椭圆二级结论经典探索(最完备)37
椭圆二级结论经典
1.12
2PF PF a +=
2.标准方程22
221x y a b
+=
3.
1
1
1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点
的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.
9．椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行
的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
10．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.
11．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、
P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b
+=.
12．AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则
2
2OM AB b k k a
?=-.
13．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
+=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y x y a b a b
+=+. 15．若PQ 是椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则
122222
121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.
16．若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦
L 所在直线方程为
1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)
22
22
11A B a b +=+;(2) L =
17．给定椭圆1C ：2
2
2
2
22
b
x a y a b
+=（a ＞b ＞0）,
2C ：22
2
2
2
2
222
()a b b x a y ab a b
-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点
M 2222
002222(,)a b a b x y a b a b
---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.
18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22
221x y a b
+=
(a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为
曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定
点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2
12211m b k k m a
+?=-
?-. 19．过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互
补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20
BC b x k a y =（常数）.
20．椭圆22
221x y a b
+=
(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上
任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为1
2
2tan
2
F PF
S b γ
?=，
2(tan )2
b P
c γ± . 21．若P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1,
F 2
是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22
a c a c αβ-=+.
22．椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式
：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -
, 2(,0)F c ，00(,)M x y ).
23．若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为
F 1、F 2，左准线
为L ，则当
11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
24．P
为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A
为椭圆
内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等
号成立.
25．椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的
充要条件是2222
0222()a b x a b k
-≤+.
26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
28．P 是椭圆cos sin x a y b ?
?=??
=?
（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直
角的充要条件是2211sin e ?=+.
29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22
221
x y a b
+=相交于,P Q ,则AP BQ =.
30．在椭圆22
221x y a b
+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为
()222
2222221()cos sin x y m a b a b αα??=-++???
?,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=o .
31．设S
为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段
L 的两端点A,B
在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有
2
0max ()2a l x c e =-222(c a b =-,c e a =);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =. 32．椭圆22
221x y a b
+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是
22222A a B b C +≥.
33．椭圆22
0022
()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.
34．设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为
F 1、F 2,P （异于长轴端点）
为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,
12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则
有
sin sin sin c
e a
αβγ==+.
35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ?=.
36．已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两
动点，且OP OQ ⊥.（1）22
221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2
的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是22
22
a b a b
+.
37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.
38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则
222
2111
||||a MN OP a b +=+
.
39．设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）,M(m,o)
或(o, m)为其对称轴上除中心，
顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N
在直线l ：2
a x m
=(或2
b y m
=
)
上.
40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
42．设椭圆方程22
221x y a b
+=,则斜率为
k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：
y kx =的共轭直线'
y k x =上,而且2
'
2b kk a
=-.
43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22
221x y a b
+=上四点,AB 、CD
所在直线的倾斜
角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则
22222
222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββ
αα
?+=?+.
44．已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）,点
P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦
点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是
222x y a +=(()()
2222
222
22
2a y b x x c c y a y b x c ??+±??=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.
46．过椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点
F 作直线交该椭圆右支于M,N
两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||
||
2
PF e
MN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条
斜率为21
21
b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A 到
ab =.
48．已知椭圆22
221x y a b +=（
a ＞
b ＞0）和22
22x y a b
λ+=（01λ<<
），一直线顺
次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.
49．已知椭圆22
221x y a b
+=（
a ＞
b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB
的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a
---<<.
50．设P
点是椭圆22
221x y a b
+=（
a ＞
b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、
F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2
122||||1cos b PF PF θ
=
+.(2)
122tan
2
PF F S b θ
?=.
51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线
MN ：x n =于M ，N 两点,则()22
22
90()a n m a m MBN a m
b n a --∠=?=
++o
. 52．L
是经过椭圆22
221x y a b
+=（
a ＞
b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直
线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐
角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）. 53．L
是椭圆22
221x y a b
+=（
a ＞
b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶
点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||ab PH c
=时取等号）.
54．L
是椭圆22
221x y a b
+=（
a ＞
b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L
与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角
且
2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =.
55．已知椭圆22
221x y a b +=（
a ＞
b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆
相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则
222
2
112
(2)||||a b b F A F B a -≤?≤
（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且
仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）. 56．设A 、B
是椭圆22
221x y a b
+=（
a ＞
b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ
∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，
则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a
γ?=-.
57．设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异
于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ?=，（1）若过A 点引直
线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=o . 58．设A 、B
是椭圆22
221x y a b
+=（
a ＞
b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异
于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两
点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ?=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=o ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ?=.
59．设'
,A A 是椭圆22
221x y a b
+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则
直线AQ 与''
AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b
-=.
60．过椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、
CD 则2222282()
||||ab a b AB CD a b a
+≤+≤+.
61．到椭圆22
221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c b
-（c
为半焦
距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.
62．到椭圆22
221x y a b
+=（
a ＞
b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a
c b
-（c
为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e
e
±+=.
63．到椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为
a c b
-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222
22()()a b x y e e ±+=（e 为离心率）.
64．已知P 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的
两个端点,且AQ AP ⊥,''
AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a
+=.
65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平
行的弦长和长轴之长的比例中项.
