第三十三讲 立体几何大题高考真题(解析版) 2021届新课标全国卷高三数学(文)高考专题提升训练
文科立体几何大题高考真题
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1.（2020·全国·高考真卷）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P 为DO上一点，∠APC=90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P?ABC的体积．
【答案】(1)证明：连结CO，延长CO交AB于点E，如图，
∵O是正三角形ABC外接圆的圆心，∴CO⊥AB.
∵在圆锥中易知PO⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PO⊥AB.
又CO，PO?平面POC，CO∩PO=O，∴AB⊥平面POC.
又PC?平面POC，∴AB⊥PC.
∵∠APC=90°，∴PC⊥AP.
又∵PA，AB?平面PAB，PA∩AB=A，∴PC⊥平面PAB.
又∵PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PAB.
(2)解：由DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，设底面圆半径为r，母线长为l，
r2+(√2)2=l2，1
2
?2πrl=√3π，∴r=1，l=√3，∴AB=BC=AC=√3.
∵PA⊥PC，PA=PC，∴PA=PC=√6
2
.
在直角三角形APO中，AO=1，PA=√6
2，∴PO=√2
2
，∴V P?ABC=1
3
S△ABC?PO=√6
8
.
2.（2020·全国·高考真卷）如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N 分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且
∠MPN=π
3
，求四棱锥B?EB1C1F的体积．
【答案】(1)证明：由题意知AA1//BB1//CC1.
又因为侧面BB1C1C是矩形，且M，N分别是BC，B1C1的中点，
所以MN//BB1，BB1⊥BC，所以AA1//MN，MN⊥B1C1.
又因为底面是正三角形，所以AM⊥BC，AN⊥B1C1.
又因为MN∩AM=M，所以B1C1⊥平面A1AMN.
又因为平面EB1C1F∩平面A1B1C1=B1C1，平面EB1C1F∩平面ABC=EF，平面ABC//平面A1B1C1，
所以EF//B1C1，所以EF⊥平面A1AMN.
又因为EF?平面EB1C1F，所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
(2)解：因为AO//平面EB1C1F，AO?平面A1NMA，平面A1NMA∩平面EB1C1F=NP，所以AO//NP.
又因为NO//AP，所以四边形APNO是平行四边形，所以AO=NP=6，ON=AP=√3.过M做MH垂直NP于H.
因为平面EB1C1F⊥平面A1AMN，平面EB1C1F∩平面A1AMN=NP，MH?平面A1AMN，所以MH⊥平面EB1C1F.
因为∠MPN=π
3，所以MH=MP?sinπ
3
=3，S EB
1C1F
=1
2
(B1C1+EF)?NP=24.
因为BC//平面EB1C1F，所以V B?EB
1C1F =V M?EB
1C1F
=1
3
?S EB
1C1F
?MH=24.
3.（2020·江西·高考真卷）如图所示，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线的交点，E 为PD上的一点，PD⊥平面ABE，PA⊥平面ABCD，且PA=2，AB=1，AC=√5．
(1)求证：AB⊥AD．
(2)求三棱锥P?ABE的体积．
【答案】(1)证明：∵ PD⊥平面ABE，AB?平面ABE，∵ PD⊥AB．
PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∵ PA⊥AB．又∵ PD∩PA=P，PA?平面PAD，PD?平面PAD，∵ AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∵ AB⊥AD．
(2)解：由(1)可知：底
面ABCD为矩形，AB⊥AD，AB=1，AC=√5，∵ AD=2，∵ △PAD为等腰直角三角形，PD⊥AE，∵ E为PD的中点.
∵ AD⊥PA，AD⊥AB，AD∩AB=A，∵ AD⊥平面PAB．
∵ 点E到P平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离的一半，
∵ 三棱锥P?ABE的体积：V=1
2V D?PAB=1
2
×1
3
×1
2
×2×1×2=1
3
．
7.（2019·上海·高考真卷）如图，在正三棱锥P?ABC中，PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=√3．
(1)若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；
(2)求P?ABC的体积．
【答案】解：(1)∵ M，N分别为PB，BC的中点，∵ MN?//?PC，则∠PCA为AC与MN所成角，
在△PAC中，由PA=PC=2，AC=√3，可得cos∠PCA=PC 2+AC2?PA2
2PC?AC
=
2×2×√3
=√3
4
，
∵ AC与MN的夹角为arccos√3
4
；
(2)过P作底面垂线，垂足为O，则O为底面三角形的中心，连接AO并延长，交BC于N，
则AN=3
2，AO=2
3
AN=1．∵ PO=√22?12=√3．∵ V P?ABC=1
3
×1
2
×√3×3
2
×√3=3
4
．
8.（2019·辽宁·高考真卷）如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1，
(2)若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E?BB1C1C的体积.
