抛物线及其标准方程1

(完整版)《抛物线定义及其标准方程》

抛物线及其标准方程 一、教学目标 1．知识目标：①掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；②掌握焦点、焦点位置与方程关系；③进一步了解建立坐标系的选择原则. 2. 能力目标：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想。 二、教学过程 （一）、复习引入 问题1、 椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率e 的取值范围各是什么？ 平面内，到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的轨迹，当0＜e ＜1时是椭圆，当e ＞1时是双曲线。自然引出问题：那么，当1 e 时，轨迹是什么形状的曲线呢? （二）.创设情境 问题2、用制作好的教具实验：三角板ABC 的直角边BC 边上固定一个钉子，一根绳子连接钉子和平面上一个固定点F ，并且使绳子的长度等于钉子到直角顶点C 的距离。用笔尖绷紧绳子，并且使三角板AC 在定直线l 上滑动，问笔尖随之滑动时，在平面上留下什么图形？如何用方程表示该图形？ 设计意图：从实际问题出发，激发学生的求知欲，将问题交给学生，充分发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容． 师生活动： (1) 你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗? (2) 学生不一定能正确抽象出来，教师可适当引导：当笔 尖滑动时，笔尖到定点F 的距离等于到定直线l 的距离，在满足这样条件下，笔尖画出的图形。并抽象数学问题： （三）、新课讲授： （1）抛物线定义：平面内，到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线，F 到直线l 的距离简 称焦准距。 特别提醒：定点F 在定直线l 外。（并假设F 在直线l 上）

抛物线的定义及标准方程教案

<<抛物线的定义及标准方程>>教案 西乡二中陶小健 一．教学媒体的选择和设计 本课件需在多媒体教室完成，借助powerpoint、几何画板课件，从动态演示和实物模型入手，使学生对抛物线有一个初步的认识。 二．教学目标分析 1.知识目标 掌握抛物线定义，明确焦点和准线的意义；掌握抛物线标准方程；会推导抛物线标准方程，掌握Ｐ的几何意义，掌握开口向右的抛物线的标准方程的数形特点，并会简单的应用。 2.能力目标 通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析、抽象和概括等逻辑思维能力，提高适当建立坐标系的能力，提高数形结合和转换能力。 3.情感目标 通过学生们寻找生活中与抛物线有关的物体和形象，加强知识与实际的联系，增强学生的学习兴趣。 三．教材的重点和难点 掌握抛物线的定义及标准方程，进一步熟悉解析法的应用，会根据抛物线的标准方程、准线方程、焦点坐标、图象四个条件中一个求其余条件是本节课的教学重点。 教学难点是用解析法求抛物线的标准方程，及坐标系的选取。 四．教学过程 1、设置情境，引出课题 （借助多媒体）先给出一段悉尼海港大桥的视频和中国一古一今两张抛物线形大桥图片，让学生体会世界的古代文明和现代化建设成就。 再给出一幅抛球画面。

学生在学习了圆锥曲线中的椭圆后自然想到抛物线。借此教师点明并板书课题：今天我们就来学习抛物线，研究一下《抛物线的定义和标准方程》。 2．实验探索，归纳定义 为了加深对抛物线直观形象的认识，教师操纵微机，展示多媒体课件，顺序显示下列图形: 1)一条直尺和沿直尺一侧的一定直线Ｌ； 2)一个直角三角板并把其一直角边紧靠在直尺的一侧（即定直线Ｌ上）； 3)取一段细线一段固定在直角三角板另一条直角边上，把细线紧靠在直尺直角三角板一条直角边上，截取一段使其恰好等于到直尺一侧（即定直线Ｌ）的距离； 4)再取定直线L 外一个定点F ，把细线的另一端固定在这个定点F 上，取一支铅笔P 靠在三角板的直角边上并使细线扯紧； 5）让直角三角板一条直角边紧靠在直尺的一侧（即定直线Ｌ上） ，上下移动时铅笔P 就画出一段曲线-------抛物线。 教师展示完成多媒体课件后，找一至两个同学再一次来操作课件展示抛物线的形成过程，并提出问题让同学思考。 课堂上要充分发挥学生的主体作用，引导学生合作探究得出定义，这是本节课的第一个探究点。学生在此问题中，认为简单，其实很容易出错，并且在探究错因时，难于理解。我给提供平台、激发学生兴趣，首先要求学生独立思考、自主探究，然后引导学生小组交流讨论，最后让小组代表总结。这里学生容易忽视定义的两个前提—(1)在平面内，（2）点F 不能取在定直线L 上.教师要根据学生探究的情况恰当引导学生去发现这些问题，得出抛物线的定义后，要及时给于探究全面、分析问题到位的小组同学表扬，对定义描述尚有不足的同学也要及时鼓励，期待他们在下一个探究点能做的更好。得出抛物线的正确定义后，教师板书抛物线的定义。

