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高考数学 专题06 三角恒等变换与解三角形热点难点突破 理

高考数学 专题06 三角恒等变换与解三角形热点难点突破 理
高考数学 专题06 三角恒等变换与解三角形热点难点突破 理

专题06 三角恒等变换与解三角形(热点难点突破)

1.函数f (x )=sin(2x +φ)? ????|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称,则函数f (x )在??????0,π2上的最小值为( ) A .-

32 B .-1

2

C.12

D.32 【答案】A

【解析】函数f (x )=sin(2x +φ)向左平移π6个单位得y =sin ??????2? ????x +π6+φ=sin ? ????2x +π3+φ,又其

为奇函数,故π3+φ=k π,π∈Z ,解得φ=k π-π3,又|φ|<π2,令k =0,得φ=-π

3,

∴f (x )=sin ?

????2x -π3.

又∵x ∈?

?????0,π2, ∴2x -π3∈??????-π3,23π,∴sin ? ????2x -π3∈??????-32,1,

当x =0时,f (x )min =-

3

2

,故选A. 2.已知函数f (x )=sin x -cos x ,且f ′(x )=1

2f (x ),则tan 2x 的值是( )

A .-23

B .-43 C.4

3

D.3

4

【答案】D

【解析】因为f ′(x )=cos x +sin x =12sin x -12cos x ,所以tan x =-3,所以tan 2x =2tan x 1-tan 2x =

-61-9=3

4

,故选D. 3.已知函数f (x )=sin ? ????2x +π4,则下列结论中正确的是( ) A .函数f (x )的最小正周期为2π

B .函数f (x )的图象关于点? ??

??π4,0对称 C .由函数f (x )的图象向右平移π

8个单位长度可以得到函数y =sin 2x 的图象

D .函数f (x )在? ??

??π8,5π8上单调递增

【答案】C

【解析】函数f (x )=sin ? ????2x +π4的图象向右平移π8个单位长度得到函数y =sin2x -π8+π4=sin 2x 的图象,故选C.

4.函数f (x )=2sin(ωx +φ)? ????ω>0,|φ|<π2的部分图象如图1-6所示,则f (0)+f ? ??

??17π12的值为( )

图1-6

A .2- 3

B .2+ 3

C .1-

32 D .1+3

2

【答案】A

5.设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为( )

A .[-1,1]

B .[-1,2]

C .[-2,1]

D .[1,2] 【答案】A

【解析】由sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=1,α,β∈[0,π],得α-β=π

2,β=α

π2∈[0,π]?α∈??????π2,π,且sin(2α-β)+sin(α-2β)=sin ?

????α+π2+sin(π-α)=cos α+sin α=2sin ? ????α+π4,α∈??????π2,π?α+π4∈??????3π4,5π4?sin ? ????α+π4∈??????-22,22?2

sin ?

????α+π4∈[-1,1],故选A.

6.已知函数y =log a (x -1)+3(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,若角α的顶点与原点重合,始边与x

轴的正半轴重合,终边经过点P ,则sin 2

α-sin 2α的值为( ) A.5

13

B .-5

13

C.313 D .-313

【答案】D

【解析】根据已知可得点P 的坐标为(2,3),根据三角函数定义,可得sin α=

3

13,cos α=2

13

,所以sin 2α-sin 2α=sin 2

α-2sin αcos α=?

????3132

-23

3133213

=-313. 7.将函数f (x )=sin(2x +φ)?

????|φ|<π2的图象向右平移π12个单位,所得到的图象关于y 轴对称,则函数

f (x )在?

???

??

0,π2

上的最小值为( )

A.

32 B .12 C .-12 D .-32

【答案】D

8.已知函数f (x )=a sin x -b cos x (a ,b 为常数,a ≠0,x ∈R)在x =π4处取得最大值,则函数y =f ? ????x +π4是( )

A .奇函数且它的图象关于点(π,0)对称

B .偶函数且它的图象关于点? ???

?3π2,0对称

C .奇函数且它的图象关于点?

??

?

?3π2,0对称

D .偶函数且它的图象关于点(π,0)对称 【答案】B

【解析】由题意可知f ′? ??

??π4=0, 即a cos π4+b sin π

4

=0,∴a +b =0,

∴f (x )=a (sin x +cos x )=2a sin ?

????x +π4.

∴f ? ????x +π4=2a sin ?

????x +π2=2a cos x .

易知f ? ????x +π4是偶函数且图象关于点? ??

??3π2,0对称,故选B. 9.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图1-9所示,且f (α)=1,α∈? ????0,π3,则cos ?

????2α+5π6=( )

图1-9

A .±223

B .22

3

C .-223 D.1

3

【答案】C

【解析】由图易得A =3,函数f (x )的最小正周期T =

2πω=43? ??

??7π12-π3,解得ω=2,所以f (x )=3sin(2x

+φ).又因为点? ????π3,-3在函数图象上,所以f ? ????π3=3sin ? ??

??23π3+φ=-3,解得23π3+φ=32π+2k π,

k ∈Z ,解得φ=

5π6+2k π,k ∈Z.又因为0<φ<π,所以φ=5π6,则f (x )=3sin ? ????2x +5π6,当α∈?

