搜档网
当前位置:搜档网 › 2021届文科复习讲义知识点三十直线、平面垂直的判定及性质

2021届文科复习讲义知识点三十直线、平面垂直的判定及性质

2021届文科复习讲义知识点三十直线、平面垂直的判定及性质
2021届文科复习讲义知识点三十直线、平面垂直的判定及性质

直线、平面垂直的判定及其性质

考点知识梳理

一、直线与平面垂直

(一)、直线与平面垂直的定义

条件:直线l与平面α内的______________都垂直结论:直线l与平面α垂直(二)、直线与平面垂直的判定:Array 1、判定定理:一条直线和一个平面内的__________________都垂直,

则该直线和此平面垂直。

2、书写格式:________________________

(三)、直线和平面垂直的性质

(.1.)如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

..................................(2)如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

(.3.)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面。

.................................(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。

例1:给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件。(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)

【解析】:必要不充分

变式练习1:设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列四个命题:

①若m⊥n,m⊥α,n?α,则n∥α。

②若m∥α,α⊥β,则m⊥β。

③若m⊥β,α⊥β,则m∥α或m?α。

④若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β。

则其中正确命题的序号为________。

【解析】:①③④

变式练习2:已知平面α、β、γ,直线l、m满足α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l

⊥m,那么:①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β。

由上述条件可推出的结论有________(填序号)。

【解析】:由条件知α⊥γ,γ∩α=m,l?γ,l⊥m,则根据面面垂直的性质定理有l⊥α,即②成立;又l?β,根据面面垂直的判定定理有α⊥β,即④成立.②④

变式练习3:如图所示,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的

直径,C是圆O上的一点,E、F分别是点A在PB、PC上的正

投影,给出下列结论:

①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC。

其中正确结论的序号是________。

解析:由题意知P A⊥平面ABC,∴P A⊥BC,又AC⊥BC,P A∩AC

=A,∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C,∴

AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.又AE⊥PB,AE∩AF=A,

∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确,④错.答案:①②

例2:如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD

是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC中

点,PA=AD=a。

(1)求证:MN∥平面PAD;

(2)求证:MN⊥平面PCD。【2016年宝坻区】

二、平面与平面垂直

(一)、二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成

的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱,两个半平面叫做二面

角的面。二面角的大小,可以用它的平面角来度量,设二面角的大小

为θ,则0<θ≤π。如图:OA?α,OB?β,α∩β=l,若

OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB是α—l—β的二面角。

(二)、平面与平面垂直

1、定义:如果两个平面相交,它们所成的二面角是直二面角

....,则这两个平面互相垂直。如图:平面α与平面β垂直,记作:α⊥β。

2、平面与平面垂直的判定方法:

(1)定义法:证明两个相交平面所成二面角是直二面角。

(2)两个平面垂直的判定定理:如果一个

平面_______________________,那么这两个平面互相

垂直。

(3)书写格式:______________

3、平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个____________________垂直于另一个平面。

书写格式: ___________________

4、点到平面的距离:从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间线段的

.........................

长.,叫做点到平面的距离。

...........

例3:若平面α、β互相垂直,则()

A:α中的任意一条直线都垂直于βB:α中有且只有一条直线垂直于β

C:平行于α的直线垂直于βD:α内垂直于交线的直线必垂直于β

【解析】:D

变式练习1:给出四个命题:(1)若直线a∥平面α,直线b⊥平面α,则a⊥b;(2)若直线a∥平面α,a⊥平面β,则β⊥α;(3)若直线a∥b,且b?α,则a∥平面α;(4)若平面β⊥α,平面β⊥γ,则γ⊥α。其中不正确的命题个数是()

A:1 B:2 C:3 D:4

【解析】:B (1)、(2)正确

变式练习2:设平面α、β是两个不同的平面,l、m是两条不同的直线,给出下列四个条件:(1)l∥m;(2)l⊥m;(3)l∥β;(4)l⊥β。若l∥α,m⊥β,则给出条件中分别能使α⊥β成立的为()

A:(1)(3)B:(2)(3)C:(1)(4)D:(2)(4)

【解析】:C

变式练习3:如图所示,在正四面体P-ABC中,D、E、

F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的

是()

A:BC∥平面PDF

B:DF⊥平面PAE

C:平面PDF⊥平面ABC

D:平面PAE⊥平面ABC

【解析】:C

例4:如图ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90o,

AA1=2,D是A1B1中点。

(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;

(2)当点F在B1B上什么位置时,会使得AB1⊥平面

C1DF?并证明你的结论。

变式练习1:如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,PD⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90o,DC=2AB

=2a,DA=3a,E为BC中点。

(1)求证:平面PBC⊥平面PDE

(2)线段PC上是否存在一点F,使PA∥平面BDF?若有,请找出具体位置,并进行证明;若无,请分析说明理由。【2018年模拟】

三、线面角与二面角

(一)、直线与平面所成的角

1、定义:平面的一条斜线和它在的射影所成的锐角..