抛物线及其标准方程1教案

教 案 授课课题：§8.5抛物线及其标准方程（一） 授课课型：新授课 教学目标： 知识目标：1.掌握抛物线定义及其标准方程 2.熟练掌握抛物线的四种标准方程、焦点坐标、准线方程间的相互关系 能力目标：1.训练学生的运算能力 2.培养学生的数形结合思想、分类讨论思想 情感价值观：1.学习用联系、对比的观点看问题 2.由圆锥曲线的统一定义，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育 教学重点：抛物线定义及抛物线的四种标准方程 教学难点：1.抛物线的标准方程的推导 2.把握抛物线的四种标准方程、图象、焦点坐标、准线方程间的联系 教学教具：多媒体 教学方法：启发引导 学习方法：运用已有知识探究、归纳、总结、运用 教学过程： 一、课题引入 1．生活中的抛物线 2．椭圆、双曲线的第二定义 与一个定点的距离和一条定直线的距离之比是常数e 的点的轨迹是什么？ 二、进行新课 １．抛物线的定义 在平面内,与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫抛物线。 定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫抛物线的准线 的轨迹是抛物线则点若 M e d MF ),1(1== ２．标准方程的推导 2 )2 (),( 2 02),0(,,22 p x d y p x MF d MF d l M y x M p x l p F p p KF KF K l F x xoy + =+-==-==Θφ，则的距离为到点是抛物线上任意一点，设点的方程为），准线，的坐标为（那么焦点设的中点重合 并使原点与线段，垂足为且垂直与直线轴经过点使如图，建立直角坐标系 y

2 0,2)0(2)0(22 )2(2 222p x p p px y p px y p x y p x - ===+=+- ），它的准线方程是坐标是（在轴的正半轴上， 。它表示的抛物线焦点叫做抛物线的标准方程方程，得将上式两边平方并化简φφ 利用对称知识可得其它情况 ３．总结提升 相同点： （1）顶点为原点;（2）对称轴为坐标轴; （3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为 2 p . 不同点： （1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴; （2）一次项系数为正（负），则开口方向坐标轴的正（负）方 记忆方法：P 永为正，一次项变量为对称轴，一次项变量前系数为开口方向， 且开口方向坐标轴的正（负）方向相同 ４．尝试题一 (1)已知抛物线的标准方程是x y 62 =，求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F (0,-2),求它的标准方程. ５．练习：（1）根据下列条件，写出抛物线的标准方程： ①焦点是F （3，0）； ②准线方程 是x = 4 1 ； ③焦点到准线的距离是2. ④抛物线经过点P(-2,-4) （2）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

《抛物线及其标准方程》教学设计

《抛物线及其标准方程》教学设计 教材：普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版） 选修2-1 一第二章第四节 课题：抛物线及其标准方程 课时：第一课时 一、背景分析 1 课标的要求 （1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 （2）经历从具体情境中抽象出椭圆，抛物线模型的过程，掌握椭 圆，抛物线的定义、标准方程及简单性质。 （3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的有关性质，体会数形结 合的思想。 （4）了解圆锥曲线的简单应用。 2本节课在圆锥曲线中的地位： 圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。而抛物线在圆锥曲线中地位仅次于椭圆而高于双曲 线，抛物线在初中以二次函数的形式初步探讨过，本节内容安排篇幅不多，并非不重要，主 要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是可以接受的，它是高考的重要考察内容，要引起师生足够的重视。 3、学习任务分析 （1）、通过实验，结合几何画板课件，观察、发现和认识抛物线。 （2）、坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点。 通过几何画板动态演示建立不同的坐标系，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐 标系的重要性。 （3）、由抛物线的标准方程，熟练写出焦点坐标、准线方程；反之也会。 （4）、放手让学生类似地推导开口向左、向上、向下的情况下的标准方程。让学生根据课件展示的图形填充表格、对比异同。

