Derivative高中数学导数

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。

导数（derivative function）

亦名纪数、微商（微分中的概念），由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。又称变化率。

如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米／小时.

但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。

为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，

设汽车所在位置s与时间t的关系为

s＝f（t）

那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是

[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]

当t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到t1这段时间内的运动变化情况.

自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。

一般地，假设一元函数y＝f(x )在x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义;

当自变量的增量Δx＝x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的（或变化率).

导数的几何意义

若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数。

函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0［x0，f （x0）］点的切线斜率

一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y＝f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的。。如果在（a，b）内，f'（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y＝f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值。

导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

导数是微积分中的重要概念。

导数另一个定义：当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数）。

y=f(x)的导数有时也记作y'，即（如右图）：

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。

注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。

2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。）

编辑本段

求导数的方法

（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

②求平均变化率

③取极限，得导数。

（2）几种常见函数的导数公式：

①C'=0(C为常数函数)；

②(x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)；

③(sinx)' = cosx；

(cosx)' = - sinx；