,叫做这条直线和这个平面所成的角。

2、直线与平面所成角的范围:(1)直线与平面垂直时,

直线与平面所成的角是直角90度;(2)直线和平面平行或直线在平面内时,直线与平面所成的角为0度;(3)直线是平面的斜线时,直线与平面所成的角是锐角;所以直线与平面所成

的角的范围是[ 0o ,90 o

]。

(二)、二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这

条直线叫做二面角的棱,两个半平面叫做二面角的面。二面角的大小,可以用它的平面角来度量,设二面角的大小为θ,则0<θ≤π。如图:OA ?α,OB ?β,α∩β=l ,若OA ⊥l ,OB ⊥l ,则∠AOB 是α—l —β的二面角。

例5:下列说法中正确的是( )

A :空间中两条异面直线所成的角的范围是 ]2

0[π

B :平面直角坐标系中直线的倾斜角的范围是)0(π,

C :平面两个向量夹角的范围是)0[π,

D :直线与平面所成的角的范围是]2

0[π

【解析】:D

例6:如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,∠BCD =90o

,AB =BC =PC =1,PB =2,CD =2,AB ⊥PC 。

(1)求证:PC ⊥平面ABCD ;

(2)求 PA 与平面ABCD 所成角的正切值。

决胜高考

直线与平面垂直的判定与性质

例7:设l、m、n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,则能得出l⊥β的是() 【2019年江苏】

A:α⊥β,α∩β=n,l⊥n B:α⊥γ,β⊥γ,l⊥α

C:m⊥α,m⊥β,l⊥αD:α⊥γ,α∩γ=l,l⊥n

【解析】:C.

变式练习1:设l、m、

表示三条直线,α、β、γ表示三个平面,则下列命题中不成

n

立的是() 【2018年贵州】

A:若m?α,n?α,m∥n,则n∥α

B:若α⊥γ,α∥β,则β⊥γ

C:若m?β,n是l在β内的射影,若m⊥l,则m⊥n

D:若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β

【解析:】在A中由线面平行的判定定理得n∥α;在B中由面面垂直的判定得β⊥γ;在C 中由线面垂直得m⊥n;在D中,l与β相交、平行或l?β,故D错误.

变式练习2:阅读下面题目及其证明过程,在横线处应填写的正确结论是()

【2019年北京】

如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,O 是正方形ABCD 的中心,PO ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点,求证:平面PAC ⊥平面BDE 。

证明:因为PO ⊥底面ABCD 所以PO ⊥BD

又因为AC ⊥BD ,且AC ∩PO =O 所以____________。 又因为BD 平面BDE

所以平面PAC ⊥平面BDE 。

A :BD ⊥平面PBC

B :A

C ⊥平面PB

D C :BD ⊥平面PAC D :AC ⊥平面BD

E 【解析】:C

变式练习3:对于四面体ABCD ,给出下列四个命题:①若AB =AC ,BD =CD ,则BC

⊥AD ;②若AB =CD ,AC =BD ,则BC ⊥AD ;③若AB ⊥AC ,BD ⊥CD ,则BC ⊥AD ;

④若AB ⊥CD ,AC ⊥BD ,则BC ⊥AD 。其中为真命题的是( ) 【2017年陕西】 A :①② B :②③ C :②④ D :①④ 【解析】: ①如图,取BC 的中点M ,连接AM ,DM ,由AB =AC ?AM ⊥BC ,同理DM ⊥BC ?BC ⊥平面AMD ,而AD ?平面AMD ,故BC ⊥AD .④设A 在平面BCD 内的射影为O ,连接BO ,CO ,DO ,由AB ⊥CD ?BO ⊥CD ,由AC ⊥BD ?CO ⊥BD ?O 为△BCD 的垂心

?DO ⊥BC ?AD ⊥BC . 答案:D

例8:如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是菱形,PA

⊥平面ABCD ,∠ABC =60o

,M 是PC 上一动点。 【2020年安徽】

(1)求证:平面PAC ⊥平面MBD ; (2)若PB ⊥PD ,三棱锥P -ABD 的体积为24

6

,求该四棱锥P -ABCD 的侧面积。

变式练习1:如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1,

AA 1⊥平面ABC ,点D 是AB 的中点,BC =AC ,AB =2DC =2,AA 1=3。【2020年广东】 (1)求证:平面A 1DC ⊥平面ABB 1A 1; (2)求点D 到平面A 1DC 的距离。

变式练习2:已知梯形ABCD

中,AD ∥BC ,∠ABC =∠BAD =

2

,AB =BC =2AD =4,E 、F 分别是AB 、CD 上的点,AE =x ,沿EF 将梯形ABCD 翻折,使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图),G 是BC 的中点,以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积为)(x f 。

(1)当x =2时,求证:BD ⊥EG ; (2)求)(x f 的最大值;

(3)当)(x f 取得最大值时,求异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值。【2018年云南】

课后综合练习

1、设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中正确的是() A:若α⊥β,m?α,n?β,则m⊥n

B:若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β

C:若m⊥n,m?α,n?β,则α⊥β

D:若α∥β,m?α,n?β,则m∥n【2018年广东】

【解析】:选B若α⊥β,m?α,n?β,则m与n相交、平行或异面,故A错误;∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α,又∵n∥β,∴α⊥β,故B正确;若m⊥n,m?α,n?β,则α与β的位置关系不确定,C错误;若α∥β,m?α,n?β,则m∥n或m,n异面,故D错误.故选B.

