黄冈市2014年高三年级4月份质量检测
参考答案(理科)
一、选择题1—10 ACCC (或A )B DACCD 二、填空题
11、0.030,2 12、129 13、15 14、3 4027 15、45? 16、25
+
三、解答题
17、解:(1)
cos 2cos C C =,22cos cos 10C C ∴--=
即(2cos 1)(cos 1)0C C +-=,1
cos 2
C ∴=-
,cos 1C =舍,又(0,)C π∈,
23
C π
∴=
…………6分 (2)
22222cos 7c a b ab C a =+-=
c ∴=,即sin C A =,sin 14
A ∴=
…………9分
又1sin 2S ab C =
,1sin sin 2ab C A B ∴=?
sin sin sin ab
C A B
∴
=?
2
sin sin c C C ???= ???
2
32c ∴=,即2c =.…………12分 18、解:(1)111212n n a a S n +==+∴≥,,当时,121n n a S -=+相减得:
13(2)n n a a n +=≥,又21213a a =+=,213a a ∴=,
∴数列{}n a 是以1为首项,3为公比的等比数列,13n n a -∴=.
又215b b d =+=,13b ∴=,21n b n ∴=+.…………6分 (2)1(21)3n n n a b n -?=+? 令221315373(21)3(21)3n n n T n n --=?+?+?+
+-?++?………………① 2313335373(21)3(21)3n n n T n n -=?+?+?+
+-?++?…………………②
①-②得:212312(333)(21)3n n n T n --=?+++
+-+?
3n n T n ∴=?,360n n n ∴?>,即360n >,当3n ≤,360n <,当4n ≥。360n >
n ∴的最小正整数为4. …………12分
19、解:(1)证明:如右图,过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ,则由平面A 1BC ⊥
侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC
侧面A 1ABB 1=A 1B ,得AD ⊥平面A 1BC ,又BC
平面
A 1BC , 所以AD ⊥BC ,因为三棱柱ABC ―A 1
B 1
C 1是直三棱柱,则AA 1⊥底面ABC ,所
以AA 1⊥BC 。又AA 1AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1,AB
侧面A 1ABB 1,故
AB ⊥BC 。…………6分
(2)(Ⅱ)解法1:连接CD ,则由(Ⅰ)知
是直线AC 与平面A 1BC 所成的角,
取1A C 的中点E ,连,AE DE ,1A A AC =,1A A BC ⊥,1AE A C ∴⊥,
又1AD A C ⊥,1A C ∴⊥平面ADE ,1A C ED ∴⊥, AED ∴∠是二面角1B A C
A
--的平面角。即A C D A E D θ?∠=∠=,,sin AD AC θ∴=
,sin AD
AE
?=,122A A AC BC ===
,7
AD ∴=
,AE =
sin sin θ?∴?=
=
.…………12分 解法2:由(1)知,以B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标,
则(0,0,0),(1,0,0)A B C
,1A ,
于是(1,AC =,(1,0,0)BC =
,1(2)CA =-,
设平面1A BC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =,平面1AA C
的一个法向量为2222(,,)n x y z =,
由111111100200x n BC x z n CA ??=?=???
?-+=??=???,得,
取13(0,)2n =-
,由2222222100
200
n AC x x z n CA ???==????
-+=?=????,得
,取2n =
11||sin 721||||
n AC n AC θ?∴=
=
=?,1212
cos 721
||||
n n n n
??===? sin ?∴=
sin sin θ?∴?= …………12分
22(10)(10)()121100100m m m m
E ξ-+-?=?+?=(定值)……5分
2(10)(10)(5)25
()10010050
m m m m m D ξ----+=+=,
*1919m m N m m ≤≤∈==,,当或时,D ξ最小,最小值为
9
50
.……8分 (2)221022
99(10)(9)(1)()()7272
m
m C C m m m m P E P F C C ----====, ()()P E P F =,(10)(9)(1)
7272
m m m m ---∴
=,5m ∴=.…………12分
21、解:(1)如图设(,)M x y ,00(,)p x y ,则由||||(01)DM m PD m =<<可得
0x x =,0||||y m y =,即001
||||
x x y y m ?=?
?=??
又220
4x y +=,22
2
1(01)44x y m m ∴
+=<<,即为曲线C 的方程。……6分 (2
)设(,0):)2
C F c l y x c =-=
+,
由22
2
222144(21)24120)x y m m x cx m y x c ?+=??+++-=??=+??,得……8分 设11211222(,),(,)21c A x y B x y x x m ∴+=-+,,2
122
412.21
m x x m -=+
12122)y y x x c ∴+=
++, ……9分 1212()(,)OP OA OB x x y y =-+=-++
22(21c m =+,即P
点坐标为22(21c m + 将P 点代入222144x y m +=
,得2
m =(负舍去) ∴
存在当2
m =
时,P 点在曲线C 上 .…………13分 22、解:(1)2
()ln(1)f x x x =++,设2
()()l n (1)
g x x f x x
x x =-=
--+,
212()1211
x x
g x x x x --'=--=++
∴当(0,)x ∈+∞时,()0g x '<,即()
(0,)g x +∞在上单调递减又(0)0g =,()(0,)g x ∴+∞在上恒有()(0)0g x g <=,即2ln(1)x x x <++恒成立 ……5分
(2)令1x n =,*
n N ∈,则有2111ln(1)n n n -<+,20142014211
111()ln(1)n n n n n n n ====∴-<+∑∑
22111n n n n --=,222
12
2013
ln 201523
2014
∴+++
<. ……9分 (3)
sin [0,1]y x =在上单调递增,
11001
1101
1
sin
[(sin sin sin
)]sin (cos )|n
i i n n n xdx n x n n n n
n
=--∴=+++<=-∑? (1cos1)n =- …………………………12分
又1
[0,1]1y x
=
+在上单调递减, 1
01
111
111
11
[()]12121111111n
i n n n dx n n
i n n x
n n n n n
n
=∴=++
+=++
+
<++++++++∑?
10ln(1)|ln 2n x n =+=
1
1(sin
)(1cos1ln 2)n
i i n
n n i n
=-+<-++∑ ……………………14分