2011年北京市房山区数学一模试题及答案
（3题图）D
C
B
A
房山区2011年初三数学统一练习(一)
一、选择题（本题共32分，每小题4分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个
．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．
1．
1
3
-的倒数是
A．－3 B．－3
C．
3
1
D．－
3
1
2．2010年上海世博会共有园区志愿者79965名。他们敬业的精神和热情的服务“征服”了海内外游客。79965用科学计数法表示为
A．0.799655
10
?B．79．9653
10
?
C．7．99654
10
?D．7．99655
10
?
3．图中圆锥的主视图是
4．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，
联结OC，若OC=5，AE=2，则CD等于
A．3 B．4
C．6 D．8
5．小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．则向上的一面的点数小于3的概率为
A．
1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
6．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加了预选赛，他们射击成绩的平均环数x及方差2s如表所示．
甲乙丙丁
x8 9 9 8
2
s 1 1 1.2 1.3
如果选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选
A．甲B．乙
C．丙D．丁
7．若2
(2)30
x y
++-=，则xy的值为
A．5B．6
C．6-D．8-
O
E
D
C
B
A
（4题图）
8.如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合）， 点E 在射线BC 上，且PE =PB .设AP =x ,△PBE 的面积为y . 则能够正确反映y 与x 之间的函数关系的图象是
二、填空题（本题共16分，每小题4分，）
9．函数y 3x =-中自变量x 的取值范围是 ．
10．因式分解：244xy xy x -+=__________________． 11．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上， DE//BC ，若AD ：AB=3：4， DE=6，则BC= ________． 12．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形， 再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去， 图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n 个 四边形的周长为_________________．
三、解答题（本大题共30分，每小题5分）： 13．（本小题满分5分）计算：
()
2
1273tan3033π-??
-+-+ ???
．
14．（本小题满分5分）解方程：
x
x x --=--31
132．
15．（本小题满分5分）如图，A 、B 、C 三点 在同一条直线上，AB=2BC ，分别以AB ，BC 为边做正方形ABEF 和正方形BCMN ， 联结FN ，EC ． 求证：FN=EC
（12题图）
A
B
C
D
E （11题图）
A B
C
D
O
x
y 1
1
2x
y 1
1
2O
21
1
y x
O
21
1
y
x
O
A
B
C
P
D
E （8题图）
F N M
E
C
B
A （15题图）
y
-5
2
x
1
3
-4123-1-2-3-1-2
O
16．（本小题满分5分）已知2
28x x -=，求代数式2(2)2(1)5x x x -+--的值．
17．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：
某学校组织九年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，求该校九年级学生参加社会实践活动的人数．
四、解答题（本大题共20分，每小题5分）：
19．（本小题满分5分）在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，过点C 作射线CP ∥AB ，在射线CP 上截取CD=2，联结AD ，求AD 的长．
18．（本小题满分5分）已知直线3y kx =-经过点M （2，1），且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．
（1）求k 的值；
（2）求A 、B 两点的坐标；
（3）过点M 作直线MP 与y 轴交于点P ，且△MPB 的面积为2，求点P 的坐标．
P D C
B
A
（19题图）
F O E
D
C B A （20题图） 20．（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点
D 、
E ， 联结EB 交OD 于点
F ．
（1）求证：OD ⊥BE ；
（2）若DE=5，AB=5，求AE 的长．
21.（本小题满分5分）某校九年级共有500名学生，团委准备调查他们对“低碳”知识的了解程度．
(1)在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案： 方案一：调查九年级部分女生； 方案二：调查九年级部分男生；
方案三：到九年级每个班去随机调查一定数量的学生． 请问其中最具有代表性的一个方案是______________；
(2)团委采用了最具有代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图(如图①、图②所示)请你根据图中信息，将其补充完整； (3)请你估计该校九年级约有多少名学生比较了解．．．．
“低碳”知识
36 12 24
了解程度
不了解 了解一点 比较了解 比较了解 %
不 了 解10%
了解一点 %
人数
22．（本小题满分5分）
小明想把一个三角形拼接成面积与它相等的矩形． 他先进行了如下部分操作，如图1所示： ①取△ABC 的边AB 、AC 的中点D 、E ，联结DE ； ②过点A 作AF ⊥DE 于点F ；
（1）请你帮小明完成图1的操作，把△ABC 拼接成面积与它相等的矩形．
