2.3 等差数列求和
2.3 等差数列的前n 项和
1.等差数列前n 项和公式
等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2
________＝na 1＋n (n －1)
2d _____________.
破疑点：(1)等差数列前n 项和公式的推导方法“倒序相加法”，是解决数列求和问题的一种重要方法．主要适用于具有a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…特征的数列求和．
(2)若已知数列的首项a 1、末项a n 及项数n ，则用公式S n ＝n (a 1＋a n )
2来求和．这
里a 1＋a n
2是a 1与a n 的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质．
(3)公式S n ＝n (a 1＋a n )2中涉及四个量：S n 、n 、a 1、a n ；公式S n ＝na 1＋n (n －1)
2
d 中也涉及四个量：S n 、n 、a 1，d 、结合等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，对于等差数列中的五个量：S n 、n 、a 1、a n 、d ，已知其中的三个可以求另外的两个量．
练习：已知等差数列{a n }．
(1)a 1＝56，a 15＝－3
2，S n ＝－5，求n 和d ； (2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .
[解析] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－1
6. 又S n ＝na 1＋n (n －1)
2·d ＝－5，解得n ＝15，n ＝－4(舍)． (2)由已知，得S 8＝
8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)
2
，解得a 8＝39， 又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.
2．等差数列前n 项和的有关性质
(1)等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也构成等差数列，且公差为m 2d .
(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列{S n
n }是等差数列，且首项为a 1，公差为d 2.
(3)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a n b n ＝S 2n －1
S ′2n －1.
练习：(1)等差数列{a n }的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )
A ．130
B ．170
C ．210
D ．260
(2)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n 、T n ，且S n T n ＝2n ＋3
n ＋3，
则a 5
b 5
＝________. [答案] (1)C (2)5
3
[解析] (1) ∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， ∴S m ＋S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )， ∴30＋S 3m －100＝2(100－30)， ∴S 3m ＝210.
(2)∵a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9
＝2×9＋29＋3＝5
3.
3．数列的项a n 与前n 项和S n 的关系 a n ＝???
S 1(n ＝1)
S n －S n －1(n ≥2)
.
破疑点：(1)利用S n 与a n 的关系求数列通项公式的方法称为前n 项和法，它适应于所有数列．
(2)应用a n 与S n 的关系求a n ，分三个步骤： 第一步：n ＝1时，计算a 1＝S 1； 第二步：n ≥2时，计算a n ＝S n －S n －1；
第三步：检验a 1＝S 1是否适合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)．a 1适合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)时，通项公式可合并成一个式子，即a n ＝S n －S n －1；否则，通项公式应写成分段
函数的形式，即a n ＝???
S 1(n ＝1)
S n －S n －1(n ≥2)
.
练习：试求分别满足下列条件的数列{a n }的通项公式： (1)S n ＝n 2＋n (n ∈N *)； (2)S n ＝n 2－n ＋1(n ∈N *)．
[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 又a 1＝2满足上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)． (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n ＋1－(n －1)2＋(n －1)－1＝2n －2. 又a 1＝1不满足上式， ∴a n ＝?
??
1(n ＝1)2n －2(n ≥2).
考点一：有关等差数列的前n 项和的基本运算
例1、已知等差数列{a n }中， (1)a 1＝1
2，S 4＝20，求S 6；
(2)a 1＝32，d ＝－1
2，S n ＝－15，求n 及a n ； (3)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .
[解析] (1)S 4＝4a 1＋4(4－1)
2d ＝4a 1＋6d ＝2＋6d ＝20，∴d ＝3. 故S 6＝6a 1＋6(6－1)
2d ＝6a 1＋15d ＝3＋15d ＝48. (2)∵S n ＝n ·
32＋n (n －1)2(－1
2)＝－15，
整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， ∴a 12＝32＋(12－1)×(－1
2)＝－4.
(3)由S n ＝
n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)
2
＝－1022，解得n ＝4. 又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.
跟踪练习：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于 A ．1 B.5
3 C ．－2 D ．3 [答案] C
[解析] 由题意，得6＝3a 1＋1
2×3×2×d ， 又a 1＝4，解得d ＝－2.
考点二：等差数列前n 项和性质的应用
例2、等差数列{a n }与{b n }的前n 项和之比为(5n ＋13) (4n ＋5)，求a 10
b 10
的值．
[解析] 设数列{a n }的前n 项和为S n ， 数列{b n }的前n 项和为S ′n .
