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空间向量第四课时学案

空间向量第四课时学案
空间向量第四课时学案

9.5空间向量及其运算(第四课时)

【学习目标】

1.了解向量夹角的概念及夹角的范围

2.理解向量的垂直,向量的长度及正射影等有关概念。

3.掌握向量数量积的定义及向量数量积的性质。

【自主学习】(温馨提示:阅读课本36-37页内容后,请完成下列各题)

1.夹角:已知两个向量a 、,在空间任取一点O ,作,O A a O B b == ,则角∠AOB 叫做向量a 与的,记作,其取值范围为,当,2a b p <>=r r 时,则称,并记作。 2.若O A a =uur r

,则有向线段O A uur 的长度叫做向量的,并记作。 3.向量的数量积: 叫做向量a 、的数量积,记作__ _,即=___ _。 4.已知向量,A B a = 和轴l ,e 是l 上与l 同方向的单位向量,点A 在l 上的射影为'A ,点B 在l 上的射影为'B ,则''A B 叫做,简称,并且''||A B =。

5.空间向量的数量积的性质 :

(1)a e = ;(2)a b ⊥? ;(3)2||a = 。 6.空间向量的数量积运算律: (1)()a b λ=

;(2)a b = (交换律);(3)(分配律)。

【合作探究】

例1. 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ,点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点,求下列向量的数量 积:(1)AD BD ?

;(2);G F AC (3)EF BC 。

例2、如图1,已知:,m n 是平面α内的两条相交直线,直线l 与α的交点为B ,且,l m l n ⊥⊥。求证:l α⊥。

【课堂巩固】

1.已知a 、b 、c 是两两垂直的单位向量,则|a -2b +3c |=。

2.已知向量,a b r r 的夹角为120,||1,||3a b ?=r r ,则|5|a b -=r r

3.长为4的向量a r 与单位向量e 的夹角为23

π,则向量a r 在向量e 方向上的投影为。 4、已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点M ,N 分别是边AB ,CD 的中点,求证MN ⊥AB ,MN ⊥CD 。

b b

b b a

?图1

【学习心得】

【课后巩固与提高】

A 级 1. 已知0OA OC O

B O

C -=

,则直线OC 与AB 的位置关系是 ()

A .平行

B .垂直

C .重合

D .相交但不垂直

2.已知异面直线a 与b 所成的角为θ,向量m 和n

所在直线分别平行于a 和b ,则恒有() A .cos m n m n θ?= B .cos()m n m n πθ?-= C .cos m n m n θ?= D .cos m n m n

θ?= 3.已知空间四边形A B C D 每条边和对角线长都等于a ,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,DC 的中点,则下列各式中值为2a 的是 () A.2BA AC ? B.2DA BD ? C.2FG AC ? D.2EF DB ?

4.已知空间四边形ABCD 中,AB C D AC BD ⊥⊥,,求证:A D B C ⊥.

B 级 1.已知向量a b ⊥ ,向量c 与,a b 的夹角都是60 ,且||1,||2,||3a b c === ,试求:

(1)2()a b + ;(2)2(2)a b c +- ;(3)(32)(3)a b b c -?- .

2.正方体1111ABC D A B C D -中,E F ,分别是111BB B D ,的中点.求A E 与1D A 所成角的余弦.

