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信号与系统复习吴正大

信号与系统复习

第一章信号与系统

一、基础知识

1. 在连续时间范围内（）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。

2. 仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。

3. 周期信号是定义在区间，每个一定时间T （或整数N ），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号为；离散周期信号为，m 为零和整数。注意离散信号的周期性，只有当

为有理数时，序列才存在周期，否则不存在周期，故为非周期序列。

4. 物理可实现的信号常常为时间t （或k ）的实函数，其在各时间的函数（或序列）值为实数；复数函数（或序列）值为复数的信号称为复信号，最常用的是复指数信号。

5. 若信号的能量有界（即（能量），这时（功率）），则称其为能量有限信号，简称为能量信号；若信号的功率有界（即，这时），则称其为功率有限信号，建成为功率信号。

6. 冲激函数的取样性质定义为，。

7. 冲激函数的移位性质定义为，。

8. 冲激函数的尺度变换性质为，冲激函数为偶函数。

9. 阶跃信号可以表达函数在时间上的区域，如门函数。

10. 当系统的激励为连续信号，若其响应也是连续信号，则称其为连续系统；当系统的激励为离散信号时，若其响应也是离散信号，则称其为离散系统。

11. 系统的线性性两个含义：齐次性和可加性；线性系统的完全响应为零状态响应（或）和零输入响应（或）的和，即。

t -∞<<∞t -∞<<∞()()f t f t mT =+()()f k f k mN =+()sin()f k k α=2πα()f t 0E <<∞0P =()f t 0P <<∞0E =()()(0)f t t dt f δ∞

-∞=?()()(0)f t t dt f δ∞

-∞''=-?00()()()f t t t dt f t δ∞

-∞-=?11()()()f t t t dt f t δ∞

-∞''-=-?1()()||

at t a δδ=()()()g t t t τετετ=+--()zs y ()f y ()zi y ()x y ()()()zi zs y y y =+

12. 由于时不变系统的参数不随时间变化，故系统的零状态响应形式就与输入信号接入时间无关。若系统有，则或。

13. 如果LTI 连续系统在激励的作用下，则零状态响应为，那么，当激励为

，则系统的零状态响应为；如果LTI 离散系统在激励的作用下，则零状态响应为，那么，当激励为，则系统的零状态响应为。

14. 若系统的零状态响应不出现于激励之前的系统为因果系统。就是说只有激励出现后才有零状态响应，即。

15. 系统的稳定性是指，对于有界的激励，系统的零状态响应也是有界的，这常称为有界输入有界输出稳定，简称为稳定。即，。

二、基本计算

1. 信号表达与运算

1) 信号表达

将信号表达为闭合形式。见教材page 33题1.3和1.4。

()zs y ()()zs f y ?00()()zs f t t y t t -?-()()zs f k m y k m -?-()f t ()zs y t ()df t dt ()zs dy t dt

()f k ()zs y k (1)f k -(1)zs y k -0000()0,()()0,()zs f t t k k y t t k k =<

2)信号运算

利用信号的平移、反转、缩放等操作对信号进行运算。一般规则为首先平移，然后反转，最后缩放来完成。见教材page 33题1.6和1.7。

(1)(5)

(7)

(1)(3)

(5)

2.特殊函数性质和计算

1)冲激函数

利用冲激函数的性质计算。见page 35题1.10

2) 阶跃函数

利用阶跃函数的定义和性质计算。见教材page 33题1.3、1.4、1.6和1.7。

3) 关系

冲激函数是阶跃函数的微分，阶跃函数是冲激函数的积分。即，。 3. 系统性质

1) 线性性：见教材page 38题1.24、1.25

2) 时不变性：见教材page 38题1.24、

1.25

()()d t t dt εδ=()()t

t d εδττ-∞=?