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答_第18讲_圆的基本性质

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 学历训练 1.D是半径为5cm的⊙O内一点,且OD=3cm,则过点D的所有弦中,最小弦AB= .2.阅读下面材料: 对于平面图形A,如果存在一个圆,使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A被这个圆所覆盖. 对于平面图形A,如果存在两个或两个以上的圆,使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A被这些圆所覆盖. 例如:图甲中的三角形被一个圆所覆盖,图乙中的四边形被两个圆所覆盖. 回答下列问题: (1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖,r的最小值是cm; (2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖,r的最小值是cm; (3)长为2cm,宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖,r的最小值是cm. (2003年南京市中考题) 3.世界上因为有了圆的图案,万物才显得富有生机,以下来自现实生活的图形中都有圆:它们看上去多么美丽与和谐,这正是因为圆具有轴对称和中心对称性. (1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有,是中心对称图形的有 (分别用下面三个图的代号a,b,c填空). (2)请你在下面的两个圆中,按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可,但要尽可能准确些,美观些). a.是轴对称图形但不是中心对称图形. b.既是轴对称图形又是中心对称图形. 4.如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,若AB=10cm,CD=8cm,那么A、B两点到直线CD的距离之和为( ) A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm

5.一种花边是由如图的弓形组成的,ACB 的半径为5,弦AB =8,则弓形的高CD 为( ) A .2 B .25 C .3 D .3 16 6.如图,在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ,如果AB+CD=EF ,那么AB+CD 与E 的大小关系是( ) A .AB+CD =EF B .AB+CD=F C . AB+CD

新浙教版数学九上《圆的基本性质》单元培练习题(适合培优班)

G E D A C F O B 《圆的基本性质》单元复习题 (2014.10.26) 姓名: _________ 一、选择题 1、如图,正六边形ABCDEF 的边长的上a ,分别以C 、F 为圆心,a 为半径画弧,则图中阴影部分的面积是 ( ) (A )261a π (B )231a π (C )232a π (D )23 4 a π 2、如图,AB 是半圆O 的直径,点P 从点O 出发,沿? OA AB BO -- 的路径运动一周.设OP 为s ,运动时间为t ,则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是( ) 3、如图所示,长方形ABCD 中,以A 为圆心,AD 长为半径画弧,交 AB 于E 点。取BC 的中点为F ,过F 作一直线与AB 平行,且交 D E 于G 点。求AGF =( ) (A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 4、如图,C 为⊙O 直径AB 上一动点,过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点,且∠ACD=45°,DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时,设AF=x ,DE=y ,下列中图象中,能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是( ) A B C D 5、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径,则∠A 的度数是( ) P A O B s t O s O t O s t O s t A . B . C . D .

(A )30° (B )45° (C )60° (D )75° 6、(2013年温州中考题)在△ABC 中,∠C 为锐角,分别以AB ,AC 为直径作半圆,过点B ,A ,C 作 ,如图所示,若AB=4,AC=2,4 21π = -S S ,则4 3S S -的值是( ) A. 429π B. 423π C. 4 11π D. 45π 7、如上图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O 、H 分别为边AB 、AC 的中点,将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1B 1C 1的位置,则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为( ) A .77 π338 - B .47 π338+ C .π D .4 π33 + 8 7 9 10 二、填空题 8、如图所示,扇形AOB 的圆心角为90°,分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆,P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积,那么P 和Q 的大小关系是 9、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=2,分别以AC 、BC 为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π) 10、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=2.将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB′C′的位置,B ,A ,C′三点共线,则线段BC 扫过的区域面积为 11、如图,圆内接正六边形ABCDEF 中,AC 、BF 交于点M .则ABM S △∶AFM S △=_________. 12、若线段AB=6,则经过A 、B 两点的圆的半径r 的取值范围是 13、如图,半径为5的⊙P 与y 轴交于点M (0,-4)、N (0,-10),函数y= k x (x<0)的图象过

第3章 圆的基本性质单元复习例题讲义

第3章圆的基本性质单元复习 3.1 圆 3.1.1 圆 ·连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。 3.1.3 弧、弦、圆心角 AB于D,OE⊥AC于E, ,半径为R, ,求证∠AOB=∠BOC=∠COA。

3.1.4 圆周角 1、顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,且都等于这条弧所对的 圆心角的一半。 推论1:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧也一定相等。 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。 3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形就叫做圆内接多边形,这 个圆就叫做多边形的外接圆。 求证:①如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角 ,∠ACB的平分线交⊙O于D, 直径所对的圆周角是直角) (勾股定理) 两个圆周角相等,则所对的弧也相等)

3.2 点、直线、圆和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 1、若⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有: 点P在圆外?d>r;点P在圆上?d=r;点P在圆内?d

