课题研究之数学及数学思维解决实际问题

课题研究之数学及数学思维解决实际问题

问题提出：（一）K对选手手参加混双比赛，一些选手之间握了手，但同一对选手间不握手，一位选手问了所有选手的握手人数，回答均不相同，问；这位选手的搭档和几个人握了手？

问题分析：首先需明确 1.握手是相互的；2在这k对选手中，每个人的握手次数都属于一个区间[0,2k-2]，不存在逾越这个区间的握手次数；3至此，存在有限个握手可能次数以及有限个握手次数，则其中必存在着唯一确定的握手次数

问题解决：这位选手一共问了（2k-1）个人，可能存在的握手次数为（2k-2）/1+1=2k-1个，因此，这2k-1个人的握手次数为0，1，2，3……2k-2，至此只需判断那一个是这位选手的搭档即可。而0的搭档与他自己,他的搭档不能握手,因此应为2k-2。否则，若0与2k-2不是一组，则2k-2与0，他自己，他搭档均不能握手，得出矛盾，因此其必一组。依此类推，1与2k-3必一组，否则，2k-3与0，他自己，他搭档，1（与2k-2握了手）均不能一组，矛盾。于是，在所有的人找到自己的搭档以后，没有找到搭档的便是这位选手的搭档，及这位选手的搭档与k-1人握了手。

问题回顾：首先确定了可能的握手次数为有限个，至此得出其与人数的一一对应关系，得到所有的握手数列，再根据同一搭档不握手得出所有选手和他的搭档的握手次数。

问题提出（二）：10个学生参加n个课外小组，每一组至多5人，每

两个学生至少参加一个某课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组内，证明：n的最小值为6

问题分析：设这十个学生分别为S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10,这n个课外小组分别为G1,G2,G3,G4,G5,G6……Gn。首先验证：六个确实可以。G1=（S1,S2,S3,S4,S5），G2=（S1,S2,S6,S7,S8）,G3=(S1,S3,S6,S9,S10),G4=(S2,S4,S7,S9,S1 0),G5=(S3,S5,S7,S8,S9),G6=(S4,S5,S6,S8,S10)

问题解决：首先，每个学生至少参加两个课外小组，否则，若有一个学生之参加一个课外小组，设这个学生为S1，由于每两个学生都至少在每一小组内出现过，所以其他9个学生都与他在同一组出现过，于是这一组就有10个人了，矛盾。若有一学生恰好参加两个兴趣小组，不妨设S2恰好参加G1，G2，由题知，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与S1没有同过组，矛盾。所以，每一个学生至少参加三个课外小组，于是n个课外小组G1,G2,……G10的人数之和不小于30.另一方面，每一课外小组的人数不超过2，所以n个课外小组的人数不超过5n故5n大于等于30，所以n小于等于6

问题回顾： 1.题目最终落至不等式上解决，因此需根据所有题目条件列出不等式，做到每个条件都最大满足。2.本题亦可倒着分析：至少6个小组，那么这六个小组中最多有30人，总共十个人，意味着每个人最少参加三个小组