第19炼 利用函数证明数列不等式
第19炼 利用函数证明数列不等式
利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数，数列，不等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型。 一、基础知识： 1、考察类型：
（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题 （2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题 2、恒成立不等式的来源：
（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。 （2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向。其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式 3、常见恒成立不等式：
（1）ln 1x x <- 对数→多项式 （2）1x
e x >+ 指数→多项式
4、关于前n 项和的放缩问题：求数列前n 项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种：
（1）倒序相加：通项公式具备第k 项与第1n k -+项的和为常数的特点
（2）错位相减：通项公式为“等差?等比”的形式（例如2n n a n =?，求和可用错位相减） （3）等比数列求和公式
（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且n a 裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消。
注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑。
5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。
6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向
7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）
8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系） 二、典型例题：
例1： 已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值 （1）求实数a 的值
（2）证明：对于任意的正整数n ，不等式2341
2ln(1)49n n n
+++++>+ 都成立 解：（1）()'
1
21f x x x a
=
--+ 0x = 为()f x 的极值点 ()'
1
0101f
a a
∴=
-=?= （2）思路一：联想所证不等式与题目所给函数的联系，会发现在()()2
ln 1f x x x x
=+--中，存在对数，且左边数列的通项公式2
2111n n a n n n +??
==+ ???
也具备()f x 项的特征，所以
考虑分析()ln 1x +与2
x x +的大小关系，然后与数列进行联系。
解：下面求()()2
ln 1f x x x x =+--的单调区间
()()'
2312111
x x f
x x x x +=
--=-++,令()'
00f x x >?<
()()00f x f ∴<=即()2ln 1x x x +<+（每一个函数的最值都会为我们提供一个恒成立的不等
式，不用白不用！观察刚好与所证不等式不等号方向一致）
令1x n =，则2
111
ln 1n n n ????+<+ ? ?????即211ln n n n n ++??< ???
223131ln ln ln 2124n n n n
++∴+++<+++
即2341
2ln(1)49n n n
++
+++>+ 小炼有话说：
（1）此不等式实质是两组数列求和后的大小关系（211
,ln n n n n a b n n
++=
=），通过对应项的大小关系决定求和式子的大小。此题在比较项的大小时关键是利用一个恰当的函数的最值，而这个函数往往由题目所给。另外有两点注意：①关注函数最值所产生的恒成立不等式 ②注意不等号的方向应该与所证不等式同向
（2）解决问题后便明白所证不等式为何右边只有一个对数，其实也是在作和，只是作和时对数合并成一项（与对数运算法则和真数的特点相关），所以今后遇到类似问题可猜想对数是经历怎样的过程化简来的，这往往就是思路的突破点
思路二：发现不等式两边均有含n 的表达式，且一侧作和，所以考虑利用数学归纳法给予证明：
解：用数学归纳法证明：
① 当1n =时，不等式为2ln 2>成立 ② 假设()1n k k =≥时，不等式成立（即2341
2ln(1)49k k k
+++++>+ ） 当1n k =+时，若要证()
()23412
2ln 2491k k k k k +++
++++>++ 2341
2ln(1)49k k k
++
+++>+ ∴只需证()
()()()
2
2
112
21ln(1)ln 2ln ln 11111k k k k k k k k k ++++??++
>+?
>=+ ?++??++
（下同思路一：分析()f x 的最值可得()2
ln 1x x x +<+） 令11x k =
+，由恒成立不等式()2
ln 1x x x +<+可得()()
2
111ln 111k k k ++??>+ ?+??+ 即所证不等式成立 ③ n N *
∴?∈，均有2341
2ln(1)49n n n
++
+++>+ 小炼有话说：利用数学归纳法证明要注意两点：（1）格式的书写 （2）要利用n k =所假设的条件
例2： 已知函数()()2ln 1f x ax x =++ （1）当1
4
a =-
时，求函数()f x 的单调区间 （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在0
0x y x ≥??-≤?
所表示的平面区域内，求
实数a 的取值范围
（3）求证：()()1248211112335582121n n n e -???????? ?++++< ????? ????++????????
（其中,n N e *
∈是自然对数的底数）
解：（1）常规解法，求出单调区间找最值 ()()2
1ln 14
f x x x =-
++ ()()()()()
2'
21112
212121x x x x f x x x x x +-+-=-+=-=-+++,令()
'0f x >求出单调区间如下：
（2）解： 函数()y f x =图像上的点都在0
x y x ≥??
-≤?区域内，
条件等价于[)0,x ?∈+∞,()2
ln 1ax x x ++≤恒成立，即()2
ln 10ax x x ++-≤ 令()()2
ln 1g x ax x x =++- ()00g ∴=
()()()2'
2212211
21111
ax a x x ax a g x ax x x x +-+-=+-==+++ 令()'
02210g x ax a >?+->即212ax a >-
① 0a >时， 2
11111ln 1ln 10g a a a a a a ????????
=++-=+> ? ? ? ?????????