新浙教版数学九上《圆的基本性质》单元培练习题(适合培优班).doc

精品 《圆的基本性质》单元复习题 (2014.10.26) 姓名: _________ 一、选择题 1、如图,正六边形 ABCDEF 的边长的上 a ,分别以 C 、F 为圆心, a 为半径画弧, 则图中阴影部分的面积是 ( ) (A ) 1 2 1 2 ( ) 2 2 ( D ) 4 2 6 a (B ) a C a a 3 3 3 2、如图, AB 是半圆 O 的直径,点 P 从点 O 出发,沿 OA ? BO 的路径运动一周.设 OP 为 s , AB 运动时间为 t ,则下列图形能大致地刻画 s 与 t 之间关系的是( ) P s s s s A B O t O O t O t O A . B . t C . D . 3、如图所示,长方形 ABCD 中,以 A 为圆心, AD 长为半径画弧,交 AB 于 E 点。取 BC 的中点为 F ,过 F 作一直线与 AB 平行,且交 DE 于 G 点。求 AGF= ( ) (A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 4、如图, C 为⊙ O 直径 AB 上一动点,过点 C 的直线交⊙ O 于 D 、E 两点,且∠ACD=45 °,DF ⊥AB 于点 F,EG ⊥AB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时,设 AF= x ,DE= y ,下列中图象中,能表示 y 与 x 的 函数关系式的图象大致是 ( ) D A O G B F C E A B C D 5、已知锐角△ ABC 的顶点 A 到垂心 H 的距离等于它的外接圆的半径,则∠ A 的度数是 ( )

中考数学复习 第24课时 圆的基本性质测试

第六单元 圆 第二十四课时 圆的基本性质 基础达标训练 1. (xx 兰州)如图,在⊙O 中,AB ︵=BC ︵ ,点D 在⊙O 上,∠CDB =25°,则∠AOB =( ) A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 第1题图 第2题图 2. (xx 长郡教育集团二模)如图,A 、D 是⊙O 上的两个点,BC 是直径.若∠D =32°,则 ∠OAC =( ) A. 64° B. 55° C. 72° D. 58° 3. (xx 泸州)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,若AB =8,AE =1,则弦CD 的 长是( ) A. 7 B. 27 C. 6 D. 8 第3题图 第4题图 4. (xx 周南中学一模)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠AOB =60°,AB =AC =2,则弦BC 的长为( ) A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 4 5. (xx 宜昌)如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AC 平分∠BAD ,则下列结论正确的是( ) A. AB =AD B. BC =CD C. AB ︵=AD ︵ D. ∠BCA =∠DCA

第5题图第6题图 6. (xx广州)如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥C D,垂足为E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是( ) A. AD=2OB B. CE=EO C. ∠OCE=40° D. ∠BOC=2∠BAD 7. (xx广安)如图,AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,已知cos∠CDB=4 5 ,BD=5, 则OH的长度为( ) A. 2 3 B. 5 6 C. 1 D. 7 6 第7题图第8题图 8. (xx金华)如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为( ) A. 10 cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26 cm 9. (xx重庆B卷)如图,OA,OC是⊙O的半径,点B在⊙O上,连接AB,BC. 若∠ABC =40°,则∠AOC=________度.

直线、平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理;2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直,就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 (1)定义:一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°的角. (2)范围:??? ???0,π2. 3.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;

(2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围:[0,π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直,则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )

2.3直线、平面垂直的判定及其性质 教案设计1

直线和平面垂直的判定与性质(一) 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1.直线和平面垂直的定义及相关概念. 2.直线和平面垂直的判定定理. 3.线线平行的性质定理(即例题1). (二)能力训练点 1.要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究,特别是辅助线的添加. 2.讲直线和平面垂直时,应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系.如直线和平面垂直,只须这条直线垂直于这个平面的两条相交直线,向学生渗透转化思想的应用. (三)德育渗透点 引导学生认识到,定理的证明过程实质是应用转化思想的过程:立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决,线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决.转化思想是重要的数学思想方法,在立体几何的证明和解题中,是一种常用的思想方法. 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1.教学重点 (1)掌握直线和平面垂直的定义:如果一条直线和一个平面的任何一条直线垂直,那么这条直线就和这个平面垂直. (2)掌握直线和平面垂直的判定定理: (3)掌握线线平行的性质定理: 若a∥b,a⊥α则b⊥α.

2.教学难点:在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明;同时还要解决好定理证明过程中,辅助线添加的方法和原因,及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题. 3.教学疑点:判定定理的条件中,“相交”是关键,“两条”也是一个重要条件,对于初学立体几何的学生来讲,是不好理解的,教师应该用实例说明这两个条件缺一不可. 三、课时安排 本课题共安排2课时,本节课为第一课时. 四、学生活动设计(略) 五、教学步骤 (一)温故知新,引入课题 1.空间两条直线有哪几种位置关系? (三种:相交直线、平行直线、异面直线) 2.经过一点和一条直线垂直的直线有几条? (从两条直线互相垂直的定义可知:经过一点有无数多条直线和已知直线垂直) 3.空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系? (直线在平面、直线和平面相交、直线和平面平行.) 4.怎样判定直线和平面平行? 师:我们已经知道,判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系.今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直,这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手. (板书课题:§1.9直线和平面垂直) (二)猜想推测,激发兴趣 1.教师演示课本上的实例并指出书脊(想象成一条直线)、各书页与桌面的交线,由于书脊和书页底边(即与桌面接触的一边)垂直,得出书脊和桌面上所有直线垂直,书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象.从而引入概念:一条直线和平面的任何一条直线都垂直,我们说这条直线和这个平面互相垂直,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.