66．设椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的
点过P 作斜率为21
21b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于
',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .
67．已知椭圆22
221x y a b
+=（
a ＞
b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭
圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x
轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 68．OA 、OB
是椭圆22
22()1x a y a b
-+=（
a ＞0,
b ＞0）的两条互相垂直的弦，
O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2
222(,0)ab a b
+.(2) 以O A 、
O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22222
2222()()ab ab x y a b a b
-+=++(0)x ≠.
69．(,)P m n 是椭圆22
22()1x a y a b
-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互
相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点222222222
2()()
(
,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是
22224222222222
222
[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、
d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧?直线L 和椭圆相切.（2）
212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧?直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧?直线L 和椭圆相交. 71．AB
是椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的
切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点
M 的轨迹方程是22
2241(0)x y y a b
+=≠.
72．设点00(,)P x y 为椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭
圆22
221x y a b
+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2
()
(||||)a b a y b x PA PB b
-+?=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2
()
(||||)a b a y b x PA PB a
-+?=. 73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.
77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.
81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.
82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.
83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.
84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.
85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.
86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.
88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
89. 已知椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作
直线b y x a =及b y x a
=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，
则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.
90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a
=及2:b l y x a
=-的平行线，分别交x 轴于
,M N
，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是
22
221(0,0)x y a b a b +=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22
221(0,0)x y a b a b
+=>>. 91. 点P 为椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意
一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a
=-于
,Q R ，记 OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ，则：122
ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于
,M N
，交直线b y x a
=-于,Q R ，记
OMQ
?与ONR ?的面积为12,S S ，已知
122
ab
S S +=
，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.
椭圆性质92条证明
1.椭圆第一定义。
2.由定义即可得椭圆标准方程。
3.椭圆第二定义。
4. 如图，设00(,)P x y ，切线PT （即l ）的斜率为k ，1PF 所在直线1l 斜率为
1k ，2PF 所在直线2l 斜率为2k 。
4图
5图
由两直线夹角公式1212
tan 1k k k k θ-=
+得：
()()200
222222222222
000000012222222
00
100000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c
α++++++-======++-++-?+
()()200
222222222222
000000022222222
00
200000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c
β+--+---======+-----?-
,0,2παβαβ
??
∈∴= ???
Q 同理可证其它情况。故切线PT 平分点P 处的外角。
5.如图，延长F 1P 至A ，使PA=PF 2，则2PAF ?是等腰三角形，AF 2中点即为射影H 2。则122
F A OH a ==，同理可得1OH a =，所以射影H 1，H 2的轨
迹是以长轴为直径的圆除去两端点。
6.设P ，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为12,d d ，以PQ 中点到准线的距离为
d
，以PQ 为直径的圆的半径为r ，则
1222d d PF FQ r
d r
e e
++=
==>，故以PQ 为直径的圆与对应准线相离。
7图
8图
7.如图，两圆圆心距为122
2222
PF a PF PF d OM
a a r -==
==-=-，故两圆内切。 8.如图，由切线长定理：11121222FS FT PF PF F F a c +=++=+，11
F S FT a c ==+ 而1
12
FT a c F A =+=，T 与2A 重合，故旁切圆与x 轴切于右顶点，同理可证
P 在其他位置情况。 9.
()()()()22
001210020022
,0,0,,,1x y A a A a P x y P x y a b --+
=易知,设,则()()00112200
:,:y y
A P y x a A P y x a a x a x =
+=-+- 2222222222222
0002222222
22000000,11P P P ay a y a b a y x y a a a x y x P P x x x a
b x b x b x a b ??-=?∴-=-==∴-= ???则点的轨迹方程为 10.
Q 000(,)
P x y 在椭圆
22
22
1x y a b +=上
2200
221x y a b
∴+=，对
22
22
1x y a b +=求导得：
'22220x yy a b +=2'
020
b x y a y ∴=-
∴切线方程为()20
0020
b x y y x x a y -=--即22
000022221x x y y x y a b a b +=+=
11.设()()111222,,,P x y P x y ，由10得：01010202
222
21,1x x y y x x y y a b a b
+=+=，因为点12,P P 在直线12P P 上，且同时满足方程00221x x y y a b +=，所以0021221:P x y a P x y b
+=
12.()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 设2222112222221,1x y x y a b a b +=+=则有作差得：22221212
220x x y y a b
--+=
()()()()121212122
2
x x x x y y y y a b -+-+?
+=()()2222
120122222
12120AB
AB OM OM b x x b x y y b b k k k x x a y y a y a k a
+-?==-=-=-??=--+
13.由12
可得：()20
2000
b x x x a y y y ---=22222200000a y y a y b x x b x ?-+-=
2
2
222
2000
b x x a y y b x a y ?+=+22
0000
2222
x x y y x y a b a b
+=+?