（5）、p的几何意义：它指抛物线焦点到准线的距离，因此p>0。在抛物线宀, *=一2即中，负号只管抛物线的开口方向，与p无关。 （6）、由于学生对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化有一定困难，教学中应根据 图形培养学生运用三种语言的能力。借助图形使原本较为陌生的定义变得容易理解和便于记忆。 4、学生情况分析 在经过高一的学习和训练后，大多同学有较扎实的数学基本功和较好的理解力，有一定的自主学习能力，但在数学思想方法的形成上尚有不足，针对我所带班级学生的学习情况和数学 素养，我把本节内容借助powerpoint、几何画板课件，从形象、动态的演示入手，使学生 对抛物线有一个较为深刻的认识。 二、教学目标设计 根据课程标准和考试大纲的要求、教材的具体内容和学生认知心理，我确定本堂课的教学目 标如下： 1知识与能力 ①让学生理解抛物线的概念及与椭圆、双曲线第二定义的联系。 ②让学生掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形。 2、技能与方法 ①培养建立适当坐标系的能力。 ②培养学生的观察、比较、分析、概括的能力。 3、情感态度与价值观 ①培养学生的探索精神。 ②渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。 4教学重点和难点 根据以上所说的教材的地位、作用、内容与学生情况，我确定教材重点、难点如下： （1）、教学重点： ①选择适当坐标系探求抛物线的标准方程。 ②标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系。 (2)、教学难点：

抛物线的标准方程及性质

抛物线的标准方程及性质2018/11/25 题型一、抛物线的标准方程： 例题： 1、 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 _______ 2、 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 3、 以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为 4、 点M 与点F (4,0)的距离比它到直线:50x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程是 _______ 5、 抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _______ 练习： 1、 抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,点(－到焦点距离是6,则抛物线的方程为 _______ 2、 顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y =12上的抛物线方程是 _______ 3、 已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ________ 4、 若点A 的坐标是（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MA |+|MF |取最小值的M 的坐标为 _______ 题型二、抛物线性质： 例题： 1、 抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 2、 抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |＝________ 3、 如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322 --=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是 4、 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2+y 2=4相交的公共弦长等于23，则这抛物线的方程是 练习： 1、 过A （－1，1），且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程为 2、 边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，则以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是________ 3、 若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为2，则线段AB 的长 4、 过点Q (4,1)的抛物线y 2＝8x 的弦AB 恰被点Q 平分，则AB 所在直线方程是 题型三、抛物线的应用 例题： 1、 已知圆2290x y x +-=与顶点原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程。

抛物线及其标准方程

拋物线及其标准方程 设计思想 为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“拋物线的标准方程及其推导”和“拋物线概念的形成”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。 教学过程设计 一．设置情景，导入新课 （借助多媒体）先给出一张姚明的图片。（此时学生的兴 趣来啦！） 师：姚明是我们中国人的骄傲，我们要向他学习！大家 都知道姚明的投篮非常精准！为什么呢？ 生：天赋、身高！ 生：勤奋练习！（再给出两张姚明的图片） 生：与投篮时的弧线有关！ 生：这弧线是抛物线！ 师：对！姚明有许多优越的先天条件，同时好的技术也是一个关键的因素，今天我们就着手研究这个内容。 （进而引出本节研究的课题：抛物线及其标准方程） 【学情预设】学生被教师设置的情景所吸引，学习的热情高涨。 【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率。 二．引导探究，获得新知 师：在初中我们已经从函数角度学过抛物线，那么，这一节课我们将冲破初中的界限从曲线和方程的角度来学习抛物线。

