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安徽省马鞍山市2015届高三下学期第二次模拟数学(理)试卷

2015年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑。

1．已知集合M={x|＞0}，则C R M=（）

A． {x|﹣1≤x＜1} B． {x|﹣1≤x≤1} C． {x|x≤﹣1或x＞1} D． {x|x≤﹣1或x ≥1}

2．设i为虚数单位，则复数的共轭复数是（）

A． i B．﹣i C．i D．﹣i

3．设数列{a n}是公比为q的等比数列，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（﹣6≤a≤3）的最大值为（）

A． B． 9 C． D． 3

5．已知A，B，C是圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为（）

A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°

6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则零件的体积与原来毛坯体积的比值为（）

A． B． C． D．

7．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）

A． 6 B． 11 C． 16 D． 21

8．定义运算?=，如?=．已知α+β=π，α﹣β=，

则?=（）

A． B． C． D．

9．已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的

一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）

A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（，2） D．（1，2）

10．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y=|O1P|2，y与x的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的大致图象是（）

A． B．

C． D．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5题，共25分，请在答题卡上答题。

11．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=3x﹣log3x，则f（2015）= ．

12．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（φ为参数，φ∈R）上的点到曲线ρ（cosθ+sinθ）=4（ρ，θ∈R）的最短距离是．

13．已知（x+1）5（2x﹣1）3=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，其中a0，a1，a2，…，a8∈R，则a1+a2+a3+…+a8= ．

14．已知实数x，y满足，则x﹣2y的取值范围是．

15．甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次；当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则就进入下一局，并且按相同的规则继续进行游戏；规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏．已知每次掷硬币中正面向上与反

面向上的概率都是，则下列结论中正确的是．

①第一局甲就出局的概率是；

②第一局有人出局的概率是；

③第三局才有人出局的概率是；

④若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是；

⑤该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．设函数f（x）=?，其中向量=（2cosx，cosx），=（cosx，2sinx）．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；

（Ⅱ）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2≥ab，求f（C）的取值范围．

17．某程序每运行一次都随机产生一个五位的二进制数，其中A的各位数字中，a1=1，且a k（k=2，3，4，5）为0和1的概率分别是和．记ξ=，当程序运行一次时：

（Ⅰ）求ξ=3的概率；

（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望．

18．如图，三棱锥O﹣ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且长度均为4，E，F分别是AB，AC的中点，过EF作平面α，平面α与侧棱OA相交于A1，与侧棱OB，OC的延长线分别交于点B1，C1，且OA1=3．

（Ⅰ）求证：BC∥B1C1；

（Ⅱ）求二面角O﹣A1B1﹣C1的余弦值．

19．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx．

（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）有极值﹣1，求实数a的值；

（Ⅱ）若函数G（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求实数a的取值范围．

20．如图，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2=4y有公共的焦点F．点A为椭

圆C1与抛物线C2准线的交点之一，过A向抛物线C2引切线AB，切点为B，且点A，B都在y 轴的右侧．

（Ⅰ）证明：FA⊥FB；

（Ⅱ）证明：直线AB是椭圆C1的切线．

21．已知数列{a n}中，a1=1，且=+k（n∈N*）．

（Ⅰ）若k=0，b=1，求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）若k=1，b=0，求证：当n≥3时，a n＞3﹣．