????0,π3时,2α+5π6∈? ????5π6,3π2.又因为f (α)=3sin ? ????2α+5π6=1,所以sin ? ????2α+5π6=13>0,所以2α+5π6∈?

????5π6,π,则cos ? ????2α+5π6=-

1-sin 2?

????2α+5π6=-223,故选C.

10.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b

3cos B

a

sin A

,则cos B =( ) A .-12 B.1

2

C .-

32

D.32

【答案】B

【解析】由正弦定理,得b 3cos B =

a sin A =b

sin B

,即sin B =3cos B ,∴tan B = 3.又0

π3,cos B =12

.

11.在△A BC 中,内角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,若b sin A -3a cos B =0,且b 2

=ac ,则a +c b

的值为( ) A.2

2

B. 2 C .2 D .4

【答案】C

12.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若c 2=(a -b )2

+6,C =π3,则△ABC 的面积是( )

A .3

B .93

2

C.

33

2

D .3 3 【答案】C

【解析】∵c 2

=(a -b )2

+6,∴c 2

=a 2

+b 2

-2ab +6.① ∵C =π3,∴c 2=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2

-ab .②

由①②得-ab +6=0,即ab =6, ∴S △ABC =12ab sin C =1236332=332

.

13.在△ABC 中,c =3,b =1,∠B =π

6,则△ABC 的形状为( )

A .等腰直角三角形

B .直角三角形

C .等边三角形

D .等腰三角形或直角三角形 【答案】D

【解析】根据余弦定理有1=a 2

+3-3a ,解得a =1或a =2,当a =1时,三角形ABC 为等腰三角形,当a =2时,三角形ABC 为直角三角形,故选D.

14.如图2-1,在△ABC 中,C =π

3,BC =4,点D 在边AC 上,AD =DB ,DE ⊥AB ,E 为垂足.若DE =22,则

cos A =( )

图2-1 A.223 B.2

4 C.

64 D.63

【答案】C

【解析】∵DE =22,∴BD =AD =DE sin A =22sin A .∵∠BDC =2∠A ,在△BCD 中,由正弦定理得BC sin ∠BDC =BD sin C

4sin 2A =22sin A 323=423sin A

,∴cos A =6

4,故选C. 15.设角A ,B , C 是△ABC 的三个内角,则“A +B

D .既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】由A +B +C =π,A +B π

2,故三角形ABC 为钝角三角形,反之不一定成立.故选A.

16.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若三边的长为连续的三个正整数,且A >B >C,3b =20a cos

A ,则sin A ∶sin

B ∶sin

C =( )

A .4∶3∶2

B .5∶6∶7

C .5∶4∶3

D .6∶5∶4 【答案】D

【解析】∵A >B >C ,∴a >b >c . 又∵a ,b ,c 为连续的三个正整数,

∴设a =n +1,b =n ,c =n -1(n ≥2,n ∈N *

). ∵3b =20a cos A ,∴3b

20a

=cos A ,

∴3b 20a =b 2+c 2-a 2

2bc

, 3n 20 n +1 =n 2

+ n -1 2

- n +1

2

2n n -1 ,

3n 20 n +1 =n n -4

2n n -1

化简得7n 2

-27n -40=0,(n -5)(7n +8)=0, ∴n =5? ????n =-87舍. 又∵a sin A =b sin B =c

sin C

∴sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =6∶5∶4. 故选D

17.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且满足c sin A =3a cos C ,则sin A +sin B 的最大值是( ) A .1 B . 2 C .3 D. 3 【答案】D

18.已知在△ABC 中,B =2A ,∠ACB 的平分线CD 把三角形分成面积比为4∶3的两部分,则cos A =__________. 【答案】23

【解析】由题意可知S △ACD ∶S △BCD =4∶3,

∴AD ∶DB =4∶3,AC ∶BC =4∶3,在△ABC 中,由正弦定理得 sin B =4

3

sin A ,

又B =2A ,∴sin 2A =43sin A ,∴cos A =2

3

.

19.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若∠B =∠C ,且7a 2

+b 2

+c 2

=43,则△ABC 面积的最大值为__________. 【答案】

5

5

【解析】法一:由∠B =∠C 得b =c ,代入7a 2

+b 2

+c 2

=43,得7a 2

+2b 2

=43,则2b 2

=43-7a 2

,由余

弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =a 2b ,所以sin C =1-cos 2

C =4b 2-a 22b =83-15a 2

2b

,则△ABC 的面积为S

=12ab sin C =1

2

ab 383-15a 2

2b =

1

4

a 2 83-15a 2 =

1415

15a 2 83-15a 2

1415

315a 2

+ 83-15a 2

2=1415343=55,当且仅当a 2

=8330时取等号,则△ABC 的面积的最大值为55.

法二:由∠B =∠C 得b =c ,所以7a 2

+b 2

+c 2

=43,即为7a 2

+2c 2

=43,则△ABC 面积为1

2

a

c 2

-a 2

4

1

415

15a 2 4c 2-a 2

≤1415

3832=55,所以最大值为55.