由于等差数列的性质，得a 10b 10＝a 1＋a 19b 1＋b 19
＝19
2(a 1＋a 19)
192(b 1＋b 19)＝S 19
S ′19.
由题意得
S 19S ′19＝5×19＋134×19＋5＝43，所以a 10b 10
＝4
3. 跟踪练习：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 [答案] C
[解析] ∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列， ∴2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4， ∴2(10－2)＝2＋S 6－10， ∴S 6＝24.
考点三：等差数列前n 项和公式的实际应用
例3、某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购
买当天先付150万元，按约定以后每月这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
[解析] 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{a n }．
则a 1＝50＋1 000×1%＝60， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，
∴a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－1
2(n －1) (1≤n ≤20，n ∈N )． ∴{a n }是以60为首项，－1
2为公差的等差数列， ∴a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×1
2＝50.5. ∴S 20＝1
2×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105. ∴实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．
跟踪练习：“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1min 内通过的路程为2km ，以后每min 通过的路程增加2km ，在到达离地面240km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是( )
A ．10min
B ．13min
C ．15min
D ．20min [答案] C
[解析] 由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a 1＝2为首项，公差d ＝2的等差数列，∴n min 内通过的路程为S n ＝2n ＋
n (n －1)2
×2＝n 2
＋n ＝n (n ＋1)． 检验选项知，n ＝15时，S 15＝240km.
考点四 a n 与S n 关系的应用
例4、 已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，求a n . [分析] 注意观察条件等式左边可以发现，各项具有相同的构成规律，如果令b n ＝na n ，则左端就是数列{b n }的前n 项和．
[解析] 令b n ＝na n ，则{b n }的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋1)(n ＋2)， ∴b 1＝S 1＝6，n ≥2时，
b n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)·n ·(n ＋1)＝3n (n ＋1)． 当n ＝1时也适合，∴b n ＝3n (n ＋1)， ∴a n ＝3(n ＋1)．
跟踪练习：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－8，求通项公式a n . [解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－7；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－8－(n －1)2＋8＝2n －1. 又a 1＝－7不满足上式，∴a n ＝?
??
－7(n ＝1)2n －1(n ≥2).
例5、 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋2，判断{a n }是否为等差数列． [错解] ∵a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2. a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)＋2]－(2n ＋2)＝2(常数)， ∴数列{a n }是等差数列．
[辨析] a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下得到的，a 1是否满足需另外计算验证．
[正解] a 1＝S 1＝6，
n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2， ∴a n ＝???
6 n ＝1
2n ＋2 n ≥2，
显然a 2－a 1＝4－6＝－2， a 3－a 2＝2，∴{a n }不是等差数列．
2.3.2 等差数列的前n 项和公式的性质
1.等差数列前n 项和的最值求法
(1)由于S n ＝An 2
＋Bn ＝A (n ＋B 2A )2－B 2
4A ，利用二次函数求最值．
(2)由???
a n ≥0a n ＋1≤0，求得等差数列{a n }前n 项和S n 的最小值时n 的取值．
由???
a n ≤0a n ＋1≥0，求得等差数列{a n }前n 项和S n 取最小值时n 的取值． 练习：在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，试求其前n 项和S n 的最大值． [解析] 解法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2.
∴S n ＝25n ＋1
2n (n －1)·(－2)＝－(n －13)2＋169， ∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法二：先求出d ＝－2(同解法一)． ∵a 1＝25>0，由???
a n ＝25－2(n －1)≥0a n ＋1＝25－2n ≤0，
得1212≤n ≤131
2，∴当n ＝13时，S n 有最大值． 2．裂项相消法求和 常见的裂项有：
1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
；
1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)；
1
n ＋1＋n ＝n ＋1－n 等．
练习：求数列{
1
n (n ＋1)
}的前n 项和S n .
[解析] a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
，
∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
.
考点一：等差数列前n 项和的最值问题
例1、等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列前多少项的和最小？
[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得 9a 1＋12×9×8·d ＝12a 1＋12×12×11·d ∴a 1＝－10d ， ∵a 1<0，∴d >0，
∴S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12dn 2－212dn ＝d 2? ?
???n －2122－4418d .
∵d >0，∴S n 有最小值．
又∵n ∈N *，∴n ＝10或n ＝11时，S n 取最小值． 解法二：同解法一，由S 9＝S 12得a 1＝－10d ， 设??? a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，∴???