不符合题意
（此时发现单调性并不能直接舍掉0a >的情况，但可估计函数值的趋势，()ln 1x +恒为正，
而2
ax x -早晚会随着
x 值的变大而为正数，所以必然不符合题意。在书写时可构造反例来说明，此题只需
20ax x -=即可，所以选择1x a
=
）
② 0a ≤时，2210ax a +-<即()'0g x < ()g x ∴在[)0,+∞单调递减 ()()00g x g ∴≤=，符合题意 综上所述：0a ≤
（3）思路：观察所证不等式()()1248211112335582121n n n e -???
????? ?++++< ????? ????++????????
，左边连乘，右边是e ，可以想到利用两边取对数“化积为和”，同时利用第二问的结论。第
二问给我们提供了恒成立的不等式，0a ≤时，()2
ln 1ax x x ++≤，取0a =，即
()ln 1x x +≤，则可与左边的求和找到联系。
解：所证不等式等价于()()1242ln 1ln 1ln 1123352121n n n -??????++++++< ? ? ? ???++??????
由（2）可得()ln 1x x +≤，令()()
122121n n n
x -=++，即 ()()()()1112211ln 1=2212121212121n n n n
n n n n ---????+≤- ? ? ?++++++????
（左边可看做是数列求和，利用结论将不等式左边的项进行放缩，转化成可求和的数列——裂项相消）
()()112112211111ln 1ln 1212321212121212121n n n n n --?????
?++++<-+-++- ? ? ? ??+++++++??????
1
121221n ??=-<
?+??
∴不等式得证
小炼有话说：
（1）第二问中代数方法与数形结合方法的抉择（体会为什么放弃线性规划思路），以及如何将约束条件转变为恒成立问题
（2）对数运算的特点：化积为和。题目中没有关于乘积式的不等关系，于是决定变为和式 （3）利用上一问的结论放缩通项公式，将不可求和转变为可求和，进而解决问题 例3： 已知函数)1(1
)
ln 1()(>-+=
x x x a x x f
（1）当0a ≠时，讨论()x f x x g '-=2)1()(的单调性；
（2）当1=a 时，若n x f >)(恒成立，求满足条件的正整数n 的值； （3）求证：()()()[]2
5
211321211-
>++???+??+n e
n n .
解：（1）()()
'2
ln 1
1ax a x a f x x ---=
-
()l n 1
g x a x a x a ∴=--- ()'
1
a x g x a a x x
-=-=? 若()()'010g x a x >?->
当0a >时，()g x 在()1+∞，上单调递增 当0a <时，()g x 在()1+∞，上单调递减 （2）思路：()()1ln 1x x f x x +=
-不等式等价于()1ln 1x x n x +>-，即()min
1ln 1x x n x +??
< ?-??
而在第（1）问中()g x 即为()'f x 的分子，故考虑利用()g x 来确定()'f x 的符号，进而求出()f x 的单调区间及最值 解：()()
'2
ln 2
1x x f x x --=
-
()ln 2g x x x ∴=--，由（1）得()g x 单调递增 ()33ln320,(4)4ln420g g =--<=--> ()3,4b ∴?∈,()ln 20
g b b b =--=(尽管无法直接求出
()
g x 的零点，但可估计出
()12,0
,x g x <<<且(),0x g x →+∞>，所以可估计零点的所在区间） ()()()()1,,0;,,0x b g x x b g x ∴∈<∈+∞> ()f x 的单调区间如下：
()()()
min 1ln 1
b b n f x f b b +∴<==- l n 2b b =-
()()
()13,41
b b f b b b -∴=
=∈-
{}1,2,3n ∴∈
（3）思路：由第（2）问得{}1,2,3n ∈时，均有()
1ln 1
x x n x +>-，所证不等式可两边同取
对数“化积为和”，再考虑利用结论进行放缩 解：所证不等式等价于：
()()()5
ln 112ln 123ln 1122
n n n +?++?++++>-
???? 由第（2）问可得：
()1ln 3
3ln 21x x x x x
+>?>-- ()()()()331
1ln 1122231111n n n n n n n n ??∴++>-
>-=-- ?++++??
∴()()1
1
1735ln 11ln3213=2ln3221212n
i i i n n n n n =??++>+---+-+>-?? ???++??∑ 即原不等式成立。
（如果从第一项就进行缩小，则
()1
13
ln 112312311n
i i i n n n n =?
?
++>--=-+?? ???++??