2015年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

1．已知集合M={x|＞0}，则C R M=（）

A． {x|﹣1≤x＜1} B． {x|﹣1≤x≤1} C． {x|x≤﹣1或x＞1} D． {x|x≤﹣1或x ≥1}

考点：补集及其运算．

专题：集合．

分析：根据补集的定义进行求解即可．

解答：解：M={x|＞0}={x|﹣1＜x＜1}，

则?R M={x|x≥1或x≤﹣1}，

故选：D

点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握补集的定义，比较基础．

2．设i为虚数单位，则复数的共轭复数是（）

A． i B．﹣i C．i D．﹣i

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．

分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

解答：解：复数===i的共轭复数是﹣i．

故选：B．

点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．

3．设数列{a n}是公比为q的等比数列，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

考点：充要条件．

专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．

分析：根据等比数列的性质可判断：当a1＜0时，“0＜q＜1”“{a n}为递增数列”；{a n}为递减数列”，

a1＜0时，q＞1，根据充分必要条件的定义可以判断答案．

解答：解：∵数列{a n}是公比为q的等比数列，则“0＜q＜1”，

∴当a1＜0时，“{a n}为递增数列”，

又∵“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的既不充分也不必要条件，

故选：D

点评：本题考察了等比数列的性质，充分必要条件的定义，属于容易题．

4．（﹣6≤a≤3）的最大值为（）

A． B． 9 C． D． 3

考点：二次函数的性质．

专题：函数的性质及应用．

分析：根据二次函数的性质，求出被开方数的最大值，进而可得答案．

解答：解：∵y=（3﹣a）（a+6）=﹣a2﹣3a+18在a=时，取最大值为：，

故（﹣6≤a≤3）在a=时，取最大值为：，

故选：A

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．

5．已知A，B，C是圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为（）

A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°

考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用．

分析：根据向量加法的运算，几何意义判断O位置，利用圆的几何性质判断分析出夹角．解答：解：∵若=（+），

∴根据向量加法的运算，几何意义得出O为BC的中点，

即BC为圆的直径，

∴圆周角∠CAB=

则与的夹角为90°．

故选：C

点评：本题考查了平面向量的加法的几何意义，结合图形判断，考查树形结合的思想，属于中档题．

A． B． C． D．

考点：由三视图求面积、体积．

专题：空间位置关系与距离．

分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．

解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3cm，高为2cm，一个是底面半径为2cm，高为4cm，

组合体体积是：32π?2+22π?4=34πcm3．

底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54πcm3，

切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．

故选：A

点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

7．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）

A． 6 B． 11 C． 16 D． 21

考点：程序框图．

专题：算法和程序框图．

分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

解答：解：当i=1时，满足执行循环的条件，此时S=1，故执行S=S2+1，故执行完循环体后，S=2，i=2；

当i=2时，满足执行循环的条件，此时S=2，故执行S=S2+1，故执行完循环体后，S=5，i=3；当i=3时，满足执行循环的条件，此时S=5，故执行S=S2+1，故执行完循环体后，S=26，i=4；当i=4时，满足执行循环的条件，此时S=26，故执行S=S﹣5，故执行完循环体后，S=21，i=5；

当i=5时，满足执行循环的条件，此时S=21，故执行S=S﹣5，故执行完循环体后，S=16，i=6；

当i=6时，不满足执行循环的条件，

故输出的S值为16，

故选：C

点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

8．定义运算?=，如?=．已知α+β=π，α﹣β=，

则?=（）

A． B． C． D．

考点：进行简单的合情推理．

专题：数系的扩充和复数．

分析：利用新定义、两角和差的正弦与余弦公式即可得出．

解答：解：?

====．

故选：B．

点评：本题考查了新定义、两角和差的正弦与余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

9．已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的

一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）

A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（，2） D．（1，2）

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：确定M，F1，F2的坐标，进而由?＜0，结合a、b、c的关系可得关于ac