－10d ＋(n －1)d ≤0
－10d ＋nd ≥0， ∵a 1<0，∴d >0， 解得10≤n ≤11.
∴n 取10或11时，S n 取最小值．
解法三：∵S 9＝S 12，∴a 10＋a 11＋a 12＝0，∴3a 11＝0， ∴a 11＝0.∵a 1<0，∴前10项或前11项和最小．
跟踪练习：首项为正数的等差数列{a n }，它的前3项和与前11项和相等，则此数列前________项和最大？
[答案] 7
[解析] 由S 3＝S 11，有
3a 1＋3×(3－1)d 2＝11·a 1
＋11×(11－1)2·d ，得d ＝－213a 1<0. ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－113a 1n 2＋1413a 1n ＝－113a 1(n －7)2
＋4913a 1. 故当n ＝7时，S n 最大，即前7项和最大.
考点二：含绝对值的数列的前n 项和
例2、在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和． [解析] 等差数列{a n }的公差d ＝
a 17－a 117－1
＝－12－(－60)
16＝3，
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋(n －1)×3＝3n －63. 由a n <0，得3n －63<0，即n <21.
∴数列{a n }的前20项是负数，第21项及以后的项都为非负数． 设S n ，S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项之和，
当n ≤20时，S ′n ＝－S n ＝－[－60n ＋n (n －1)2×3]＝－32n 2＋123
2n ； 当n >20时，S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20 ＝－60n ＋
n (n －1)2×3－2×(－60×20＋20×19
2×3)
＝32n 2－123
2n ＋1 260.
∴数列{|a n |}的前n 项和S ′n ＝?????
－32n 2＋1232n (n ≤20)
32n 2－123
2n ＋1 260(n >20)
.
跟踪练习：在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n . [解析] (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， ∴{a n }是等差数列，
又∵a 4＝a 1＋3d ＝8＋3d ＝2，∴d ＝－2， ∴a n ＝8－2(n －1)＝10－2n .
(2)令10－2n ≥0得n ≤5，∴当n ≤5时，a n ≥0，当n ≥6时，a n <0. ∴n ≤5时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝8n ＋n (n －1)
2×(－2)＝－n 2＋9n . 当n ≥6时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2×(－52＋9×5)－[8n ＋n (n －1)
2×(－2)]
＝n 2－9n ＋40.
∴S n ＝???
－n 2＋9n (n ≤5，n ∈N *)n 2－9n ＋40 (n ≥6，n ∈N *
)
.
考点三 裂项求和
例3、 求数列{
1
(2n ＋1)(2n ＋3)
}的前n 项和．
[分析] 通项的分母是两项的积，且这两项相差2，所以可将其拆分为两项之差，即1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12(12n ＋1－1
2n ＋3
)．
[解析] a n ＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12(12n ＋1－12n ＋3
)，
∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12[(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －1－1
2n ＋3)]
＝12(13－12n ＋3)＝n
6n ＋9
.
[点评] 形如：1(an ＋b )(cn ＋d )的式子，若可拆分为A an ＋b －B
cn ＋d 的形式，一
般可用此法进行求解．
练习：已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
1
a n ·a n ＋1，求数列{
b n }的前n 项和B n . [解析] (1)∵对任意的正整数n,2S n ＝a n ＋1① 恒成立，
当n ＝1时，2a 1＝a 1＋1，即(a 1－1)2＝0， ∴a 1＝1.
当n ≥2时，有2S n －1＝a n －1＋1.②
①2－②2得4a n ＝a 2n －a 2
n －1＋2a n －2a n －1，
即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.
∵a n >0，∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2， ∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)∵a n ＝2n －1，
∴b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ????1
2n －1－12n ＋1，
∴B n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝12? ????1－13＋12? ????13－15＋12? ????15－17＋…＋12? ????1
2n －1－12n ＋1
＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1.
例4、 求数列{
1
n (n ＋2)
}的前n 项和．
[错解] ∵1n (n ＋2)＝12(1n －1
n ＋2)，
∴数列{
1
n (n ＋2)
}的前n 项和
S n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12＋1n －1n ＋2)＝34＋1n (n ＋2).