20.如图2-3,△ABC 中,AB =4,BC =2,∠ABC =∠D =60°,若△ADC 是锐角三角形,则DA +DC 的取值范围是__________.

图2-3

【答案】(6,43]

【解析】在△ABC 中,由余弦定理得AC 2

=AB 2

+BC 2

-2AB 2BC cos ∠ABC =12,即AC =2 3.设∠ACD =θ(30°<θ<90°),则在△ADC 中,由正弦定理得23sin 60°=DA sin θ=DC

sin 120°-θ ,则DA +DC =4[sin

θ+sin(120°-θ)]=4??????

32sin θ+32cos θ=43sin(θ+30°),而60°<θ+30°<120°,43sin

60°

21.已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0)在? ????π2,π上单调递减,则ω的取值范围是________. 【答案】????

??12,54

【解析】f (x )=sin ωx +cos ωx =2sin ωx +π4,令2k π+π2≤ωx +π4≤2k π+3π2(k ∈Z),解得

2k π

ω+

π4ω≤x ≤2k πω+5π

(k ∈Z). 由题意,函数f (x )在? ????π2,π上单调递减,故? ??

??π2

,π

为函数单调递减区间的一个子区间,故有

?????

2k πω+π4ω≤π

2,2k πω+5π4ω≥π,

解得4k +12≤ω≤2k +5

4(k ∈Z).

由4k +12<2k +54,解得k <3

8.

由ω>0,可知k ≥0,

因为k ∈Z ,所以k =0,故ω的取值范围为????

??12,54.

22.设函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0).若f (x )在区间??????π6,π2上具有单调性,且f ? ????π2=f ? ????2π3=-f ? ??

??π6,则f (x )的最小正周期为________. 【答案】π

【解析】∵f (x )在????

??π6,π2上具有单调性,

∴T 2≥π2-π6,∴T ≥2π3

. ∵f ? ????π2=f ? ??

??2π3, ∴f (x )的一条对称轴为x =π2+2π32=7π

12

.

又∵f ? ????π2=-f ? ??

??π6,

∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2+

π

62=π

3,

∴14T =7π12-π3=π

4

,∴T =π.

23.已知tan α=2,则sin 2

? ??

?

?π2+α-sin(3π+α)cos(2π-α)=________.

【答案】3

5

【解析】∵tan α=2, ∴sin 2

?

??

??π2+α-sin(3π+α)cos(2π-α)

=cos 2α+sin αcos α =cos 2

α+sin αcos αsin 2α+cos 2

α =1+tan α

tan 2

α+1 =

1+2

4+1

=35

. 24.已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图1-7所示,△EFG (点G 在图象的最高点)是边长为2的等边三角形,则f (1)=________.

图1-7

【答案】- 3

25.设函数f (x )=2cos 2

x +sin 2x +a (a ∈R). (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间;

(2)当x ∈?

?????0,π6时,f (x )的最大值为2,求a 的值,并求出y =f (x )(x ∈R)的对称轴方程.

【解析】(1)f (x )=2cos 2

x +sin 2x +a =1+cos 2x +sin 2x +a =2sin ? ????2x +π4+1+a ,2分

则f (x )的最小正周期T =2π

2

=π,3分

且当2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2(k ∈Z)时,f (x )单调递增,即k π-38π≤x ≤k π+π

8(k ∈Z).

所以??????k π-3π8,k π+π8(k ∈Z)为f (x )的单调递增区间.5分 (2)当x ∈??????0,π6时?π4≤2x +π4≤7π12,7分 当2x +π4=π2,即x =π8时,sin ? ????2x +π4=1.

所以f (x )max =2+1+a =2?a =1- 2.10分

由2x +π4=k π+π2得x =k π2+π8(k ∈Z),故y =f (x )的对称轴方程为x =k π2+π

8

,k ∈Z.12分

26.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)x ∈R ,A >0,ω>0,0<φ<π

2的部分图象如图1-8所示,P 是图象的

最高点,Q 为图象与x 轴的交点,O 为坐标原点.若OQ =4,OP =5,PQ =13.

图1-8

(1)求函数y =f (x )的解析式;

(2)将函数y =f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y =g (x )的图象,当x ∈(-1,2)时,求函数h (x )=

f (x )2

g (x )的值域.

【解析】(1)由条件知cos ∠POQ =42

+ 5 2

- 13 2

23435=5

5.2分

又cos ∠POQ =

x P

5

,∴x P =1,∴y P =2,∴P (1,2).3分

由此可得振幅A =2,周期T =43(4-1)=12,又2πω=12,则ω=π

6

.4分

将点P (1,2)代入f (x )=2sin ? ??

??π6x +φ,

得sin ?

??

??π6+φ=1.

∵0<φ<π2,∴φ=π3,于是f (x )=2sin ? ????π

6x +π3.6分

(2)由题意可得g (x )=2sin ??????π

6 x -2 +π3=2sin π6x .7分

∴h (x )=f (x )2g (x )=4sin ? ????π

6

x +π32sin π6x

=2sin

2

π6x +23sin π6x 2cos π6

x =1-cos π3x +3sin π3x =1+2sin ? ????π

3x -π6.9分

当x ∈(-1,2)时,π3x -π6∈? ????