高中数学人教A版选修(2-1)3.1.1《空间向量及其运算》word导学案

3.1.1 空间向量及其运算 【使用说明及学法指导】 1.先自学课本,理解概念,完成导学提纲; 2.小组合作,动手实践。 【学习目标】 1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法; 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; 一、自主学习 1.预习教材P 84~ P 86, 解决下列问题 复习1:平面向量基本概念: 具有 和 的量叫向量, 叫向量的模(或长度); 叫零向量,记着 ; 叫单位向量. 叫相反向量, a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 , ,和 共三 种方法. 复习2:平面向量有加减以及数乘向量运算: 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积: 实数λ与向量a 的积是一个 量,记作 ,其长度和方向规定如下: (1)|λa |= . (2)当λ>0时,λa 与b ; 当λ<0时,λa 与b ; 当λ=0时,λa = . 3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗? 加法交换律:a +b =b +a 加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c ) 数乘分配律:λ(a +b )=λa +λb 2.导学提纲 1.空间向量中的零向量,单位向量,相等向量分别如何表示:__________、_________、_____________. 2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +- . a b 3.点C 在线段AB 上,且52 AC CB =,则AC = AB , BC = AB . 4.知识反思:可以发现平面向量和空间向量存在怎样的位置关系? 5.知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的共同点都 是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”,空间的平移包含平面的平移. 二、典型例题 例1、(1)给出下列命题: ①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆; ②若空间向量a 、b 满足|a |=|b |,则a =b ;

学案37 空间向量及其运算(理科 )

空间向量及其运算(理科 ) 一、 学习目标: 1、知识与技能:了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示,用向量的数量积判断向量的共线与垂直 2、过程与方法:通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。 3、情感、态度、价值观:增强数学学习信心,体会数学的科学价值,获得学习的快乐。 二、知识梳理::已知向量111222(,,),(,,)x y z x y z ==a b 1、±=a b 2、λa = 3、?a b = 4、共线向量定理:(1)//a b ()≠?0b ? (2)//a b 222(0)x y z ≠? (3)与)0(≠a a 共线的单位向量是 5、共面向量定理: 6、空间向量分解定理: 7、空间向量b a ,的数量积(1)夹角 ; (2)两个向量b a ,数量积的定义: ; (3)两个向量b a ,数量积的性质 , , , 。 (4)数量积满足的运算律: , , 。 8、两个向量的夹角及长度的计算:设),,(),,,(321321b b b b a a a a ==, 则=a ________,cos= ____________ 三、基础训练: (1)在空间四边形OABC 中,,,,OA OB OC === a b c 点M 在OA 上,且 OM=2MA ,N 是BC 的中点,则MN = . (2)已知,R λ∈a 为非零向量,则下列结论正确的是( ) (A )λa 与a 同向 (B )|λa |=λ|a | (C )(λa )//a (D) |λa |=|λ|a (3)设非零向量a ,b ,c ,,|||||| =++a b c p a b c 那么||p 的取值范围是( ) (A )[0,1] (B )[1,2] (C )[0,3] (D) [1,3] (4)在平行六体ABCD A B C D ''''-中,AB=4,AD=3,5,AA '=90BAD ∠= ,

空间向量及其运算详细教案

空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标: (1)通过本章的学习,使学生理解空间向量的有关概念。 (2)掌握空间向量的加减运算法则、运算律,并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标: (1)培养学生的类比思想、转化思想,数形结合思想,培养探究、研讨、综合自学应用能力。 (2)培养学生空间想象能力,能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。(3)培养学生空间向量的应用意识 教学重点: (1)空间向量的有关概念 (2)空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 (3)空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点: (1)空间想象能力的培养,思想方法的理解和应用。 (2)空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点:空间向量的加减运算及其几何意义,空间想象能力,向量的应用思想。 易错点:空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具:多媒体 教学方法:研讨、探究、启发引导。 教学指导思想:体现新课改精神,体现新教材的教学理念,体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程: (老师):同学们好!首先请教同学们一个问题:物理学中,力、速度和位移是什么量?怎样确定? (学生):矢量,由大小和方向确定 (学生讨论研究)(课件)引入:(我们看这样一个问题)有一块质地均匀的正三角形面的钢板,重500千克,顶点处用与对边成60度角,大小200千克的三个力去拉三角形钢板,问钢板在这些力的作用下将如何运动?这三个力至少多大时,才能提起这块钢板? (老师):我们研究的问题是三个力的问题,力在数学中可以看成是什么? (学生)向量 (老师):这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同? (学生)这是三个向量不共面 (老师):不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么? (学生):不能,得用空间向量 (老师):是的,解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书:空间向量及其运算 (老师):实际上空间向量我们随处可见,同学们能不能举出一些例子? (学生)举例 (老师):然后再演示(课件)几种常见的空间向量身影。(常见的高压电线及支架所在向量,长方体中的三个不共线的边上的向量,平行六面体中的不共线向量) (老师):接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点,空间向量与平面向量既有联系又有区别,我们将通过类比的方法来研究空间向量,首先我们复习回顾一下平面向量