∑，发现
缩小过度但差距不大，所以进行调整，第一项不变，其余放缩。这样不仅减少缩小的尺度，同时不改变求和规律）
小炼有话说：这道题是对书中几篇文章所讲技巧的一个综合。所涉内容如下： （1）第二问中对零点x b =的处理，参见：3.1.3 最值分析法
（2）第三问中数列放缩后的调整值得注意，放缩的过程中有可能存在“放过头”的情况，往往是由于前几项放缩程度过大造成的（通常n 越大，放缩的程度越小），所以考虑数列前几项不进行放缩，然后再看不等式能否成立，若一直都“过度”一点点，那么就要考虑是否另选放缩方案了。
例4：设函数()()2
ln 1f x x a x =-+，其中a R ∈。:
（1）当0a <时，讨论函数()f x 在其定义域上的单调性； （2）证明：对任意的正整数n ，不等式()23111ln 1n
k n k
k =??+>- ???∑都成立。
解析：
（1）()2'
22211
a x x a f x x x x +-=-=++，令()'0f x >即解不等式2
220x x a +->
① 1
002
a ?>?-
<<时 方程2
220x x a +-=
的两根12x x =
=
211x x -<< ()f x ∴的单调区间为：
② 02
a ?≤?≤-
时，2
220x x a +->恒成立 ()f x ∴在()1,-+∞单调递增 （2）考虑1a =时，则()()2
ln 1f x x x =-+
令()()()3
3
2
ln 1h x x f x x x x =-=-++
()()2
3'
3101
x x h x x +-∴=≥+在[)0,+∞恒成立
()h x ∴在[)0,+∞单调递增 ()()00h x h ≥= ()23ln 1x x x ∴+=-，令()1
x n N n
*=
∈ 2323111111
ln 1ln n n n n n n n +????∴+>-?>- ? ?????
2311111ln n
n k k k k k
k ==+??>- ???∑∑ 48a ?=+
即：()2
31
1
1ln 1n
k n k
k =??+>
-
???
∑ 例5：已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中0>a 。 （1）求a 的值
（2）若对任意的),0[+∞∈x ，有2)(kx x f ≤成立，求实数k 的最小值 （3）证明：
∑=∈<+--n
i N n n i 1*)(2)12ln(1
22
解：（1）()'
11
1x a f x x a x a
+-=-
=++,定义域(),a -+∞ 令()'
0f
x >解得1x a >-，()f x ∴的单调区间为：
()()min 110f x f a a ∴=-=-= 1a ∴=
（2）当0≤k 时，取1=x ，有02ln 1)1(>-=f ，故0≤k 不合题意。 当0>k 时，令2)()(kx x f x g -=，即2)1ln()(kx x x x g -+-=。
1
))21(2(21)(+---=-+=
'x k kx x kx x x x g ，令0)(='x g ，得12120,12k
x x k -==
>- 当21≥k 时，
0)(,0221<'≤-x g k k
在),0(+∞上恒成立 因此)(x g 在),0[+∞上单调递减，
∴对于任意的),0[+∞∈x ，总有0)0()(=≤g x g ，即2)(kx x f ≤在),0[+∞上恒成立。
故2
1
≥
k 符合题意。 当210< 0221>-k k )221,0(k k x -∈，0)(>'x g ，∴)(x g 在)221,0(k k -内单调递增， 取)221,0(0k k x -∈时，0)0()(0=>g x g ，即2 00)(kx x f ≤不成立。 故2 10< 综上，k 的最小值为2 1 。 （3）由第（2）问可得：当12k =时，不等式()2 1ln 12 x x x -+≤恒成立 令2 21 x i =- () ()2 2 22112111 ln 22,2121221232121i i i N i i i i i i +??∴-<=<-≥∈ ?-----??- 122111111ln 2ln3121213352321n i i i i n n =+????∴-<-+-+-++- ? ?----? ???∑ 即11 2211 ln 2ln312212121n n i i i i i n ==+-<-+-<---∑∑ 即 ∑=∈<+--n i N n n i 1*)(2)12ln(1 22 例6： 已知函数()3()ln 1,0,,()f x x x x g x x ax =-+∈+∞=- （1）求()f x 的最大值； （2）证明不等式：121 n n n n e n n n e ?????? +++< ? ? ?-?????? 。 解：（1）()' 111x f x x x -= -=，令()'01f x x >?<，()f x 单调区间如下： max 10y f ∴== （2）思路：左边可看做数列求和，其通项公式为n i i a n ?? = ??? ，无法直接求和，所以考虑利 用条件进行放缩，右边是分式，可以猜想是等比数列求和后的结果，所以将i a 放缩为等比数列模型。由（1）可得ln 10ln 1x x x x -+≤?≤-，令i x n =进行尝试 解：由（1）可得ln 10ln 1x x x x -+≤?≤- 令i x n = ，即ln 1i i i n n n n -≤-= ln ln n i i n i n i n n n ?? ∴≤-?≤- ???（寻找n 次方的来源） n i n i e n -??∴≤ ??? ()1112112=111n n n n n n n n n n e e n e e e e e e n n n e e e -------??????∴+++<+++=< ? ? ?---?????? ∴不等式得证 小炼有话说：此题的第（3）问将数列通项公式放缩为等比数列求和，如果不等式的一侧是一个分数，则可向等比数列求和的结果考虑（猜想公比与首项）。 例7：函数x x f sin )(=. （1）若x ax x f cos 1)(+≥+在[]π,0上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）证明：) 12(4) 1(23)12)1((...)122()12( ++≥ +++++++n n n n f n f n f πππ . （1）解：恒成立不等式等价于：cos sin 10ax x x +--≤，令()c o s s i n 1 g x a x x x =+-- ()()002002g g a g πππ? ?≤?? ∴≤?≤?? ???≤ ????? (注：在[]0,π中这三个自变量的函数值最便于计算，进而选择代入） cos sin 1y ax x x =+-- 可视为关于a 的一次函数且递增 ∴令()2 cos sin 1h x x x x π = +-- 则对[]2 ,0,a x ππ ?≤ ?∈ ()()g x h x ≤恒成立。