-π2,π2,10分

∴sin ? ????π

3x -π6∈(-1,1),

即1+2sin ?

??

??π3x -π6∈(-1,3),于是函数h (x )的值域为(-1,3).12分

27.已知函数f (x )=23sin x cos x -sin 2

x +12cos 2x +12

,x ∈R.

(1)求函数f (x )在????

??-π4,π2上的最值;

(2)若将函数f (x )的图象向右平移π

4个单位,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,

得到g (x )的图象.已知g (α)=-65,α∈? ????4π3,11π6,求cos ? ??

??α2-π6的值.

(2)若将函数f (x )的图象向右平移π

4

个单位,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,

得到g (x )=2sin ?

????x -π3.7分

由g (α)=2sin ? ????α-π3=-65,得sin ? ????α-π3 =-3

5.8分

4π3<α<11π6,∴π<α-π3<3π2

∴cos ? ????α-π3=-45.10分 ∵

π2<α2-π6<3π

4

,11分 ∴cos ? ??

??α2-π6=-1+cos ?

????α-π32

=-

1-452

=-

10

10

.12分 28.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,2 b sin B =(2a +c )sin A +(2c +a )sin C . (1)求B 的大小;

(2)若b =3,A =π

4

,求△ABC 的面积.

【解析】(1)∵2b sin B =(2a +c )sin A +(2c +a )sin C . 由正弦定理得2b 2

=(2a +c )a +(2c +a )c ,1分 化简得a 2

+c 2

-b 2+ac =0,2分

∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =-ac 2ac =-1

2

.4分

∵0

3

.5分

(2)∵A =π4,∴C =π-π4-2π3=π3-π

4

,6分

∴sin C =sin ? ????π3-π4=sin π3cos π4-cos π3sin π4=6-24.8分

由正弦定理得c sin C =b

sin B

,9分

∵b =3,B =2π3,∴c =b sin C sin B =6-2

2

,10分

∴△ABC 的面积S =12bc sin A =123336-223sin π4=3-3

4

.12分

29.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos B -2cos A 2a -b =cos C

c .

(1)求a

b

的值;

(2)若角A 是钝角,且c =3,求b 的取值范围.

【解析】(1)由题意及正弦定理得sin C cos B -2sin C cos A =2sin A cos C -sin B cos C ,1分 ∴sin C cos B +sin B cos C =2(sin C cos A +sin A cos C ), ∴sin(B +C )=2sin(A +C ).3分 ∵A +B +C =π,4分

∴sin A =2sin B ,∴a b

=2.5分

(2)由余弦定理得cos A =b 2+9-a 22b 23=b 2+9-4b 26b =9-3b 2

6b

<0,

∴b > 3.①8分

∵b +c >a ,即b +3>2b ,∴b <3,②10分 由①②得b 的取值范围是(3,3).12分

30.已知a ,b ,c 为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边,满足sin B +sin C sin A =2-cos B -cos C

cos A

,函数f (x )=sin

ωx (ω>0)在区间??????0,π3上单调递增,在区间????

??π3,π上单调递减.

(1)证明:b +c =2a ;

(2)若f ? ??

??π9=cos A ,证明:△ABC 为等边三角形.

(2)由题意知,2πω=4π3,解得ω=3

2,7分

∵f ? ????π9=sin π6=12=cos A ,A ∈(0,π), ∴A =π

3

,8分

由余弦定理知,cos A =b 2+c 2-a 22bc =1

2

∴b 2

+c 2

-a 2

=bc .∵b +c =2a , ∴b 2

+c 2

-?

??

??b +c 22=bc ,

即b 2

+c 2

-2bc =0,∴b =c .10分

又A =π

3

,∴△ABC 为等边三角形.12分

31.已知函数f (x )=(a +2cos 2

x )cos(2x +θ)为奇函数,且f ? ??

??π4=0,其中a ∈R ,θ∈(0,π).

(1)求a ,θ的值;

(2)若f ? ????α4=-25,α∈? ????π2,π,求sin ?

????α+π3的值. 解:(1)因为f (x )=(a +2cos 2

x )cos(2x +θ)是奇函数,而y 1=a +2cos 2

x 为偶函数,所以y 2=cos(2x +θ)为奇函数,由θ∈(0,π),得θ=π2

,所以f (x )=-sin 2x 2(a +2cos 2

x ),

由f ? ??

??π4=0得-(a +1)=0,即a =-1. (2)由(1)得f (x )=-12sin 4x ,因为f ? ????α4=-12sin α=-25, 即sin α=45,又α∈? ????π2,π,从而cos α=-35,

所以sin ? ????α+π3=sin αcos π3+cos αsin π3 =45312+? ????-35332=4-33

10

. 32.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a -c =6

6

b ,sin B =6sin C . (1)求cos A 的值; (2)求cos ?

????2A -π6的值.

解:(1)在△ABC 中,由b sin B =c

sin C ,及

sin B =6sin C ,可得b =6c . 由a -c =

6

6

b ,得a =2

c . 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =6c 2+c 2-4c 226c

2

=6

4. (2)在△ABC 中,由cos A =

64,可得sin A =10

4

. 于是cos 2A =2cos 2

A -1=-14,sin 2A =2sin A 2cos A =154.