3)因果性：见教材page 38题1.25

4)稳定性：见教材page 38题1.25

三、应用

见教材page 33题1.2

第二章连续系统的时域分析

一、基础知识

1、LTI 连续系统的解等于差分方程的齐次解（或自由响应）和特解（强迫响应）之和。

2、LTI 连续系统的齐次解的函数形式仅仅依赖于系统本身的特性，而与激励的序列形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。

3、LTI 连续系统的全响应可分为零输入响应和零状态响应，零输入响应为自由响应的一部分，零状态响应为强迫响应和部分自由响应之和。

()f t

4、LTI 连续系统的冲激响应为系统激励为冲激函数时的零状态响应；系统的阶跃响应为系统激励为阶跃函数时的零状态响应。

5、LTI 连续系统冲激响应是阶跃响应的微分，即；阶跃响应是冲激响应的积分，即。

6、冲激函数与一般函数的卷积积分等于该普通函数，即，或；时域平移的冲激函数与一般函数的卷积等于该函数的平移。

7、两个平移函数的卷积具有，其中平移具有。

8、两个函数和的卷积积分为，则该卷积积分的微分属性满足：

二、基本计算

1）时域系统分析

见教材page 79题2.4。

()h t ()t δ()g t ()t ε()h t ()g t ()()h t g t '=()()t

g k h d ττ-∞=?()t δ()f t ()f t ()()()f t t f t δ*=()()()t f t f t δ*=0()t t δ-()f t 0()f t t -1122112()()*()()*()f t f t t f t t f t f t ττ=--=--1212t t ττ+=+1()f t 2()f t 12()()()f t f t f t =*1212()()()()()f t f t f t f t f t '''=*=*

2）冲激响应和阶跃响应见教材page 2.14和2.15

信号与线性系统分析_(吴大正_第四版)习题答案

1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=

（5）) f= r t ) (sin (t （7）) t = (k f kε ( 2 ) （10）) f kε k = (k + - ( ( ] )1 ) 1[

1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8） )]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f

（5） )2()2()(t t r t f -=ε （8） )]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε

吴大正《信号与线性系统分析》笔记及习题(连续系统的时域分析)【圣才出品】

第2章连续系统的时域分析 2.1 复习笔记一、LTI连续系统的响应 1．微分方程的经典解该微分方程的全解由齐次解y h（t）和特解y p（t）组成，即齐次解y h（t）是微分方程的解。y h（t）的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f（t）的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。特解y p（t）的函数形式由激励信号确定，称为强迫响应。 2．零输入响应激励为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应称为零输入响应，用表示。在零

输入条件下，（2.1）式右端为零，化为齐次方程，即若其特征根都为单根，则零输入响应为式中为待定系数。由于激励为零，故有初始值为 3．零状态响应系统的初始状态为零时，仅由输入信号所引起的响应称为零状态响应，用表示。此时（2.1）式如下初始状态。若微分方程特征根都为单根，则零状态响应为式中为待定系数，为方程的特解。 4．全响应如果系统的初始状态不为零，在激励f（t）的作用下，LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应和零状态响应之和，即。二、关于初始状态的讨论 1．0－状态和0＋状态

0－状态称为零输入时的初始状态，即初始值是由系统的储能产生的；0＋状态称为加入输入后的初始状态，即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。 2．从0－状态到0＋状态的跃变（1）当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－状态到0＋状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ（t）及其各阶导数。（2）如果包含有δ（t）及其各阶导数，说明相应的0－状态到0＋状态发生了跳变。 3．0＋状态的确定（1）已知0－状态求0＋状态的值，可用冲激函数匹配法。（2）求0＋状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出，见第5章内容。三、冲激响应和阶跃响应 1．冲激响应由单位冲激函数δ（t）所引起的零状态响应称为单位冲激响应，记为h（t），即h（t）＝T[{0},δ（t）]。 2．阶跃响应输入信号为单位阶跃函数ε（t）时系统的零状态响应，称为阶跃响应，即g（t）＝T[{0},ε（t）]。四、卷积积分 1．卷积积分的定义已知定义在区间（–∞，＋∞）上的两个函数f1（t）和f2（t），则定义积分

《信号与系统要点复习》吴大正第四版

一、信号的傅里叶变换对 ?傅氏正变换 ?傅氏反变换二、欧拉公式三、常用信号傅里叶变换 1、第1组---时域：模拟单频信号 ?傅里叶变换： ) (ω δ πA A ? t t f F t d e)( ) (jω ω- ∞ ∞ - ?= ω ωωd e) ( 2 1 )(j t F t f?∞∞-π = 00 00 j j j j 1 cos(e e) 2 1 sin(e e) 2j t t t t t t ωω ωω ω ω - - =+ =- []) ( ) ( cos ω ω δ ω ω δ π ω- + + ? t 1 t )(t δ ω t )(t δ 时域单位冲激函数及频谱 t ω t ) (ω δ ) ( 2ω δ πA 时域直流函数及频谱正弦、余弦函数及频谱