2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 第14课时 空间向量及其线性运算导学案苏教版选修2-1.doc

2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 第14课时 空间向量及其线性运算导学案苏教版选修2-1 【教学目标】 理解空间向量的基本概念,掌握空间向量的线性运算及其运算律,理解共线向量定理。 【自主学习】 1.平面向量: . 空间向量: ___________________________________________________________. 思考:平面向量与空间向量有什么关系? 2.相等向量: . 共线向量: . 3.空间向量的线性运算及其运算律: (1)交换律: . (2)结合律: . (3)λ(a +b )= . 4.共线向量定理: 对空间任意两个向量, (0)a b a ≠,b a 与共线的充要条件是_____________; 思考:(1)若实数λ=0,λa 表示什么? (2)为什么规定0a ≠? 【合作探究】 例1. 如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M 是BB 1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简 得到的向量: (1)1CB BA +; (2)11 2 AC CB AA ++ ; (3)1AA AC CB --.

例2.如图,在长方体OADB-CA ’D ’B ’中,OA=3,OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1,点E,F 分别是DB,D ’B ’的中点,设,,,,,.OI i OJ j OK k i j k OE OF ===试用向量表示和

例3.设1e ,2e 是平面上不共线的向量,已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-,若A 、B 、C 三点共线,求k 的值. 【回顾反思】 【学以致用】 1. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量表达式1DD AB BC -+化简后的结果是 . 2. 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,用向量11,AB AD AA AC ,来表示向量的表达式为

人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案空间向量及其加减运算

空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 预习课本P84~85,思考并完成以下问题 1.空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么? 2.空间向量的加法和减法是怎样定义的?满足交换律及结合律吗? [新知初探] 1.空间向量的有关概念 (1)定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)长度:向量的大小叫做向量的长度或模. (3)表示法:????? ①几何表示法:空间向量用有向线段表示. ②字母表示法:用字母表示,若向量a 的起点是A ,终点是B ,则向量a 也 可以记作AB ,其模记为|a |或|AB |. 2.几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a |=1或|AB |=1 相反向量 与a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量 -a

相等向量方向相同且模相等的向量a=b或AB=CD 3.空间向量的加法和减法运算 空间向量的运算 加法OB=OA+AB=a+b 加法Z CA=OA-OC=a-b 运算律(1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同() (2)零向量没有方向() (3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致() 答案:(1)√(2)×(3)√ 2.化简PM-PN+MN所得的结果是() A.PM B.NP C.0 D.MN 答案:C 3.在四边形ABCD中,若AC=AB+AD,则四边形ABCD的形状一定是() A.平行四边形B.菱形 C.矩形D.正方形 答案:A 4.在空间中,把所有单位向量的起点移到一点,则这些向量的终点组成的图形是________. 答案:球面 空间向量的概念辨析 [典例] A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b| C.空间向量的减法满足结合律 D.在四边形ABCD中,一定有AB+AD=AC [解析]|a|=|b|,说明a与b模相等,但方向不确定;对于a的相反向量b=-a,故|a|