的不等式，利用离心率的定义可得范围．

解答：解：设直线方程为y=（x﹣c），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，

可得交点坐标为P（，﹣）

∵F1（﹣c，0），F2（c，0），

∴=（﹣，），=（，），

由题意可得?＜0，即＜0，

化简可得b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，

故可得c2＜4a2，c＜2a，可得e=＜2，

∵e＞1，∴1＜e＜2

故选：D．

点评：本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属中档题．

A． B．

C． D．

考点：函数的图象．

专题：函数的性质及应用；平面向量及应用．

分析：由题意需要分段讨论，借助向量，当x∈[π，2π）时，由=﹣设

与的夹角为θ，再根据模的概念和弧长和弧度的关系，得到函数的表达式y=5+4cosx，

x∈（π，2π），同理求出后几段的表达式，继而得到函数的图象．

解答：解：当x∈[0，π]时，y=1，

当x∈[π，2π）时，

∵=﹣设与的夹角为θ，||=1，||=2，

∴θ=π﹣x

∴y=|O1P|2=（﹣）2=5﹣4cosθ=5+4cosx，x∈（π，2π），

∴函数y=f（x）的图象是曲线，且为单调递增，

当x∈[2π，4π）时，

∵=﹣，设与的夹角为α，||=2与||=1，

∴α=2π﹣x，

∴y=|O1P|2=（﹣）2=5﹣4cosθ=5+4cos x，x∈（2π，4π），

∴函数y=f（x）的图象是曲线，且为单调递减．

故选：A

点评：本题考查了函数的图象的识别，借助向量求出函数的表达式，培养了学生的应用知识的能力，属于难题．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5题，共25分，请在答题卡上答题。

11．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=3x﹣log3x，则f（2015）= ﹣3 ．

考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性．

专题：函数的性质及应用．

分析：得出f（x+4）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），求解即可f（2015）=f（﹣1+2016）=f （﹣1）=﹣f（1）=﹣3

解答：解：∵f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，

∴f（x+4）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），

∵当x∈（0，2]时，f（x）=3x+log3x，

∴f（2015）=f（﹣1+2016）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3

故答案为：﹣3．

点评：本题考查了函数的奇偶性，周期性，难度不大，关键是转为给定的区间上的函数值，属于容易题

12．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（φ为参数，φ∈R）上的点到曲线ρ（cosθ+sinθ）=4（ρ，θ∈R）的最短距离是2．

考点：简单曲线的极坐标方程．

专题：坐标系和参数方程．

分析：曲线（φ为参数，φ∈R）化为普通方程x2+y2=7，曲线ρ（cosθ+sin

θ）=4（ρ，θ∈R）化为x+y=4，求出圆心圆心O（0，0）到直线的距离d，即可得出最短距离=d﹣r．

解答：解：曲线（φ为参数，φ∈R）化为x2+y2=7，

曲线ρ（cosθ+sinθ）=4（ρ，θ∈R）化为x+y=4，

圆心O（0，0）到直线的距离d==2，

因此曲线（φ为参数，φ∈R）上的点到曲线ρ（cosθ+sinθ）=4（ρ，θ

∈R）的最短距离是2．

故答案为：2．

点评：本题考查了极坐标方程参数方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．

13．已知（x+1）5（2x﹣1）3=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，其中a0，a1，a2，…，a8∈R，则a1+a2+a3+…+a8= 33 ．

考点：二项式系数的性质．

专题：二项式定理．

分析：在所给的等式中，令x=0可得a0的值；令x=1，可得a0+a1+a2+a3+…+a8的值，从而求得a1+a2+a3+…+a8的值．

解答：解：对于（x+1）5（2x﹣1）3=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，令x=0可得a0=﹣1，

在（x+1）5（2x﹣1）3=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，令x=1，

可得a0+a1+a2+a3+…+a8=32，∴a1+a2+a3+…+a8=33．

故答案为：33．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．

14．已知实数x，y满足，则x﹣2y的取值范围是．

考点：简单线性规划．

专题：数形结合；不等式的解法及应用．

分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答：解：由约束条件作出可行域如图，

令z=x﹣2y，化为直线方程的斜截式，

由图可知，当直线过（）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为；由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，再由cosx=，得x=，

即当直线过（）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为

．

∴x﹣2y的取值范围是．

故答案为：．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

15．甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次；当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则就进入下一局，并且按相同的规则继续

进行游戏；规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏．已知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是，则下列结论中正确的是③．

①第一局甲就出局的概率是；

②第一局有人出局的概率是；

③第三局才有人出局的概率是；

④若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是；

⑤该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于．

考点：古典概型及其概率计算公式．

专题：概率与统计．

分析：三人各掷硬币一次，所有的结果共8种．由于当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；

①当有甲掷得的结果与其他二人不同时，共有2种结果

②第一局有人出局时，有6种结果，

③由于第三局才有人出局，则前两局无人出局，

④由于直到第九局才有人出局，则前8局无人出局，则直到第九局才有人出局，

⑤若该游戏在终止前，至少玩了六局，则前5局无人退出，

即可求出相应的概率．

解答：解：三人各掷硬币一次，每一次扔硬币都有2种结果，所有的结果共有23=8种．由于当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；