所以cos ?

????2A -π6=cos 2A 2cos π6+sin 2A 2sin π6=15-38.

33.如图所示,在四边形ABCD 中,∠D =2∠B ,且AD =1, CD =3,cos B =

33

.

(1)求△ACD 的面积; (2)若BC =23,求AB 的长. 解:(1)因为∠D =2∠B ,cos B =

33

, 所以cos D =cos 2B =2cos 2

B -1=-13.

因为D ∈(0,π), 所以sin D =1-cos 2

D =22

3

. 因为AD =1,CD =3,

所以△ACD 的面积S =12AD 2CD 2sin D =123133322

3= 2.

(2)在△ACD 中,AC 2

=AD 2

+DC 2

-2AD 2DC 2cos D =12, 所以AC =2 3.

因为BC =23,AC sin B =AB

sin∠ACB

, 所以23sin B =AB sin π-2B =AB sin 2B =AB 2sin B cos B =AB 23

3sin B ,

所以AB =4.

解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题,带答案 1. (宁夏17)(本小题满分12分) 如图,ACD △是等边三角形,ABC △是等腰直角三角形, 90ACB =∠,BD 交AC 于E ,2AB =. (Ⅰ)求cos CAE ∠的值; (Ⅱ)求AE . 解:(Ⅰ)因为9060150BCD =+=∠, CB AC CD ==, 所以15CBE =∠. 所以6cos cos(4530)4 CBE =-=∠. ···················································· 6分 (Ⅱ)在ABE △中,2AB =, 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+. 故2sin 30 cos15 AE = 12 4 ? = =. 12分 2. (江苏17)(14分) 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ,BC=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO 、BO 、OP ,设排污管道的总长为ykm 。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad ),将y 表示成θ的函数关系式; ②设OP=x (km ),将y 表示成x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。 【解析】:本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识,考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 (1)①由条件知PQ 垂直平分AB ,若∠BAO=θ(rad ),则 cos cos OA BAO θ = =∠, 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-,所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++-B A C D E B

专题1-2解三角形重难点、易错点突破(含答案)

专题1-2 解三角形重难点、易错点突破 (建议用时:60分钟) 三角形定“形”记 根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题.解答此类问题,一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系,再进一步判断三角形的形状,这种转化一般有两个通道,即化角为边或化边为角.下面例析这两个通道的应用. 1.通过角之间的关系定“形” 例1 在△ABC 中,已知2sin A cos B =sin C ,那么△ABC 一定是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 2.通过边之间的关系定“形” 例2 在△ABC 中,若sin A +sin C sin B =b +c a ,则△ABC 是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰三角形或直角三角形 细说三角形中解的个数 解三角形时,处理“已知两边及其一边的对角,求第三边和其他两角”问题需判断解的个数,这是一个比较棘手的问题.下面对这一问题进行深入探讨. 1.出现问题的根源 我们作图来直观地观察一下.不妨设已知△ABC 的两边a ,b 和角A ,作图步骤如下:①先做出已知角A ,

把未知边c 画为水平的,角A 的另一条边为已知边b ;②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心,边a 为半径作圆C ;③观察圆C 与边c 交点的个数,便可得此三角形解的个数. 显然,当A 为锐角时,有如图所示的四种情 况: 当A 为钝角或直角时,有如图所示的两种情况: 根据上面的分析可知,由于a ,b 长度关系的不同,导致了问题有不同个数的解.若A 为锐角,只有当 a 不小于 b sin A 时才有解,随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的.当A 为钝角时,只有当a 大于b 时才有解. 2.解决问题的策略 (1)正弦定理法 已知△ABC 的两边a ,b 和角A ,求B . 根据正弦定理a sin A =b sin B ,可得sin B = b sin A a . 若sin B >1,三角形无解;若sin B =1,三角形有且只有一解;若0

(完整版)解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角

2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做

2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做 例题一:在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知(),2a c b =-m ,()cos ,cos C A =n ,且⊥m n . (1)求角A 的大小; (2)若5b c +=,ABC △a . 例题二:如图,在ABC △中,π 4A ∠=,4AB =,BC =点D 在AC 边上,且1cos 3 ADB ∠=-. (1)求BD 的长; (2)求BCD △的面积. 例题三: ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知()2cos cos 0a c B b A ++=.

(1)求B ; (2)若3b =,ABC △的周长为3+ABC △的面积. 例题四:已知函数()22 cos cos sin f x x x x x =+-. (1)求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间; (2)已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若()1f C =,2c =,()sin sin 2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.