师：前面，我们学习了椭圆和双曲线的相关知识，那么它们的联系和差异是什么？ 生：定义不一样！ 生：方程！椭圆是22 2 21x y a b +=，双曲线是22 221x y a b -=。 师：还有吗？ 生：椭圆是封闭的，双曲线是开放的。 师：这只是图象不同，为什么会这样呢？ 生：就是它们到定点的距离与到定直线的距离的比等于一个常数！ 生：这个常数是离心率e ！ 师：对啊！这是定性上的，定量上有不同吗？ 生：离心率e 不同，椭圆离心率e 的范围是01e <<，双曲线离心率e 的范围是1e >。 师：对了，e 可看成是它们的相同点，又是不同点！ （打开几何画板） 师：现在我慢慢拖动，大家认真观察图象。 生：01e <<是椭圆，1e >是双曲线。 师：但你们有没观察到1e =时的图象？ 生：抛物线！ 【学情预设】学生认真观察图象的变化，认知1e =的图象就是抛物线。 【设计意图】不仅回顾了椭圆与双曲线的相关内容，而且为如何画抛物线奠定坚实基础。

抛物线及其标准方程-课时作业

学习资料[文档副标题] [日期] 世纪金榜 [公司地址]

抛物线及其标准方程 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2013·大理高二检测)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为 ( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(-1,0) 3.(2013·遵义高二检测)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+ 6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( ) A.y=3x2或y=-3x2 B.y=3x2 C.y2=-9x或y=3x2 D.y=-3x2或y2=9x 4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 5.(2013·汝阳高二检测)一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( ) A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(4,0) 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·安阳高二检测)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是.

7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为. 8.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·宜春高二检测)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(,),求抛物线和双曲线的方程. 10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程. 11.(能力挑战题)已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小. 答案解析 1.【解析】选D.由条件可知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=2,∴p=4,所以它的标准方程为x2=-8y. 【举一反三】把题中条件改为“准线方程为x=-7”,它的标准方程如何?

抛物线及其标准方程

“抛物线及其标准方程”（第一课时）教学设计 数学组韦云校 【教材分析】 1、教材所处的位置及其前后联系 浙江省中等职业学校二年级第八章第六部分内容为抛物线，是在学生掌握了椭圆，双曲线相关知识的基础上引出的，平面解析几何“抛物线及其标准方程”一节内容主要是抛物线的概念和抛物线标准方程(有四种形式)，这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，有着广泛的应用。本课是第一课时，它是学习抛物线的性质及其应用的基础。根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础，是解决实际生活中问题的有力工具之一。对于中等职业学校的学生必须加以熟练掌握。 2、内容结构 根据实际教学处理，抛物线及其标准方程这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过动画演示，给出抛物线的物理定义：抛物线是抛出的物体在空中所运动的轨迹；用数学定义——平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线来统一实际生活中出现的各种各样的抛物线；第二层次建立合理坐标系，推导出焦点在x正半轴上的抛物线的标准方程；第三层次由学生猜想焦点不在x正半轴上的抛物线的标准方程，并加以应用。 三个层次很自然，渐入高潮，且教学过程符合学生“由特殊到一般，又由一般回到特殊”的基本认知规律，并在很大程度上培养职高生“学以致用”的能力。 【学情分析】 对中等职业学校的学生来说，数学基础欠扎实，思维、灵活性受基础等原因制约欠佳，对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，反应速度相对较慢。根据以上特点，教师讲解时要放慢步骤，提高学生主体能动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦，教学要按步就班，不要急于求成，要充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用。教师应加以积极引导，使其对标准方程的推导加以理解，并会加以应用。 【教学理念】 《数学课程标准》明确指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。”并且把过程性目标确定为“经历”、“体验”和“探索”三个方面。要倡导积极主动，勇于探索的学习方式，数学教学应从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，让他们在自己的生活中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学。 让学生亲历探究发现过程，不仅是为了让学生通过多种活动去探索和获取数学知识，以达到对知识的深层理解，更主要的是使学生掌握发现、认识并理解数学的一般方法，学习科学的探究的方法。因此亲历探究发现过程，不仅仅是一种获取知识的教学手段，而本身就是数学的重要目的。