初三数学讲义

暑假数学(九年级)教学具体授课计划

备注: 1.本授课计划的第一、二、五、六、九、十、十六是对七、八年级重点 知识点的回顾与复习。编排次序对应于九年级上册相应知识点,以便更加系统明了地做到知识点之间的融会贯通。

2.教学进程大体按照该计划进行。但在授课过程中,也会根据学生的实 际情况,适当调整各知识板块的教学进度,或增补缩减相应的资料。 3.不足之处敬请批评指正。欢迎各位家长、老师提出更合理中肯的建 议! 第一讲数与式的复习(一) 【教学目标】 1. 理解有理数的有关概念,能用数轴上的点表示有理数,会求倒数、相反数、绝对值.理解近似数和有效数字的概念,会将一个数表示成科学记数法的形式。 2. 了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会求非负数的算术平方根和实数的立方根。 3. 了解整式的有关概念,理解去括号法则,能熟练进行整式的加减运算.掌握正整数指数幂的运算性质,能在运算中灵活运用各种性质。 4. 了解分式概念,会求分式有意义、无意义和分式值为0时,分式中所含字母的条件,掌握分式的基本性质和分式的变号法则,能熟练地进行 分式的通分和约分。 【重点难点】 重点:概念的理解与区分 难点:易混淆,各概念的性质及条件 【知识梳理】 1.实数分类:

实数???? ?? ?? ????????????? ???? ????????????????????无限不循环小数 负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线。数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系,即每个实数都可以用数轴上的一个点表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数。 3.实数大小的比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。 (1)正数大于零,零大于负数。 (2)两正数相比较绝对值大的数大,绝对值小的数小。 (3)两负数相比较绝对值大的数反而小,绝对值大小的数反而大。 (4)对于任意两个实数a 和b ,①a>b,②a=b,③a

中考数学复习知识点专题训练22---圆的基本性质(培优版)

中考数学复习知识点专题训练 第六章 圆 第一节 圆的基本性质 姓名:________ 班级:________ 用时:______分钟 1.(2019·柳州)如图,A ,B ,C ,D 是⊙O 上的点,则图中与∠A 相等的角是( ) A .∠B B .∠C C .∠DEB D .∠D 2.(2020·原创)如图,在⊙O 中,AC ︵=BD ︵ ,∠AOB=40°,则∠COD 的度数为( ) A .20° B .40° C .50° D .60° 3.(2020·原创)如图,A ,B ,C ,D 四个点均在⊙O 上,∠AOB=40°,弦BC 的长等于半径,则∠ADC 的度数等于( ) A .50° B .49° C .48° D .47° 4.(2019·吉林)如图,在⊙O 中,AB ︵所对的圆周角∠ACB=50°,若P 为AB ︵ 上一点,

∠AOP=55°,则∠POB的度数为( ) A.30° B.45° C.55° D.60° 5.(2019·赤峰)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB交⊙O于点C,点D是⊙O上一点,∠ADC=30°,则∠BOC的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 6.(2020·原创)如图,点A,B,C在⊙O上,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为( ) A.25° B.50° C.60° D.80° 7.(2019·广元)如图,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,且AB=10,AC=8,则BD的长为( ) A. 2 5 B.4 C.213 D.4.8 8.(2019·安顺)如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优

第11讲 空间中垂直关系的判定与性质

空间中垂直关系的判定与性质 一.基础知识整合 1.直线与平面存垂直 (1)定义:如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l 与平面α互相垂直,记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线,平面α叫作直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P 叫作垂足. (2)画法:通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图 (3)判定定理 ?????l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b =P ?l ⊥α 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面. (2)二面角的记法:如图,记作:二面角α-AB -β,也可记作2∠α—AB —β. (3)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内 分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角, 其中平面角是直角的二面角叫作直二面角. 3.平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理 ?????a αa ⊥β?α⊥β 符号语言