例题一:【答案】(1)π3 A =;(2 )a = 【解析】(1)由⊥m n ,可得0?=m n ,即2cos cos cos b A a C c A =+, 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+,即()2sin cos sin B A A C =+, ∵()()sin sin πsin A C B B +=-=,∴2sin cos sin B A B =,即()sin 2cos 10B A -=, ∵0πB <<,∴sin 0B ≠,∴1cos 2 A = , ∵0πA <<,∴π3A =. (2 )由ABC S =△ 1sin 2 ABC S bc A ==△,∴4bc =, 又5b c +=,由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=, ∴a = 例题二:【答案】(1)3;(2 ) 【解析】(1)在ABD △中,∵1cos 3 ADB ∠=-, ∴sin 3ADB ∠=, 由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠, ∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠. (2)∵πADB CDB ∠+∠=, ∴()1cos cos πcos 3 CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=. ∴( )sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠= ,sin CDB ∠= 在BCD △中,由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-??∠, 得21179233 CD CD =+-??,解得4CD =或2CD =-(舍). ∴BCD △ 的面积11sin 3422S BD CD CDB =??∠=??=. 例题三:【答案】(1)2π3 B =;(2 )ABC S =△ 【解析】(1)∵()2cos cos 0a c B b A ++=, ∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=,()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,

解三角形题型总结原创

解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理: 一、 内角和定理及诱导公式: 1.因为A B C π++=, 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-; sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-; sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=,cos sin 22 A B C +=,………… 2.大边对大角 3.在△ABC 中,熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°; (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.

四、面积公式: (1)12a S ah = (2)1()2 S r a b c =++(其中r 为三角形内切圆半径) (3)111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法: (1)已知两角和一边(如已知,,A B 边c ) 解法:根据内角和求出角)(B A C +-=π; 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b (2)已知两边和夹角(如已知C b a ,,) 解法:根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ; 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ; 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. (3)已知三边(如:c b a ,,) 解法:根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ; 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ; 根据内角和定理求角)(B A C +-=π (4)已知两边和其中一边对角(如:A b a ,,)(注意讨论解的情况) 解法1:若只求第三边,用余弦定理:222 2cos c a b ab C =+-; 解法2:若不是只求第三边,先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B (可能出现一解,两解或无解的情况,见题型一); 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π;. 先看一道例题: 例:在ABC ?中,已知0 30,32,6===B c b ,求角C 。(答案:045=C 或0135)

解三角形高考真题(一)

解三角形高考真题(一)

解三角形高考真题(一) 一.选择题(共9小题) 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,a=2,c=,则C=() A.B.C.D. 2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sinB (1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是() A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=,c=2,cosA=,则b=()A.B.C.2 D.3 4.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=() A.1 B.2 C.3 D.4 5.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1﹣sinA),则A=()A. B.C.D. 6.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则

14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b= .15.在△ABC中,∠A=,a=c,则= .16.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC= . 17.在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC= . 18.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b= .19.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m. 20.若锐角△ABC的面积为,且AB=5,AC=8,则BC等于. 21.在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠

高考数学三角函数与解三角形练习题

三角函数与解三角形 一、选择题 (2016·7)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A .()26k x k Z ππ =-∈ B .()26k x k Z ππ =+∈ C .()212 k x k Z ππ =-∈ D .()212 k x k Z ππ =+∈ (2016·9)若3 cos( )45 π α-=,则sin 2α =( ) A . 725 B .15 C .1 5 - D .7 25 - (2014·4)钝角三角形ABC 的面积是12 ,AB =1,BC ,则AC =( ) A .5 B C .2 D .1 (2012·9)已知0>ω,函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减,则ω的取值范围是() A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] (2011·5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos2θ =( ) A .45 - B .35 - C .35 D .45 (2011·11)设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π,且()()f x f x -=, 则( ) A .()f x 在(0,)2π 单调递减 B .()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C .()f x 在(0,)2π 单调递增 D .()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 (2017·14)函数()23sin 4f x x x =- (0,2x π?? ∈???? )的最大值是 . (2016·13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos 4 5 A = ,1cos 53C =,a = 1,则b = . (2014·14)函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. (2013·15)设θ为第二象限角,若1 tan()42 πθ+=,则sin cos θθ+=_________. (2011·16)在△ABC 中,60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题

解三角形专题题型归纳

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??=?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角

高考解三角形大题(30道)69052

专题精选习题----解三角形 1.在ABC ?中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知b a c B C A -= -2cos cos 2cos . (1)求A C sin sin 的值; (2)若2,41 cos ==b B ,求ABC ?的面积S . 2.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知 2sin 1cos sin C C C -=+. (1)求C sin 的值; (2)若8)(422-+=+b a b a ,求边c 的值. 3.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. (1)若A A cos 2)6sin(=+π ,求A 的值; (2)若c b A 3,31 cos ==,求C sin 的值.

4.ABC ?中,D 为边BC 上的一点,5 3cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ,求AD . 5.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知41 cos ,2,1===C b a . (1)求ABC ?的周长; (2)求)cos(C A -的值. 6.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+,且241 b a c =. (1)当1,45 ==b p 时,求c a ,的值; (2)若角B 为锐角,求p 的取值范围.

7.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. (1)求A 的值; (2)求C B sin sin +的最大值. 8.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知 412cos -=C . (1)求C sin 的值; (2)当C A a sin sin 2,2==时,求c b ,的长. 9.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足 3,5522cos =?=A . (1)求ABC ?的面积; (2)若6=+c b ,求a 的值.