抛物线及其标准方程练习题

` 课时作业(十二) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2014·广东省茂名)准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．x 2＝－2y 【解析】 本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B. 【答案】 B ; 2．(2014·人大附中高二月考)以双曲线x 216－y 2 9 ＝1的右顶点为焦 点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x 【解析】 因为双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的 焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x . 【答案】 A 3．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2， 且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于

( ) C ．2 D ．23 | 【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近 线方程为y ＝b a x ，由b a ＝2，即 b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝ c 2－a 2，所以 c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3. 【答案】 B 4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 2 9＝－1的两条渐近线所 围成的三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．2 【解析】 本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝± 3 3 x ，它们所围成的三角形为边长为23的正三角形，所以面积为33，故选A. 【答案】 A 二、填空题 5．(2014·绵阳高二月考)抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________． · 【解析】 抛物线y 2 ＝2x 的焦点为F ? ?? ??12，0，准线方程为x ＝－12， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1 2＝5，解得x 1 ＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.

抛物线定义及标准方程

抛物线及其标准方程 一．知识回顾 二．教学目标 1.使学生掌握·抛物线的定义，理解抛物线标准方程的推导过程，能根据条件确定抛物线的标准方程． 2.，掌握抛物线的标准方程的推导方法，培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力． 三．教学过程 1.抛物线的定义 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫做抛物线的，直线l 叫抛物线的

四．例题分析 题型一抛物线的定义 题型二 抛物线的标准方程 [例2] 根据下列条件写出抛物线方程 （1）已知抛物线焦点坐标是F （2,0）； （2）已知抛物线的准线方程是X=-2 3。 变式2.根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是()30F ， （2）准线方程是14 x =- （3）焦点在X 的正半轴上，焦点到准线的距离是2 题型三 求抛物线的焦点坐标及准线 [例3] （1）已知抛物线的标准方程是 y2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程。 （2）已知抛物线的焦点坐标是 F （0，－2），求抛物线的标准方程 1．抛物线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据抛物线的定义得p ，再写出抛物线的标准方程． (2)待定系数法：先设出抛物线的标准方程，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 变式3. 根据下列方程，写出抛物线的焦点和准线方程

(1).202x y = (2).0522=-x y 题型四. 抛物线定义求轨迹方程 [例4] 设P 为双曲线x 2 －y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点， 若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．63 B ．12 C ．12 3 D ．24 变式4若把本题中的“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“021=?PF PF ”，求△PF 1F 2的面积． 规律方法：在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用． 五．课后作业

高二数学教案：抛物线及其标准方程(1)

一．课题：抛物线及其标准方程（1） 二．教学目标： 1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程． 2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力． 3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育． 三．教学重、难点： 1. 重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)． 2. 难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．) 四、教学过程 (一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思考两个问题： 问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？ 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线． (二)抛物线的定义 1．回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？ 2．简单实验 如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置 上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳 子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子 的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定 在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板 的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右 滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反 复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结． 3．定义： 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线 的准线． (三)抛物线的标准方程 设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于 0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系， 才能使所得的方程取较简单的形式呢？ 让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小 结建立直角坐标系的几种方案： 方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．) 以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立 直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为 (x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：

抛物线及其标准方程练习题

课时作业(十二) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2014·广东省茂名)准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．x 2＝－2y 【解析】 本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B. 【答案】 B 2．(2014·人大附中高二月考)以双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为焦 点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x 【解析】 因为双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的 焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x . 【答案】 A 3．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2， 且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 ( )

A. 2 B. 3 C ．2 D ．23 【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由b a ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以 c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3. 【答案】 B 4．抛物线y 2 ＝12x 的准线与双曲线y 23－x 2 9＝－1的两条渐近线所 围成的三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．2 D.3 【解析】 本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±3 3x ，它们所围成的三角形为边长为23的正三角形，所以面积 为33，故选A. 【答案】 A 二、填空题 5．(2014·绵阳高二月考)抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________． 【解析】 抛物线y 2 ＝2x 的焦点为F ? ?? ??12，0，准线方程为x ＝－1 2， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1 2＝5，解得x 1 ＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2. 【答案】 2 6．对标准形式的抛物线，给出下列条件：

