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重积分知识点

重积分知识点
重积分知识点

重积分

1·二重积分

(1)二重积分定义

设二元函数定义在有界闭区域上,将区域任意分成个子域

,并以表示第个子域的面积。在上任取一点作和

。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数在区域上的二重积分,记为,

即这时,称在上可积,其中称被积函数,称为被积表达式,称为面积元素,称为积分

域,称为二重积分号。

(2)二重积分的性质

性质1(积分可加性)函数和(差)的二重积分等于各函数二重积分的和(差),即

∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ

性质2(积分满足数乘)被积函数的常系数因子可以提到积分号外,即

∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数)

性质1与性质2合称为积分的线性性。

性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推论

∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y)∣dσ

性质4设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值,σ为区域D的面积,则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ

性质5如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积,则Sσ=∫∫dσ

性质6二重积分中值定理设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续,σ为区域的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η),使得∫∫f(x,y)dσ=f(ξ,η)●σ

(3)二重积分计算

2·三重积分

(1)三重积分的定义

设三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…,n)并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点(ξiηiζi)作和(n/i=1 Σ(ξiηiζi)Δvi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dv,即∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 (n/i=1 Σf(ξi,ηi,ζi)Δvi),其中dv叫做体积元素。

(2)

性质1

线性性质:设α、β为常数,则∫∫∫[αf(x,y,z)+βg(x,y,z)]dv=α∫∫∫f(x,y,z)dv+β∫∫∫g(x,y,z)]dv。

性质2

如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域,则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

性质3

如果在G上,且f(x,y,z)═1,v为G的体积,则v═∫∫∫1dv═∫∫∫dv.

性质4

如果在G上,f(x,y,z)≤φ(xyz),则有,∫∫∫f(xyz)dv≤∫∫∫φ(x,y,z)dv,特殊地,∫∫∫f(x,y,z)dv∣≤∫∫∫f(x,y,z)dv.

性质5

设M、m分别为f(x,y,z)在闭区域G上的最大值和最小值,v为G的体积,则有mv≤∫∫∫f(x,y,z)dv≤Mv.

性质6

设函数f(x,y,z)在闭区域G上连续,v是G的面积,则在G上至少存在一个点(ζ,η,μ)使得∫∫∫f(x,y,z)dv=f(ζ,η,μ)v

(3)三重积分的计算

不定积分与定积分复习提纲

不定积分与定积分 复习提纲 主要知识点:不定积分和定积分 1. 不定积分相关概念 2. 不定积分的计算 3. 定积分的相关概念 4. 定积分的计算及其应用 一、 不定积分相关概念 1. 原函数 导函数:函数()y f x =,则称()f x '为函数()f x 的导函数。 原函数:函数()y f x =,则称()f x 为函数()f x '的原函数。 说明:函数()f x 若存在原函数()F x ,则一定有无数个原函数()F x C +,并 ()()=+?f x dx F x C 3. 不定积分的性质: (()())d ()d ()d f x g x x f x x g x x +=+??? ()d ()d ,f x x f x x ααα=??为常数 4. 不定积分和导数之间的关系:

二、 不定积分的计算 1. 直接使用积分公式计算 2. 凑微分法(第一类换元法)基础:常见的凑微分形式 (1)()C x d dx += (2)()C kx d k dx +=1 (3)()C x d xdx +=221 (4)()C x d dx x +=323 1 (5) ?? ? ??+-=C x d dx x 112 (6)( ) C x d dx x +=21 (7)()C x d dx x +=ln 1 (8)()C e d dx e x x += (9)()C x d xdx +-=cos sin (10)()C x d xdx +=sin cos (11) ()C x d dx x +=tan cos 12 (12) ()C x d dx x +=+arctan 11 2

第五章_第一节_不定积分的概念、性质.

经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内,可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、

定理原函数存在定理: 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之:连续函数一定有原函数. 问题:(1)原函数是否唯一? (2)若不唯一它们之间有什么联系? 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分

经济数学——微积分 不定积分(indefinite integral )的定义: 在区间/内,函数/(兀)的带有任意 常数项的原函数称为/(兀)在区I 可内的 不定积分,记为f/(xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一.课标要求: 1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ,y=x ,y=x 2,y=x 3 ,y=1/x ,y=x 的导数; ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax+b ))的导数; ③ 会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二.命题走向 导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三.要点精讲 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值 x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时, x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。