高考文科数学真题大全解三角形高考题学生版

高考文科数学真题大全解 三角形高考题学生版 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

8.(2012上海)在ABC ?中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ?的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不能确定 9.(2013天津理)在△ABC 中,∠ABC =π 4 ,AB =2,BC =3,则sin ∠BAC 等于( ) 10.(2013新标2文) △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =2,B = π6,c =π 4 ,则△ABC 的面积为( ) A .23+2 +1 C .23-2 -1 11、(2013新标1文) 已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =( ) (A )10 (B )9 (C )8 (D )5 12.(2013辽宁)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a sin B cos C +c sin B cos A =1 2b ,且a >b ,则∠B =( ) 13.(2013山东文)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若B =2A ,a =1,b =3,则c =( ) A .2 3 B .2 D .1 14.(2013陕西)设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则 △ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 15、(2016年新课标Ⅰ卷文)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =,2c =, 2 cos 3 A = ,则b= (A )2 (B )3 (C )2 (D )3 16、(2016年新课标Ⅲ卷文)在ABC △中,π4B ,BC 边上的高等于1 3 BC ,则sin A (A )3 10 (B )1010 (C )55 (D )31010 17、(2016年高考山东卷文)ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知22,2(1sin )b c a b A ,则A = (A ) 3π4(B )π3(C )π4(D )π6

青岛版-数学-八年级上册-三角形易错点突破和重难点析解

三角形易错点突破和重难点析解 易错点突破 1.运用三角形三边关系性质致误 例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米,另一边长为2厘米,则它的周长为( ). A .10厘米 B .14厘米 C .10厘米或14厘米 D .无法确定 错解:由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底,所以需讨论:①当腰长为6厘米时,底边长为2厘米,则周长为()66214cm ++=;②当腰长为2厘米时,底边长为6厘米,则周长为()62210cm ++=. 故选C. 分析:本题错在没有注意到三角形成立的条件:“三角形的任意两边之和大于第三边”,当腰长为2厘米,底边长为6厘米时,不能构成三角形. 正解:本题只能把6厘米作为腰,2厘米作为底,故三角形的周长为14厘米,故选B. 2.应用判定方法致误 例2 如图3,已知AB=DC ,OA=OD ,∠A=∠D. 问∠1=∠2吗?试说明理由. 错解:∠1=∠2. 理由如下: 在△AOB 和△DOC 中,因为AB=DC ,OA=OD ,∠AOB=∠DOC. 所以△AOB ≌△DOC ,所以∠1=∠2. 分析:不存在“角角角(AAA )”和“边边角(SSA )”的判定方法,即对于一般三角形,“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.” 正解:在△AOB 和△DOC 中,因为AB=DC ,∠A=∠D ,OA=OD. 所以△AOB ≌△DOC (SAS ),所以∠1=∠2. 3.不理解“对应”致误 例3 已知在两个直角三角形中,有一对锐角相等,又有一组边相等,那么这两个三角形是否全等? 错解:这两个三角形全等. 图3 图4

高中数学解三角形题型完整归纳

高中数学解三角形题型目录一.正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二.余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三.三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四.射影定理 五.正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值

(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六.图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六.解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一.正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中,解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A

解三角形(历届高考题)

解三角形(历届高考题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

历届高考中的“解三角形”试题精选(自我测试) 1.(A 等于( ) (A )135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.(2007重庆理)在ABC ?中,,75,45,300===C A AB 则BC =( ) A.33- B.2 C.2 D.33+ 3.(2006山东文、理)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、 c ,A =3 π ,a =3,b =1,则c =( ) (A )1 (B )2 (C )3—1 (D )3 4.(2008福建文)在中,角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若222a c b +-=,则角B 的值为( ) A.6π B.3π C.6π或56π D.3 π 或23π 5.(2005春招上海)在△ABC 中,若 C c B b A a cos cos cos = =,则△ABC 是( ) (A )直角三角形. (B )等边三角形. (C )钝角三角形. (D )等腰直角三角形. 6.(2006全国Ⅰ卷文、理)ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若 a 、 b 、 c 成等比数列,且2c a =,则cos B =( ) A . 14 B .3 4 C .4 D .3 7.(2005北京春招文、理)在ABC ?中,已知C B A sin cos sin 2=,那么ABC ?一定是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 8.(2004全国Ⅳ卷文、理)△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为2 3 ,那么b =( ) A .2 31+ B .31+ C .2 32+ D .32+ 二.填空题: (每小题5分,计30分) 9.(2007重庆文)在△ABC 中,AB =1, B C =2, B =60°,则AC = 。

解三角形(复习课)教学设计

解三角形(专题课)教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》,而在本章中,学生应该在已有的知识基础上,通过对任意三角形的边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系,并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续,通过本章内容的学习,学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形,使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点,如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数,诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用,尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题,可以培养学生的数学应用意识,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能:引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式,会对正余弦定理会进行简单的变形;引导学生通过观察,推导,比较等出一些结论,如射影定理,三角形边角之间的关系;会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法:引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识,观察能力,总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具,将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观:面向全体学生,创造平等的教学氛围,进行高效课堂教学,激情教育,通过学生之间,师生之间的交流与讨论、合作与评价,调动学生的主动性和积极性,让学生体验学习数学的的乐趣,感受成功的喜悦,增强学生学好数学的信心,激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点:正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点:正弦定理、余弦定理的内容及基本应用;正余弦定理的变形应用;用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点,为更好有效地突出重点,攻破难点,以学生的发展为本,遵照学生的认知规律,本节主要以教师为主导,学生为主体,交流讨论,互助学习为主线的指导思想,采用“6+1”高效课堂教学模式,在教师的启发引导下,学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提,以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论