? ????α⊥βα∩β=l a αa ⊥l ?a ⊥β 题型一:线面垂直的判定 例1:如图所示,在Rt △ABC 中,∠B =90°,且S 为所在平面外一点,满足SA =SB =SC .D 为AC 的中点.求证:SD ⊥平面ABC . 证明:∵在Rt △ABC 中,∠B =90°,且D 为AC 的中点,∴BD =AD =DC .又∵SA =SB =SC ,SD 为公共边,∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD , ∴∠SDB =∠SDA =∠SCD =90°,∴SD ⊥AD ,SD ⊥BD ,∵AD ∩BD =D ,∴SD ⊥ 平面ABC . 变式训练1:如图,已知AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上不同于A ,B 的点, P A ⊥⊙O 所在的平面,AF ⊥PC 于F ,求证:BC ⊥平面PAC . 证明:因为AB 为⊙O 的直径,所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ,BC 平面ABC ,所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC =A ,所以BC ⊥平面P AC . 题型二:面面垂直的判定 例2:已知四面体ABCD 的棱长都相等,E ,F ,G ,H 分别为AB ,AC , AD ,BC 的中点.求证:平面EHG ⊥平面FHG . 证明:如图,取CD 的中点M ,连接HM ,MG ,FM ,则四边形MHEG 为平行四边形.连接EM 交HG 于O ,连接FO .在△FHG 中,O 为HG 的中点,且FH =FG ,所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM =O , 所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ,所以平面EHG ⊥平面FHG . 变式训练 2 :如图,在空间四边形 ABDC 中,AB =BC ,CD =DA ,E 、 F 、 G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点.:求证:平面BEF ⊥平面 BDG . 证明:∵AB =BC ,CD =AD ,G 是AC 的中点,∴BG ⊥AC ,DG ⊥AC , 又EF ∥AC ,∴EF ⊥BG ,EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ,∴平

平面与平面垂直的性质(教案)

平面与平面垂直的性质(教案) 教学目的 通过对面面垂直性质定理的探索、证明,培养学生的观察、分析、论证等思维能力 教学目标: 1 理解掌握面面垂直的性质定理 2 能初步运用性质定理解决问题 教学重点难点: 重点:理解掌握面面垂直的性质定理 难点:运用性质定理解决实际问题 教学过程: (一) 复习提问 师:请大家回顾一下,怎样判断线面垂直和面面垂直?(提问) 生:线面垂直判定定理: 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面. 生:面面垂直判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. (二)引入新课 师:今天我们要学习“两个平面垂直的性质”,先来看下面问题:如图,长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,判断下面结论的正误。 1)平面ADD′A′⊥平面ABCD 2) DD′⊥面ABCD 3)AD′⊥面ABCD

师:我们发现:平面ADD′A′⊥平面ABCD,平面ADD′A′∩平面ABCD = AD,D′是平面ADD′A′内一点,过D′点可作无数条直线,这些直线中有与平面ABCD垂直的,也有不垂直的,那么,满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢? (提出问题,引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系)生:(略) 师:平面ADD′A′⊥平面ABCD,平面ADD′A′内的任一点,平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。 (三)新课 已知:面α⊥面β,α∩β = a, AB α , AB⊥a于B, 求证:AB⊥β (让学生思考怎样证明) 师:(分析:要证明直线垂直于平面,须证明直线垂直于 平面内两条相交直线,而题中条件已有一条, 故可过该直线作辅助线) 证明:在平面β内过B作BE⊥a,又∵AB⊥a, ∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角,又∵α⊥β, ∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B, ∴AB⊥β 1.面面垂直的性质定理: 两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. (用符号语言表述)若α⊥β,α∩β = a, AB α , AB⊥a于B,则AB⊥β 师:从面面垂直的性质定理可知,要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明,而前面我们知道,面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。 2. 例题分析 例1.空间四边形ABCD中,ΔABD与ΔBCD都为 正三角形,面ABD⊥面BCD,试在平面BCD 内找一点,使AE⊥面BCD 解:在ΔABD中,∵AB=AD,取BD的中点E, 连结AE,则AE为BD的中线

精品 九年级数学上册 圆的基本性质讲义+同步练习题

圆的基本性质 知识点 圆的定义 几何定义:线段OA,绕O点旋转一周得到的图形,叫做圆。其中,O为圆心,OA为半径。 集合定义:到定点等于定长的所有点的集合。其中,定点为圆心,定长为半径。 圆的书写格式: 圆的对称性 (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 与圆有关的线段 半径:圆上一点与圆心的连线段。确定一个圆的要素是圆心和半径。 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。 直径:经过圆心的弦叫做直径。 弦心距:圆心到弦的垂线段的长。 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。 劣弧:小于半圆周的圆弧叫做劣弧。表示方法: 优弧:大于半圆周的圆弧叫做优弧。表示方法: 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 注意:同弧或等弧对应的弦相等。 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 注意:定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径,也可以是半径,深圳可以是过圆心的直线或线段;该定理也可以理解为:若一条直线具有两条性质:①过圆心;②垂直于一条弦,则此直线具有另外三条性质:①平分此弦;②平分此弦所对的优弧;③平分此弦所对的劣弧. 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. 注意:(1)在圆中,与已知弦(非直径)相等的弦共有条;共端点且相等的弦共有条。 (2)在圆中,与已知弦(非直径)平行的弦共有条;平行且相等的弦共有条。 例1.如图:OA、OB为⊙O的半径,C、D分别为OA、OB的中点,求证:AD=BC.