14. .由12可得：
2
200b x x y y y x a
-?-=-222222000a y a y y b x b x x ?-+-= 2
2
2
2
2
2
00b x a y b x x a y y ?+=+22002222
x x y y
x y a b a b
++?=
15.设()()'
'
cos ,sin ,cos ,sin P a t b t Q a t b t ，则''
sin sin 1cos cos OP OQ
b t b t k k a t a t ?=?=-2'
2
tan tan a t t b
∴?=-
()()()()
()()
()()222'222'22
122
222222222'22'12122'22
2222'222'222'22'222222'
cos cos sin sin 11cos sin cos sin 11tan tan 2tan tan tan tan 2tan cos cos cos cos tan tan a t t b t t r r r r r r a t b t a t b t t t a b a t t b t t b t t t t a b t a b t +++++==++????+++ ? ?+++++????==++()22'42222'422'tan tan tan tan tan t t a a b t t b t t +++
()()()()()2
2222'2222'222222
2242222'22'211tan tan 2tan tan 2112tan tan 2tan tan a a b t t a b t t a a b b b a a b a a b t t t t b
????++++ ?+++??????===+++++ 16.将直线AB 代入椭圆方程中得：()()222222222210A a B b x Aa x a B b +-+-=
()2
22
2
2
22
41a B b A a B b ?=+-
，
AB =设()()1122,,,A x y B x y 则
2
1222
22
2Aa x x A a B b +=+，
()222122
2
22
1a B b x x A a B b
-=
+，
()222122
2
22
1b A a y y A a B b
-=
+
OA OB ⊥Q
()22222222121222
110x x y y a b a b A B A B a b ∴+=?+=+?+=+
2222
AB A a B b ==
=
=
+
17.()I 设椭圆内直角弦AB 的方程为：()y x m k n -=-即y kx m kn =+-。 当斜率
k
存在时，代入椭圆
C 1方程中得：
()()()2
2
2
2222220a k
b x a k m kn x a m kn b ??++-+--=??
设()()1122,,,A x y B x y 得()
122
2222a k m x x kn a k b +=+--，()2
2122222a m kn b a k b
x x ??--=??
+
则()()()()01020102PA PB x x x x y y y y ?=--+--u u u r u u u r
()()()()2
222
1200120010k x x k n ky x mk x m x k x y n =+-++-+++-=???-?
()()()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()2
222222
2220000222222222
2
2222222222222
22222222
2200202002222220
1111a m kn b a k m kn a k b a k b m kn a m k k n ky x m kn a b a k b a k b a k b m kn m kn k x y a k b a m kn a k m kn a k m kn a m kn a k k x y k x y k a y b ??---++-??
--++++--+--+-=??++++-++-=?????++++---++-+()()()()()()()()()()()()2200002222
2222222222
2222222000202220
21k b a k b b m kn m kn b a k m kn a x y y x x y k k b a b m kn a b m kn a k b x y ++++++++----=
?++----=+
()()()()()222222220000002222222222222
202222
0222220
a k
b a b a b kmn a b x y x y m a b a b ma k mb k na kn k n k x y x y b ?+++++++--+-+--+=
()()()2222222022222222222222
00220200022200020202x n x x x y y m a a b b na b a m y a b ma nb mn a b a b n x b a b a mb a b y y ??+-=-=????+?++???-??=++-=+=--??
+?? 即直线AB
过定点2222002222,a b b a x y a b a b ??
-- ?++??
，此点在
C 2上。当直线斜率不存在
时，直线AB 也过C 2上的定点。
()II 由上可知C 1和C 2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。
18.必要性：设P 1P 2：()00k x m m y y x =-+。k 存在时，代入椭圆方程中得：
()()()2
2
2
2222222000020a k
b x a km y kx x a m y kx a b +-+++-=
设()()111222,,,P x y P x y 得()202222
102a km y kx b x a x k +++=，()2
2222
0012222
a m y kx a
b a k b x x +-+=
()()()()
()()()()()()()()()()()()
2
201021212122
010212012000002222200002
2222
0000001211111211y y y y k x x k m x x m k k x x x x x x x x x x b m kmx y k x m y m b m a m a m kmx y k x y mk m y x y x y m y mk ++---++?==---++??++-+++??==-??-+-++++?? k 不存在时，P 1P 2：x=mx 0
则y =
()()()()()()()
2222222220000201222222222
000111111b y y y a m x b x m b m a k k a m x m x m a x m ?-- -+?????====---- 必要性得证。
充分性：设P 1P 2过定点(),q p ，则P 1P 2：y kx p kq =+-。代入椭圆方程得：
()()()2
2
2
22222220a k
b x a k p kq x a p kq a b ++-+--=
设()()111222,,,P x y P x y 得()122222
2a k p x x kq a k b +=+--，()2
22
22
1222a p kq a x b a b x k --+=
则()()()()()()()()2
21020120120122
1020120120
y y y y k x x k p kq y x x p kq y k k x x x x x x x x x x --+--++--?==---++
()()()()()
()()()
()()()()()()2
222222222
222222
22002
0022
2222
0002
2222200022211222k k p kq y p kq y x x b a p kq a b a k p kq a k b p kq y p kq y a p kq a b a k p k x m b m a a p kq kx p kq k x y kq a k b ---+--=
++??---+-+??==?-??---+---+-+-+-??