高中数学 3.1.3空间向量的数量积导学案 人教A版选修2-1

3.1.3 空间向量的数量积 【使用说明及学法指导】 1.先自学课本,理解概念,完成导学提纲; 2.小组合作,动手实践。 【学习目标】 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题. 3. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示; 4. 掌握空间向量的坐标运算的规律; 【重点】利用两个向量的数量积解决立体几何中的问题. 【难点】空间向量的坐标运算的规律 一、自主学习 1预习教材P 90~ P 92, 解决下列问题 复习1:什么是平面向量a 与b 的数量积? 复习2:在边长为1的正三角形⊿ABC 中,求AB BC ?. 2.导学提纲 1) 两个向量的夹角的定义:已知两非零向量,a b ,在空间 ,作 ,OA a OB b ==,则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作 . ⑴ 范围: ,a b ≤<>≤ ,a b ??=0时,a b 与 ;,a b ??=π时,a b 与 ⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗? ⑶,a b <>= ,则称a 与b 互相垂直,记作 . 2) 向量的数量积: 已知向量,a b ,则 叫做,a b 的数量积,记作a b ?,即a b ?= . ⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量? ⑵ 0a ?= (选0还是0) ⑶ 你能说出a b ?的几何意义吗? 3) 空间向量数量积的性质: (1)设单位向量e ,则||cos ,a e a a e ?=<>. (2)a b a b ⊥??= . (3)a a ?= = . (4)cos ,a b <>=____________

2019高考数学考点突破——空间向量与立体几何空间向量及其运算学案

空间向量及其运算 【考点梳理】 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中,具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使得a =λb . (2)共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p =x a +y b . (3)空间向量基本定理:如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p =x a +y b +z c ,其中,{a ,b ,c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作OA →=a ,OB → =b ,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作〈a ,b 〉,其范围是[0,π],若〈a ,b 〉=π 2 ,则称a 与b 互相垂直,记作a ⊥b . ②非零向量a ,b 的数量积a·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉. (2)空间向量数量积的运算律: ①结合律:(λa )·b =λ(a·b ); ②交换律:a·b =b·a ; ③分配律:a·(b +c )=a·b +a·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用

设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1+a 2b 2+a 3b 3 共线 a =λb (b ≠0,λ∈R ) a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3 垂直 a·b =0(a ≠0,b ≠0) a 1 b 1+a 2b 2+a 3b 3=0 模 |a | a 21+a 22+a 2 3 夹角 〈a ,b 〉(a ≠0,b ≠0) cos 〈a ,b 〉= a 1 b 1+a 2b 2+a 3b 3 a 21+a 22+a 23· b 21+b 22+b 2 3 考点一、空间向量的线性运算 【例1】如图所示,在空间几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,各面为平行四边形,设AA 1→=a ,AB → =b ,AD → =c ,M ,N ,P 分别是AA 1,BC ,C 1D 1的中点,试用a ,b ,c 表示以下各向量: (1)AP →;(2)MP →+NC 1→. [解析] (1)因为P 是C 1D 1的中点,所以AP →=AA 1→+A 1D 1→+D 1P →=a +AD →+12D 1C 1→ =a +c +12AB →=a +c +1 2 b . (2)因为M 是AA 1的中点,所以MP →=MA →+AP → =12 A 1A →+AP → =-12a +? ? ???a +c +12b =12a +12b +c . 又NC 1→=NC →+CC 1→=12BC →+AA 1→

空间向量及其运算导学案

2017级人教版数学选修2-1 编号:1 编制时间: 2018/12/11 编制人: §3.1.1空间向量及其运算 学习目标 1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法; 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 学习过程 一、【预习案】 复习1:平面向量基本概念: 具有 和 的量叫向量, 叫向量的模(或长度); 叫零向量,记着 ; 叫单位向量. 叫相反向量, a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 , , 和 共三种方法. 复习2:平面向量有加减以及数乘向量运算: 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积: 实数λ与向量a 的积是一个 量,记作 ,其长度和方向规定如下: (1)|λa |= . (2)当λ>0时,λa 与A. ; 当λ<0时,λa 与A. ; 当λ=0时,λa = . 3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗? 加法交换律:a +b =b +a 加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c ) 数乘分配律:λ(a +b )=λa +λb 二、【探究案】 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的相关概念 问题: 什么叫空间向量?空间向量中有零向量,单位向量,相等向量吗?空间向量如何表 示? 新知:空间向量的加法和减法运算: 空间任意两个向量都可以平移到同一平面 内,变为两个平面向量的加法和减法运算, 例如右图中, OB = , AB = , 试试:1. 分别用平行四边形法则和三角形 法则求,.a b a b +-a .b