①当有甲掷得的结果与其他二人不同时，有正反反，反正正，共有2种结果，故第一局甲就出局的概率是；

②第一局有人出局时，有正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，共有6种结果，故第一局有人出局的概率是；

③由于第三局才有人出局，则前两局无人出局，故第三局才有人出局的概率是

=；

④由于直到第九局才有人出局，则前8局无人出局，则直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是=；

⑤若该游戏在终止前，至少玩了六局，则前5局无人退出，故该游戏在终止前，至少玩了六局的概率为1﹣﹣﹣×﹣×﹣×=．

故答案为：③．

点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．设函数f（x）=?，其中向量=（2cosx，cosx），=（cosx，2sinx）．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；

（Ⅱ）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2≥ab，求f（C）的取值范围．

考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：（Ⅰ）由向量和三角函数可得f（x）=2sin（2x+）+1，由周期公式可得周期，解

2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调递增区间，取[0，π]上的可得；

（Ⅱ）由题意和余弦定理可得0＜C≤，进而由三角函数和不等式的性质可得．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=?=2cos2x+2sinxcosx

=1+cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1，

∴函数f（x）的最小正周期T==π，

由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，

结合[0，π]可得单调递增区间为[0，]；

（Ⅱ）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2≥ab，

∴cosC=≥，∴0＜C≤，

∴0＜2C≤，∴＜2C+≤，

∴≤sin（2C+）≤1，

∴f（C）=2sin（2C+）+1∈[2，3]

∴f（C）的取值范围为：∈[2，3]

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及周期性和单调性以及余弦定理，属中档题．

17．某程序每运行一次都随机产生一个五位的二进制数，其中A的各位数字中，a1=1，且a k（k=2，3，4，5）为0和1的概率分别是和．记ξ=，当程序

运行一次时：

（Ⅰ）求ξ=3的概率；

（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望．

考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

专题：应用题；概率与统计．

分析：（Ⅰ）由题意得：P（ξ=3）=，由此能求出ξ=3的概率．

（Ⅱ）由题设知，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：P（ξ=3）==．

（Ⅱ）由题设知，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，

且P（ξ=1）==，

P（ξ=2）==，

P（ξ=3）=，

P（ξ=4）==，

P（ξ=5）==，

故ξ的概率分布列为：

ξ 1 2 3 4 5

∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=4．

点评：本题考查离散型随机变量的概率分布列和数学期望，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．

（Ⅰ）求证：BC∥B1C1；

（Ⅱ）求二面角O﹣A1B1﹣C1的余弦值．

考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．

专题：空间位置关系与距离；空间角．

分析：（Ⅰ）通过中位线定理及线面平行的判定定理即得答案；

（Ⅱ）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立坐标系，则二面角O﹣A1B1﹣C1即为O﹣A1E﹣F，所求值即为平面OA1E的法向量与平面FA1E的法向量的夹角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵E、F为AB、AC中点，∴BC∥EF，

又∵BC?平面A1B1C1，EF?平面A1B1C1，

∴BC∥平面A1B1C1，

又∵BC?平面OBC，平面OBC∩平面A1B1C1=B1C1，

∴BC∥B1C1；

（Ⅱ）解：以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立坐标系，

则B（4，0，0），C（0，4，0），A（0，0，4），A1（0，0，3），E（2，0，2），F（0，2，2），二面角O﹣A1B1﹣C1即为O﹣A1E﹣F，

显然OC⊥平面OA1E，故平面OA1E的法向量可以取=（0，1，0），

设平面FA1E的法向量为=（x，y，z），

则，

令x=1，得=（1，1，2），

===，

∴二面角O﹣A1B1﹣C1的余弦值为．

点评：本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．

19．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx．

（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）有极值﹣1，求实数a的值；

（Ⅱ）若函数G（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求实数a的取值范围．

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

专题：分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析：（Ⅰ）求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，判断函数的单调区间，即可得到极值，进而求得a；