()()()()()()()()()()()()2
2220002222
00022222
00000000002
20000000002200021
1
220010
200p kq y p kq y k x m m p kq kx p kq k x y k mx q mqx qx k mpx px mqy qy pq mpy py p my q x q mx mx q mqx qx mpx px mqy qy pq mpy py p my ---+-+?=--+-+-?+--++-+-+-+-=--=???????+--=?
?+-+-=???-+-=?()()()()()()
0000112203px m qy m pq p y my p ??++-=????????-+=???????
注意到m≠1，解（1）（3）得00,p my q mx =-=，代入（2）式，成立。 验证k 不存在的情况，也得到此结论。故l 过定点()()00,1mx my m -≠，充分性得证。
19. 设AB ：()00k y x y x =--即00y kx y kx =+-
()()()00
2222222222000022201
y kx y kx a k b x a k y kx x a y kx b x y a
b =+-?????++-+--=???
+=?? ()222222222222200000
0000000222222222222
2222,B B a k kx y a k x a ky b x a k x a ky b x b y a k y b kx x x x B a k b a k b a k b a k b -??------?+=?=? ?++++??
222222222200000000
222222
220
0224,4BC a k x a ky b x b y a k y b kx b kx b x C k a k b a k b a ky a y ??+--+∴== ?++??同理 20.
由余
弦定
理
：
()()
()2
2
2
2
2121212
122cos 242cos 1PF PF PF PF c PF PF c PF PF γγ+-=?+=++
()22
2
2
121222442cos 1cos 1cos 2
b b a
c PF PF PF PF γγ
γ?=++?==
+
1222
2122222sin cos
1sin 22sin tan 2cos 122cos 2
tan ,tan 22F PF P P P b b S PF PF b c y b b y x P c c γγ
γγγγγγγ?=====+???===± ? ???
21.由34：()
()
sin sin sin 1sin sin sin 1sin sin sin sin sin sin a c e a c
e
βααββαγ
βαγ
βααβ+-+--+-===
+++++++
()()()()
2
2
22sin 1cos sin 1cos sin sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin
sin
cos sin c 2sin cos 2sin 2sin cos 2sin 22222222222sin cos 2cos 2sin cos 2cos 222222βααββααββαβααββαβααβα
ββαβ
β
ααα
β
ββαααβ-+-+--=
=
+++++++?+?==
?+?os sin 22cos cos sin cos sin cos 222222αββαβααβ?
? ?
????+ ???
sin
sin
2
2tan tan 22cos cos 22
α
β
αββα=
=
22.由第二定义得：22100200,a a MF e x a ex MF e x a ex c c ??
??=+=+=-=- ? ?????
23.()12
2100021
1PF PF e
e PF e PF a ex e a ex x a d
PF e e
-==?=??-=+?=
+ (
](
))20210,1210110,11,1e
x a e e e e e e e e
-∈∴
≤?+-≥?≥≤-∈∴∈+Q 或
24.22222APF PF AF PA PF AF ?-≤≤+在中,有
112221122222,2PF PA PF PF AF a AF PF PA PF PF AF a AF A P F ∴+≤++=++≥+-=-都当且仅当、、三点共线时取等号。
25.设椭圆上的点()()1122,,,A x y B x y 关于:l y kx m =+对称，()''00,M x y 。 由12得：()2'
2'2'220''00002'2'2'220001,AB
a kx m
b x a y a m b m k k x y a y k b x b x
c k c
+=-=-?==?=-=- 又M Q 在椭圆内，()2222
2222422
42442
222
1a b k m a m b m c k m c k c c k a b k
<+∴+=
()2
2
24
20222222
a b c
x a b k a b k <
-=
++
26.由5即可得证。 27.设
P ()cos ,sin a b ??，则切线cos sin :1l x y a b ??
+=，A 2cos ,1sin a b a c c ??????- ? ????
? 27图
30
图
()22222
cos cos cos cos ,sin ,10sin b b a ab ab FP FA a c b b b FP FA c c c c ??????????∴?=-?-=
-+-=∴⊥ ? ????
?u u u r u u u r
28.()()()22222cos ,sin ,:sin cos cos cos P a b b c a c a c a ??????=-+=-设由射影定理有
()()()22222222222
2
2
2
2
2cos sin cos 1sin 1
1sin sin cos 11sin c a a c e e e e ????????
?=+-?=+-?+=+=?=
+
29.设()()2222
122222:1,:1,:0x y x y C C k k AB l Ax By C a b a b +=+=>++=。联立1,C l 得：
()2
2
22
2
2
2
2
22
2
20A a B b x Aa Cx a C a b B +++-=，由韦达定理：22222
2A B Aa C
x x A a B b +=-+ 同理
222
22
2P Q Aa C
x x A a B b +=-+。
则
AP -)222
222111A P B Q A P B Q
A A A x x x x x x
B B B
+-+-=+---
而,A P B Q x x x x --的符号一定相反，故A P
B Q
x x x x ---=()A B P Q x x x x +-+=0。所以
AP=BQ
30.设()()cos ,sin ,cos ,sin A a b B a b θθ??，()00,M x y 为AB 中点。 则
()()2
2
2
2222
2
22
2
2
cos cos sin sin 4sin sin 4cos sin 42
2
2
2
AB a b a b m θ?
θ?
θ?