（2）若把一个三角形通过类似的操作拼接成一个与原三角形面积相等的正方形，那么原三角形的一边与这边上的高之间的数量关系是________________．
（3）在下面所给的网格中画出符合（2）中条件的三角形，并将其拼接成面积与它相等的正方形．
五、解答题（本大题22分，其中第23小题7分，第24小题8分，第25小题7分）： 23．（本小题满分7分）已知：关于x 的一元二次方程2
(32)220mx m x m --+-=． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线y=2(32)22mx m x m --+-总过x 轴上的一个固定点；
（3）若m 为正整数，且关于x 的一元二次方程2
(32)220mx m x m --+-=有两个不相等的整数根，把抛物线y=2
(32)22mx m x m --+-向右平移4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式．
A
B
C
D
E
F
（图1）
24．（本小题满分8分）如图，抛物线233y mx mx =+-（m ＞0）与y 轴交于点C,与x 轴交于A 、B 两点，点 A 在点B 的左侧，且1
tan 3
OCB ∠=
． （1）求此抛物线的解析式；
（2）如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ， △ACD 的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时点D 的坐标；
（3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点的平行四边形？若存在求点P 坐标；若不存在，请说明理由．
25．（本小题满分7分） 已知：等边三角形ABC
（1） 如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°． 试猜想线段BP 、PC 、AP 之间的数量关系,并证明你的猜想；
（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°． 求证：PA+PD+PC ＞BD
C
A B P 图1
C B A P
D 图 2 （24题图）
(备用图)
房山区2011年初三数学统一练习（一）答案及评分标准
一、 选择题：
题号
1 2
3 4 5 6 7 8 答案 A C
B
D
B
B
C
A
二、 填空题：
9.
3x ≤； 10. 2(2)x y -； 11. 8； 12.2,42(
)2
n 三、 解答题：
13．解：原式=3
333193
-?
++-------------------------------------------------------------------4分 =2310+ ----------------------------------------------------------------------5分
14．解：去分母：231x x -=-+ ------------------------------------------------------------------1分 移项：231x x +-=+ ------------------------------------------------------------------------2分
合并同类项：24x = -------------------------------------------------------------------------3分 系数化为1：2x = --------------------------------------------------------------------------4分 经检验验2x =是原方程的解 -----------------------------------------------------------------5分 ∴原方程的解是2x =
15.证明：在正方形ABEF 和正方形BCMN 中
AB=BE=EF,BC=BN, ∠FEN=∠EBC=90° -----------------------------------------------2分 ∵ AB=2BC
∴ EN=BC -------------------------------------------------------------------------------3分 ∴△FNE ≌△EBC ---------------------------------------------------------------------------------4分 ∴FN=EC -------------------------------------------------------------------------------------------5分
16．解：∵2
(2)2(1)5x x x -+--=2
2
44225x x x x -++---------------------------------1分
=2
361x x -- ----------------------------------------------------------------2分 =2
3(2)1x x -- ---------------------------------------------------------------3分 ∵2
28x x -=，∴原式=23 -----------------------------------------------------------------5分
17．解：解法一：设单独租用35座客车需x 辆，则单独租用55座客车需（x-1）辆，由题意得：
3555(1)45x x =--, ---------------------------------- 2分
解得：5x =. --------------------------------- 4分 ∴35355175x =?=（人）. --------------------------------- 5分
答：该校九年级参加社会实践活动的人数为175人．
解法二：设单独租用35座客车需x 辆，单独租用55座客车需y 辆,由题意得：
O
F E
D
C
B
A
1
355545y x x y =-??=-?
-------------------------------------------- 2分
解得：5
4
x y =??