高等数学二重积分总结

第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质,了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系,会用性质比较二重积分的大小,估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限,如何改换二次积分的积分次序,并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法,会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1.二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义,必须首先引入二重积分的两个“原型”,一个是几何的“原型”-曲顶柱体的体积如何计算,另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发,对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中,必须要特别注意其中的两个“任意”,一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意,二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”,如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限,才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2.明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0,则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底,以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地,当(,)f x y =1时,(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0,则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方,二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的,其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的,在D 的另一些子区域上为负的,则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3.二重积分的性质,即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小,估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围,在用估值不等式对一个二重积分估值的时候,一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值,再应用估值不等式得到取值范围。

不定积分知识点总结

不定积分知识点总结 不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F' (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说,在其定义区间上,它的原函数一定存在,但原函数不一定都是初等函数。 定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积(2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续,则f(x)在区间[a,b]上可积,即连续=>可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在区间[a,b]上可积 3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则m ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤M ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立:∫abf(x)dx=f(ξ)( b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c ( a 定积分的应用 求平面图形的面积(曲线围成的面积) 直角坐标系下(含参数与不含参数) 极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式 S=R2θ/2)

高中数学定积分知识点

数学选修2-2知识点总结 一、导数 1.函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或 0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;

6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导(可积),则有: f x,() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查/() f x在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如

不定积分_定积分复习题与答案

上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则()f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s <<

定积分的概念和性质公式

1.曲边梯形的面积 设在区间*I上:;--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形,下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似:在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…,小区间的长度&广呜一為」(T三12… 在每个小区间- :-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限:则面积取极限

J=1 其中;'1 ; J L厂V '…,即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动,速度| I「是上*的连续函数,且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似:在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—,小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限:则路程一取极限 将分成n个小区间-,其长度为2 - —,在每个小区间 上任取一点「:,作乘积■- ' ■',并求和 r , 记1■r 1,如果不论对怎样分法,也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法,只要当「「I;时,和总趋于确定的极限,则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分,记作J ',即 定义设函数」?、在L?二上有界,在-亠二中任意插入若干个分点

其中叫被积函数,一’,八叫被积表达式,'‘叫积分变量,二叫积分下限, 「叫积分上限,-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明: 1.如果(*)式右边极限存在,称-’’」在区间-仁丄可积,下面两类函数在区间 上…-可积,(1)」在区间-LL■- - 上连续,则■' J'-在可积。(2)-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点,则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知,定积分的值只与被积函数和积分区间有关,而与积分变量无关,所 3.

定积分知识点总结.doc

定积分知识点总结 北京航空航天大学 李权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念: σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义: 0>?ε,0>?δ,在||||πδ<时,恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分,符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x),g(x)在[a,b]上可积,则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈,则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()(

特别地,如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地,有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积,且连续, (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数,则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上,将a,b,c 三点互换位置,等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ,使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和,),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下 和 特别地,当f(x)连续时,这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者,因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况,有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和,可以得到

不定积分知识点总结

不定积分知识点总结 不定积分知识点总结 不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F'(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说,在其定义区间上,它的原函数一定存在,但原函数不一定都是初等函数。 定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积(2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续,则f(x)在区间[a,b]上可积,即连续=>可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在区间[a,b]上可积

3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则m (b-a )≤∫abf(x)≤dx≤M (b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立:∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c (a

微积分——多元函数及二重积分知识点(教学内容)

教育类别+ 241 第四章 矢量代数与空间解析几何 微积分二大纲要求 了解 两个向量垂直、平行的条件,曲面方程和空间曲线方程的概念,常用二次曲面的方程及其图 形,空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影. 会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角,利用平面、直线的相互絭(平行、 垂直、相交等)解决有关问题,点到直线以及点到平面的距离,求简单的柱面和旋转曲面的方程,求空间曲线在坐标平面上的投影方程. 理解 空间直角坐标系,向量的概念及其表示,单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式 掌握 向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),用坐标表达式进行向量运算的方法, 平面方程和直线方程及其求法. 第一节 矢量代数 一、内容精要 (一) 基本概念 1.矢量的概念 定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量,长度为0的矢量称为零矢量,用0表示,方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。 定义4.2两个矢量a 与b ,若它们的方向一致,大小相等,则称这两个矢量相等,记作b a . 换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方(因为既没有改变大小,也没改 变方向),这种矢称为自由矢量,这样在解问题时将更加灵活与方便。 k a j a i a a 3211( 称为按照k j i ,,的坐标分解式,},,{321a a a a 称为坐标式。 .||2 32221a a a a 若,0 a 记| |0a a a 。知0a 是单位矢量且与a 的方向一致,且0||a a a 。 因此,告诉我们求矢量a 的一种方法,即只要求出a 的大小||a 和与a 方向一致的单位矢量0 a ,则 .||0a a a 若},{321a a a a ,知 },cos ,cos ,{cos }, , { 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 2 3 2 22 11 0 a a a a a a a a a a a a a 其中 ..是a 分别与Ox 轴,Oy 轴,Oz 轴正向的夹角,而 ,cos ,cos ,cos 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 3 3 22211 a a a a a a a a a a a a 且.1cos cos cos 2 2 2 2.矢量间的运算 设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a

