 求证: 直线l各

点到平面α的距离相等.

证明：互助参考34例2

例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 .

(1)求证: A1C⊥B1D1 ;

(2)若M、N分别为B1D1与C1D上的点, 且MN ⊥B1D1 , MN⊥C1D , 求证: MN//A1C .

A

B

P

α

β

l

D1

1

B1

分析：(1)可先证B1D1⊥面A1CC1，从而证出结论．

(2)可证MN和A1C都垂直于面BDC1, 从而利用性质证出结论

点评：要证线线平行均可利用线面垂直的性质。

自主训练

1.已知直线l,m,n与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由：

(1)若l⊥α,则l与α相交；

(2)若mìα,nìα,l⊥m,l⊥n,则l⊥α；

(3)若l//m,m⊥α,n⊥α,则l//m 2.某空间图形的三视图如图所示，试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系．3.在△ABC中，∠Ｂ＝90°，SA⊥面ABC，AM⊥SC，AN⊥SB垂足分别为N、M，

求证：AN⊥BC，MN⊥SC

略证：BC⊥面SABTBC⊥AN

再证AN⊥面SBCT AN⊥

SC

AM⊥SC

T SC⊥面ANMT MN⊥SC

第11课时直线与

平面垂直(2)

学习要求

1.了解直线和平面所成角的概念和范围;

2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和

性质定理.

【课堂互动】

自学评价

６. 斜线的定义:

斜足定义:

B

A

N

M

C

S

斜线段定义: ２．直线和平面所成角的定义：

线面角的范围： 【精典范例】

例1：.如图，已知AC ，AB 分别是平面

α的垂线和斜线，C ，B 分别是垂足和斜足，a ìα，求证：a ⊥BC

证明：互助参考3６例3

例 2.求证: 如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直, 那么这条直线就和这条直线在这个平面内的射影垂直. 已知： 求证： 证明： 证明：略 点评：

上述两题是三垂线定理及其逆定理，今后在证明其它问题时可直接使用。

例３.如图, ∠BAC 在平面α内, 点P ?α, ∠PAB=∠PAC . 求证: 点P 在平面α上

的射影在∠BAC 的平分线上.

证明：互助参考3６例４

思考：你能设计一个四个面都是直角的四面体吗? 思维点拨：

要证线面垂直，通常是从线线垂直来证明，而要证明线面垂直，通常又是从线线垂直来证明，即线线垂直和线面垂直互相转化． 自主训练

1.如图，∠BCA=90°，PC ⊥面ABC ，则在三角形ABC ，三角形PAC 的边所在的直线中：

(1)与PC 垂直的直线有AC,AB,BC (2)与AP 垂直的直线有BC

B

C

α

a

C

B

A

A P

O

C

E F B α P

A

人教版高中数学必修二全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空 1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是 6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5 ．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的

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【学习目标】 ①知识目标：理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法。 ②能力目标：通过算法的Scilab 程序，使学生初步具备编程能力的思想。 ③情感目标：通过阅读教材和了解算法思想，体验中国古代数学的伟大，培养学生的爱国之情。 【自主学习】 1、 求两个数的最大公约数的方法有两种，分别是_________________和_______________。 2、 所谓“割圆术”，是用____________________去无限逼近圆周并以此求___________的方法。 3、 阅读教材p36页《我国古代数学家秦九韶》，理解秦九韶算法的步骤。 【典例分析】 例1 求132与143的最大公约数。 跟踪练习 求下列两个数的最大公约数：（1）8251，6105 （2）1480，480 例 2 用秦九韶算法求多项式在x=2时的函数值。 143)(2367+-+-=x x x x x f 【快乐体验】 一、选择题 1.用秦九韶算法求多项式在=－1.3的值时，令；； …；时，的值 为（ ） 654322.5666.38.135.02)(x x x x x x x f +-+-++=x 60a v =501a x v v +=056a x v v +=5v A.－9.8205 B.14.25 C.－22.445 D.30.9785 2.数4557、1953、5115的最大公约数是（ ）

A.31 B.93 C.217 D.651 二、解答题 3.用等值算法求下列各数的最大公约数. （1）63，84； （2）351，513. 4.用辗转相除法求下列各数的最大公约数. （1）5207，8323； （2）5671， 10759. 5.求三个数779，209，589的最大公约数. 6.用秦九韶算法求多项式在时的值. 5365127)(2345-+--+=x x x x x x f 7=x 【反思回顾】 总结今天这节课的内容，你收获了哪些思想方法？

