六年级上册第四单元《比》基础知识点汇总、参考重点题型与解题思路总结

第四单元《比》基础知识点与解题思路

一、比的意义

1、比：两个数相除又叫做两个数的比。

2、比的结构：在两个数的比中，比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示最简比：比的前项和后项只有公因数1，这样的比称为最简整数比。

3、比可以表示两个同类数量之间的倍数关系：比如一个长方形长和宽的比是15：10；

也可以表示两个不同类数量之间的相除关系，得到一个新的量：比如路程÷时间=速度。

4、求比值：

前项除以后项所得的商叫做比值，所以用比的前项除以后项即可求得比值（单位不统一时需要先统一单位再计算）。

比值是一个具体的数，通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。 比值是否带单位：同类数量的比仅表示数量之间的倍数关系，其比值不带单位；

不同类数量的比，其比值是一个新的数量，通常带一个复合单位（如速度）。

5、比与比值的关系：二者在写法上可能相同（都可以用分数表示），但比表示两个数量之间的相除关系；比值则是一个具体的数字。

6、比、除法与分数之间的联系：a:b=a÷b=b a

（b≠0）

区别：（1）意义不同：比表示两个数量之间的相除关系；除法是一种运算；分数是一个数；

（2）表示方法不同：除法是一种运算，只能用算式表示；比和分数都可以用分数的形式表示，但是分数并不一定表示两个数量的比。

（3）、结果不同：除法的计算结果是一个商，这个商可以是整数、小数或分数；比只有当要求比值的时候，才需要用除法计算，比值可以用整数、小数或分数表示；而分数就是一个数，不需要计算。

7、为什么比的后项不能为0：在除法中，除数不能为0；在分数中，分母不能为0；而比的后项就相当于除法中的除数、分数中的分母，所以比的后项也不能为0。

8、求比中的未知项：

在除法中，被除数÷除数=商，这3个数量只要知道其中任意2个量，就能求出另一个量，除数=被除数÷商；被除数=商×除数。 比和除法本质上相通的，也就是说，比的前项、后项以及比值中的任意两个量，就能求出

另一个量。前项==后项×比值；后项=前项÷比值；比值=前项÷后项。

9、体育比赛中的比分，与数学的中比有什么区别？

体育比赛中的比表示的仅仅是比赛双方的得分情况，比如3：2、11：9等等，也就可以是2：

0、0：3甚至是0：0，这个得分的比表示的不是两个数的相除关系，而是双方得分的相差关系，比号的前后和后面都可以是0。

而数学中的比表示的是两个数相除的关系，其后项是不能等于0的。比可以计算出相除的

结果（也就是比值），也可以进行化简，如3：6=1：2。但是比赛得分就不能除法计算，也不能化简。

二、比的基本性质与化简比

1、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

根据比与除法、分数之间的关系，可以类比一下比的基本性质、除法中的商不变性质、分数的基本性质。

商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。

2、化简比：利用比的基本性质，把比化简成最简整数比。（最简整数比：比的前项和后项都是整数，且只有公因数1，也就是比的前项和后项互质）

3、化简比的方法总结：

整数比化简：前项和后项同时除以他们的最大公因数；

分数比化简：前项和后项同时乘以分母的最小公倍数，使其变成整数比，再按整数比的方法化简；

小数比化简：前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，使其变成整数比，再按整数比的方法化简； 小数和分数混合的比：可以先把小数化成分数，使其变成分数比，再按分数比的方法化简；

也可以是先把分数化成小数，使其变成小数比，再按小数比的方法化简。

4、利用比的基本性质解题。

（1）常考：把5：12的前项加上5，要使其比值不变，后项应该加上多少？

解析：误区提示;比的基本性质是比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。如果把比的比的前项和后项同时加上或者减去相同的数（0除外），并不能保证比值不变，所以后项不能和前项一样加上5。

正确思路：前项加上5，5+5=10，相当于前项乘以2，要使其比值不变，后项也要乘以2，12×2=24，5：12=10：24。但是题目问的时候后项应该加上多少，所以24-12=12，后项应该加上12。

（2）利用比的基本性质化连比。

例、已知甲数：乙数=3：10，乙数：丙数=4：9，请问甲乙丙三个数的比是多少？

解析：甲数：乙数=3：10，乙数：丙数=4：9，可以发现甲乙的比中乙数占10份，而乙丙的比中乙数占4份，同一个数在不同的比中的份数不一样，是因为每一份的量不统一。那么咱们可以抓住乙数这个中间量来统一每份数。