∴若要()0g x ≤，只需()0h x ≤，下面进行证明： ()()00,0h h π==,只需证max 2cos sin 10x x x π?? +--≤ ???即可 ()'2 sin cos h x x x π= -- 考虑0,2x π?? ∈ ??? 时，( sin cos 4x x x π?+=+∈?? 从而 ()' 2 2 sin cos 10h x x x π π = --< -< （注：导数无法求出极值点，故引入抽象的极值点0x , 但要利用零点存在性定理估计0x 所在区间） '320,024h h πππ????<=> ? ????? ()' 3,,sin cos 004x x x h x ππ??∈-->?> ??? 03, 24 x ππ??∴?∈ ??? ,使得()' 00h x = 且当()()()()''000,,0;,,0x x h x x x h x π∈<∈> ()h x ∴在()00,x 单调递减，在()0,x π单调递增 ()()()max 00h x h h π∴=== ()0h x ∴≤恒成立 ()()0g x h x ∴≤≤,进而对每一个2 a π ≤ 均满足 2 a π∴≤ （2）思路：将左边视为数列求和，其通项公式为( )21 k k a f n π =+(注意左边是()1n +项求和）， 考虑利用前面条件对通项公式放缩：令2 a π=，则2s i n 1c o s x x x π + ≥+恒成立，但如果直接进行代入，不等号右边的cos x 无法处理，进而无法与所证不等式的右边找到联系。考虑将cos x 挪至左侧并与sin x 合角，进而将三角函数放缩为多项式。再根据求和特点进行求和 解：由（2）可得：2 2 sin 1cos sin cos 1x x x x x x π π +≥ +?-≥ - 21sin 44x x x x πππ? ? ? ?- ≥-?-≥- ? ? ? ?? ? 令()() 421421k n x n ππ ++= + 可得()( ))( )421421sin 2121421421k n k n k k f n n n n ππππ++++???? =≥?-=- ? ? ++++???? (注：通项公式为 sin 21k k a n π??= ?+??，而恒成立不等式中的三角函数为sin 4x π? ?- ?? ?，所以令 4 21 k x n π π - = +，反求x 即可） ∴)( )114212(1)()()...()212121421n k k n n f f f n n n n π ππ+=?++++++≥- ++++?? ∑ )( )()( ))() ( ) )1 1121214212 142124212 n k n n n n k n n n n +=++++?++-=- + ?++? ?∑ 1) = 4(21) n n ++ ∴) 12(4) 1(23)12)1((...)122()12( ++≥ +++++++n n n n f n f n f πππ 小炼有话说： （1）关注本题第二问恒成立的求法（具体可参见3.3.3有关内容），在证明上需要极值点而无法直接求出时可先用抽象的0x 代替，但要确定好0x 所处的大概区间 （2）第三问对第二问的结论稍加变形（即将cos x 与sin x 进行合角，而不是直接代入()f x )的应用是本题的一大亮点。方程，不等式的变形目的是将条件与结论能够连接起来，所以构造时要关注所求不等式的结构特点。 （3）第三问不等式的左边有两个细节：第一个是左边求和的项数是()1n +项，第二个在 ( )21 n f n π +中，同一个n 所代表的含义不同。分母每一项都是()21n +,n 与项数相关。给定一个n ，数列项的分母就固定了。而分子的n 代表的是序数，可发现数列中分子是在不断变化的，从1变到1n +,在( )21 n f n π +，同一个n 在分子分母中扮演的角色不同。所以在写通项公式时，引入了字母k 用来区分序数与项数。 例8：定义：若()k f x y x =在[),k +∞上为增函数，则称()f x 为“k 次比增函数”，其中k N * ∈，已知()ax f x e =: （1）当1 2a = 时，求函数()()f x g x x =在[](),10m m m +>上的最小值 （2 ）求证： 1 2 3 111 1 72123n e n ++++ < ? ? ? ? 解： （1）()1 2 x e g x x = ()()11 1222 '22 1222x x x xe e x e g x x x --∴== 令()'0g x >解得2x > ()g x ∴在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增 ① 2m >时，()()2 min m e g x g m m == ② 2112m m m ≤<+?<≤，()()min 22 e g x g == ③ 121m m +≤?≤，()()12 min 11 m e g x g m m +=+= + 综上所述：()2 min +12,2,122,11m m e m m e g x m e m m ??>??? =<≤????≤?+? （2）由第（1）问可得：()0,x ∈+∞时，()()22e g x g ≥= ，即 1 2 2 x e e x ≥ 所求和的通项公式为() 1n n a n = ，由 12 2 x e e x ≥可得： () () () 22221 21 2 x x x x e x x x e e e x x x ≥?≤?≤ ?≤ ?， 令x n =，可得： () () 21 21211n e n e n n n ≤ ? () () () () 21 2 3 221 1 1 1 1111+++22123n e n n ?? ++++ < ??? ? ? ? ? ()11111 12423341e n n ??<+++++ ???-?? ()1111111111111112423341242334 1e n n e n n ????< +++++=++-+-++- ? ???--???? 1111177= 1242242e n e e ??++- 例9：已知函数()ln x f x x = （1）设()()ln g x f x x m =-，讨论函数()g x 在区间21,e e ?????? 上的零点个数 （2）记()() ()()()()2*123 ln ,,n n n nx F x S x F x F x F x n N n ==+++∈ ，若对任意正整数p ，()()4 n p n S x S x n +-< 对任意x D ∈恒成立，则称()n S x 在x D ∈上是“高效”的。试判断()n S x 是否在2,x e e ??∈??上是“高效”的？