不定积分知识点总结

三一文库(https://www.sodocs.net/doc/0c16844594.html,)/总结 〔不定积分知识点总结〕 引导语:不定积分一直是很多人都掌握不好的一个知识点,那么不定积分要怎么学好呢?接下来是小编为你带来收集整理的不定积分知识点总结,欢迎阅读! ▲不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数 的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数 的乘积,就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说,在其定义区间上,它的原函数一定存在,但原函数不一定都是初等函数。 ▲定积分 1、定积分解决的典型问题

(1)曲边梯形的面积(2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续,则f(x)在区间[a,b]上可积,即连续=可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在区间[a,b]上可积 3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设及分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则 ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤ ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分 值的大致范围。 性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立:∫abf(x)dx=f(ξ)( b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点 ( ab )外连续,而在点的邻域内无界,如果两个广义积分∫af(x)dx与∫bf(x)dx 都收敛,则定义∫af(x)dx=∫bf(x)dx ,否则 (只要其中一

高中数学人教版选修2-2导数及其应用(定积分)知识点总结

数学选修2-2导数及其应用(定积分)知识点必记 1.函数的平均变化率是什么? 答:平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么? 答:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么? 答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么? 答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些? 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?

数学三考研常见的知识点解析

知识点1:二重积分对称性问题 数学三考研对于二重积分对称性问题,要弄清这个问题首先就是要解决二重积分坐标变换的问题,首先是对二重积分坐标变化的引理,也就是通过什么样的坐标变换,使得积分的值不变,以及极坐标变换中r,为什么会出现, 上述公式有以下几个意思 第一点经过此坐标变换积分的值不改变, 第二点坐标变化应该是一对一的,只有这样才能保证积分的值不变, 第三点关于极坐标变换的r,其本质是雅可比行列式的值,也可以说是 .),()],(),,([),(:)3(;0) ,(),(),()2(),(),,()1() ,(),,(:),(????=→'≠??='''==D D dudv v u J v u y v u x f dxdy y x f D D T v u y x v u J D D v u y v u x D xoy D uov v u y y v u x x T D xoy y x f 是一对一的,则有变换上雅可比式在; 上具有一阶连续偏导数在且满足,平面上的变为平面上的闭区域将连续,变换上平面上的闭区域在设定理

积分复合函数的性质,所以在做极坐标变化的题目的时候,应注意关于后缀r 的书写 由上面的坐标变化我们引出对于二重积分对称性的证明,首先看第一条性质, 关于函数对称性问题性质一的证明我们可以用上面来证明,说一下思路,我们可以进行坐标变换如果积分区域关于x 轴对称那么我们采用坐标变换x 的值保持不变y 值变为(-t),那么在xot 的坐标下积分的值是不变,(用上面的坐标变换定理),所以dxdt t x f xdy y x f d p ????-=2 1),(d ),( 又由()??==1 )-,(,1d y ,x f d y x f t y x x y 积分公式就变为了那么积分区域就变成了变换使得的奇函数,在经过坐标是关于函数 由 于函数是y 的奇函数所以dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f d d d d ??????????-+=+=11d 12),(),(),(),(),(所 以如果y 是奇函数那么我们就能得到积分结果为零 所以结论的证! 知识点2:什么是自由度 统计学上的自由度(degree of freedom, df ),是指当以样本的统计量来估计总体的参数时,样本中独立或能自由变化的数据的个数称为该统计量的自由度。

导数及定积分知识点的总结及练习(经典)

导数的应用及定积分 (一)导数及其应用 1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx → f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .我们称它为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx → f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx 。 2.导数的几何意义 函数y =f (x )在x =x 0处的导数,就是曲线y =f (x )在x =x 0处的切线的斜率 ,即k =f ′(x 0)=lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . 3.函数的导数 对于函数y =f (x ),当x =x 0时,f ′(x 0)是一个确定的数.当x 变化时,f ′(x )便是一个关于x 的函数,我们称它为函数y =f (x )的导函数(简称为导数),即f ′(x )=y ′=lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . 4.函数y =f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x =x 0处的函数值,即f ′(x 0)=f ′(x)|x =x 0。 5.常见函数的导数 (x n )′=__________.(1 x )′=__________.(sin x )′=__________.(cos x )′=__________. (a x )′=__________.(e x )′=__________.(log a x )′=__________.(ln x )′=__________. (1)设函数f (x )、g (x )是可导函数,则: (f (x )±g (x ))′=________________;(f (x )·g (x ))′=_________________. (2)设函数f (x )、g (x )是可导函数,且g (x )≠0,?? ?? f (x ) g (x )′=___________________. (3)复合函数y =f(g(x))的导数和函数y =f(u),u =g(x)的导数间的关系为yx ′=y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 6.函数的单调性 设函数y =f(x)在区间(a ,b)内可导, (1)如果在区间(a ,b)内,f ′(x)>0,则f(x)在此区间单调__________; (2)如果在区间(a ,b)内,f ′(x)<0,则f(x)在此区间内单调__________. (2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化较__________,其图象比较__________. 7.函数的极值