【答案】解：(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1,故B1C1⊥BE，
又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.
(2)由(1)知∠BEB1=90°，由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，
故AE=AB=3，AA1=2AE=6，作EF⊥BB1，垂足为F，
则EF⊥平面BB1C1C，且EF=AB=3，所以，四棱锥E?BB1C1C的体积V=1
3
×3×6×3=18.
9.（2017·全国·高考真卷）如图，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD;
（2）若FA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P?ABCD的体积为8
3
，求该四棱锥的侧面积．【答案】证明：（1）∵ 在四棱锥P?ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，
∵ AB⊥PA，CD⊥PD，
又AB//CD，∵ AB⊥PD，
∵ PA∩PD=P，∵ AB⊥平面PAD,
∵ AB?平面PAB，∵ 平面PAB⊥平面PAD．
解：(2)设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，
∵ PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，
∵ PO⊥底面ABCD，且AD=√a2+a2=√2a，PO=√2
2
a，
∵ 四棱锥P?ABCD的体积为8
3
，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，
∵ V P?ABCD=1
3×S
四边形ABCD
×PO，=1
3
×AB×AD×PO=1
3
×a×√2a×√2
2
a=1
3
a3=8
3
，
解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2,?AD=BC=2√2，PO=√2，∵ PB=PC=√4+4=2√2，
∵ 该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC，
=1
2×PA×PD+1
2
×PA×AB+1
2
×PD×DC+1
2
×BC×√PB2?(BC
2
)2=1
2
×2×2+1
2
×2×2+1
2
×2×2+
1
2
×2√2×√8?2=6+2√3.
10.（2017·上海·高考真卷）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分
别为4和2，侧棱AA 1的长为5．
(1)求三棱柱ABC ?A 1B 1C 1 的体积；
(2)设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．
【答案】解：(1)∵ 直三棱柱 ABC ?A 1B 1C 1 的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，∵ 三棱柱ABC ?A 1B 1C 1 的体积；
V =S △ABC ×AA 1=1
2×AB ×AC ×AA 1=1
2×4×2×5=20． (2)连结AM
∵ 直三棱柱 ABC ?A 1B 1C 1 的底面为直角三角形，
两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点，
∴AA 1⊥ 底面ABC ，AM =1
2BC =1
2√16+4=√5， ∵ ∠AMA 1 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，tan ∠AMA 1=AA 1AM
=
√5
=√5
∵ 直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan √5．
11.（2016·上海·高考真卷） 将边长为1的正方形（及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC
?长为2π3
，A 1B 1?长为π
3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．
(1)求三棱锥C ?O 1A 1B 1的体积；
(2)求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小． 【答案】解：(1)连结A 1B 1，
∵ A 1B 1?长为π
3
∵ ∠O 1A 1B 1=∠A 1O 1B 1=π
3
，∵ △O 1A 1B 1为正三角形，
∵ S △O 1A 1B 1=
√3
4
， V C?O 1A 1B 1=13
×OO 1×S △O 1A 1B 1=
√312
． (2)设点B 1在下底面圆周的射影为B ，连结BB 1，则BB 1?//?AA 1， ∵ ∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角（或补角），BB 1=AA 1=1， 连结BC ，BO ，OC ，
则∠AOB =∠A 1O 1B 1=π
3，∠AOC =
2π
3
，∵ ∠BOC =π
3， ∵ △BOC 为正三角形，∵ BC =BO =1，∵ tan ∠BB 1C =45°，
∵ 直线B 1C 与AA 1所成角大小为45°．
12.（2016·上海·高考真卷） 将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC
?长为5π6，A 1B 1?长为π
3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．
(1)求圆柱的体积与侧面积；
(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．
【答案】解：(1)将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成如图的圆柱，则圆柱的体积为：π?12?1=π．