=? --------------------------------------------- 4分
∴35355175x =?=（人）. --------------------------------------------------------------------- 5分 答：该校九年级参加社会实践活动的人数为175人．
18．解：（1）∵直线y =k x -3过点M(2,1)
∴123k =- ，∴2k =------------------------------------------------------------------------ 1分 （2）∵2k =，∴23y x =-
∴A （
3
2
，0），B （0，-3）------------------------------------------------------------------- 3分 （3）∵P 、B 两点在y 轴上， ∴点M 到y 轴的距离为2
∵△MPB 的面积为2，∴PB=2 ------------------------------------------------------------ 4分 ∵B （0，-3）∴点P 的坐标为：1(0,1)P -，2(0,5)P - ----------------------------- 5分 19．解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点C 作CF ⊥AB 于F ，则DE ∥CF
∵CP ∥AB ，
∴四边形DEFC 是矩形---------------------------------------1分 ∵在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，CD=2 ∴AF=CF=
1
2
AB=3 ---------------------------------------2分 ∴EF=CD=2,DE=CF=3 --------------------------------------3分
∴AE=1 -----------------------------------------------------------------------------------4分 在△ADE 中，∠AED=90°,DE =3,AE=1
∴AD=
10
------------------------------------------------------------------------------------5分 20．解：（1）联结AD
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=∠AEB =90° --- 1分 ∵AB=AC ，∴CD=BD ∵OA=OB ，∴OD//AC
∴OD ⊥BE ---------------------------------------------------------------------------------- 2分 （2）方法一：∵∠CEB=∠AEB=90°，CD=BD,AB=5, DE=5
∴AC=AB=5, BC=2DE=25, ------------------------------------ 3分 在△ABE 、△BCE 中，∠CEB=∠AEB=90°，则有2
2
2
2
AB AE BC EC -=-
F
E P D C
B
A
设AE=x, 则()
()2
2
22
5255x x -=-- --------------------------------------- 4分
解得：x=3
∴AE=3 ---------------------------------------------- 5分 方法二：∵OD ⊥BE ，∴BD=DE ，BF=EF ------------------------------------------------3分 设AE=x,∴OF=
1
2
x ，在△OBF 、△BDF 中，∠OFB=∠BFD=90° ∴2
2
2
2
BD DF OB OF -=- ∵DE=5，AB=5， ∴2
2225151
(5)()()()2222
x x --
=- --------------------4分 解得：x=3， ∴AE=3 --------------------------------------5分 方法三：∵BE ⊥AC AD ⊥BC, ∴S △ABC =
21BC ·AD=2
1
AC ·BE, -------------------------------------------3分 ∴BC ·AD=AC ·BE
∵BC=2DE=25，AC=AB=5
∴BE=4 , -------------------------------------------4分 ∴AE=3 --------------------------------------------5分
21．解：（1）方案三 ---------------------------------------------------------------------------------- 1分 （2）如图补全条形图 --------------------------------------------------------------------------------- 2分
补全扇形图 ------------------------------------------------------------------------------- -4分
（3）500 ×30%=150(名) --------------------------------------------------- 5分 答：九年级约有150名学生比较了解．．．．
“低碳”知识 22．解：（1）
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 1分
（2）若要拼接成正方形，原三角形的一边与这一边上的高之间的数量关系是1：2或2：1
36
12 24 了解程度 不了解 了解一点 比较了解 比较了解 30 % 不 了 解10%
了解一点 60 %
N
M ②①②①F E D C B A
A B
C
D D
C B A ②
②①①
②
①
②
①A B
C
D
D C
B
A ①②
①
②
①②
②
①-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3分 （3）画对一种情况的一个图给1分 ------------------------------------------------- 5分
或
∴正方形ABCD 为所求
23．解：（1）∵关于x 的一元二次方程2
(32)220mx m x m --+-=有两个不相等的实数根 ∴2
2
2
[(32)]4(22)44(2)m m m m m m ?=----=-+=-＞0 ----------------------- 1分 ∴0≠m 且m≠2 ------------------------------------------------------2分
（2）证明：令0=y 得，2
(32)220mx m x m -+-+-=