θ?
θ?θ?+-+-=-+-=+=
22
2
22
2
2sin sin cos sin 2222
a b m θ?
θ?
θ?
θ?
+-+-?+=
而00cos cos sin sin cos cos ,sin cos 222222
a a
b b x a y b θ?θ?θ?θ?θ?θ?++-++-====
设22
sin ,sin 22
A B θ?θ?
-+==，则
()()()()222
22220011,1,1x a A B y b A B m a AB b A B =--=-=+-
解得2
02
22
0022
2
2
0022
1,y x
y b A B x y a
b a b ?
?
=-+
= ???
+，代入
m 2得：2222
00
22222002222
220000
22
221a y b x x y b a m x y x y a b a
b a b ??
?????=-++ ??? ? ?????++ ???
令
00
tan bx ay α=-
得：
()2222
222
220000222
222222
tan cos sin tan tan 1111x y x y a b m a b a
b a b ααααα???????????=-++=-++???? ? ? ?++?????????? 所以定长为
2m （0＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为
()222
2
222221()cos sin x y m a b a b αα??=-++???
?。
其中tan bx ay
α=-,当0y =时,
90α=o 。
31. 设()()cos ,sin ,cos ,sin A a b B a b ααββ，()00,M x y 为AB 中点。则：
00cos cos cos cos cos 2222cos 2
x a a x a a αβαβαβαβ
αβ++--=
=?=
+ ()()222
22222222cos cos sin sin 4sin sin 4cos sin
2222
AB a b a b αβαβαβαβαβαβ+-+-=-+-=+
2
2222222222222222222
2
22
22
22
002
4sin sin cos 41cos cos 22222cos cos cos
cos 22224cos 24cos 2
a b a c l l a a c c x l e x c a a
αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-++-+?
?????=+=--= ? ??
????
???
-++-???-++= ????
?
?+?-++=≤ ?+ ?
??
二次函数y=e 2x 2-mx+a 2
与2
4
l y =
在[]0,a 内的交点即为x 0的值。由图易知
y=e 2x 2
-mx+a
2
与2
4
l y =
的左交点为x 0的值。当m 增大时，x 0减小。要使
x 0最大，则要使m 最小。
222
02
cos 22
cos 2
x c cx αβ
αβ
++≥+，此时等号成立时2
0max
0max cos 12
x x c c
αβ
+=
≤?≤ 31图
35图
当
此式成立时
2222
2
2
222
0max 0max 0max 0max 244222l l l a l a l y e x mx a e x cx a ex a x e e c e
=-+=?-+=?-=-?=-=-
当20max 22a l a l x c e e c e =-=-=时：()()()222
242=b l ce a l a ce a
=-?=-=Φ通径 当0max
x c ≤时：22=b l a ≥Φ∴当22=
b l a
≥Φ时0max x c ≤，20max
2a l
x c e
=-。 当0max x c >时，当2cos 12
αβ
+=，即
AB 垂直于x 轴时x 0最大。
(
)2
2
222
222
2
2
220max
0max
0max
0max 22
444
14l b l a e x
x
a c x
b l x e b -
-+-=?==-?=-
考虑到对称性0min 0x =对任意情况均成立。
0min 0x ∴=
，22200max 0max
2
20max 2,=
,cos 222,=cos 12x a l b x c l AB c e a c x b x c l AB x a αβαβ???
+-≤≥Φ=? ????=?+><Φ⊥=??过焦点，，轴，
32.()()222222
2222222222200
b x a y a b A a B b x a ACx a C B b Ax By C ?+=?+++-=?
++=? ()()4222222222222222440a A C a C B b A a B b A a B b C ?=--+≥?+≥
33.
()()222222000
b x x a y y a b
Ax By C ?-+-=??
++=?? ()()()22222222222222222
222200000220
A a
B b x a A
C B b x a ABy x a C a B y B b x a B b a BCy ?++-++++-+=
()
2
222222222000000002202A a B b A x B y C ABx y ACx BCy Ax By C +≥+++++=+?+?≥
当000x y ==时，即为32：22222A a B b C +≥ 34.由正弦定理得12
21
sin sin sin F F PF PF α
βγ
=
=，所以
1212sin 2sin sin 2F F c c e PF PF a a
αβγ====++。
35. 设()cos ,sin P a b ??，则P 点处的切线为cos sin 1x y a
b
??+=，
高中数学史上最全椭圆二级结论大全
最全椭圆二级结论大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时 A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是 00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111 (||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.