侧面积为：2π?1=2π．
(2)设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，OB，
则OB?//?O1B，
∵ ∠AOB=π
3
，
异面直线O1B1与OC所成的角的大小就是∠COB，
大小为：5π
6?π
3
=π
2
．
13.（2015·湖北·高考真卷）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P?ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且
PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．
（1）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（2）记阳马P?ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1
V2
的值．
【答案】（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，
因为PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，
因为DE?平面PCD，
所以BC⊥DE，
因为PD=CD，点E是PC的中点，
所以DE⊥PC，
因为PC∩BC=C，
所以DE⊥平面PBC，
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；
（2）由已知，PD是阳马P?ABCD的高，所以V1=1
3S ABCD?PD=1
3
BC?CD?PD．
由（1）知，DE是鳖臑D?BCE的高，BC⊥CE，
所以V2=1
3S△BCE?DE=1
6
BC?CE?DE．
因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=√2
2
CD，
所以V1
V2=
1
3
BC?CD?PD
1
6
BC?CE?DE
=2CD?PD
CE?DE
=4
14.（2014·安徽·高考真卷）如图，四棱锥P?ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2√17，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC?//?平面GEFH．
(1)证明：GH?//?EF；
(2)若EB=2，求四边形GEFH的面积．
【答案】(1)证明：∵ BC?//?平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC?平面ABCD，
∵ BC?//?EF，
∵ EF?平面PBC，BC?平面PBC，∵ EF?//?平面PBC，
∵ 平面EFGH∩平面PBC=GH，∵ EF?//?GH；
(2)解：如图：
连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK．
∵ PA=PC，O为AC中点，∵ PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，
又∵ BD∩AC=O，AC?底面ABCD，BD?底面ABCD，∵ PO⊥底面ABCD，
又∵ 平面GEFH⊥平面ABCD，PO?平面GEFH，∵ PO?//?平面GEFH，
∵ 平面PBD∩平面GEFH=GK，∵ PO?//?GK，且GK⊥底面ABCD∵ GK是梯形GEFH的高
∵ AB=8，EB=2，∵ EB
AB =KB
DB
=1
4
，∵ KB=1
4
DB=1
2
OB，即K为OB中点，
又∵ PO?//?GK，∵ GK=1
2PO，即G为PB中点，且GH=1
2
BC=4，
由已知可得OB=4√2，PO=√PB2?OB2=√68?32=6，∵ GK=3，
故四边形GEFH的面积S=1
2(GH+EF)×GK=1
2
(4+8)×3=18．
15.（2012·上海·高考真卷）如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为线段AB的中点．
求：
（1）三棱锥C1?MBC的体积；
（2）异面直线CD与MC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【答案】解：（1）连接CM，
∵ 正方形ABCD中，M为AB中点，且边长为1，∵ △BCM的面积为S=1
4S
正方形ABCD
=1
4
．
又∵ CC1⊥平面ABCD，∵ CC1是三棱锥C1?MBC的高，
∵ 三棱锥C 1?MBC 的体积为：V C1?MBC =13×14×2=1
6；
（2）连接BC 1
∵ CD?//?AB ，∵ ∠C 1MB （或其补角）为异面直线CD 与MC 1所成的角． ∵ AB ⊥平面B 1C 1CB ，BC 1?平面B 1C 1CB ，∵ AB ⊥BC 1．
Rt △MC 1B 中，BC 1=√BC 2+CC 12
=√5，MB =1
2AB =1
2∵ tan ∠C 1MB =
BC 1BM
=2√5
所以异面直线CD 与MC 1所成角为arctan 2√5．
16.（2007·重庆·高考真卷） 如图，在直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，∠ABC =90°，AB =1，BC =3
2，AA 1=2；
点D 在棱BB 1上，BD =1
3
BB 1；
B 1E ⊥A 1D ，垂足为E ，求：
（1）异面直线A 1D 与B 1C 1的距离； （2）四棱锥C ?ABDE 的体积．
【答案】解：（1）由直三棱柱的定义知B 1C 1⊥B 1D ，又因为∠ABC =90°， 因此B 1C 1⊥A 1B 1，从而B 1C 1⊥平面A 1B 1D ，得B 1C 1⊥B 1E ．又B 1E ⊥A 1D ， 故B 1E 是异面直线B 1C 1与A 1D 的公垂线 由BD =1
3
BB 1知B 1D =4
3
，
在Rt △A 1B 1D 中，A 2D =√A 1B 12
+B 1D 2=√1+(4
3)2=5
3．
又因S △A 1B 1D =12A 1B 1?B 1D =1
2A 1D ?B 1E ．故B 1E =A 1D ˙
=
1?