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；

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第一章 立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定 与性质定理证明与应用。 第一课时 棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用 名称的含义。 3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何 体简单作图方法 4．了解多面体的概念和分类． 【课堂互动】 自学评价 1． 棱柱的定义： 表示法： 思考:棱柱的特点：. 【答】 2． 棱锥的定义： 表示法： 思考:棱锥的特点：. 【答】 3．棱台的定义： 表示法： 思考:棱台的特点：. 【答】

4．多面体的定义： 5．多面体的分类： ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1：设有三个命题： 甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱； 乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥； 丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。 以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3 例2：画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法： ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形； ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段； ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考７页例１ ⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去． 互助参考７页例１ 点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔： 解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点： 例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能． 点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？ 答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到． 2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？ 答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。 答：４个面，四面体． 第二课时圆柱、圆锥、圆台、球 【学习导航】 知识网络 A C B D A1 C1 B1 D1

高中数学 必修三 导学案：3.3

§3.3 几何概型 课前预习案 教材助读 预习教材P135-P136，完成以下问题。 几何概型的两个特点：（1）________________性，（2）_________________性. 课内探究案 一、新课导学 1.模拟方法：通常借助____________来估计某些随机事件发生的概率。用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验，对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值。 2.几何概型： （1）向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在的概率与G1的成正比，而与G的、无关，即P(点M落在G1) = ,则称这种模型为几何概型。 （2）几何概型中G也可以是或的有限区域，相应的概率是或 。 二、合作探究 探究1：飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖。 问题1：各个圆盘的中奖概率各是多少？ 问题2：在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 问题3：在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 新知1：几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______________，____________或______________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。几何概型的两个特点：（1）_______________性，（2）_________________性. 几何概型概率计算公式：

P(A)=____________________________________ ※ 典型例题 例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 例2 如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分别为 ___________，__________. 例2、（选讲）在区间[-1,1]上任取两个数，则 （1）求这两个数的平方和不大于1的概率； （2）求这两个数的差的绝对值不大于1的概率。 例3 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概率是_______. 三、当堂检测 1、平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径为)(a r r 的硬币任意掷在这平面上

高中数学必修二学案

§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 一、课前准备 （预习教材P2~ P4，找出疑惑之处） 引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧! 二、基础探究 1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？ 图1 2.【研读课本】 （1）多面体的概念：叫多面体， 叫多面体的面，叫多面体的棱， 叫多面体的顶点。 ①棱柱:两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四 边形的公共边都，这些面围成的几何体叫作棱柱 ②棱锥：有一个面是，其余各面都是的三角形，这些面 围成的几何体叫作棱锥 ③棱台：用一个棱锥底面的平面去截棱锥，， 叫作棱台。 （2）旋转体的概念： 叫旋转体，叫旋转体的轴。

①圆柱：所围成的 几何体叫做圆柱. ②圆锥：所围成的 几何体叫做圆锥. ③圆台：的部分叫 圆台. ④球的定义 三、能力探究 例1．（1）如图，观察四个几何体，其中判断正确的是（） A.（1）是棱台 B.（2）是圆台 C.（3）是棱锥 D.（4）不是棱柱 （2）下列说法错误的是（） A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 （3）下列命题中正确的是（） A.棱台各侧棱的延长线交于一点 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 （4）下列几个命题中， ①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台; ②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体; ④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. 其中正确的有__________个.（） A.1 B.2 C.3 D.4 （5）下列说法中不正确的是（） A 棱与侧棱是同一概念 B 三棱锥与四面体是同一概念 C四棱柱有4条体对角线 D 存在这样的棱锥，它的各个面都是直角三角形 （6）一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为______cm. 例2有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？如果不是，请举例说明。

(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案 统计导学案含答案

9.1随机抽样 考点学习目标核心素养 抽样调查 理解全面调查、抽样调查、总体、个体、 样本、样本量、样本数据等概念 数学抽象 简单随机抽样 理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机 抽 样的两种方法：抽签法和随机数法 数学抽象、逻辑推理分层随机抽样 理解分层随机抽样的概念，并会解决相关 问题 数学抽象、逻辑推理 问题导学 预习教材P173－P187的内容，思考以下问题： 1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？ 2.什么叫简单随机抽样？ 3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种？ 4.抽签法是如何操作的？ 5.随机数法是如何操作的？ 6.什么叫分层随机抽样？ 7.分层随机抽样适用于什么情况？ 8.分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？ 9.获取数据的途径有哪些？ 1.全面调查与抽样调查 （1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ. （2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ. （3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况

作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ. （4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ. （5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ. （6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 2.简单随机抽样 （1）有放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N （N 为正整数）个个体，从中逐个抽取n （1≤n