史上最全椭圆二级结论大全
专题 —史上最全椭圆二级结论大全 1.12 2PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2 时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直 线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 22 11A B a b +=+ ;(2) L =17．给定椭圆1C ：2 2 2 2 22 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222 2 22 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意
高中生物二级结论总结
1.细菌不谈等位基因（有该选项的首先排除）。 2.目的基因导入受体细胞发生的是基因重组。 3.抗体的产生需要淋巴因子的参与。 4.血钙浓度过低，肌肉抽搐；过高，肌无力。 5.植物细胞在一定条件下，并不都能表现出全能性，如筛管细胞（无核）。 6.基因工程是定向改变基因频率。 7.提取色素用丙酮，分离用层析液。 8.Ｔ细胞，效应Ｔ细胞都能产生淋巴因子。 9.呼吸作用为零，细胞死亡。 10.棉蚜吸食棉花汁液，种间关系为寄生，非捕食。 11.所用脊椎动物的胚胎发育过程都离不开水。 12.成熟红细胞无核，无细胞器，无法进行有氧呼吸。 13.Ｃ4植物光反应在叶肉细胞中进行，暗反应在维管束鞘细胞中进行（这里会有分歧，以当地教材为准）
14.兴奋在反射弧中的传递形式是电信号和化学信号。 15.大气中的Ｎ2必须经过生物或非生物的固氮过程才能被生物体利用。 16.代谢速率相干因素：线粒体数目，膜面积，温度。 17.植物组织培养中的蔗糖作用，提供营养，调节渗透压（后者极易忽视）18.体细胞离体培养用到ＣＯ2培养箱，维持ＰＨ。 19.根尖分生区不出现质壁分离的原因是无中央大液泡。 20.顶芽生长不需要其它部位提供生长素。 21.对生长素的敏感程度：幼嫩细胞大于成熟细胞。 22.盛不同浓度生长素溶液的小培养皿要加盖：避免水蒸发影响浓度。 23.严重缺铁的病人可能出现乳酸中毒。 24.各种细胞器的复制发生在间期。 25.细胞膜吸收钾离子至少要两种蛋白质。 26.原代培养，传代培养都要用胰蛋白酶处理。
27.动物细胞吸水膨胀，磷脂双分子层厚度要变小：膜的流动性。28.制备单克隆抗体：体外培养法，动物体内培养法。 29.ＡＴＰ连续两次水解得到腺嘌呤核糖核苷酸。 30.从光合作用到呼吸作用Ｈ2Ｏ中的Ｏ的循环过程：Ｈ2Ｏ→Ｏ2→Ｈ2Ｏ。 31.葡萄糖进入红细胞，协助扩散，需要载体，不需要ＡＴＰ。 32.ＡＴＰ并非生物大分子物质。 33.细胞内ＡＴＰ与ＡＤＰ相互转化的能量供应机制是生物的共性。34.能量不能转化为物质即不能说“什么能转化为ＡＴＰ”。 35.夏季连续阴天，大棚中白天适当提高温度，夜晚适当降低温度，有利于提高产量。 36.真核细胞通常只有一个细胞核，但有的细胞会含有多个细胞核。37.植物细胞在形成中央大叶泡后主要靠渗透作用吸收水分。
史上最全椭圆二级结论大全
专题118—史上最全椭圆二级结论大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1 与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方 程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111 (||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2 211A B a b +=+ ;(2) 2222L a A b B =+ 17．给定椭圆1C ：2 2 2 2 22 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：22 2222 22 2 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222 02 222(,)a b a b x y a b a b ---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过' P 点. 18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22 221x y a b += (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2
二级结论在解析几何中的作用
二级结论在解析几何中的作用 一 椭圆、双曲线的“垂径定理” 1.（14浙江理）设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-b y a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________. 2. 已知点是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，过原点的直线交椭圆于点 ，垂直 于轴，直线交椭圆于点，PB PA ⊥，则该椭圆的离心率__________. 3. 设动直线与椭圆交于不同的两点与双曲线 交于不同的两点 且则符合条件的直线共有______条. 4.已知某椭圆的焦点是过点 并垂直于轴的直线与椭圆的一个交 点为，且 .椭圆上不同的两点 满足条件： 成等差数列. （1）求该椭圆方程； （2）求弦中点的横坐标； （3）设弦 的垂直平分线的方程为 ，求的取值范围. 5.（16四川）已知椭圆：22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形 的三个顶点，点在椭圆上. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段 的中点为，直 线 与椭圆交于 ，证明： 二 圆锥曲线的共圆问题 6. （11全国）已知O 为坐标原点，F 为椭圆2 2 :12 y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F
且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= （Ⅰ）证明：点P 在C 上； （Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 7. 已知抛物线C ：y 2 =2px （p ＞0）的焦点为，直线与轴的交点为，与C 的交点为Q ， 且|QF|=|PQ|． （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程． 二 抛物线的性质 8. （14四川）已知F 为抛物线2 y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， 2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C 、 172 8 D 、10 9.（15新课标）在直角坐标系中，曲线C ：y =2 4 x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两 点， （Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。 9. （14山东）已知抛物线2 :2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ?为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E . （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）ABE ?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 10. 点到点 及直线 的距离都相等，且这样的点只有一个，求值. 三 椭圆、双曲线的性质 11. 已知两点1(1,0)F -及2(1,0)F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭 O 1F 2F x y l M N
高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论 1、任意的简单n 面体内切球半径为表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C 3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。 ①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x ) 4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b| 5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b| 6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b| 7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2 倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 1 1-≤≤-< -x x x x x 、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S =
11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为 12 20=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为 12 20=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ① 圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为 02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤ 二次曲线的切点弦 方 程 为 02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 13、①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论 椭圆与双曲线对偶结论 倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆相交 倾斜角为α的直线l过焦点F与双曲线相
如图，已知直线l与双曲线相交于,A （注：直线l与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立）
推广：如图，已知点,A B是双曲线上关于推广：如图，已知点,A B是椭圆上关于原 F c与双曲线相 线l过焦点(),0
1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题： 设斜率为k 的直线l 过定点()()0,0P t t ≠，双曲线方程为()22 2210,0x y a b a b -=>>，过点P 与双曲线 相切时的斜率为0k . （1）当0b k a ≤<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上； （2）当b k a =时，直线l 与双曲线只有一个交点； （3）当 0b k k a <<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上； （4）当0k k =时，直线l 与双曲线只有一个交点； （5）当0k k >时，直线l 与双曲线没有交点. 2．如图，(),0F c 是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的焦点，过点F 作FH 垂直双曲线的其中一条渐 近线，垂足为H ，O 为原点，则,OH a FH b ==. 3．点P 是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>上任意一点，则点P 到双曲线的渐近线的距离之积为定值 22 22 a b a b +. 4．点P 是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>上任意一点，过点P 作双曲线的渐近线的平行线分别与渐 近线相交于,M N 两点，O 为原点，则平行四边形OMPN 的面积为定值2 ab .