? 频谱图： ? 物理含义：类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量，所以它们的密度频谱都是冲激函数。 2、第2组时域：数字信号 ? 单位冲激序列函数为周期且波形图频谱图 ? 单脉冲信号波形图频谱图 [] )()(sin 000ωωδωωδπω--+ ?j t t e 0j ωt 0cos ω t 0sin ω∑∞ -∞=-=n T nT t t ) ()(δδ0 2ωπ=T T ∑∑∞ -∞ =∞ -∞=-=-?n n T n n T t ) ()(12)(000ωωδωωωδπδ()a () b ) 2 ( Sa )()(00ωτ τω=?F t f

周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。波形图四、傅里叶变换的几个重要结论（性质）（1）带宽受限于无限时域受限频域无限频域受限时域无限（2）时域卷积与频域卷积 )()()()(2121ωωF F t f t f ??* )()()()(2121t f t f F F ??*ωω （3）尺度展缩 ∑∑∞ -∞=∞ -∞=-=-? n n T n n n n T t f )()2(Sa )()2(Sa 2)(00000ωωδτωτωωωδτωπτ 2 τ 2 -2 2

吴大正信号系统总结

第一章计算信号的周期P5 看P5中间一段关于周期计算的文字说明 P6页记住欧拉公式1.2-9 会判断是能量信号还是功率信号，或者是非功率非能信号（P7）记住能量公式（1-2-14），功率公式（1-2-15）会信号的基本运算，压缩，平移，反转。（考研画图题）会做P11例题1.3-2 P12-P22单位冲激函数和阶跃函数，定义，性质。P16不看必须记住公式1.4-5, 1.4-6，1.4-7 1.4-8，1.4-9a和1.4-9b;取样性质的1.4-11. P17到P19公式都记住p20公式1.4-36, 1.4-37a, 1.4-37b, 1.4-38和1.4-39 特别是记住单位冲激偶函数的性质。系统的分类。 1) 时变系统与非时变系统。 2）线性非线性判断。（奇次性，叠加性，线性） 3）线性动态系统的分解性，零输入线性，零状态线性 4）因果系统判断 5）稳定性判断由系统模拟框图会写微分或者差分方程第二章 1、P42微分方程的经典解中怎么区分齐次解和特解，区分自由响应和强迫响应 2、P49 与的求解会例题2.1-3 3、时域法零输入和零状态的求解 4、P52冲激响应和阶跃响应 5、P60 图解法求卷积积分（知道其步骤和方法）。卷积的函数式计算参考例题2.3-2 6、卷积的性质。特别是含有冲激函数的。P69 公式2.4-4 ，2.4-5 ，2.4-6 ，2.4-7，2.4-8 做例题2.4-2 7、卷积的微分和积分性质 P75以后的相关函数不看第三章 1、P86的经典解法零输入和零状态的解法做下面对应的例题记住公式3.1-26和3.1-30 会区分自由响应和强迫响应注意与零输入和零状态的区别，齐次解和特解单位序列和序列响应，考试必考p95 2、阶跃响应 3、P101两个卷积和例题3.3-1要会做卷结和性质要会 3.4反卷积不考不用看第四章（考研重点章节） 1 P120会求傅里叶级数。记住P121的公式

吴大正-信号与系统公式

第一章信号与系统信号的分类确定信号周期信号连续时间信号能量信号随机信号非周期信号离散时间信号功率信号信号的时域运算（1）移位 ()为常数00,t t t f + 00>t ，()0t t f +为()t f 波形在t 轴上左移0t ； 00a ，()at f 波形为()t f 的波形在时间轴上压缩为原来的a 1 ； 10<

0，0t （2）冲激函数 0,0)(≠=t t δ Dirac 定义 1)(=? ∞ ∞ -dt t δ （3）阶跃函数与冲激函数的关系 ()dt t d t εδ= )( dx x t t ?∞ -=)()(δε （4）阶跃函数的积分)(t r 斜坡函数=== ? ∞ -)()()(t t dx x t r t εε ,0,0>