高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法

高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法 【知识要点】 一、曲边梯形的定义 我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限 三、定积分的概念 一般地,设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x D (b a x n -D =),在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ,作和式:1 1 ()()n n n i i i i b a S f x x f n ξ==-= ?=∑∑ 如果x D 无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为:()b a S f x dx =?, 其中 ? 是积分号,b 是积分上限,a 是积分下限,()f x 是被积函数,x 是积分变量,[,]a b 是积分区间,()f x dx 是被积式. 说明:(1)定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数,可以是正数,也可以是负数,也可以是零,即n S 无限趋 近的常数S (n →+∞时)记为 ()b a f x dx ? ,而不是n S . (2)用定义求定积分的一般方法是:①分割:n 等分区间[],a b ;②近似代替:取点[]1,i i i x x ξ-∈;③ 求和:1 ()n i i b a f n ξ=-∑;④取极限:()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 四、定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1()()()b b a a kf x dx k f x dx k =??为常数(定积分的线性性质); 性质2 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±? ??(定积分的线性性质);

微积分B知识点

微积分B2复习要点 一 题型 1.填空题( 3×7=21分); 2.单项选择题(3×6=18分); 3.计算题(51分); 4.解答题(10分) 二 知识点 第七章 向量代数与空间解析几何 空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面) 例 求球心为点),,(0000z y x M ,半径为R 的球面方程 例 平面直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆 , 空间直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆柱面 。 例 XOZ 面上224x z +=绕x 轴旋转一周后的旋转体方程为 。 第八章 多元函数微分学 1.二元函数的定义域; 例1 求函数z =的定义域D . 解 要使z = 有意义, 应有22440x y --?, 即2 2 14y x + ?.故 22(,)14y D x y x 禳镲镲=+?睚镲镲铪 例2 求ln()z x y =-的定义域D .

解 要使ln()z x y =-有意义, 应有0x y ->, 故 {}(,)0D x y x y =->. 例3 求函数z = 的定义域D 。 解 要使z =, 应有 22224010 x y x y ì?--??í?+->??, 即 2214x y <+?, 故 {} 22(,)14D x y x y =<+? 2.二元函数的极限的计算; 定义 如果对于任意给定的正数ε,总存在一个正数δ,使得当 δρ<-+-=<20200)()(y y x x 时,ε<-A y x f ),(恒成立,则称当),(y x 趋于),(00y x 时,函数),(y x f 以A 为极限。 记作 A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00 或 A y x f =→),(lim 0 ρ 例 求 2 222001 y x y x y x ++→sin )(lim ) ,(),( 解 当00→→y x ,时022→+y x ,11 2 2≤+y x sin 由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量,所以 2 222001 y x y x y x ++→sin )(lim ) ,(),(0= 3.多元函数偏导数计算; (1)一阶偏导数的计算; (2)全微分的计算;

5.1 定积分的概念与性质-习题

1.利用定积分的定义计算下列积分: ⑴ b a xdx ? (a b <); 【解】第一步:分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点:k b a x k n -=,(1,2,,1k n =-),将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+, (1,2,,k n =),每个小区间的长度均为k b a n -?=, 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+, (1,2,,k n =), 第二步:求和 对于函数()f x x =,构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? ^ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步:取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=, 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。

高等数学知识点总结

高等数学(下)知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2 222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222 双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111C B A n =ρ,),,(2222C B A n =ρ, ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ;?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: (三) 空间直线及其方程 1、 一般式方程:?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式(点向式)方程: p z z n y y m x x 0 00-=-=-

高中数学定积分知识点

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数学选修2-2知识点总结 一、导数 1.函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度; 5、常见的函数导数 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ,()g x 均可导(可积),则有:

用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表 f x在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大格,检查/() 值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求) f在[]b a,上的最大值与最小值的步骤如下: (x a,上的极值; ⑴求) (x f在[]b ⑵将) f a f b比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小 f的各极值与(),() (x 值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 9.求曲边梯形的思想和步骤(“以直代曲”的思想) 10.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:

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