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黄冈市2014届高三4月份质量检测理科数学试题及答案

黄冈市2014年高三年级4月份质量检测

参考答案(理科)

一、选择题1—10 ACCC (或A )B DACCD 二、填空题

11、0.030,2 12、129 13、15 14、3 4027 15、45? 16、25

+

三、解答题

17、解:(1)

cos 2cos C C =,22cos cos 10C C ∴--=

即(2cos 1)(cos 1)0C C +-=,1

cos 2

C ∴=-

,cos 1C =舍,又(0,)C π∈,

23

C π

∴=

…………6分 (2)

22222cos 7c a b ab C a =+-=

c ∴=,即sin C A =,sin 14

A ∴=

…………9分

又1sin 2S ab C =

,1sin sin 2ab C A B ∴=?

sin sin sin ab

C A B

=?

2

sin sin c C C ???= ???

2

32c ∴=,即2c =.…………12分 18、解:(1)111212n n a a S n +==+∴≥,,当时,121n n a S -=+相减得:

13(2)n n a a n +=≥,又21213a a =+=,213a a ∴=,

∴数列{}n a 是以1为首项,3为公比的等比数列,13n n a -∴=.

又215b b d =+=,13b ∴=,21n b n ∴=+.…………6分 (2)1(21)3n n n a b n -?=+? 令221315373(21)3(21)3n n n T n n --=?+?+?+

+-?++?………………① 2313335373(21)3(21)3n n n T n n -=?+?+?+

+-?++?…………………②

①-②得:212312(333)(21)3n n n T n --=?+++

+-+?

3n n T n ∴=?,360n n n ∴?>,即360n >,当3n ≤,360n <,当4n ≥。360n >

n ∴的最小正整数为4. …………12分

19、解:(1)证明:如右图,过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ,则由平面A 1BC ⊥

侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC

侧面A 1ABB 1=A 1B ,得AD ⊥平面A 1BC ,又BC

平面

A 1BC , 所以AD ⊥BC ,因为三棱柱ABC ―A 1

B 1

C 1是直三棱柱,则AA 1⊥底面ABC ,所

以AA 1⊥BC 。又AA 1AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1,AB

侧面A 1ABB 1,故

AB ⊥BC 。…………6分

(2)(Ⅱ)解法1:连接CD ,则由(Ⅰ)知

是直线AC 与平面A 1BC 所成的角,

取1A C 的中点E ,连,AE DE ,1A A AC =,1A A BC ⊥,1AE A C ∴⊥,

又1AD A C ⊥,1A C ∴⊥平面ADE ,1A C ED ∴⊥, AED ∴∠是二面角1B A C

A

--的平面角。即A C D A E D θ?∠=∠=,,sin AD AC θ∴=

,sin AD

AE

?=,122A A AC BC ===

,7

AD ∴=

,AE =

sin sin θ?∴?=

=

.…………12分 解法2:由(1)知,以B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标,

则(0,0,0),(1,0,0)A B C

,1A ,

于是(1,AC =,(1,0,0)BC =

,1(2)CA =-,

设平面1A BC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =,平面1AA C

的一个法向量为2222(,,)n x y z =,

由111111100200x n BC x z n CA ??=?=???

?-+=??=???,得,

取13(0,)2n =-

,由2222222100

200

n AC x x z n CA ???==????

-+=?=????,得

,取2n =

11||sin 721||||

n AC n AC θ?∴=

=

=?,1212

cos 721

||||

n n n n

??===? sin ?∴=

sin sin θ?∴?= …………12分

22(10)(10)()121100100m m m m

E ξ-+-?=?+?=(定值)……5分

2(10)(10)(5)25

()10010050

m m m m m D ξ----+=+=,

*1919m m N m m ≤≤∈==,,当或时,D ξ最小,最小值为

9

50

.……8分 (2)221022

99(10)(9)(1)()()7272

m

m C C m m m m P E P F C C ----====, ()()P E P F =,(10)(9)(1)

7272

m m m m ---∴

=,5m ∴=.…………12分

21、解:(1)如图设(,)M x y ,00(,)p x y ,则由||||(01)DM m PD m =<<可得

0x x =,0||||y m y =,即001

||||

x x y y m ?=?

?=??

又220

4x y +=,22

2

1(01)44x y m m ∴

+=<<,即为曲线C 的方程。……6分 (2

)设(,0):)2

C F c l y x c =-=

+,

由22

2

222144(21)24120)x y m m x cx m y x c ?+=??+++-=??=+??,得……8分 设11211222(,),(,)21c A x y B x y x x m ∴+=-+,,2

122

412.21

m x x m -=+

12122)y y x x c ∴+=

++, ……9分 1212()(,)OP OA OB x x y y =-+=-++

22(21c m =+,即P

点坐标为22(21c m + 将P 点代入222144x y m +=

,得2

m =(负舍去) ∴

存在当2

m =

时,P 点在曲线C 上 .…………13分 22、解:(1)2

()ln(1)f x x x =++,设2

()()l n (1)

g x x f x x

x x =-=

--+,

212()1211

x x

g x x x x --'=--=++

∴当(0,)x ∈+∞时,()0g x '<,即()

(0,)g x +∞在上单调递减又(0)0g =,()(0,)g x ∴+∞在上恒有()(0)0g x g <=,即2ln(1)x x x <++恒成立 ……5分

(2)令1x n =,*

n N ∈,则有2111ln(1)n n n -<+,20142014211

111()ln(1)n n n n n n n ====∴-<+∑∑

22111n n n n --=,222

12

2013

ln 201523

2014

∴+++

<. ……9分 (3)

sin [0,1]y x =在上单调递增,

11001

1101

1

sin

[(sin sin sin

)]sin (cos )|n

i i n n n xdx n x n n n n

n

=--∴=+++<=-∑? (1cos1)n =- …………………………12分

又1

[0,1]1y x

=

+在上单调递减, 1

01

111

111

11

[()]12121111111n

i n n n dx n n

i n n x

n n n n n

n

=∴=++

+=++

+

<++++++++∑?

10ln(1)|ln 2n x n =+=

1

1(sin

)(1cos1ln 2)n

i i n

n n i n

=-+<-++∑ ……………………14分

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