双曲线二级结论大全
双曲线 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线 交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切 点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的 中点，则2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为 1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) L =
椭圆与双曲线二级结论
椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
专题：椭圆相关的二级结论及推导-讲解(最全、最经典)
专题：椭圆相关的二级结论及推导 1.122PF PF a +=：由椭圆第一定义可知。 2.标准方程22 22 1x y a b +=：由定义即可得椭圆标准方程。 3.11 1PF e d =< ：椭圆第二定义（椭圆平面内到定点 F(c,0)的距离和到定直线 L: ( F 不在 L 上)的距离之 比为常数 (即离心率 e,0
史上椭圆二级结论大全
专题118—史上最全椭圆二级结论大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1 与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方 程是 00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111 (||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)
二级结论汇总
二级结论汇总 一、静力学： 1．几个力平衡，则一个力与其它力的合力大小相等，方向相反。 2．两个力的合力：F1+F2﹥F合﹥F1－F2。 三个大小相等的共点力平衡，力之间的夹角为120０。 3．力的合成和分解是一种等效代换，分力与合力都不是真实的力，求合力和分力是处理力学问题时的一种方法、手段。 4物体沿斜面匀速下滑，则μ=tanα；沿斜面加速下滑，μ＜tanα；沿 斜面加速下滑，μ＞tanα。 5两个一起运动的物体“刚好脱离”时： 貌合神离，弹力为零。此时速度、加速度相等，此后不等。如图 6．轻绳不可伸长，其两端拉力大小相等，线上各点张力大小相等。因其形变被忽略，其拉力可以发生突变，“没有记忆力”。 7．轻弹簧两端弹力大小相等，弹簧的弹力不能发生突变。 8．轻杆能承受纵向拉力、压力，还能承受横向力。力可以发生突变，“没有记忆力”。 二、运动学： 1．匀变速直线运动：用平均速度思考匀变速直线运动问题，总是带来方便： 2．匀变速直线运动： 时间等分时，V t/ 2 =V V t 2 + = s t ， 位移中点的即时速度，V s/2 = v v o t 22 2 + 纸带点痕求速度、加速度：3．匀变速直线运动，v0 = 0时：
时间等分点：各时刻速度比：1：2：3：4：5 1s 、2s 、3s ……ns 内的位移之比为12：22:32……n 2 各段时间内位移比：1：3：5……(2n-1) 在第1米内、第2米内、第3米内……第n 米内的时间之比为1：()21-：(32-)……(n n --1) 4．上抛运动：对称性：上升过程是匀减速直线运动，下落过程是匀加速直线运动。全过程是初速度为V O 、加速度为-g 的匀减速直线运动。 （1） 上升最大高度： H = V g o 2 2 (2) 上升的时间： t= V g o (3) 上升、下落经过同一位置时的加速度相同，而速度等值反向 (4) 上升、下落经过同一段位移的时间相等。 （5）从抛出到落回原位置的时间：t = 2V g o （6） 适用全过程的公式： S = V o t 一12 g t 2 V t = V o 一g t 5 平抛运动公式：匀速直线运动和初速度为零的匀加速直线运动的合运动 水平分运动： 水平位移： x= v o t 水平分速度：v x = v o 竖直分运动： 竖直位移： y =2 1g t 2 竖直分速度：v y = g t tg θ = V V y o V y = V o tg θ V o =V y ctg θ V = V V o y 22+ V o = Vcos θ V y 在V o 、V y 、V 、X 、y 、t 、θ ) θ v o 已知其中任意两个，可根据以上公式求出其它五个物理量。 v y v
高中数学双曲线二级结论大全
双曲线二级结论大全 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、 P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则 切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 2 21x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线 22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞ a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) 2222||L a A b B =-. 17．给定双曲线1C ：22 2 2 22 b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：22 2 2 2 2 22 2 ()a b b x a y ab a b +-=-,则(i)对1C 上任意
高考物理二级结论 (2)汇总