[辨析] 错误的原因在于裂项相消时，没有搞清剩余哪些项． [正解] ∵1n (n ＋2)＝12(1n －1
n ＋2)，
∴数列{
1n (n ＋2)}的前n 项和S n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1
＋1
n
－1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝3
4＋2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).
数列求和7种方法(方法全,例子多)
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n
等差数列求和教案
等差数列求和 教学目标 1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题. （1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式； （2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值； （3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法. 3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学建议 （1）知识结构 本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题． （2）重点、难点分析 教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路． 推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重
要．等差数列前项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想． 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上． （3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用. ②前项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式. 等差数列的前项和公式教学设计示例 教学目标 1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题. 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点，难点 教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路. 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讲授法.
等差数列的性质、求和知识点及训练
等差数列的性质、求和知识点及训练 重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法 难点:对等差数列的综合考察 一知识梳理 1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数 列．
（2）等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、 n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便 可求出其余2个，即知3求2。 （2）通常把题中条件转化成只含1a 和d 的等式！ 8.等差数列的性质： （1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差 0d =，则为常数列。 （2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=. (3) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （公差为md ） 图示： m m m m m m S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++ （4）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =， 则 21 21 (21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （5）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列 (6)求n S 的最值 法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则
等差数列求和求最值
等差数列求和应用（三）———求最值 （会不会做是能力问题，做不做是态度问题，从态度上去认识自己的问题） 一、填空题 1、（1）已知等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 162-=，则当=n 时，()=min n S 。 （2）已知等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 172+-=，则当=n 时，n S 取得最 （大、小）值。 （3）已知等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 6432+-=，则当=n 时，n S 取得最 （大、小） 值为 。 2、（1）已知数列{}n a 通项公式为92-=n a n ，则当=n 时，()=min n S 。 （2）已知数列{}n a 通项公式为n a n 210-=，则当=n 时，()=max n S 。 3、（1）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：、09>S 011S ，则当=n 时，n S 有最小值。 二、解答题（按照要求，按照步骤，答题过程作答应规范，条理应清晰） 4、已知数列{}1013-n ，求当n 为何值时， 5、已知数列{}1004+-n ，求当n 为何值 该数列的前n 项和n S 有最小值。 时，该数列的前n 项和n S 有最大值。 6、已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：、099>S 7、已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：、0200>S 0101等差数列求和公式的
等差数列求和公式的 问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？ 问题2：1+2+3+…+n=? 在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡 设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1 = + + +…+ ，得= 问题3：等差数列= ？ 学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q 问题4：还有新的方法吗？ （引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则= +（）+（）+…+[ ] = = （这里应用了问题2的结论） 1 ————来源网络整理，仅供供参考
问题5：= = ？ 学生容易从问题4中得到联想：= = 。显然，这又是一个等差数列的求和公式。 等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。 ————来源网络整理，仅供供参考 2
第二讲：等差数列及求和公式(教师)
