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2011年高考数学试题(理科)(全国卷)

2011年高考数学试题(理科)(全国卷)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。 1.复数1z

i =+,z 为z 的共轭复数,则1zz z --=

(A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i

2. 函数

)0y x =≥的反函数为

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(A)()24x y x R =∈ (B) ()2

04

x y x =≥

(C)

()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥

3.下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是

(A)

1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >

4.设n S 为等差数列

{}n a 的前n 项和,若1

1a

=,公差22,24k k d S S +=-=,则k=

(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数

()()cos 0f x x ωω=>,将()y f x

=的图像向右平移3π

个单位长度后,所得的图像与原图

像重合,则ω的最小值等于 (A)

1

3

(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角

l αβ

--,点

,,A AC l C

α∈⊥为垂足,

,,B BD l D

β∈⊥为垂足,若

2,1A B A C B D ===,则D 到平面ABC 的距离等于

(A)

2

(B)

3 (C) 3

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(D) 1 7.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4为朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有

(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为

(A)

13 (B) 1

2

(C)

2

3

(D) 1

9.设

()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤时,()()21f x x x =-,则52f ??

-= ???

(A)

12-

(B) 14- (C) 14

(D)

1

2

10.已知抛物线C :24y x =的焦点为F ,直线24y x =-与C 交于A 、B 两点,则cos AFB ∠=

(A)

45

(B)

35 (C) 35- (D) 45

- 11.已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成60

二面角的平面β截该球面得圆N ,若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为 (A)

(B)

9π (C) 11π (D)

13π

12. 设向量,,a b c

满足

11,,,602

a b a b a c b c ===---= ,则c

的最大值等于

(A) 2 (B) (C) (D) 1

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二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空

的题,其答案按先后次序填写.

13.

(20

1的二项展开式中,x 的系数与9

x 的系数之差为 .

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14. 已知,2παπ??

???

,sin α=

,则tan 2α= .

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15. 已知12F F 、分别为双曲线22

:

1927

x y C -=的左、右焦点,点A C ∈,点M 的坐标为

()2,0,AM

为12F AF ∠的角平分线,则

2AF = .

16. 已知点E 、F 分别在正方体

1111ABCD A B C D -

的棱

11

BB CC 、上,且

12B E EB =,

12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .

三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分)

ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,A C a c -=+= ,求C

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18.(本小题满分12分)

根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立。

(Ⅰ)求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;

(Ⅱ)X 表示该地的100为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X 的期望。 19.(本小题满分12分)

如图,四棱锥S-ABCD 中,

//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形,

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AB=BC=2,

CD=SD=1.

(Ⅰ)证明:SD SAB ⊥平面;

(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 20.(本小题满分12分)

设数列

{}n a 满足1

111

0,111n n

a

a a +=-=--

(Ⅰ)求

{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)设n

b

=

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,记1

n

n

k

k S b ==∑,证明:1n

S <。

21.(本小题满分12分) 已知O 为坐标原点,F 为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率

的直线

l

与C 交于A 、B 两点,点P 满足

0.OA OB OP ++=

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(Ⅰ)证明:点P 在C 上;

(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q ,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。

22.(本小题满分12分) (Ⅰ)设函数

()()2ln 12

x

f x x x =+-

+,证明:当0x >时,()0f x > (Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设

抽到的20个号码互不相同的概率为p ,证明:19

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