垂直的判定和性质专题及答案

垂直的判定和性质专题 垂直的判断方法及性质汇总: 一、判定线面垂直的方法 1.定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线面垂直 2.如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 4.一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 5.如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6. 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 二、判定两线垂直的方法 1.定义:成?90角 2.直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直 3.在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 4.在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直 5.一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 三、判定面面垂直的方法 1.定义:两面成直二面角,则两面垂直 2.一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 四、面面垂直的性质 1.二面角的平面角为?90 2.在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3.相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面 专题训练: 一.选择题: 1.已知直线l ⊥平面α,给出:① 若直线m ⊥l ,则m //α;② 若直线m ⊥α,则m //l ;③ 若直线m //α,则m ⊥l ;④ 若直线m //l ,则m ⊥α。以上判断正确的是 B (A )①②③ (B )②③④ (C )①③④ (D )①②④ 2.下列命题正确的是 B (A )垂直于同一直线的两条直线平行 (B )垂直于同一直线的两条直线垂直 (C )垂直于同一平面的两条直线平行 (D )平行于同一平面的两条直线平行 3.设P 是△ABC 所在平面外一点,P 到△ABC 各顶点的距离相等,且P 到△ABC 各边的距离相等,那么△ABC C (A )是非等腰三角形 (B )是等腰直角三角形 (C )是等边三角形 (D )不是A 、B 、C 中所述的三角形 4.正方形ABCD 的边长为12,PA ⊥平面ABCD ,PA =12,那么P 到对角线BD 的距离是D (A )123 (B )122 (C )63 (D )66 5.如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直,那么直线l 与平面α的位置关系是 D (A )l ?α (B )l ⊥α (C )l //α (D )l ?α或l //α 6.已知直线a , b 和平面α,下列推论错误的是 D (A )a a b b αα⊥??⊥??? (B )//a b a b αα⊥? ?⊥?? (C )//或a b a a b ααα⊥????⊥? (D )////a a b b αα? ????

直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义)含答案

直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义) ?知识点睛 一、直线与平面垂直(线面垂直) 性质定理:垂直于同一个平面的两条直线_____________. a b α ∵_________,b⊥α, ∴___________. 其他性质: 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面; 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么这条直线也垂直于另一个平面. 二、平面与平面垂直(面面垂直) 性质定理:两个平面垂直,则一个平面内_____________的直线与另一个平面垂直. α a l β ∵α⊥β,α∩β=l,________,________, ∴a⊥β. 其他性质: 如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面; 如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面,那么它必垂直于另一个平面.

?精讲精练 1.已知直线l垂直于直线AB和AC,直线m垂直于直线BC和AC,则直线l, m的位置关系是() A.平行B.异面C.相交D.垂直 2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一组条件是() A.m∥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n?α C.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β 3.若m,n,l是互不重合的直线,α,β,γ是互不重合的平面,给 出下列命题: ①若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n⊥α或n⊥β; ②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n; ③若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线; ④若α∩β=m,m∥n,且n?α,n?β,则n∥α且n∥β; ⑤若α∩β=m,β∩γ=n,α∩γ=l,且α⊥β,α⊥γ,β⊥γ,则m⊥n,m ⊥l,n⊥l.其中正确命题的序号是________________. 4.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则AC 的长为() B C D A A B. 2 a C. 2 a D.a

2021年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第 8讲 圆的基本性质

感谢您使用本资源,本资源是由订阅号”初中英语资源库“制作并分享给广大用户,本资源制作于2020年底,是集实用性、可编辑性为一体。本资源为成套文件,包含本年级本课的相关资源。有教案、教学设计、学案、录音、微课等教师最需要的资源。我们投入大量的人力、物力,聘请精英团队,从衡水中学、毛毯厂中学、昌乐中学等名校集合了一大批优秀的师资,精研中、高考,创新教学过程,将同学们喜闻乐见的内容整体教给学生。 本资源适用于教师下载后作为教学的辅助工具使用、适合于学生家长下载后打印出来作为同步练习使用、也适用于同学们自己将所学知识进行整合,整体把握进度和难度,是一个非常好的资源。如果需要更多成套资料,请微信搜索订阅号“初中英语资源库”,在页面下方找到“资源库”,就能得到您需要的每一份资源(包括小初高12000份主题班会课课件免费赠送!) 第十八讲圆的基本性质 到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆,圆常被人们看成是最完美的事物,圆的图形在人类进程中打下深深的烙印. 圆的基本性质有:一是与圆相关的基本概念与关系,如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等;二是圆的对称性,圆既是一个轴对称图形,又是一中心对称图形.用圆的基本性质解题应注意: 1.熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明; 2.了解弧的特性及中介作用; 3.善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化. 熟悉如下基本图形、基本结论: 【例题求解】 【例1】在半径为1的⊙O中,弦AB、AC的长分别为3和2,则∠BAC度数为.作出辅助线,解直角三角形,注意AB与AC有不同的位置关系. 注:由圆的对称性可引出许多重要定理,垂径定理是其中比较重要的一个,它沟通了线段、角与圆弧的关系,应用的一般方法是构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来. 圆是一个对称图形,注意圆的对称性,可提高解与圆相关问题周密性. 【例2】如图,用3个边长为1的正方形组成一个对称图形,则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )

第一讲__培优__圆的基本性质

第一讲 圆的基本性质 一、知识点 圆的有关概念:特别注意:长度相等的弧是等弧吗? 圆的基本性质有: 1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 ? 如果弦长为2r ,圆的半径为R,那么弦心距为d . R 2 r 2. 2、垂径定理 ____________________________________ 及其推论. 此定理及推论,在证题中很重要,其内容不容易记忆,可这样理解:如果一条直线具备下 列条件中的2条,就具备其他3条。(1)经过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4) 平分弦所对的劣弧;(5)平分弦所对的优弧。 3. 圆周角定理及其推论。 其中以下列两个结论应用最为广泛:(1)直径所对的圆周角是直角;(2)同弧所对的圆 周角相等。 二、基础训练 1. 下列结论正确的是() A .弦是直径 B.弧是半圆 C .半圆是弧 D.过圆心的线段是直径 2、 .给出下列命题(I )垂直于弦的直线平分弦;(2 )平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧;(3 )平分弦的直线必过圆心(4 )弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。 其 中正确的命题有() 3、下列命题中,真命题是() B.2 C.3 D.4 AB 是O O 的直径,CD 是弦.若AB = 10cm, CD = 8cm 那么A , B 两 CD 的距离之和为() A. 12cm B. 10cm C.8cm D.6cm B. 2个 C. 3个 D. 4个 4、 A .相等的圆心角所对的弧相等 C.度数相等的弧是等弧 下列命题中,真命题的个数为 ①顶点在圆周上的角是圆周角; ③90°的圆周角所对的弦是直径; B.相等的弦所对的弧相等 D .在同心圆中,同一圆心角所对的两条弧的度数相等 ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半; ④直径所对的角是直角; ⑤圆周角相等,贝U 它们所对的弧也相等;⑥同弧或等弧所对的圆周角相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5、直角二角形两直角边长分别为 .3和I ,那么它的外接圆的直径是( A.1 &如图, 点到直线

《平面与平面垂直的性质》教学设计

《平面与平面垂直的性质》教学设计 一、教材分析: 直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容,也是高考考查的重点,求解的关键是根据线与面之间的互化关系,借助创设辅助线与面,找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用,使学生体会“转化”的观点,提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 二、学情分析: 1.学生思维活跃,参与意识和自主探究能力较强,故采用启发、探究式教学方法;通过一系列的问题及层层递进的的教学活动,引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度,从而完成定义的建构和定理的发现。 2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高,故采用多媒体辅助教学。让学生在认知过程中,着重掌握原认知过程,使学生把独立思考与多向交流相结合。 三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标: (1)知识与技能目标: ①让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理的正确认识; ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题,进一步培养学生空间观念. (2)过程与方法目标: ①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用. ②通过“直观感知、操作确认,推理证明”,培养学生逻辑推理能力。 ③发展学生的合情推理能力和空间想象力,培养学生的质疑思辨、创新的精神. (3)情感、态度与价值观目标: 让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣. 四、教学重点与难点: (1)教学重点:理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。 (2)教学难点:运用性质定理解决实际问题。 五、教学设计思路: 1、复习导入: (1)线面垂直判定定理: 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面. (2)面面垂直判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. 2、探究发现: (1)创设情境:已知黑板面与地面垂直,你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质?试说明理由! 设计说明: 感知在相邻的两个相互垂直的平面内,有哪些特殊的直线和平面关系,然后通过操作,确定两个平面垂直的性质定理的合理性,引导学生通过模型观察,讨论在两个平面相互垂直的情况下,能够推出一些什么样的结论。

精品 2014年九年级数学圆的基本性质 圆周角圆心角讲义+同步练习题

九年级数学 圆周角 圆心角 知识点: 圆心角: 弧度: 圆周角: 圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角定理:直径所对的圆周角是直角,反过来,90°的圆周角所对的弦是直径。 例1.如图,已知P 是O 外任意一点,过点P 作直线PAB ,PCD ,分别交O 于点A ,C ,D . 求证:1 2 P ∠= (BD 的度数AC -的度数). 例2.如图①,点A 、B 、C 在⊙O 上,连结OC 、OB : ⑴ 求证:∠A=∠B+∠C ;⑵ 若点A 在如图②的位置,以上结论仍成立吗?说明理由。 例3.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=300 ,求弦DC 的长. 30? D C B A O

例4.如图所示,已知AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,且AB CD 于点E .连接AC 、OC 、BC . (1)求证:∠ACO=∠BCD ;(2)若EB=8cm ,CD=24cm ,求⊙O 的直径. 例5.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD. (1)P 是CAD 上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P / 在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP / D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论. D C B P A O 例6.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC 的长. D C B A O 例7.如图所示,在△ABC 中,∠BAC 与∠ABC 的平分线AE 、BE 相交于点E ,延长AE 交△ABC 的外接圆于 D 点,连接BD 、CD 、C E ,且∠BDA=600 . (1)求证△BDE 是等边三角形;(2) 若∠BDC=1200 ,猜想BDCE 是怎样的四边形,并证明你的猜想。

相关主题