第7章 第5节
时间:45分钟 满分:100分
一、选择题(每小题7分,共42分)
1.在正方体的八个顶点中,有四个恰好是正四面体的顶点,则此正方体的表面积与正四面体的表面积的比值为( )
A. 2
B. 3
C.
62
D.
33
答案:B
解析:如图所示的正方体AC 1中,连接面对角线A 1C 1、A 1B 、BC 1、A 1D 、BD 、DC 1,由于四面体C 1-A 1BD 中的各条棱长都相等,可知该四面体为正四面体.设正方体的边长为a ,
则正四面体的棱长为2a ,且S △A 1BD =
34(2a )2=32
a 2.
∴S 正方体表S 四面体表=6a 24×S △A 1BD =6a 2
23a 2
= 3. 2.如图,E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点,沿图中虚线将边长为2的正方形折起来,围成一个三棱锥,则此三棱锥的体积是( )
A. 1
B. 1
3 C. 23 D. 32
答案:B
解析:折叠起来后,B 、C 、D 三点重合为S 点,则围成的三棱锥为S —AEF .这时,SA ⊥SE ,SA ⊥SF ,SE ⊥SF ,且SA =2,SE =SF =1,所以此三棱锥的体积为V =13×12×1×1×2=1
3
.
3. [2011·广东]如图1~3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( )
A. 6 3
B. 9 3
C. 12 3
D. 18 3
答案:B
解析:由几何体的三视图知直观图如右图所示.
原几何体为底面ABCD 为矩形的四棱柱,且AB =3,侧面A 1ABB 1⊥底面ABCD ,A 1A =2.过A 1作A 1G ⊥AB 于G ,由三视图知AG =1,A 1D 1=3,A 1G =A 1A 2-AG 2= 3.
底面ABCD 的面积S =3×3=9, VABCD -A 1B 1C 1D 1=S ·h =9×3=9 3.
4. [2012·石家庄一模]两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切,若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为( )
A. (6-33)π
B. (8-43)π
C. (6+33)π
D. (8+43)π
答案:A
解析:设球O 1、球O 2的半径分别为r 1、r 2,则3r 1+r 1+3r 2+r 2=3,r 1+r 2=3-32,
从而
4π(r 21+r 2
2)≥4π·(r 1+r 2)22
=(6-3
3)π.故选A.
5.正六棱锥P -ABCDEF 中,G 为PB 的中点,则三棱锥D -GAC 与三棱锥P -GAC 体积之比为( )
A .1∶1
B .1∶2
C .2∶1
D .3∶2
答案:C
解析:由题意可知V B -GAC =V P -GAC ,
∵三棱锥V B -GAC =V G -BAC ,V D -GAC =V G -ADC ,
又∵三棱锥G -BAC 与三棱锥G -ADC 等高,且S △BAC ∶S △ADC =1∶2, 综上可知V D -GAC ∶V P -GAC =2∶1,故选C.
6. [2011·全国]已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4,圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为( )
A. 7π
B. 9π
C. 11π
D. 13π
答案:D
解析:由圆M 的面积知圆M 的半径为2,|OM |=42-22=2 3.|ON |=|OM |·sin30°= 3.从而圆N 的半径r =42-3=13,所以圆N 的面积S =πr 2=13π.故选D.
二、填空题(每小题7分,共21分)
7. [2011·全国新课标]已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的3
16,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大
者的高的比值为________.
答案:13
解析:设球半径为R ,圆锥底面半径为r , 球心O 到圆锥底面的距离d , 则R 2=r 2+d 2. ∴又πr 2=3
164πR 2,
∴r 2=3
4R 2,
∴d 2=R 2-r 2=1
4R 2,
∴d =12
R .
∴较小圆锥的高h 1=R -d =1
2R .
较大圆锥高h 2=R +12R =3
2R ,
h 1h 2=1
3
.
8.[2010·江西]如图,在三棱锥O -ABC 中,三条棱OA ,OB ,OC 两两垂直,且OA >OB >OC ,分别经过三条棱OA ,OB ,OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S 1,S 2,S 3,则S 1,S 2,S 3的大小关系为________.