若是，请给出证明，若不是，请说明理 由 解：（1）()()2 ln x g x m x = -，令() g x =即()2 ln x m x = ()g x ∴的零点个数即为函数()2 ln x y x = 与y m =交点的个数 设() ()2 ln x h x x = ，()2' 2 2ln ln x x h x x -=，令()' 0h x >解得()21,x e ∈ 单调区间如下： ()()2 2,10,h e h h e e e ?? === ??? ，草图如下： 0m ∴<或m e >时，()g x 无零点 0m =或2 4 m e e <≤，()g x 一个零点 2 4 0m e <≤ ，()g x 两个零点 （2）思路：观察到()() 23 ln n nx F x n =结构上与（2）中的()h x 很相似，而()( ) n p n S x S x +-实质上是()()()12n n n p F x F x F x ++++++ ，故考虑对每一项进行放缩使得求和具有规律 性，结合()h x 的特点()n F x 可写成()()2 2ln n nx x F x n nx =?（将nx 视为整体），进而利用()h x 单调性进行放缩 解：() ()2 ln x h x x = 单调区间如下： 2,x e e ??∈?? 2 ,n x n e n e ??∴∈?? ()()22 4 h nx h e e ∴≤= ()()()2232222 ln ln 44n nx nx x x F x n n nx n e n ∴==? ,x e e ??∈??，进而放缩为214n ?，而 2 1 n 可 放缩为能够裂项求和的式子。） ()()()2411144211n F x n n n n n n ??∴≤ ()()()()()12=n p n n n n p S x S x F x F x F x ++++∴-+++ 1111114 4+=411n n n p n p n n p n ????<-+--< ? ?++-++???? ()n S x ∴在2,x e e ??∈??上是“高效”的 小炼有话说： （1）此题中的第（2）问对第（3）问的函数构造提供了方便，对于证明数列不等式，同学要善于利用前面问题的条件与结论 （2）第（3）问的关键之处在于寻找()n F x 与()h x 的联系，以及通过不等关系消x （3）求和时通项公式放缩的方向为构造具备裂项求和的数列，其中 2 1 n 的放缩技巧如下： ()()2111 11n n n n n << +- 而左右两边均可裂项求和 例10： 已知函数()( )ln 1f x x =+-（1）若()f x 在定义域内为减函数，求p 的范围 （2）若{}n a 满足()1122113,141n n n a a a n n +??==++ ? ?+?? ，试证明：2n ≥时，3444n a e ≤≤ 解：（1）()f x 为减函数 ( )' 101f x x ∴= ≤+ [)0,x ∈+∞ m a x m a x 2 111p x ?? ??∴≥== ? + ??? ? ? ? （2）思路：由（1）可得()( )ln 1f x x =+为减函数，进而()()00f x f ≤=即 ( )ln 1x +≤n a 的不等关系（①有e 的指数幂，所以可能与自然对数相关， ②考虑数列的单调性），已知条件是递推数列，可尝试利用递推公式寻找不等关系求解。 解： ()1122113,141n n n a a a n n +??==++ ? ?+?? () 12211 04 1n n n n a a a n n +∴-= +>+ {}n a ∴单调递增 21 211 1+ 4124 a a ??=+= ??? ? 2n ∴>时，124n n a a a ->>>= 即() 42,n a n n N * ≥≥∈ ()()()112221222111111111444111n n n n n n n n a a a a a n n n n n n +++??=++?=++<++ ? ?+++?? （利用4n a ≥进行放缩，消掉多余的n a ，由 () 2 211n n +，联想到 () 1 1n n +是可裂项的。再由()f x 的特点决定两边同取对数） ()12 +1211ln ln 141n n n a a n n +?? ∴=++ ? ?+?? 由（1）可得()( )ln 1f x x =+-()()00f x f ≤=即( )ln 1x +≤ ()1111 ln 12n n n a a n n ++∴<<++ （再次利用不等关系去掉根式，且降低项的次数，进而不等号右侧可求和。 ()0,0a b a b = < =+>>） ()3434231111111ln +,ln +ln 23234212 n n n a a a a a a n n -∴<<<+??- ()321111ln 23122n n a a n n ????∴<+++++ ? ??-?? ?? 2 1111821131 1312424 12 n n n n -+???? - ? ? ??? ????=-+ =--< ? ??- 33 442 4n n a e a e a ∴ （1）对付较复杂的题目，首先要把准备工作做好，在第三问中你可做的准备工作有这些： ①如果你计算了2a ，也许就知道左边的4的来源进而决定进行数列单调性分析。 ②如果你观察了递推公式，便可发现 () 2 2 11n n +有可处理的地方 ③如果你观察了所证不等式的右边，便会由e 的指数幂联想到对数不等式 ④如果利用第一问出个可用的不等式结论，也许你就发现了对数与根式的不等关系 这些准备工作不会直接得到答案，但是起码会给你提供一些方法和可选择的道路 （2）第三问依然用到了数列求和，有关消项的求和通常有两种，一种是相邻的项做差（累加法），另外一种就是相邻的项做商，此时利用对数即可将“累乘消项”转变为“累加消项” 利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新???? 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 数列型不等式的证明 数列型不等式问题在近年逐渐成为高考热点，数列型不等式问题常被设置为高考压轴题，能力要求较高。因其仍然是不等式问题，可用处理不等式的方法：基本不等式法；比较法；放缩法，函数单调性法等都是常用的方法；但数列型不等式与自然数有关，因而还有一种行之有效的方法：数学归纳法。 1、重要不等式法 若数列不等式形如下式，可用均值不等式法求证。 （1）),(222R b a ab b a ∈≥+; （2） ),(2 +∈≥+R b a ab b a （3） ),,,(2121321+∈???????????≥+??????+++R x x x x x x n n x x x x n n n n 2、比较法 比较法是证明不等式的基本方法，可以作差比较也可以作商比较，是一种易于掌握的方法。 3、放缩法 常用的放缩结论： ①、 ,111)1(11)1(11112k k k k k k k k k --=-<<+=+-其中（2≥k ） ②、 ;)12)(12(1)12(12+->-n n n ;)12)(32(1)12(12--<-n n n ) 22(21 )12(12+<+n n n ③、 1 211 2-+< < ++k k k k k 用放缩法解题的途径一般有两条，一是先求和再放缩，二是先放缩再求和。 （1）、先求和再放缩 一般先分析数列的通项公式，如果此数列的前n 项和能直接求和或通过变形后可以求和，则采用先求和再放缩的方法证明不等式。