高考数学一轮复习(北师大版理科):第7章立体几何第6节空间向量及其运算学案

第六节空间向量及其运算 [考纲传真]1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. (对应学生用书第120页) [基础知识填充] 1.空间向量的有关概念 2. (1)共线向量定理:空间两个向量a,b(b≠0),共线的充要条件是存在实数λ,使 得a=λb. (2)空间向量基本定理:如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量.a是空间任 一向量,那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3,使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3,其中e1,e2,e3叫作这个空间的一个基底. 3.两个向量的数量积及运算律 (1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)空间向量数量积的运算律: ①交换律:a·b=b·a; ②分配律:a·(b+c)=a·b+a·c; ③(λa)·b=λ(a·b). 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ,b 共面.( ) (2)对任意两个空间向量a ,b ,若a ·b =0,则a ⊥b .( ) (3)若a ·b <0,则〈a ,b 〉是钝角.( ) (4)若A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则有AB →+BC →+CD →+DA → =0.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)如图7-6-1所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB → =a ,AD →=b ,AA 1→=c ,则下列向量中与BM → 相等的向量是( ) 图7-6-1 A .-12a +1 2b +c B .12a +1 2b +c C .-12a -1 2 b +c D .12a -1 2 b + c A [BM →=BB 1→+B 1M →=AA 1→+12(AD →-AB → )=c +12(b -a )=-12a +12 b + c .] 3.若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ,d =λa +μb (λ、μ∈R ,且λμ≠0),则( ) A .c ∥d B .c ⊥d C .c 不平行于d ,c 也不垂直于d D .以上三种情况均有可能 B [由题意得,c 垂直于由a ,b 确定的平面. ∵d =λa +μb ,∴d 与a ,b 共面.∴c ⊥d .] 4.已知a =(2,3,1),b =(-4,2,x ),且a ⊥b ,则|b |=________. 2 6 [∵a ⊥b ,∴a ·b =2×(-4)+3×2+1·x =0, ∴x =2,∴|b |=(-4)2 +22 +22 =2 6.]

空间向量及其运算学案

8.6空间向量及其运算 考情分析 1.考查空间向量的线性运算及其数量积. 2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直. 3.考查空间向量基本定理及其意义. 基础知识 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)相等向量:方向相同且模相等的向量. (3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量. (4)共面向量:平行于同一个平面的向量. 2.空间向量的线性运算及运算律 (1)定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算,如下:OB →=OA →+AB →=a +b ;BA →=OA →-OB →=a -b ;OP →=λa (λ∈R ). (2)运算律:(1)加法交换律:a +b =b +a . (3)加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c ). (4)数乘分配律:λ(a +b )=λa +λb . 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB 叫做 向量a 与b 的夹角,记作〈a ,b 〉,其范围是0≤〈a ,b 〉≤π,若〈a ,b 〉=π 2,则称a 与b 互相垂直,记作a ⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ,b 则|a||b|cos 〈a ,b 〉叫做向量a ,b 的数量积,即a·b =|a||b|cos 〈a ,b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa )·b =λ(a·b );

②交换律:a·b =b·a ; ③分配律:a·(b +c )=a·b +a·c . 4.基本定理 (1)共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb . (2)共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在实数x ,y 使p =x a +y b . (3)空间向量基本定理:如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组x ,y ,z ,使p =x a +y b +z c . 注意事项 1.用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是: (1)适当的选取基底{a ,b ,c }; (2)用a ,b , c 表示相关向量; (3)通过运算完成证明或计算问题. 2.(1)共线向量定理还可以有以下几种形式: ①a =λb ?a ∥b ; ②空间任意两个向量,共线的充要条件是存在λ,μ∈R 使λa =μb . ③若OA →,OB →不共线,则P ,A ,B 三点共线的充要条件是OP →=λOA →+μOB →且λ+μ=1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解.空间向量基本定理是适当选取基底的依据,共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具,三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”. 3.空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习.学生要特别注意共面向量的概念.而对于四种运算的运算律,要类比实数加、减、乘的运算律进行学习. 题型一 空间向量的线性运算 【例1】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE →=AA 1 →+xAB →+yAD →,则x 、y 的值分别为( )