∴11x =，222
m x m
-=
------------------------------------------------------------------------------4分 ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（1,0），（22,0m m
-）
∴无论m 取何值，抛物线y=2(32)22mx m x m --+-总过x 轴上的定点（1,0）
-----------------------------------------------------------------------------------------------------5分
（3）∵1x =是整数 ∴只需
222
2m m m
-=-是整数. ∵m 是正整数，且0,2m m ≠≠
∴1m =. -------------------------------------------------------------------------------------------- 6分
当1m =时，抛物线为2
y x x =-
把它的图象向右平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为
2920y x x =-+ --------------------------------------------------------------------------------------7分
24．解：
（1）由已知可得C （0，-3），
∵1tan 3OCB ∠=，∠COB=90°，∴
1
3
OB OC = ， ∴B （1,0） ------------------------ 1分 ∵抛物线233y mx mx =+-（m ＞0）过点B ，
∴m+3m-3=0 ， ∴m=4
3
∴抛物线的解析式为34
9
432-+=x x y ------- 2分
（2）如图1，∵抛物线对称轴为2
3
-=x ，B （1,0）
∴A （-4,0） 联结OD ，
∵点D 在抛物线349
432-+=
x x y 上 ∴设点D （x ，34
9
432-+x x ），则
ACD AOD DOC AOC S S S S ????=+-
=
()21391
14334324422x x x ???--++?--?? ??? =2
362x x -- ---------------------------------------------------------3分
∴S=()2
3262
x -++ ------------------------------------------------------- 4分
∴当x=-2时，△ACD 的面积S 有最大值为6. 此时，点D 的坐标为（-2，92
-
）． -------------------------------------------------------- 5分
（3）①如图2，当以AC 为边，CP 也是平行四边形的边时， CP ∥AE ，点P 与点C 关于抛物线的对称轴对称，此时P （-3，-3）.
②如图3，当以AC 为对角线，CP 为边时，此时P 点的坐标是（-3，-3） --------- 6分
③如图4、图5，当以AC 为边，CP 是平行四边形的对角线时，点P 、C 到x 轴的距离相等，则
349432-+x x =3，解得2
413±-=x ，此时P （2413--，3）（如图4） 或（2
41
3+-，3）（如图5） -------------------------------------------------------------- 7分
（图2）
（图3）
E
C P
B A B’
C A B P
D
综上所述，存在三个点符合题意，分别是1P （-3，-3）
，2P （2
41
3--，3）， 3P （
2
41
3+-，3）． -------------------------------------------------------- 8分 25．猜想：AP=BP+PC ------------------------------1分
（1）证明：延长BP 至E ，使PE=PC ，联结CE ∵∠BPC=120°
∴∠CPE=60°，又PE=PC
∴△CPE 为等边三角形
∴CP=PE=CE ，∠PCE=60° ∵△ABC 为等边三角形 ∴AC=BC ，∠BCA=60°
∴∠ACB=∠PCE ，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP 即：∠ACP=∠BCE
∴△ACP ≌△BCE ∴AP=BE --------------------------------- ------------------------------------------2分 ∵BE=BP+PE
∴AP=BP+PC ------------------------------------ ---------------------------------------- 3分
（2）方法一：
在AD 外侧作等边△AB ′D ---------------------------------------------------------- 4分 则点P 在三角形ADB ′外
∵∠APD=120°∴由（1）得PB ′=AP+PD 在△PB ′C 中，有PB ′+PC ＞CB ′，
∴PA+PD+PC ＞CB ′ ------------------------------------ 5分
∵△AB ′D 、△ABC 是等边三角形
∴AC=AB ，AB ′=AD ，
∠BAC=∠DA B ′=60° ∴∠BAC+∠CAD=∠DAB ′+∠CAD
即：∠BAD=∠CAB ′
∴△AB ′C ≌△ADB
∴ C B ′=BD ------------------------------------------------------------------------ 6分
∴PA+PD+PC ＞BD ------------------------------------------------------------------------- 7分
方法二：延长DP 到M 使PM=PA ，联结AM 、BM ∵∠APD=120°，
∴△APM 是等边三角形，
-----------------------------4分
（图4）
（图5）
∴AM=AP ，∠PAM=60°
∴DM=PD+PA ------------------------------5分 ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=AC ，∠BAC=60° ∴△AMB ≌△APC
∴BM=PC ---------------------------------------------------------------------------------6分 在△BDM 中，有DM + BM ＞BD ，
∴PA+PD+PC ＞BD ----------------------------------------------------------------------------7分
M
P
D
C
B
A