数列求和的方法较多，我们在数列求和的专题中有具体的讲解，主要用的有公式法、裂项法、倒序相加法、分组求和法等方法。 例1、已知函数)(x f 对任意实数q p ,都满足)()()(q f p f q p f ?=+，且3 1 )1(=f ， （1）当+∈N n 时，求)(n f 的表达式；（2）设))((+∈=N n n nf a n ，n T 是其前n 项和，试证明4 3 放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5.121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+? 例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ +< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b ==++++，证明：312n T << 例4.已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6.数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++< 数列型不等式证明的常用方法 一． 放缩法 数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点，在多 省试题中常常作为压轴题出现。放缩法是数列不等式证明的 一个重要方法，它具有很强的技巧性的特点，学生往往无从 下手，下面总结放缩法证明的一些常用技巧， 例如 归一技巧、 抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧 ，仅供参 考 . 1 归一技巧 归一技巧，指的是将不容易求和的和式中的所有项或 若干项全部转化为 同一项 ，或是将和式的通项中的一部分转 化为 同一个式子 （或数值），既达到放缩的目的，使新的和 式容易求和 . 归一技巧有 整体归一、分段归一。 例如 1 1 1 1 设 n 是正整数，求证 n 1 n 2 1． 2 2n 1 1 1 【证明】 n 1 n 2 L 2n 1 1 1 1 1 . 2n 2n 2n 2n 2 14444244443 个 1 n 2n 1 1 L 1 另外： n 1 n 2 2n 1 1 1 1 n n n n 1 . 144424443 n 个 1 n 1 1 【说明】在这个证明中，第一次我们把 n 1 、 n 2 、 1 1 L 2n 这些含 n 的式子都 “归一” 为 2n ，此时式子同时变小， 1 1 L 1 1 顺利把不易求和的 n 1 n 2 2n 变成了 n 个 2n 的 和，既将式子缩小，同时也使缩小后的式子非常容易求和， 这就是 “归一” 所达到的效果。 而不等式右边的证明也类似 . 1.1 整体归一 放缩法中，如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的，称之为“整体归一” . 例 1. 数列 a n 的各项均为正数， S n 为其前 n 项和，对于任 意 n N * ，总有 a n , S n ,a n 2 成等差数列 . ( Ⅰ ) 求数列 a n 的通项公式； ( Ⅱ ) 设数列 b n 的前 n 项和为 T n ，且 b n ln n x ，求证:对 2 a n 任意实数 x 1, e （ e 是常数， e ＝ ）和任意正整数 n ， 总有 T n 2 ； （Ⅰ）解：由已知：对于 n N * ，总有 2S n a n a n 2 ①成立 ∴ 2S n 1 a n 1 a n 1 2 （n ≥ 2 ）② ① -- ②得 2a n a n a n 2 a n 1 a n 1 2 ∴ a n a n 1 a n a n 1 a n a n 1 ∵ a n , a n 1 均为正数， ∴ a n a n 1 1 （n ≥ 2） ∴数列 a n 是公差为 1 的等差数列 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 函数与导数解答题之数列型不等式证明 例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈ (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明:*1111ln(1)()23n n N n + +++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ???<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln 112,23452n n n n n N n n +????? 例3．已知函数()x f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数， 2.71828e =…）. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥； （2）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ??????+ +???+< ??? ???????. 例4.设函数()ln 1f x x px （1）求函数()f x 的极值点； （2）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围； （3）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n 例5.已知函数()ln 1f x x x =-+? (1)求()f x 的最大值; (2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ??????+++<∈ ? ? ?-???? ?? 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用 大全 证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例1．证明：当Z n n ∈≥,6时， (2) 12n n n +<. 证法一：令)6(2 ) 2(≥+=n n n c n n ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++=-+++n n n n n n n n n n c c , 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，6683 1.644 n c c ?≤==< 于是当6n ≥时，2 (2) 1.2 n n +< 证法二：可用数学归纳法证.(1)当n = 6时，6 6(62)483 12644 ?+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即 (2) 1.2k k k +< 则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3) 1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k ++++++++=?