高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算导学案 人教A版选修2-1

3.1.2 空间向量的数乘运算 【使用说明及学法指导】 1.先自学课本,理解概念,完成导学提纲; 2.小组合作,动手实践。 【学习目标】 1.掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简; 2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 【难点】理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 一、自主学习 1.预习教材P86~ P87, 解决下列问题 复习1:化简: ⑴ 5(32 -); b a a b -)+4(23 ⑵()() -+--+-. a b c a b c 63 复习2:在平面上有两个向量,a b,若b是非零向量,则a与b平行的充要条件是 2.导学提纲 1.空间任意两个向量有____种位置关系?如何判定它们的位置关系?任意两个向量的夹角的范围是______________? 2. 如果表示空间向量的所在的直线互相或,则这些向量叫共线向量,也叫_____________ 3.对空间任意两个向量,a b(0 a b的充要条件是存在唯一实数λ, b≠),// 使得 ______,为何要求0 b≠? 4.如图,l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线,对空间 的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是 5.对空间两个不共线向量,a b,向量p与向量,a b共面的充要条件 是存在,使得 . 6.空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是: ⑴存在,使 ⑵对空间任意一点O,有

7.向量共面的充要条件的理解 (1)MP =xMA →+yMB → .满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内; 反之,平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式.这个充要条件常用以证明四点共面. (2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式,即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来,它既是判断三个向量是否共面的依据,又可以把已知共面条件转化为向量式,以便于应用向量这一工具.另外,在许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x ,y ,z ) 使得对于空间任意一点O ,有OB =(1-t )OA →=xOA →+yOB →+zOC → ,且x +y +z =1成立,则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据. 二、典型例题 例1.1. 下列说法正确的是( ) A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等 D. 若向量a 与b 共线,则a b λ= 2. 正方体''''ABCD A B C D -中,点E 是上底面''''A B C D 的中心,若''BB xAD y AB z AA =++,则x = ,y = ,z = . 3. 若点P 是线段AB 的中点,点O 在直线AB 外,则OP = OA + OB . 4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与1的交点,则'1 ()3 AB AD AA ++= AO 5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -,M 是AC 与BD 交点,若',,AB a AD b AA c ===,则与'B M 相等的向量是( ) A. 1122a b c -++; B. 11 22a b c ++; C. 1122a b c -+; D. 11 22 a b c --+. 6. 在下列命题中:①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行;②若a 、b 所在的直线是异面直线,则a 、b 一定不共面;③若a 、b 、c 三向量两两共面,则a 、b 、c 三向量一定也共面;④已知三向量a 、b 、c ,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p =x a +y b +z c .其中正确命题的个数为 ( ).

人教版高中数学选修2-1 空间向量及其运算导学案

3.1.1 空间向量及其运算 【使用说明及学法指导】 1.先自学课本,理解概念,完成导学提纲; 2.小组合作,动手实践。 【学习目标】 1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法; 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; 一、自主学习 1.预习教材P 84~ P 86, 解决下列问题 复习1:平面向量基本概念: 具有 和 的量叫向量, 叫向量的模(或长度); 叫零向量,记着 ; 叫单位向量. 叫相反向量, a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 , ,和 共三种方法. 复习2:平面向量有加减以及数乘向量运算: 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积: 实数λ与向量a 的积是一个 量,记作 ,其长度和方向规定如下: (1)|λa |= . (2)当λ>0时,λa 与b ; 当λ<0时,λa 与b ; 当λ=0时,λa = . 3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗? 加法交换律:a +b =b +a 加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c ) 数乘分配律:λ(a +b )=λa +λb 2.导学提纲 1.空间向量中的零向量,单位向量,相等向量分别如何表示:__________、_________、_____________. 2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-. a b 3.点C 在线段AB 上,且52 AC CB =,则AC = AB , BC = AB .