答案:S 3
解析:取BC 中点D ,AB 中点E ,AC 中点F ,
易知面AOD ,面BOF ,面COE 平分三棱锥的体积. S 1=S △AOD ,S 2=S △BOF ,S 3=S △COE .
设OA =a ,OB =b ,OC =c ,则S 1=12a ·OD =12a ·12BC =14a ·b 2+c 2=14
a 2
b 2+a 2
c 2.
同理S 2=1
4
a 2
b 2+b 2
c 2,S 3=1
4
a 2c 2+
b 2
c 2.
∵a >b >c ,∴S 1>S 2>S 3.
9. [2011·课标全国]已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且AB =6,BC =23,则棱锥O -ABCD 的体积为__________.
答案:8 3
解析:如图所示,OO ′垂直于矩形ABCD 所在的平面,垂足为O ′,连接O ′B ,OB ,则在Rt △OO ′B 中,由OB =4,O ′B =23,可得OO ′=2,故V O -ABCD =1
3S 矩形ABCD ·OO ′
=1
3
×6×23×2=8 3.
三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10. [2010·福建]如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、H 分别是棱A 1B 1,D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合),且EH ∥A 1D 1,过EH 的平面与棱BB 1,CC 1相交,交点分别为F ,G .
(1)证明:AD ∥平面EFGH ;
(2)设AB =2AA 1=2a .在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机选取一点,记该点取自于几何体A 1ABFE -D 1DCGH 内的概率为p .当点E ,F 分别在棱A 1B 1、B 1B 上运动且满足EF =a 时,求p 的最小值.
解:(1)证明:在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD ∥A 1D 1. 又∵EH ∥A 1D 1,∴AD ∥EH . ∵AD ?平面EFGH ,EH 平面EFGH . ∴AD ∥平面EFGH . (2)解:法一:设BC =b ,则
长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V =AB ·AD ·AA 1=2a 2b , 几何体EB 1F -HC 1G 的体积V 1=(1
2EB 1·B 1F )·B 1C 1
=b
2
EB 1·B 1F . ∵EB 2
1+B 1F 2=a 2,
∴EB 1·B 1F ≤EB 21+B 1F
2
2=a 22
,
当且仅当EB 1=B 1F =2
2
a 时等号成立. 从而V 1≤a 2b
4
.
故p =1-V 1V ≥1-a 2b 42a 2b =7
8,
当且仅当EB 1=B 1F =2
2
a 时等号成立. ∴p 的最小值等于7
8
.
法二:设BC =b ,则长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V =AB ·AD ·AA 1=2a 2b , 几何体EB 1F -HC 1G 的体积 V 1=(12EB 1·B 1F )·B 1C 1=b 2EB 1·B 1F .
设∠B 1EF =θ(0°≤θ<90°), 则EB 1=a cos θ,B 1F =a sin θ.
故EB 1·B 1F =a 2sin θcos θ=a 22sin2θ≤a
2
2,
当且仅当sin2θ=1即θ=45°时等号成立. 从而V 1≤a 2b
4
.
∴p =1-V 1V ≥1-a 2b 42a 2b =7
8,当且仅当sin2θ=1即θ=45°时等号成立.
∴p 的最小值等于7
8
.
11. 如图所示,平行四边形ABCD 中,∠DAB =60°,AB =2,AD =4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置,使平面EBD ⊥平面ABD
.
(1)求证:AB ⊥DE ;
(2)求三棱锥E -ABD 的侧面积. 解:(1)在△ABD 中,
∵AB =2,AD =4,∠DAB =60°,
∴BD =AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠DAB =23, ∴AB 2+BD 2=AD 2,∴AB ⊥BD . 又∵平面EBD ⊥平面ABD ,
平面EBD ∩平面ABD =BD ,AB 平面ABD , ∴AB ⊥平面EBD .
∵DE 平面EBD ,∴AB ⊥DE .
(2)由(1)知AB ⊥BD .∵CD ∥AB ,∴CD ⊥BD ,从而DE ⊥BD . 在Rt △DBE 中,∵DB =23,DE =DC =AB =2, ∴S △DBE =1
2
DB ·DE =2 3.
又∵AB ⊥平面EBD ,BE 平面EBD ,∴AB ⊥BE . ∵BE =BC =AD =4,∴S △ABE =12
AB ·BE =4.