第二讲：等差数列、等比数列的通项公式 【知识结构】 1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 d （与项数n无关），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。 等差数列的递推公式为：即 a n a n 1 d,n 2,n N （d为常数）/a ni a n d,n N /，这就是一个恒等式，数列 中的恒等式一定要注意变量的范围，即项数n的范围。 a b 2、等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A - 2 3、等差数列的通项公式：a n a i （n 1）d dn 佝d）。当d 0时，从函数的角度 看，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，它的图象是在一条直线的散点。 【典型例题】 例1、（1）已知等差数列｛a n｝中，a12，公差为3,则通项公式a n3n 1。 （2）已知等差数列｛a n｝中，a2 3，a4 7，则通项公式a n2n1。 （3）已知等差数列｛a n｝中，2a2 a31,a7 a8 20 ，a k15，则k 10。 （4）在等差数列a n中，若a1 a4a$ a12 a15 2 则2。 解:⑶设a1,公差d 3a1 4d 1 2耳13d 20,解得［c3 a n 2n d 2 5k 10 等差数列的通项公式的作用是把等差数列中的任意一项用首项和公差表示。练习：P7自主练习中的1,2,3（2）（3）（4）,4 。 例2、 （1 ） a n 1a n2,n N*； （2 ） 满足2a n 1a n 2 a n, n N * ； （3 ）a n 1a n n,n N * 满足条件（2），数列｛a n｝是等差数列。
学习等差数列求和公式的四个层次
学习等差数列求和公式的四个层次 黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 )1(2 )(11-+ =+= ,是数列部分最重要公式之一,学习 公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 )1(2 )(2 )(111-+ =+= += +-中,我们可以看到公式中出现了五 个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2 n S n -=,那么( ).(1992年三南高考试 题) (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(2 2+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 ) 1(2 1n d n n na S n -=-+ = 对照系数易知,2-=d 此时由2 1)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知33 1S 与 44 1S 的等比中项为 55 1S , 33 1S 与 44 1S 的等 差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a .(1997年全国高考文科) 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 )1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 241 3 1)51(4131432 54 3S S S S S ,
一题多解专题六：等差数列前项和的最值问题
一题多解专题六：等差数列前n 项和的最值问题 求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求 二次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法： ①0,01<>d a 时，满足?? ?≤≥+0 1n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01>
等差数列中的最值问题
等差数列及其前n 项和（2） ——等差数列中的最值问题 数学组 一、教学目标 1、掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式的形式和应用。 2、掌握常见题型的解法及常用思想方法。 3、掌握等差数列求最值问题的多种不同方法，并能对最值问题进行归纳总结。 二、教学重点和难点 重点：等差数列求最值问题的常用解法。 难点：通过例题的讲解引导学生对等差数列的最值问题进行归纳和总结，并理解何种形式会有最大值，何种形式会有最小值。 三、教学过程 1、复习旧知，回顾等差数列的常用公式： （1）通项公式()11n a a n d =+- （2）前n 项和公式()112 n n n S na d -=+=()12n n a a + （3）等差中项概念1 2()A a b =+ （4）等差数列的判定方法 定义法：1n n a a +-=常数（*n N ∈）?{}n a 为等差数列； 中项公式法：122n n n a a a ++=+（*n N ∈）?{}n a 为等差数列； 通项公式法：n a kn b =+（*n N ∈）?{}n a 为等差数列； 前n 项求和法：2n S pn qn =+（*n N ∈）?{}n a 为等差数列 （复习时主要以口述为主，必要的公式进行板书，主要让学生进行回顾，强调等差数列的通项公式和前n 项和公式的形式，即通项公式是关于n 的一次函数，前n 项和公式是关于n 的二次函数，且常数项为0，为后面课程的讲述埋好伏笔。） 2、教授新课： 复习用书《高考总复习学案与测评》第87页，题型四：等差数列中的最值问题 例4、在等差数列{}n a 中，已知201=a ，前n 项和为n S ，且1510S S =，求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出它的最大值。 分析：要求n 为何值时，n S 有最大值，可从n S 的形式入手思考，n S 是关于n 的二次函数，可以从函数的角度求出n S 的最大值。 解：（方法一）因为201=a ，且1510S S =可得
等差数列(通项+求和+性质)
等差数列复习 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 例1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……； （2）2212-，2313-，2414-，2515 -； （3）11*2-，12*3，13*4-，14*5。 解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2(1)11n n +-+； （3）n a = (1)(1) n n n -+。 点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。 如（1）已知*2()156n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ； （2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围； 2、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 例2．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 答案：B ； 解法一：a n =???≥-==????≥-=-)2( 12)1( 1) 2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数，1 2121-+=+n n a a n n ≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列. 解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式a n =S n －S n －1的推理能力.但不要忽略a 1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。