人教版高中数学必修一知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

高中数学必修2全册导学案精编

高中数学必修二复习全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)）

高中数学人教B版必修二学案：2.2.3 两条直线的位置关系

2.2.3两条直线的位置关系 [学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想. [知识链接] 1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α＜180°. 2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝ y2－y1 x2－x1 . 3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式. [预习导引] 1.两条直线相交、平行与重合的条件 (1)两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系, 可以用方程组 ?? ? ??A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0 的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下： 方程组的解位置关系 交点个 数 代数条件无解平行无交点 A1B2－A2B1＝0且 B1C2－B2C1≠ 0(A2C1－A1C2≠0) 或 A1 A2＝ B1 B2≠ C1 C2 (A2B2C2≠0)

有唯一解 相交 有一个 交点 A 1 B 2－A 2B 1≠0 或A 1A 2 ≠B 1 B 2 (A 2B 2≠0) 有无数个解 重合 无数个 交点 A 1＝λA 2, B 1＝λB 2, C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1 A 2＝B 1B 2 ＝C 1 C 2 (A 2B 2C 2≠ 0) (2)两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系,也可用两直线的斜率和在y 轴上的截距来进行判断.具体判断方法如表所示. 位置关系 平行 重合 相交一般 相交垂直 图示 k ,b 满足 条件 k 1＝k 2且b 1≠b 2 k 1＝k 2且b 1＝b 2 k 1≠k 2 k 1·k 2＝－1 对坐标平面内的任意两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,有l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. 如果B 1B 2≠0,则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1,l 2的斜率k 2＝－A 2 B 2. 又可以得出：l 1⊥l 2?k 1k 2＝－1. 要点一 直线的交点问题 例1 求经过原点,且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的

苏教版高中数学必修二导学案答案

解析几何 2.1.1 直线的斜率 ? 2.11,,172 - 3. 4.3,3 5.180α?- 6.1 7.(1)m>1或m<-5; （2）m=-5; (3)-5

高中数学必修一课后习题答案(人教版)

人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版

习题1.2（第24页）

练习（第32页） 1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值， 而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高． 2．解：图象如下 [8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设 12,x x R ∈，且12x x <， 因为 121221()()2()2() 0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.

5．最小值． 练习（第36页） 1．解：（1）对于函数 42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数； （2）对于函数 3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数 3()2f x x x =-为奇函数； （3）对于函数 21 ()x f x x +=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为对定义域内 每一个x 都有 22()11 ()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数 21 ()x f x x +=为奇函数； （4）对于函数 2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数 2()1f x x =+为偶函数. 2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的． 习题1.3（第39页） 1．解：（1）

高中数学必修4全套学案

第一章三角函数 [基础自学] 一、角的概念 1．角的概念 (1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边； 终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类：

1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角． 2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限． 三、终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．() (2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．() (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．() 提示：(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)下列各组角中，终边不相同的是() A．60°与－300°B．230°与950° C．1050°与－300°D．－1000°与80° 答案 C (2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________． 答案195°＋(－3)×360°

课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU 1 终边相同的角之间有什么关系？ 提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍． 2 如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？ 提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)； 终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)； 第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． 题型一正确理解角的概念 例1下列结论： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)． [解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． [答案]① 角的概念的理解 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、

人教版高中数学必修一教案

课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础。许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上。此外，集合理论的应用也变得 更加广泛。 课型：新授课 课时：1课时 教学目标：1.知识与技能 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）牢记常用的数集及其专用的记号。 （3）理解集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。 （4）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的问题。 2.过程与方法 （1）学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，深入理解集合的含义。 （2）学生自己归纳本节所学的知识点。 3.情感态度价值观 使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣。教学重点：集合的概念与表示方法。 教学难点：对待不同问题，表示法的恰当选择。 教学过程： 一、引入课题

军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到 这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集 合（set）（简称为集）。 3.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 例： （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 例： （3）无序性：只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的。 例： 4.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学

人教版高中数学必修5全册导学案

§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着 顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） ． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它 的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中， 已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．