高中数学人教A版选修2-1导学案:3.1.5--空间向量运算的坐标表示(学生版)

安阳县实验中学“四步教学法”导学案 Anyangxian shi yan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean 课题:3.1.5 空间向量运算的坐标表示 制单人: 审核人:高二数学组 班级:________ 组名:________姓名:________ 时间:__ 一. 自主学习 1学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式; 2. 会用这些公式解决有关问题. 2学习指导 一:空间向量坐标表示夹角和距离公式 问题:在空间直角坐标系中,如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角? 新知: 1. 向量的模:设a =123(,,)a a a ,则|a |= 2. 两个向量的夹角公式: 设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b , 由向量数量积定义: a ·b =|a ||b |cos <a ,b >, 又由向量数量积坐标运算公式:a ·b = , 由此可以得出:cos <a ,b >= 试试: ① 当cos <a 、b >=1时,a 与b 所成角是 ; ② 当cos <a 、b >=-1时,a 与b 所成角是 ; ③ 当cos <a 、b >=0时,a 与b 所成角是 , 即a 与b 的位置关系是 ,用符合表示为 . 反思: 设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b ,则 ⑴ a //B. ? a 与b 所成角是 ? a 与b 的坐标关系为 ;

⑵ a ⊥b ?a 与b 的坐标关系为 ; 3. 两点间的距离公式: 在空间直角坐标系中,已知点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则线段AB 的长度为: 222211212()()()AB x x y y z z =-+-+-. 4. 线段中点的坐标公式: 在空间直角坐标系中,已知点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z , 则线段AB 的中点坐标为: . 二. 合作交流 1如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点,求1BE 与1DF 所成的角的余弦值. 2. 如图,正方体1111ABCD A B C D -中,点E,F 分别是111,BB D B 的中点,求证:1EF DA ⊥. .三. 拓展延伸 如图,正方体1111ABCD A B C D -中,点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点,求CM 和1D N 所成角的余弦值.

2018版高中数学第三章空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算学案新人教A版

3.1.1 空间向量及其加减运算 学习目标 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差,了解向量加法的交换律和结合律. 知识点一 空间向量的概念 思考 类比平面向量的概念,给出空间向量的概念. 答案 在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. 梳理 (1)在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模. 空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模,向量a 的起点是A ,终点是B ,则向量a 也可记作AB →,其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量 知识点二 空间向量的加减运算及运算律 思考1 下面给出了两个空间向量a 、b ,作出b +a ,b -a . 答案 如图,空间中的两个向量a ,b 相加时,我们可以先把向量a ,b 平移到同一个平面α内,以任意点O 为起点作OA →=a ,OB →=b ,则OC →=OA →+OB →=a +b ,AB →=OB →-OA → =b -a . 思考2 由上述的运算过程总结一下,如何求空间两个向量的和与差?下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则?

答案 先将两个向量平移到同一个平面,然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可;图1是三角形法则,图2是平行四边形法则. 梳理 (1)类似于平面向量,可以定义空间向量的加法和减法运算. OB →=OA →+AB → =a +b , CA →=OA →-OC → =a -b . (2)空间向量加法交换律 a + b =b +a , 空间向量加法结合律 (a +b )+c =a +(b +c ). 类型一 有关空间向量的概念的理解 例1 给出以下结论: ①两个空间向量相等,则它们的起点和终点分别相同;②若空间向量a ,b 满足|a |=|b |,则a =b ;③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,必有AC →=A 1C 1―→ ;④若空间向量m ,n ,p 满足m =n , n =p ,则m =p .其中不正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 两个空间向量相等,它们的起点、终点不一定相同,故①不正确;若空间向量a ,b 满足|a |=|b |,则不一定能判断出a =b ,故②不正确;在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,必有AC → =A 1C 1―→ 成立,故③正确;④显然正确.故选B. 反思与感悟 在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等,方向相反. 跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,下列四对向量:①AB →与C 1D 1―→;②AC 1→与BD 1→ ;