<<++ 由(1)、(2)所述，当n ≥6时， 2 (1) 12n n +<. 二、借助数列递推关系 例 2.已知12-=n n a .证明： ()23 11112 3 n n N a a a *++++ <∈. 证明：n n n n n a a 121121************?=-?=-<-=+++ ， ∴3 2])21(1[321)21(...12111112122132<-?=?++?+<+++= -+n n n a a a a a a S . 例3. 已知函数f(x)= 52168x x +-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=． (1) 试比较n a 与5 4 的大小，并说明理由； (2) 设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1 n i i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜1 4(2n －1)． 放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+? 例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T << 例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++< 4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ??? 例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3 数列中的不等式的证明 证明数列中的不等式的一般方法： 1.数学归纳法： ①直接应用数学归纳法：这是由于数学归纳法可以用来证明与正整数相关的命题，当然也包括与正整数 相关的不等式（即数列不等式）； ②加强命题后应用数学归纳法：直接应用数学归纳法并不能证明所有数列不等式，有些数列不等式必须 经加强后才能应用数学归纳法证出. 2.放缩法： ①单项放缩:将数列中的每一项（通项）进行相同的放缩； ②裂项放缩：将数列中的每一项裂开放缩成某两项之差； ③并项放缩：将数列中的两项合并放缩成一项； ④舍（添）项放缩：将数列中的某些项舍去或添加； ⑤排项放缩：将数列中的项进行排序（即确定数列的单调性），从而求出数列中项的最值，达到证明不 等式的目的,能用排项放缩证明的数列不等式必能直接应用数学归纳法证明，反之亦然； ⑥利用基本不等式放缩：例如平均数不等式也可在数列不等式的证明中起作用. 一、直接应用数学归纳法证明 1．已知函数ax x x f +-=3 )(在)1,0(上是增函数. )1(求实数a 的取值集合A (2)当a 中取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+且)1,0(1∈=b a ，b 为常数，试比较n n a a 与1+的大小 (3)在(2)的条件下，问是否存在正实数c 使10<- 数列不等式证明的几种方法 数列和不等式都是高中数学重要内容，这两个重点知识的联袂、交汇融合，更能考查学生对知识的综合理解与运用的能力。这类交汇题充分体现了“以能力立意” 的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则。下面就介绍数列不等式证明的几种方法，供复习参考。 、巧妙构造，利用数列的单调性 例1?对任意自然数n,求证: %■（1十00 + -）-（14 —「刚也-「加卄‘一 证明：构造数列 2ti + 2 2ti + 2 加4 - 1二2北十2 所以＞细，即鼠｝为单调递增数列 所以，即 点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可构造数列，通过数列的单调性解决。 、放缩自然，顺理成章 例2.已知函数￡（只）=3 5 討+x J，数列％｝爲九）的首项引"，以后每项按如下方 式取定：曲线"住）在点:仗M珑 j）） 处的切线与经过（0 , 0 ）和：1 |：:'两点 的直线平行。 求证：当时: (1) (2)0 7 证明：（1）因为，所以曲线’二--—处的切线斜率为0 又因为过点（0, 0）和两点的斜率为 k = * +吕，所以结论成立。 （2）因为函数 h（H）- z3 + X, > Q时单调递壇则有叮+s a = +轴*1 w 斗％J + 刼曲 =(%+1严+ (: 孤*1 二1 所以％￡也1，即砥2，因此 7 又因为M 1 f Ji ' - ? _ ?”1 ' ' - ' r I 令，且" 0 f(x) = In 设 所以 点评：本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题，在证 明过程中多次运用放缩，放缩自然，推理逻辑严密，顺理成章，巧妙灵活。 三、导数引入，更显神威 丄丄丄…詁皿“+丄丄丄—丄 E 例 3.求证：2 3 4 11 3 3 4 n+1 ] =丄 证明：令5一门"红—口，且当心2|时，恥厂血讥f （口1，所以 C n = SL - S R _i = ln(n4 1) - In n = In n + “。要证明原不等式，只须证 1 /十1 1 n +1 n n -1 丸鑑十1 尸 证明数列不等式的常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12； n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3lg 2 =<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 2 1k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：2 2 111111()1(1)(1)211 k k k k k k < ==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 课题：基本不等式及其应用 一、教学目的 (1)认知：使学生掌握基本不等式a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当a=b 时取“=”号)和 ab b a ≥+2 (a 、b ∈R +，当且仅当a=b 时取“=”号)，并能应用它们证明一些不等式． (2)情感：通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 二、教学重难点 重点：两个基本不等式的掌握； 难点：基本不等式的应用。 三、教材、学生分析 教材分析：两个基本不等式为以后学习不等式的证明和求函数的最大值或最小值提供了一种 方法，基本不等式的理解和掌握对以后的解题是很有帮助的。 学生分析：学生在上新课之前都预习了本节内容，对上课内容有一定的理解。