等差数列求和公式教学设计
等差数列求和公式教学 设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
等差数列前n项的和教学设计 一、教材分析 本节教学内容选自高中必修5，教材安排1课时。 数列是中职数学教学的重要内容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用, 如堆放物品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，因此，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣, 因此设计好这节课的教学是至关重要的，通过这节课要让学生体会到：（1）数学来源于生活，生活需要数学；（2）数学学习是为专业课学习服务的；并以此激发学生学习数学的兴趣和热情。因此，本节课可谓本章教学的关键点之一，有着举足轻重的地位。 二、教学目标 知识目标： 掌握等差数列前n项的和的公式。 能力目标： 1、能够运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题，增强学生应用知识的能力； 2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力； 3、练习题采取由学生讲解的方式完成，锻炼学生的语言表达能力。 情感态度价值观： 1、通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法； 2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中的实用性，渗透学以致用的思想。 3、通过对解题步骤的严格要求，培养学生严谨的工作作风。 三、重点、难点 教学重点：等差数列的前n项和的公式及其应用。 教学难点：等差数列的前n项和的公式的推导。
数列求和7种方法(方法全_例子多)
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝
初二数学等差数列求和公式
初二数学等差数列求和公式 各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大家一定要在平时的练习中不断积累，小编为大家整理了八年级数学等差数列求和公式，希望同学们牢牢掌握，不断取得进步! 公式 Sn=(a1+an)n/2 (首项+末项)X项数2 Sn=na1+n(n-1)d/2; (d为公差) Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2) Sn=[2a1+(n-1)d] n/2 和为 Sn 首项 a1 末项 an 公差d 项数n 等差数列公式an=a1+(n-1)d 前n项和公式为：Sn=(a1+an)n/2=na1+n(n-1)d/2 假设m+n=p+q那么：存在am+an=ap+aq 假设m+n=2p那么：am+an=2ap 以上n均为正整数 文字翻译 第n项的值an=首项+(项数-1)公差
前n项的和Sn=首项+末项项数(项数-1)公差/2 公差d=(an-a1)(n-1) 项数=(末项-首项)公差+1 数列为奇数项时，前n项的和=中间项项数 数列为偶数项，求首尾项相加，用它的和除以2 等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列 通项 首项=2和项数-末项 末项=2和项数-首项 末项=首项+(项数-1)公差:a1+(n-1)d 项数=(末项-首项)/ 公差+1 :n=(an-a1)/d+1 公差= d=(an-a1)/(n-1) 如：1+3+5+7+99 公差就是3-1 将a1推广到am，那么为: d=(an-am)/(n-m) 性质： 假设 m、n、p、qN ①假设m+n=p+q，那么am+an=ap+aq ②假设m+n=2q，那么am+an=2aq(等差中项) 注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。 本文就是查字典数学网为大家整理的八年级数学等差数列
等差数列和求和基础训练
等差数列及等差数列求和 学习目标： 1.理解等差数列的概念以及性质。 2掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式。 3能运用等差中项的性质解题，并能灵活运用等差数列的求和公式解题。 4了解等差数列求和公式的函数特征，并能运用之求前n 项和的最值。 知识要点梳理： 1等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于 ，这个数列就叫 ，用式子可表示为 ，则数列{}n a 叫做等差数列。 2等差数列的单调性。 公差 时，数列为递增数列；公差 时，数列为递减数列；当公差 为 时，数列为常数列，等差数列不会为摆动数列。 3等差数列的通项公式和前n 项和公式： n a = 。或n a = n s = = 。 前n 项和公式是用 方法推导的。已知n m a a 为等差数列的任意两项， 公差为d ，则d= n m a a n m -- （公差的计算：d =1--n n a a ） 4等差数列的性质。若}{n a 为等差数列 （1）m,n,p,q ∈* N ,当m+n=p+q,则 。 ⑵若公差为d ，则}{2n a 是 ，公差为 。 ⑶若}{n b 为等差数列，则}{n n b a +是 。 （4）,,2 a b A a A b += ?成等差数列则三个数成等差可设为 ， 四个数成等差可设为 。 （5）若{}n a 的前n 项的和n s 则 仍是等差数列。 （）若，是等差数列，为前项和，则 ； 42121 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为 52 a S an bn a b n n n ?=+0的 二次函数。
经典等差数列性质练习题(含答案)
等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣ 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（） A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．
等差数列前n项和的最值求解方法
等差数列前n 项和的最值求解方法 例1 设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，已知3a =12，12s >0,130s <, (1)求公差d 的取值范围； （2）指出1s ，2s ，…，12s 中哪一个值最大，并说明理由. 解析 （1）由3a =12，得：1a +2d=12,即1a =12-2d, 由12s >0，得：121a + 12*1102d >，所以d>-247 , 由130s <,得：131a +13*1202 d <，所以d<-3, 因此，d 的取值范围为（-247,-3）. (2)解法一：1(1)n a a n d =+- =12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d 令0n a >，得：n<3- 12d , 由（1）知：247-
所以6<5122d -<132 , 又因为n *N ∈, 故当n=6时，n S 最大， 即6s 最大. 例2 已知等差数列{n a },*n a N ∈,n S =212)8n a +（.若1302n n b a = -，求数列 {n b }的前n 项和的最小值. 分析：①由n S 与n a 的关系，可写出11n n s a ++与之间的关系，两式作差，即可得出1n a +与n a 间的关系； ②{n b }的前n 项和最小，估计{n b }的前n 项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小. 解 1n a +=1n s +-n S =2112)8n a ++（-212)8n a +（， 即81n a +=（1n a ++22）-（n a +22）， 所以（1n a +-22）-（n a +22 ）=0， 即（1n a ++n a ）（1n a +-n a -4）=0， 因为*n a N ∈，所以1n a ++n a ≠0，即1n a +-n a -4=0， 所以1n a +-n a =4， 因此等差数列{n a }的公差大于0. 1a =1s =2112)8 a +（,解得1a =2. 所以n a =4n-2,则1302 n n b a =-=2n-31. 即数列{n b }也为等差数列且公差为2. 由 23102(1)310{n n -≤+-≥，解得293122 n ≤≤，