《2.4.1抛物线及其标准方程》优质课教学设计

课题：2.4.1抛物线及其标准方程 探究一：叩 如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的学生活动 学生观察实物图学生观察 画抛物线的过程，得出结论

一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A,截取绳子的长等于A到直线l的距离AC并且把绳子另一端固定在图板上的一点F;用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线.反复演示后，请同学们思考抛物线有怎样的几何特征，并归纳抛物线的定义，教师总结. 定义： 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F 不在定直线l上）.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 探究二： 抛物线的标准方程 设定点F到定直线l的距离为p（p为已知数且大于0）.下面, 我们来求抛物线的方程.怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？ 让学生议论一下，教师启发辅导， 小结：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x 轴，x 轴与l交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（图2-32）. 设pT|=P则焦点F的坐标为（§, 0）,准线1的方程为抛物线上的点M（x, y）到l的距离为d,抛物线是集合p=（M||MF|=d}. 学生思考讨论建系的各种形

线四种形式，完成下表 师：如何看焦点的确定焦点位置？ 椭圆：看分母。 双曲线：看符号。 抛物线：看一次项，再看一次项系数定开口 探究三： 二次函数y=ax 2 (a>0)的图像为以上四种形式的那一种？并求其焦 点和准线。 三. 巩固练习 例1 (1) 已知抛物线的标准方程是y 2=6x,求它的焦点坐标和准线方程; 练习1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2=20x ⑵y=2x 2; ⑶2y 2+5x=0;⑷ x 2+8y=0;. 例2.已知抛物线的焦点坐标是F(0 , 2),求它的标准方程. 小结：求抛物线的标准方程的步骤。 后 一…] 得： 定乂求抛 讨论 得出 抛物 根据以前 所学知识 将表格补 充完整。 学生回忆 椭圆和双 曲线的确 定焦点的 方法。 y2 =2物线的标 px(p > 准方程 0) .

抛物线的标准方程及性质

抛物线的标准方程及性质 一、抛物线定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线 想一想: 定义中的定点与定直线有何位置关系? 点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P>0 求抛物线的方程 解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴设︱KF ︱= p 则F （ 0,2p ），l ：x = -2 p 。 设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 |MF|=|MN| 即：2 )2(22p x y P x +=+- 化简得y 2 = 2px （p ＞0） 二、标准方程 把方程y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （ 2P ，0），l ：x = - 2 P 而p 的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离|FK| 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式. 1．四种抛物线的标准方程对比 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ) 0(22>=p px y ?? ? ??0,2p 2 p x - = ) 0(22>-=p px y ?? ? ??-0,2p 2 p x = ) 0(22>=p py x ? ?? ? ?2,0p 2 p y - = ) 0(22>-=p py x ??? ? ? -2,0p 2 p y =

2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来？ 顶点在原点 三、抛物线的性质 设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则 （1）范围：抛物线上的点(x ,y )的横坐标x 的取值范围是x ≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。 （2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. （3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。 （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1. （5）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分 别为),2 (),,2(p p p p -，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p . （6）平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点. 但它不是双曲线的切线. （7）焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+++=++ 四、例题讲解 例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y 2=6x （2）y x 2 1 2 =（3）2x 2+5y=0 解：（1）因为2p=6，p=3，所以焦点坐标是（ 23，0）准线方程是x=-2 3 （2）因为2p=21，p=41，所以焦点坐标是（0，8 1 ），准线方程是Y=-81

抛物线的标准方程

抛物线的标准方程 主备：陆卫杰审核：李晓峰 【学习目标】 1、掌握抛物线中的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量； 2、能够熟练画出抛物线的草图，进一步提高学生“应用数学”的水平；【学习过程】 一、复习旧知： 1、回顾椭圆和双曲线的定义： 二、学习新知： 1、抛物线定义： 2、推导抛物线方程

三、讲解范例： 例1：已知抛物线的标准方程是（1）212y x =，（2）212y x =，（3）y=ax 2(a ）0≠ 求它的焦点坐标和准线方程 （1）y 2＝8x （2）x 2＝4y （3）2y 2＋3x ＝0 （4）26 1x y -= （5）x 2=ay(a 0≠) 例2 :求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F （－5，0） （2）焦点在直线4x-3y-12=0上 （3）经过点A （2，－3） （1）焦点是F （－2，0） （2）准线方程是3 =y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上 （4）经过点A （6，－2） 例3；某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5m 时,水面宽为8m ,一木船宽4m ,高2m , 载货后木船露在水面的部分高为34 m ,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?