所以根据这一 情况多补充了一些内容，增加了课堂容量。 四、教学过程 （一）引入新课 客观世界中，有些不等式关系是永远成立的。例如，在周长相等时，圆的面积比正方形的面积大，正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。对这些不等关系的证明，常常会归结为一些基本不等式。今天， 我们学习两个最常用的基本不等式。 （二）推导公式 1．奠基 如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0 ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，也就是基本不等式1，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 学生回答：a=b，因为a=b a2+b2=2ab 充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； 数列不等式证明的几种方法 一、巧妙构造，利用数列的单调性 例1. 对任意自然数n，求证：。 证明：构造数列 。 所以，即为单调递增数列。 所以，即 。 点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可构造数列，通过数列的单调性解决。 二、放缩自然，顺理成章 例2. 已知函数，数列的首项，以后每项按如下方式取定：曲线处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行。 求证：当时： （1）； （2）。 证明：（1）因为，所以曲线处的切线斜率为。 又因为过点（0，0）和两点的斜率为，所以结论成立。（2）因为函数 ， 所以，即，因此 ； 又因为。 令，且。 所以 因此， 所以 三、导数引入 例3. 求证： 证明：令，且当时，，所以 。要证明原不等式，只须证 。 设， 所以。 令， 所以。 设， 所以上为增函数 所以，即 所以 同理可证 所以。对上式中的n分别取1，2，3，…，，得。 四、裂项求和 例4. 设是数列的前n项和，且 （1）求数列的首项，及通项； （2）设，证明。 解：（1）首项（过程略）。 （2）证明：将， 得， 则 点评：本题通过对的变形，利用裂项求和法化为“连续相差”形式，从而达到证题目的 五、独辟蹊径，灵活变通 独辟蹊径指处事有独创的新方法，对问题不局限于一种思路和方法，而是善于灵活变通，独自开辟新思路、新方法。 例5. 已知函数。设数列，数列满 足 （1）求证：； （2）求证：。 证明：（1）证法1：由 令，则只须证；易知，只须证。 由分析法： 。 因为，， 所以，得证。 证法2：由于的两个不动点为。又，所以 所以 所以 ， 由上可求得， 因此只需证， 《基本不等式的证明》教学设计 【教材分析】 不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。而基本不等式是本章重要的一个单元，它是证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛。基本不等式是高中数学的重要内容之一，在高考说明中等级要求为C级。在不同的章节中都有应用，是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的好素材。本教材特别强调基本不等式的代数与几何背景以及在求最值中的应用。 【学情分析】 学生对函数中求最值，在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题，因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。在两个数的算术平均数和几何平均上，我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。这样对两个数据形式上就不会陌生，在初步了解大小关系后在给出概念。但由于学生的基础薄弱，可以预见在探索基本不等式时，寻找不等关系也有一定的困难。 【教学目标】 知识目标：1、知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平 均数和几何平均数。 2、理解基本不等式的证明过程。 技能目标：1、掌握基本不等式的取等条件，并能用此方法求函数最大值。 2、通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种 证明中简单的方法证明其它不等式问题。 3、体会类比的数学思想方法，培养其观察分析问题的能力和总结概括 的能力 情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。 【教学重点】 1、如果a，b是正书，则为a、b的算术平均数；为a、b的几何平均，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。即定理， （）（当且仅当时取） 2、上面公式中“当且仅当的含义是：当时取等号，即 ； 仅当时取等号，即，综合起来就是的 充要条件。 【教学难点】 1、不等式求函数最值时的取等条件 2、对于公式的变形可求的最大值 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a, b为实数，则Ia + b$|a|+|b|,当且仅当abMO时，等号成立。 几何说明：(1)当ab〉O时，它们落在原点的同一边，此时a与一b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a, b分别落在原点两边，a与一b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0, a>0, b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a—b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 b 0 a _b | ---- I b I -- H" lol十I 定理2 设a, b, C为实数，则Ia-c|<|a-b|4-|b-c|,等号成立 ^(a-b)(b-c)>O f即b 落在a, c 之间。 推论1 II ad - I b |国a + b | 推论2 Ha|-|b||<|a-b| ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“U”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述淸楚，也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证ANB,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得5利用放缩法证明数列型不等式压轴题
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