等差数列求和的几种方法
数列求和的几种情形 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+ ()-n m n d =-m a a 一、分组法 例1 求11357(1)(21)n n S n -=-+-++--L . 变式练习1：已知数列{}n a 的前n 项和250n S n n =-，试求： （1）n a 的通项公式; （2）记n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T 二、倒序相加
()1112()()n n n n n S a a a a a a =++++++644444474444448 L 个 1()n n a a =+ 1()2 n n n a a S += 例2 求2222o o o o sin 1+sin 2+sin 3+.......sin 89 三、错位相减 11n n a a q -= 11(1)(01)n n n a a q a q S q q --==≠≠且1-q 1-q 例3 21123(0)n n S x x nx x -=++++≠L 变式练习3（1）已知数列{}n a 的通项.2n n a n =，求其n 项和n S
（2）已知数列{}n a 的通项()121.3n n a n ??=- ??? ，求其n 项和n S 四、裂项相消 例4 已知数列1{},n n a a =的通项公式为求前n 项和.n （n+1） 变式练习4:（1） 1111132435(2) n n ++++????+L .
（2）求数列 , (1) 1,...,321,321,211+++++n n 的前n 项和n S }{() ()()()}{1111,,21152. n n n n a a a a n n n a -==+≥-在数列中，写出数列的前项； 求数列的通项公式 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
等差数列最值的求法
等差数列前n 项和最值问题求法 等差数列的前n 项和最值问题反映了数的变化过程，体现了一种从量的积累到质的变化，揭示了数之间的关联，其最值的求法通常可从函数与不等式来考察，下面通过几个例题从不同的侧面来小议其求法。 一、应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大 分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。 解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且2 11(1)()2 2 2 n n n d d S na d n a n -=+ = +- ， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49 6.52 n +==， 而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。 点评：利用二次函数图象的开口方向、对称性等、数形结合求解其最值简单易行，但要注意对称轴是介于两个整数的中点，此时应有两个n 的取值。 二、转化为求二次函数求最值 例3、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。 解析：∵4a ＝1a ＋3d, ∴ －14＝1a ＋9, 1a ＝－23, ∴ n S ＝－23n ＋2 ) 1(3-n n ＝2 3[(n －496 )2 － 2 49 36 ], ∴ 当n= 496 最小时，n S 最小， 但由于n N * ∈， 496 介于8与9之间， 8100S =-，999S =- 即有且89S S >，故当n ＝8 8S ＝－100最小. 点评：通过条件求出1a ，从而将n S 转化为关于n 的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处 496 介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两 个整数中点，否则只有一个取值。 三、利用关系式0 0n n a a ≥??
等差数列求和公式推导方法
等差数列求和公式推导方法 有很多喜欢学习数学的同学，是非常的想知道，等差数列求和公式推导 方法是什幺，小编整理了相关信息，西瓦会对大家有所帮助！ 1 等差数列求和公式是怎幺推导的一。从通项公式可以看出，a(n)是n 的一 次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n 项和公式知，S(n)是n 的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。 二。从等差数列的定义、通项公式，前n 项和公式还可推出：a(1)+a(n) =a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=… =a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n- k+1))，k∈{1,2,…,n} 三。若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1) =(2n-1)*a(n)，S(2n+1)= (2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。 若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p) (对3 的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n) p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p (q)) 其他推论 ①和=(首项+末项)×项数÷2 (证明：s(n)=[n,n ]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n
等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法
等差、等比的公式性质以及数列的求和方法 第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列， 那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 4、等差数列的前n 项和公式： （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数 项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的 中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项 和等于项数乘以中间项） 5、等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是 等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差 数列． 7、等差数列相关技巧： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。 （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。 （4）{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数 列