∵DE ⊥BD ,平面EBD ⊥平面ABD ,∴ED ⊥平面ABD , 而AD 平面ABD ,∴ED ⊥AD ,∴S △ADE =1
2AD ·DE =4.
综上,三棱锥E -ABD 的侧面积S =8+2 3.
12.两个相同的正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是正方形的中心)底面重合组成一个八面体,可放于棱长为1的正方体中,重合的底面与正方体的某一个面平行,各顶点均
在正方体的表面上,把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.
(1)若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心,求异面直线DE 与CF 所成的角; (2)问此正子体的体积V 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,求出体积大小的取值范围.
解:(1)依题意,“正子体”任一棱都是正方体相邻两个面中心的连线,
因为,“正子体”的所有棱的长均相等,且E 、C 、F 、A 在同一个平面上,即四边形ECF A 为菱形.
∴EA ∥CF ,故相交直线DE 与EA 所成的角就是异面直线DE 与CF 所成的角. 由△ADE 为正三角形,得DE 与EA 所成的角为60°. 因此 ,异面直线DE 与CF 所成的角为60°. (2)正子体的体积不是定值.
设正方形ABCD 与正方体的截面四边形为A ′B ′C ′D ′,设AA ′=x (0≤x ≤1),则AB ′=1-x ,
|AD |2=x 2+(1-x )2=2(x -12)2+12,
故S 正方形ABCD =|AD |2∈[1
2
,1],
V =13·S 正方形ABCD ·h ·2=13·S 正方形ABCD ·12·2=13S 正方形ABCD ∈[16,13
].
高三数学选择题专题训练(一) 1.已知集合{}1),(≤+=y x y x P ,{ }1),(22≤+=y x y x Q ,则有 ( ) A .Q P ?≠ B .Q P = C .P Q P = D .Q Q P = 2.函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是( ) A .)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B .)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C .)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D .)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,369-=S ,10413-=S ,等比数列{}n b 中,55a b =,77a b =, 则6b 的值 ( ) A .24 B .24- C .24± D .无法确定 4.若α、β是两个不重合的平面, 、m 是两条不重合的直线,则α∥β的一个充分而非必要 条件是 ( ) A . αα??m 且 ∥β m ∥β B .βα??m 且 ∥m C .βα⊥⊥m 且 ∥m D . ∥α m ∥β 且 ∥m 5.已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(,若n a a a n -=+++-509121,则n 的 值 ( ) A .7 B .8 C .9 D .10 6.已知O ,A ,M ,B 为平面上四点,则)1(λλ-+=,)2,1(∈λ,则( ) A .点M 在线段A B 上 B .点B 在线段AM 上 C .点A 在线段BM 上 D .O ,A ,M ,B 四点共线 7.若A 为抛物线24 1x y = 的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点,则AC AB ?等于 ( ) A .31- B .3- C .3 D .43- 8.用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色,要求相邻两个面涂不同的颜色, 则共有涂色方法 ( ) A .24种 B .72种 C .96种 D .48种 9.若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称,那么a 的值 ( ) A .2 B .2- C .1 D .1-
2013届高三数学考点大扫描限时训练011 1. 命题“x ?∈R ,20x ≥”的否定是 . 2. 若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1, m ),则实数m = . 3. 已知()*3211 n a n n =∈-N ,数列{}n a 的前n 项和为n S ,则使0n S >的n 的最小值是 . 4. 某商品的单价为5000元,若一次性购买超过5件,但不超过10件时,每件优惠500元;若一次性购买超过10件,则每件优惠1000元. 某单位购买x 件(*,15x x ∈≤N ),设最低的购买费用是()f x 元,则()f x 的解析式是 . 5. 如图,A 、B 是单位圆O 上的动点,C 是圆与x 轴正半轴的交点,设CO A α∠=. (1)当点A 的坐标为()34,55时,求sin α的值; (2)若π02α≤≤,且当点A 、B 在圆上沿逆时针方向移动时,总有π3 AOB ∠=,试求BC 的取值范围. 6. 设实数x , y 同时满足条件:224936x y -=,且0xy <. (1)求函数()y f x =的解析式和定义域; (2)判断函数()y f x =的奇偶性,并证明.