高三数学大一轮复习空间向量及其运算学案理新人教A

学案45 空间向量及其运算 导学目标: 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 自主梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有______和______的量叫做空间向量. (2)相等向量:方向______且模______的向量. (3)共线向量定理 对空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a∥b 的充要条件是______________________________. 推论 如图所示,点P 在l 上的充要条件是:OP →=OA → +t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量,t ∈R ,在l 上取AB →=a ,则①可化为OP → = ___________________或OP →=(1-t )OA →+tOB → . (4)共面向量定理 如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在惟一的有 序实数对(x ,y ),使p =x a +y b ,推论的表达式为MP →=xMA →+yMB →或对空间任意一点O 有,OP → =__________________或OP →=xOA →+yOB →+zOM → ,其中x +y +z =____. 2.空间向量基本定理 如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p =____________________________,把{a ,b ,c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作OA →=a ,OB → =b ,则________叫做向量a 与b 的夹角,记作________,其范围是________________,若〈a ,b 〉=π 2 ,则称a 与 b ______________,记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知两个非零向量a ,b ,则______________________叫做向量a ,b 的数量积,记作________,即______________________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa )·b =____________________; ②交换律:a·b =________; ③分配律:a·(b +c )=________________. 4.空间向量的坐标表示及应用

高二数学 空间向量与立体几何教学案 新人教A版

天津市太平村中学高二数学 空间向量与立体几何教学案 新人 教A 版 如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱形, 2,60AB BAD =∠=. (Ⅰ)求证:BD ⊥平面;PAC (Ⅱ)若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面PBC 与平面PDC 垂直时,求PA 的长.

2.如图,在锥体P ABCD -中, ABCD 是边长为1的 菱形,且60DAB ∠=,PA PD == 2PB =,,E F 分别是BC ,PC 的中点. (1)证明:AD ⊥平面DEF ; (2)求二面角P AD B --的余弦值. 3,如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB = 12 PD . (I )证明:平面PQC ⊥平面DCQ ; (II )求二面角Q —BP —C 的余弦值. 4在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ ACB=,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF. (Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE; (Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小. 5如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA 1 =1.D 是棱CC 1上的一P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点,且PB 1∥平面BDA . (I )求证:CD=C 1D : (II )求二面角A-A 1D-B 的平面角的余弦值; (Ⅲ)求点C 到平面B 1DP 的距离.

6如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 中,AB ⊥AD ,AB+AD=4,CD=2,?=∠45CDA . (I )求证:平面PAB ⊥平面PAD ; (II )设AB=AP . (i )若直线PB 与平面PCD 所成的角为?30,求线段AB 的长; (ii )在线段AD 上是否存在一个点G ,使得点G 到点P ,B ,C , D 的距离都相等?说明理由。

高中数学《空间向量及其运算》公开课优秀教学设计

课题:空间向量及其线性运算(人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容) 教学内容解析: 本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学(选修2-1)》(人教A 版)第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。 向量是既有大小又有方向的量,既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念;二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角,本课作为章节的起始课,是学生学习了平面向量的基础之后展开的,经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程,既复习巩固了平面向量的有关内容,又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫,起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索,得出相应的法则和性质,引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法,提高数学素养。 学情分析: 1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算,为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基础。 2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面,发展不够均衡,尚有待加强,必须在教师一定的指导下才能进行。 教学目标: 1.知识与技能目标: (1)了解空间向量的概念; (2)掌握空间向量的加减数乘运算; (3)掌握空间向量的运算律。 2.过程与方法目标: (1)理解空间向量的概念,掌握空间向量的表示方法; (2)会用图形说明空间向量加法,减法,数乘向量及它们的运算律; (3)用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。 3.情感态度价值观目标: (1)形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点; (2)通过变式训练,提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。 教学重点: 空间向量的线性运算; 教学难点: 体会类比的数学方法;(平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难)

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