高中物理“二级结论”集 物理概念、规律和课本上的知识是“一级物理知识”，此外，有一些在做题时常常用到的物理关系或者做题的经验，叫做“二级结论”。这是在一些常见的物理情景中，由基本规律和基本公式导出的推论，或者解决某类习题的经验，这些知识在做题时出现率非常高，如果能记住这些二级结论，那么在做填空题或者选择题时就可以直接使用。在做论述、计算题时，虽然必须一步步列方程，不能直接引用二级结论，但是记得二级结论能预知结果，可以简化计算和提高思维起点，也是有用的。 一般地讲，做的题多了，细心的学生自然会熟悉并记住某些二级结论。如果刻意加以整理、理解和记忆，那么二级结论就能发挥出更大的作用。常说内行人“心中有数”，二级结论就是物理内行心中的“数”。 运用“二级结论”的风险是，如果出现张冠李戴，那将带来巨大的损失，所以：提出两点建议： 1．每个“二级结论”都要熟悉它的推导过程，一则可以在做论述、计算题时顺利列出有关方程，二则可以在记不清楚时进行推导。 2．记忆“二级结论”，要同时记清它的使用条件，避免错用。 一、静力学： 1．几个共点力平衡，则其中任一个力是与其它力合力平衡的力。 2．两个力的合力：F 大+F 小≥F 合≥F 大－F 小。 三个大小相等的共点力平衡，力之间的夹角为1200。 3．力的合成和分解是一种等效代换，分力与合力都不是真实的力，求合力和分力是处理力学问题时的一种方法、手段。 4．物体沿斜面匀速下滑，则tan μα=。 5．两个一起运动的物体“刚好脱离”时： 貌合神离，弹力为零。此时速度、加速度相等，此后不等。 6．轻绳不可伸长，其两端拉力大小相等，线上各点张力大小相等。因其形变被忽略，其拉力可以发生突变，“没有记忆力”。 7．轻弹簧两端弹力大小相等，弹簧的弹力不能发生突变。 8．轻杆能承受纵向拉力、压力，还能承受横向力。力可以发生突变，“没有记忆力”。 二、运动学： 1．在描述运动时，在纯运动学问题中，可以任意选取参照物； 在处理动力学问题（用运动定律求加速度、求功、算动量）时，只能以地为参照物。 2．匀变速直线运动：用平均速度思考匀变速直线运动问题，总是带来方便： T S S V V V V t 2221212 +=+== 3．匀变速直线运动： 时间等分时， S S aT n n -=-12 ， 位移中点的瞬时速度V V V S 212222=+， V V S t 22 > 纸带点痕求速度、加速度： T S S V t 2212+= ，212 T S S a -=，()a S S n T n =--12 1 4．匀变速直线运动，v 0 = 0时： 时间等分点：各时刻速度比：1：2：3：4：5
高中数学二级结论(精)
高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)
数学试题：椭圆二级结论大全
椭圆二级结论大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3. 11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时 A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111 (||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 22 11A B a b +=+ ;(2) L = 17．给定椭圆1C ：2 2 2 2 22 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222 2 22 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222 02 222(,)a b a b x y a b a b ---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过' P 点. 18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22 221x y a b += (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2
圆锥曲线部分二级结论
一：1：定圆上一动点与圆内一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是椭圆。 2：定圆上一动点与圆外一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是双曲线。 3：定直线上一动点与直线外一定点的线段垂直平分线，与过动点和定直线垂直的直线的交点的轨迹是抛物线。 二：1：动点到一定点和一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆。 2：动点到一定点和一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线。 3：动点到一定点和一定直线的距离之比等于1，则动点的轨迹是抛物线。 三：圆锥曲线上任一点的切线和过焦点与该点焦半径垂直的直线的交点，轨迹为该圆锥曲线相应之准线。 四：椭圆，双曲线的焦点在切线上的射影的轨迹是一个以原点为圆心，以a为半径的圆。 抛物线的焦点在切线上的射影的轨迹为过抛物线顶点的切线。 五：1：以椭圆焦半径以为直径的圆和以长轴为直径的圆相切。 2：以双曲线焦半径以为直径的圆和以实轴为直径的圆相切。 3：以抛物线焦半径为直径的圆必与过顶点的切线相切。 六：1：椭圆中以焦点弦为直径的圆必与椭圆的准线相离。 2：双曲线中以焦点弦为直径的圆必与双曲线的准线相交。 3：抛物线中以焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。 七：1：椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹为以原焦点为顶点的椭圆（不含焦点）。 2：双曲线焦点三角形的内切圆圆心的轨迹是过双曲线实轴顶点的两条开线段。①都垂直实轴。②纵坐标范围（-b，b）。 椭圆和双曲线在这里还各有一个重要性质。 八：1：圆锥曲线焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。 2：圆锥曲线相互垂直的两个焦点弦长度倒数之和为常数。 九：圆锥曲线焦点弦的中垂线与长轴（或实轴或对称轴）的交点到焦点的距离，与焦点弦长度之比为离心率的一半。 十：圆锥曲线的的焦点弦的端点在相应准线上的投影与另一端点的连线必过定点，且平分焦点与准线交轴点之间的线段。
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