具体方法就是找到中间量的最小公倍数，4和10的最小公倍数是20，根据比的基本性质，甲数：乙数=3：10=6：20；乙数：丙数=4：9=20：45。这样一来乙数在两个比中所占的份数都是20份，那么两个比中的每一份的量就是相同的，可以写成连比，甲：乙：丙=6：20：45。

三、比的应用题：按比分配的2种解题思路与3种常考题型

1、按比分配应用题的2种解题思路

例1：学校购进360本新书，按照3：4：5的比分配给四、五、六年级，请问每个年级分别分到多少本？

思路一：平均分法。总数是360本，按照3：4：5的比分配，四、五、六年级分别得到3份、4份、5份。也就是说把这批书平均分成了3+4+5=12份，可求得每一份是360÷12=30本。所以四年级分得3×30=90本、五年级分得4×30=120本、六年级分得5×30=150本.

思路二：转化法，把按比分配问题转化成分数应用题。按照3：4：5的比分配给四、五、六年级，说明四年级分得总数的5433++，五年级分得总数的5434++，六年级分得总数的5435++。这道题也就转化成“求360的几分之几是多少”，也就是分数乘法问题来解决。

四年级分得360×

5433++=90本，五年级分得360×5434++=120本、六年级分得360×5435++=150

本。

总结：（1）平均分法（归一法）：把比的各项之和看作平均分的总份数，用总数÷份数=每一份量，再看要求的量占几份来解答即可；【步骤：求出总份数——求出每一份是多少——求出各部分对应的具体数量】

（2）转化成分数应用题解答：先求出比的各项之和，再分析各部分数量占总数的几分之几，然后用分数乘法解题。【步骤：求出总份数——求出各部分数量分别占总数的几分之几——分数乘法求解】

2、按比分配应用题的3种基础题型：

题型一：已知两个（多个）数量的总和以及两个（多个）数量之间的比，求这两个（多个）数量。

例2、水是由氢和氧按照1：8的质量比化合而成的，那么6.3千克的水中含氢和氧各多少千克？解析：这类题型是按比分配问题中最基础、最简单的题型，解题方法与例1完全相同。平均分法：总份数是1+8=9份，每一份是6.3÷9=0.7千克。

氢有0.7×1=0.7千克；氧有0.7×8=5.6千克。

转化法：总份数是1+8=9份，氢占总数的91，氧占总数的98。

氢有6.3×91=0.7千克，氧有6.3×98=5.6千克。

【练习题】1、赵老师用60cm 长的铁丝围成一个长方形教具（铁丝无剩余），长和宽的比是3：

2。长方形教具的长和宽是多少？面积是多少？

题型二：已知两个（多个）数量的比，以及其中一个数量是多少，求另一个（另几个）数量。例3：小明读一本故事书，已读页数和未读页数的比是3：5，他已经读完21页，还有多少页没有读？

解析：这类题型解答步骤是先根据已知的一个数量，求出每一份是多少，然后再求另一个数量。平均分法：已读：未读=3：5，已读21页，说明每一份是21÷3=7页。

那么未读页数是7×5=35页。这本书的总页数是7×（3+5）=56页。

转化法：已读21页，占总页数的533+，未读占总页数的535+。

全书是21÷533+=56页；未读页数是56×535+=35页。

【练习】2、学校卫生室要配制一种消毒药水，药液与水的质量比是3：17，如果有45克药液，配制这种药水需要多少克的水？配制成的药水质量是多少？

题型三：已知两个（几个）数量的比，以及其中两个数量的差，求这几个数量分别是多少。例4、小华和爷爷的年龄之比是1：6，已知小华比爷爷小50岁。小华和爷爷的年龄各是多少岁？解析：这类题型使用份数法非常简单，两个量的差÷两个量对应的份数差=一份量；一份量×份数=对应的数量。

平均分法：小华和爷爷的年龄之比是1：6，可以看作小华的年龄比爷爷的年龄小6-1=5份，正好小50岁，也就是一份是50÷5=10岁。则小华是10×1=10岁，爷爷是10×6=60岁。

转化法：把小华和爷爷的年龄分别看成1份和6份，那么小华比爷爷小5份，也就是小华年龄比爷爷小65，正好小50岁，也就可以求出爷爷的年龄50÷65=60岁，小华是60-50=10岁。

【练习】3、甲乙两数的比是5：3，甲数比乙数大16，甲乙两数分别是多少？