参考答案: 1.2,0x x ?∈
一、选择题 1.函数f (x )=1 2x 2-ln x 的最小值为( ) A 。1 2 B .1 C .0 D .不存在 解析:选A 。因为f ′(x )=x -1x =x 2-1 x ,且x >0。 令f ′(x )>0,得x >1;令f ′(x )<0,得0 紫荆中学2020---2021学年度第一学期限时训练 高三 数学 (提示:时间120分钟,满分150分,答案全部写在答题卡上) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列各式中,正确的个数是( ) (1)}0{=φ;(2)}0{?φ;(3)}0{∈φ;(4)00;(5)}0{0∈;(6)}3,2,1{}1{∈;(7)}3,2,1{}2,1{?; (8)},{},{a b b a ?. A.1 B.2 C.3 D.4 2.集合}1,0,1{-=A 的子集中,含有元素0的子集共有( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 3.下列说法中,正确的是( ) A .命题“若22am bm <,则a b <”的逆命题是真命题 B .命题“0x R ?∈,20 00x x ->”的否定是“x R ?∈,2 0x x -≤” C .命题“p 且q ”为假命题,则命题“p ”和命题“q ”均为假命题 D .已知x R ∈,则“2x > 是4x >”的充分不必要条件 4.设,,i a b ∈R 是虚数单位,则“0ab =”是“复数i a b -为纯虚数”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.给出如下几个结论: ①命题“,cos sin 2x R x x ?∈+=”的否定是“,cos sin 2x R x x ?∈+≠”; ②命题“1,cos 2sin x R x x ?∈+ ≥”的否定是“1,cos 2sin x R x x ?∈+<”; ③对于1 0,,tan 22tan x x x π???∈+≥ ? ?? ; ④x R ?∈, 使sin cos x x += 其中正确的是( ) A. ③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②③④ 6.已知集合{}{}|ln ,|3A x x B N y x x =∈=≤=,则( ) A .B A ? B .{}|0A B x x => C .A B ? D .}3,2,1{=B A 7.已知集合{}{},20M x x a N x x =≤=-<<,若φ=?N M ,则a 的取值范围为( ) A. {}0a a > B. {} 0a a ≥ C. {}2a a <- D. {}2a a ≤- 8.已知命题p :函数y=ln(2x +3)+ 21ln(3) x + 的最小值是2;命题q :2x >是1x >的充 分不必要条件.则下列命题为真命题的是 ( ) A.p q ∧ B.p q ?∧? C.p q ?∧ D.p q ∧? 9.若0a b >>,则下列不等式恒成立的是( ) A.2 2 a b < B.12 1()log 2a b < C.22a b < D. 112 2 log log a b < 10.不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是( ) A. 0x <或2x > B. 2x ≤-或0x ≥ C. 1x <-或4x > D. 12 x ≤-或3x ≥ 11.不等式2222 21 x x x x --<++的解集为( ) A.{2|}x x ≠- B.R C.? D.2{}2|x x x <->或 12.若00a b >>,,且n 0()l a b +=,则11 a b +的最小值是( ) A. 1 4 B .1 C .4 D .8 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡题中的 横线上) 数列 20.(本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 满足:22,5642=+=a a a ,数列{}n b 满足n n n na b b b =+++-12122 ,设数列{}n b 的前n 项和为n S 。 (Ⅰ)求数列{}{}n n b a ,的通项公式; (Ⅱ)求满足1413< (1)求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率; (2)以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数,求ξ的分布列及其数学期望E ξ. 18.解:(1)设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼,()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼,()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 (2)QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为(必须写出分布列, 否则扣1分) ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=,所求期望值为5. (12) 20.∵a 2=5,a 4+a 6=22,∴a 1+d=5,(a 1+3d )+(a 1+5d )=22, 解得:a 1=3,d=2. ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得:b 1=a 1=3, 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=(n+1)a n+1, ∴2n b n+1=(n+1)a n+1一na n . ∴2n b n+1=(n+1)(2n+3)-n (2n+1)=4n+3,2020年高三数学第一学期限时训练
高三数学数列专题训练(含解析)
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]