2018年人教版高中数学必修二全册导学案精编

人教版高中数学必修二全册导学案 目录 第一章第一节柱锥台球的结构特征第一课时 (1) 第一章第一节柱锥台球的结构特征第二课时 (3) 第一章第二节空间几何体的三视图和直观图第一课时 (6) 第一章第二节空间几何体的三视图和直观图第二课时 (11) 第一章第三节球的表面积与体积 (15) 第一章第三节柱体锥体台体的表面积 (20) 第一章第三节柱体锥体台体的体积 (25) 第一章空间几何体复习 (30) 第二章第一节空间中平面与平面之间的位置关系 (34) 第二章第一节空间中直线与平面之间的位置关系 (39) 第二章第一节空间中直线与直线之间的位置关系 (44) 第二章第一节两条直线平行与垂直的判定 (49) 第二章第一节平面 (54) 第二章第二节平面与平面平行的判定 (59) 第二章第二节直线与平面平行的判定 (64) 第二章第二节直线与平面平面与平面平行的性质 (70) 第二章第三节平面与平面垂直的判定 (75) 第二章第三节平面与平面垂直的性质 (82) 第二章第三节直线与平面垂直的判定 (87) 第二章第三节直线与平面垂直的性质 (94) 第二章空间点直线平面之间的位置关系复习 (99) 第三章第一节倾斜角与斜率 (104) 第三章第二节直线的一般式方程 (109) 第三章第二节直线的点斜式方程 (114) 第三章第二节直线的两点式方程 (116) 第三章第三节点到直线的距离两条平行直线间的距离 (121) 第三章第三节两点间的距离 (125) 第三章第三节两条直线的交点坐标 (129) 第三章直线与方程复习 (134) 第四章第一节圆的一般方程 (139) 第四章第一节圆的标准方程 (144) 第四章第二节圆与圆的位置关系 (149) 第四章第二节直线与圆的方程应用 (154) 第四章第二节直线与圆的位置关系 (159) 第四章第三节空间两点间距离 (164) 第四章第三节空间直角坐标系导学精要 (169) 第四章直线与圆的方程复习 (174)

人教A版高中数学必修二全册全册导学案

人教A版高中数学必修二 全册精品导学案

高中数学必修导学案 §1.1 空间几何体的结构 【使用说明及学法指导】 1.结合问题导学自已复习课本必修2的P2页至P4页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。 2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。 3. 感受空间实物及模型，增强学生直观感知；能根据几何结构特征对空间物体进行分类； 4.理解多面体的有关概念；会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 5. 在科学上没有平坦的道路，只有不畏劳苦，敢于沿着陡峭山路攀登的人才有希望达到光辉的顶点。 【重点难点】重点是棱柱、棱锥、棱台结构特征.难点是棱柱、棱锥、棱台的结构特征 一【问题导学】 探索新知 探究1：几何体的相关概念 （1）预习课本第2页的观察部分，试着将所给出的16幅图片进行

分类，并说明分类依据。 （2）空间几何体的概念： （3 探究2新知1： （1）多面体：（2）多面体的面：（3）多面体的棱：（4 指出右侧几何体的面、棱、顶点 探究2：旋转体的相关概念 新知2： 旋转体 旋转体的轴 探究31、 棱柱： 2、棱柱的分类： （1）按侧棱及底面垂直及否，分为： （2）按底面多边形的边数，分为： 注：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 3、棱柱的表示： 4、补充：平行六面体——底面是平行四边形的四棱柱 探究41、棱锥：

2、棱锥的分类： 注：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥. 3、棱锥的表示： 探究5：（三）棱台 1、棱台： 2、棱台的分类： 3、棱台的表示： 二【小试牛刀】 1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）. A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体 2. 棱台不具有的性质是（）. A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点 三【合作、探究、展示】 例1、根据右边模型，回答下列问题： (1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为 棱柱底面的有多少对？ (2) 如右图，长方体'''' 中被截去一部 ABCD A B C D 分，其中'' EH A D。问剩下的几何体是什么？截 //

人教版高中数学必修二导学案：第二章第一节平面

第二章第一节平面 三维目标 1.能够利用生活中的实物感知平面； 2.会用图形语言、文字语言、符号语言表示平面，了解平面的基本性质及作用； 3.通过对实物模型的认识，提升空间想象能力. ____________________________________________________________________________ 目标三导学做思1 问题1.生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，请举出更多实例，并回答平面的含义是什么. 问题2. 平面的含义是什么？ 问题3.平面的画法及表示是什么?

问题4．请用图形语言和符号语言表示：公理1、公理2、公理3，并思考它们分别有什么作用？ 【学做思2】 1.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系． 图1 图2 a

达标检测 * 1.下面给出四个命题：① 一个平面长4m ，宽2m ； ② 2个平面重叠在一起比一个平面厚； ③一个平面的面积是252m ； ④ 一条直线的长度比一个平面的长度大，其中正确命题的（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列命题正确的是（） A 经过三点确定一个平面 B 经过一条直线和一个点确定一个平面 C 四边形确定一个平面 D 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 3. （1）不共面的四点可以确定几个平面？ （2）共点的三条直线可以确定几个平面？ 4.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。 （1）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点。 （ ） （2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 （ ） （3）经过两条相交直线，有且只有一个平面。 （ ） （4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 （ ） *5.正方体1111D C B A ABCD 中，对角线C A 1与平面1BDC 交于点BD AC O 、,交于点M ，