解三角形专题练习【附答案】

解三角形专题(高考题)练习【附答案】 1、在ABC ?中,已知内角3 A π = ,边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域; (2)求y 的最大值. 8、△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且有sin2C+3cos (A+B )=0,.当 13,4==c a ,求△ABC 的面积。 2、已知ABC ?中,1||=AC ,0120=∠ABC , θ=∠BAC , 记→ → ?=BC AB f )(θ, (1)求)(θf 关于θ的表达式; (2)(2)求)(θf 的值域; 3、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.2 1 222ac b c a =-+ (1)求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 4、在ABC ?中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =, 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?,且//m n 。 (I )求锐角B 的大小; (II )如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= (I )求cos B 的值; (II )若2=?,且22=b ,求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中,cos 5A = ,cos 10 B =. (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)设AB =,求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中,A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知向量(1,2sin )m A =u r ,(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 (I )求A 的大小;(II )求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且有sin2C+3cos (A+B )=0,.当 A B C 120° θ

三角函数与解三角形大题部分-高考数学解题方法训练

专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2)

∴当时,,∴. 当时,,∴. 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知中,角所对的边分别是,且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】

【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。(1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2。(勾股定理)(2)锐角之间的关系:A +B =90°;(3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B =c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =b a 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。(1)三角形内角和:A +B +C =π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径)(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2=b 2+c 2-2bc cos A ;b 2=c 2+a 2-2ca cos B ;c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 3.三角形的面积公式: (1)?S = 21ah a =21bh b =21 ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高);(2)?S =21ab sin C =21bc sin A =2 1 ac sin B ; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】

《解三角形》的教学设计

共4页,第1页 高三(15)班《解三角形》的教学设计 高三数学备课组 姜友粮 【教学目标】: 知识与技能目标: 掌握正弦定理、余弦定理,能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的三角形度量问题. 过程与方法目标: 通过例题的分析和学生的自主探究,使学生掌握解决解三角形有关问题的通性通法和学会寻找解决问题的切入口。 情感、态度与价值观目标: 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一,通过三角形中的边长与角度之间的数量关系,来解决一些与测量和几何计算等有关的实际问题,从而加深学生对数学与现实世界和实际生活的联系的认识,培养和发展学生的数学应用意识。 〖教学重点〗边角的转化,正确运用数学语言。 〖教学难点〗应用解三角形知识解决实际问题,灵活运用正弦定理、余弦定理。 【教学设计】: 一、 复习建构本课题知识结构: 1、知识框架与知识点 帮助学生回顾公式,为具体运用公式做好必要的知识铺垫,对知识网络进行梳理,从整体上把握本课题的知识结构。 正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用: 解三角形主要有两种类型:一是解三角形中的边角互化;二是会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。 “熟记”两个定理的变形及推论 (1) 正弦定理变形: a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C ; sin A = a 2R ,sin B = b 2R ,sin C =c 2R ; (2)余弦定理 推论:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 2 2ac , cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 变形:b 2+c 2-a 2=2bc cos A , a 2+c 2- b 2=2a c cos B , a 2+b 2-c 2=2ab cos C .

《解三角形》常见题型总结

《解三角形》常见题型总结 1、1正弦定理和余弦定理 1、1、1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1:利用正弦定理解三角形例1 在ABC中,已知 A:B:C=1:2:3,求a :b :c、 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解: 【解题策略】 要牢记正弦定理极其变形形式,要做到灵活应用。例2在ABC 中,已知c=+,C=30,求a+b的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数,然后再求解。解:∵C=30,c=+,∴由正弦定理得:∴ a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin(150-A)、 ∴a+b=2(+)[sinA+sin(150-A)]=2(+)2sin75cos(75-A)= cos(75-A)① 当75-A=0,即A=75时,a+b取得最大值=8+4;② ∵A=180-(C+B)=150-B,∴A<150,∴0<A<150,∴-75<75-A<75, ∴cos75<cos(75-A)≤1,∴> cos75==+、综合①②可得a+b的

取值范围为(+,8+4>考察点2:利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中,tanB=tanA,判断三角形ABC的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断△ABC的形状。解:由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得:,即,,、∴为等腰三角形或直角三角形。 【解题策略】 “在△ABC中,由得∠A=∠B”是常犯的错误,应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。例4在△ABC 中,如果,并且B为锐角,试判断此三角形的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的形式转化为角的形式,利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。解:、又∵B为锐角,∴B= 45、由由正弦定理,得,∵代入上式得:考察点3:利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中,求证、 【点拨】 观察等式的特点,有边有角要把边角统一,为此利用正弦定理将转化为、证明:由正弦定理的变式得:同理 【解题策略】 在三角形中,解决含边角关系的问题时,常运用正弦定理进行边角互化,然后利用三角知识去解决,要注意体会其中的转化