4
353
=4
5．
（2）由（1）知B 1C 1⊥平面A 1B 1D ，又BC?//?B 1C 1，故BC ⊥平面ABDE ， 即BC 为四棱锥C ?ABDE 的高．从而所求四棱锥的体积V 为 V =V C?ABDE =1
3×BC ×S ，
其中S 为四边形ABDE 的面积．如图1，过E 作EF ⊥BD ，垂足为F ．
在Rt △B 1ED 中，ED =√B 1D 2?B 1E 2=√(43)2?(45)2=16
15，
又因S △B1ED =1
2
B 1E ?DE =1
2
B 1D ?EF ，故EF =
B 1E?DE B 1D
=
1625
．
因△A 1AE 的边A 1A 上的高?=A 1B 1?EF =1?1625
=
925
，故
S △A1AE =1
2A 1A ??=1
2?2?9
25=9
25．
又因为S △A1BD =12A 1B 1?B 1D =12?2?43=23，从而S =S △A1AE ?S △A1AE ?S △A1B1D =2?925?23=73
75． 所以V =1
3?S ?BC =1
3?73
75?3
2=73
150．
17.（1999·高考真卷） 如图，已知正四棱柱ABCD ?A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC?//?D 1B ，且面EAC
与底面ABCD 所成的角为45°，AB =a ．
（1）求截面EAC 的面积；
（2）求异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； （3）求三棱锥B 1?BAC 的体积．
【答案】（1）解：连接BD 交AC 于O ，连接EO ∵ 底面ABCD 是正方形，∵ DO ⊥AC 又∵ ED ⊥底面AC ，∵ EO ⊥AC
∵ ∠EOD 是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角．∵ ∠EOD =45°.DO =√2
2
a ，AC =√2a ，EO =
√2
2
a ?
sec 45°=a ． 故S △EAC =
√22
a 2． （2）解：由题设ABCD ?A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，得A 1A ⊥底面AC ，A 1A ⊥AC ，
又A 1A ⊥A 1B 1，
∵ A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线．∵ D 1B 1?//?面EAC ，且面D 1BD 与面EAC 交线为EO ， ∵ D 1B 1?//?EO
又O 是DE 的中点，∵ E 是D 1D 的中点，D 1B 1=2EO =2a
∵ D1D=√D1B2?DB2=√2a．异面直线A1B1与AC间的距离为√2a．
（3）解：连接B1O，则V B
1?EAC =2V A?EOB
1
∵ AO⊥面BDD1B1，∵ AO是三棱锥A?EOB1的高，AO=√2
2
a．
在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点（如右图），则S△EOB
1=3
4
a2．
∵ V B
1?EAC =2?1
3
?3
4
a2?√2
2
a=√2
4
a3．所以三棱锥B1?EAC的体积是√2
4
a3．
18.（1996·高考真卷）如图：在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1
3
=a，E，F分别是BB1，CC1上的点且
BE=a，CF=2a．
（1）求证：面AEF⊥面ACF；
（2）求三棱锥A1?AEF的体积．
【答案】解：（1）∵ BE:CF=1:2∵ DC=2BD，∵ DB=BC，
∵ △ABD是等腰三角形，且∠ABD=120°，∵ ∠BAD=30°，∵ ∠CAD=90°，
∵ FC⊥面ACD，∵ CA是FA在面ACD上射影，且CA⊥AD，∵ FA∩AC=A，
DA⊥面ACF，DA?面ADF∵ 面ADF⊥面ACF．
（2）解：∵ V A
1?AEF =V E?AA
1F
．在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，垂足为G．B1G=√3a
2
面A1B1C1⊥面A1C
∵ B1G⊥面A1C，
∵ E∈BB1，而BB1?//?面A1C，∵ 三棱柱E?AA1F的高为B1G=√3a
2
√3a 2S△AA
1F
=AA1?
AC
2
=
3a2
2
∵ V A
1?AEF =V E?AA
1F
=√3a3
4
19.（1982·高考真卷）已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，
（1）用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的体积；（2）求A1B和B1C所成的角．
【答案】
解：（1）∵ BB1⊥平面A1B1C1D1，
∵ △A1B1C1是棱锥B?A1B1C1的底，
BB1是棱锥的高，△A1B1C1的面积=1
2
a2，
截下部分体积=1
3BB1×△A1B1C1的面积=1
3
a?1
2
a2=a3
6
，正方体体积=a3，
剩余部分体积=a3?1
6a3=5
6
a3．
（2）连接D1C和D1B1，
∵ 四边形A1BCD1是平行四边形，
∵ A1B?//?D1C，∵ ∠B1CD1即A1B与B1C所成的角，
∵ 正方体各面上对角线的长度相等，即D1B1=B1C=D1C，∵ △D1CB1是等边三角形∵ ∠D1CB1=60°，∵ A1B与B1C成600的角．