（Ⅱ）求出函数G（x）的导数，由于G（x）在区间（0，1）上为增函数，可得﹣acos（1﹣x）+≥0在（0，1）上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可求得最小值，可得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）x＞0，F′（x）=a﹣=（x＞0），

当a≤0时，F′（x）＜0，F（x）在（0，+∞）递减，无极值；

当a＞0时，由F′（x）＞0，可得x＞，由F′（x）＜0，可得0＜x＜，

x=取得极小值．

由F（x）有极值﹣1，即有1﹣ln=﹣1，

解得a=；

（Ⅱ）G（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）=asin（1﹣x）+lnx，

G′（x）=﹣acos（1﹣x）+，G（x）在（0，1）上递增，

即有﹣acos（1﹣x）+≥0在（0，1）上恒成立，

即a≤在（0，1）上恒成立．

令h（x）=xcos（1﹣x），0＜x＜1，

h′（x）=cos（1﹣x）+xsin（1﹣x）＞0，

h（x）在（0，1）递增，0＜xcos（1﹣x）＜1，

即有＞1，

则有a≤1．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．

20．如图，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2=4y有公共的焦点F．点A为椭

圆C1与抛物线C2准线的交点之一，过A向抛物线C2引切线AB，切点为B，且点A，B都在y 轴的右侧．

（Ⅰ）证明：FA⊥FB；

（Ⅱ）证明：直线AB是椭圆C1的切线．

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（Ⅰ）由题意易得焦点准线，利用导数求斜率得出a，b，x0得关系式，再利用数量积得证．

（Ⅱ）利用判别式法计算量太大，由斜率相等得出恒成立条件得证．

解答：解：（Ⅰ）证明：由题意得，F（0，1），c=1，a2﹣b2=1，准线y=﹣1，．由x2=4y，得y=，，

设点B，则直线AB斜率k==，得，

∵，，

∴==0，

∴FA⊥FB．

（Ⅱ）证明：根据抛物线的定义，点B到准线的距离等于到焦点的距离得，所以

由，，，

把代入y′=a，

若直线AB是椭圆C1的切线，则有恒成立，即，化简得a2﹣b2=1．

∴直线AB是椭圆C1的切线．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、直线与圆锥曲线的相交问题是解题的关键．本题需要较强的计算能力，注意数形结合的思想方法应用．

21．已知数列{a n}中，a1=1，且=+k（n∈N*）．

（Ⅰ）若k=0，b=1，求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）若k=1，b=0，求证：当n≥3时，a n＞3﹣．

考点：数列递推式．

分析：（Ⅰ）若k=0，b=1，利用叠乘法求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）利用数学归纳法进行证明．

解答：（Ⅰ）解：k=0，b=1，=，

∴n≥2，a n=a1??…?=1??…?=，

n=1时，结论也成立，

2013年高考理科数学安徽卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (安徽卷) 第Ⅰ卷(选择题共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013安徽，理1)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z ＝( )． A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 2．(2013安徽，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )． A ．16 B ．2524 C ．34 D ．1112 3．(2013安徽，理3)在下列命题中，不．是．公理的是( )． A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4．(2013安徽，理4)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 5．(2013安徽，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )． A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样 C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 6．(2013安徽，理6)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为112x x x ?? <->??? ? 或，则f (10x )＞0的解集为( )． A ．{x|x ＜－1或x ＞－lg 2} B ．{x|－1＜x ＜－lg 2} C ．{x|x ＞－lg 2} D ．{x|x ＜－lg 2} 7．(2013安徽，理7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )． A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2 (ρ∈R)和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1

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黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 与B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B = 第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则 z i z i +?= （A ）-2 （B ）-2i （C ）2 （D ）2i （2）“x ＜0”是ln(1)0x +<的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34 （B ）55 （C ）78

（D ）89 (4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线l 的参数方程是???-=+=3 , 1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22 （5）x , y 满足约束条件?? ? ??≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ） 21 或-1 （B ）2或2 1 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足()()sin f x f x x π+=+，当0≤x ≤π时，()0f x =，则)6 23( π f = （A ） 2 1 （B ）23 （C ）0 （D ）2 1- （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18 （8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对（B ）30对（C ）48对（D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5

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