课后作业： 班级 姓名 1、（1）y 2=-x 焦点坐标 准线方程 （2）x 2=8y 焦点坐标 准线方程 (3) y 2=ax(a>0) 焦点坐标 准线方程 (4)2y 2+7x=0焦点坐标 准线方程 2、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为 3、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为______ 4、抛物线y=ax 2的准线方程是y=2，则a= 5、求适合下列条件的抛物线的标准方程 （1）焦点坐标为（6,0） （2）焦点坐标为（0，-5） （3）准线方程为3 2=y （4）较低啊到准线的距离为5 （5）经过点（1，-2） 6、求以直线2x-3y+6=0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程

抛物线及其标准方程

§2.4.1 抛物线及其标准方程 【学习目标】：1.记住抛物线的定义及其标准方程； 2.会求抛物线的标准方程. 【学习重点】：抛物线的定义，标准方程 【学习难点】：抛物线标准方程的推导 【学习方法】：阅读教材，分组讨论学习探究. 【学习过程】： 复习回顾： 1：函数2261y x x =-+ 的图象是 ，它的顶点坐标是（ ），对称轴是 ． 2：点M 与定点(2,0)F 的距离和它到定直线8x =的距离的比是1:2，则点M 的轨迹是什么图形？ 基础过关： 问题1：抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________。 问题2：推导抛物线的标准方程： 以 为x 轴，以 为原点， 如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p （p >0）,那么焦点F 的坐标为 ，准线l 的方程为 ，设抛物线上的点M （x,y ），因为MF = ，d= ,则有 |2 |)2(22p x y p x +=+- 化简方程得 ()022>=p px y 我们把它叫做抛物线的标准方程 问题3：设定点F 到定直线l 的距离为p （0p >），建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ________ （p ＞0） ________ （p ＞0） ________ （p ＞0） ________ （p ＞0） 问题4：观察上述抛物线的四种标准形式，找出它们的相同点及不同点： 相同点：(1)抛物线都过 ； (2)对称轴为 ； (3)准线都与对称轴 ，垂足与焦点在对称轴上关于原点 它们到原点的距离都 等于一次项系数 ，即 （用式子表达） 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2 y ； 图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2 x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号； 开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 问题5：（1）已知抛物线的标准方程是y 2=6x ，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是F （0，－2），求它的标准方程。 问题6：一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8m ，深度为0.5m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 拓展创新：（A,B 班必做，C 班选作） 已知抛物线y 2=2x 的焦点F ，点P 是抛物线上的动点，点A(3, 2), 求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标。 x y (1) M K F O D

抛物线及其标准方程

拋物线及其标准方程 一、教学内容分析 《抛物线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）第八章《圆锥曲线》第三节第一课时内容。本节在教材中的地位和作用：在初中阶段，抛物线为学生学习二次函数y ax2 bx c提供直观的图象感觉；在高中阶段，它在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面有着重要的作用。但学生并不清楚这种曲线的本质，随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线的第二定义之后，已具备了探讨这个问题的能力。从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，拋物线是离心率e 1的特例；另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。本节对拋物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美。教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。 二、学生学习情况分析 我校是省一级达标学校，有优越的多媒体设备，学生的数学基础较好，有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力。在此之前，学生已经熟练掌握二次函数图象、椭圆、双曲线的第二定义与求轨迹方程等内容，迫切想了解抛物线的本质特征。但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。 三、设计思想 为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“拋物线的标准方程及其推导”和“拋物线概念的形成” ，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。 四、教学目标1．理解拋物线的定义，掌握拋物线的标准方程及其推导。明确拋物线标准方程中p 的几何意义，能解决简单的求拋物线标准方程问题。