2012高考总复习《走向清华北大》精品课件23平面向量的概念及线性运算

41平面向量的概念及线性运算

6. （2010浙江杭州调研）设a 、b 是两个不共线向量, AB = 2a + pb , BC = a + b , CD = a — 2b , 第四单元 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算 、选择题 1.在厶 ABC 中，AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =( ) 2 1 A ?3b + 3c 5 2 B ?3c — 3b C.2b -3c 3 3 1 2 D ?1b + 3c …AD = AB + BD = c + 3( b — c) = §b + 3c 答案：A 2. （2010广东中山调研）已知a 、b 是两个不共线的向量，AB =入a b, AC = a +讥入 此R ）, 那么 A 、B 、C 三点共线的充要条, 件是 ( ) A . ?+尸 2 B .入一 (i= 1 C . 入=—1 D . 入=1 解析 由 AB =入 a b, AC = a + 3 b 人 卩€ R ）及 A 、B 、 C 三点共线得AB = tAC (t € R), 入=t 所以 入 t+ b^ t(a + ub ta +1 3, 「所以 1 ，即入 =1. 1 = t 3 答案 :D 3. （2009 ?东）设P 是厶ABC 所在平面内的一点， BC + BA = 2BP ，则（ ） A . PA + PB = 0 C . PB + PC =0 B . P C + PA = 0 D . PA + PB + PC = 0 V ----------- 」 解析：如上图，根据向量加法的几何意义 Be + B A = 2B P ? P 是AC 的中点, 故 PA + PC = 0. 答案：B 4.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC ，若PA + PB + PC = AB ，则（ ） A .点P 在厶ABC 外部 B .点P 在线段 AB 上 C .点P 在线段BC 上 D .点P 在线段AC 上 解析：?/ PA + PB + PC = AB , ??? PA + PB + PC = PB — PA ??? PC = — 2PA.A 2PA = CP ，?点 P 在线段 AC 上. 答案：D 、填空题 5. （2009宁夏银川模拟）若AB = 3% CD = — 5e i ,且AD 与CB 的模相等，则四边形 ABCD 是 解析：?/ AB = — 3CD , ??? AB // CD ，且 |AB|M |CD|. 5 答案：等腰梯形 解析: D C =AC — AB = b- c , B D = 2BC = 2(b — c),

平面向量的基本概念及线性运算知识点

平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，

[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结

平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相

32总复习：平面向量的概念及线性运算知识梳理

平面向量的概念、线性运算及坐标运算 编稿：李霞 审稿：孙永钊 【考纲要求】 1．了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量相等的含义；理解向量的几何表示. 2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193知识要点】 考点一、向量的概念 1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB 表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB 的长度|AB | 又称为向量的模； 长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量. 2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等. 4. 与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量. 要点诠释： 平面向量 平面向量的概念 平面向量的坐标表示 平面向量的基本定理 平面向量的线性运算

①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB 与BA 表示不同方向的向量； ②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB | 表示，|AB||BA |= . ③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD 中（如图）， 向量AD 与AB 的和为AC ,记作:AD AB AC += .（起点相同） 2．向量加法的三角形法则 根据向量相等的定义有:AB DC = ，即在ΔADC 中，AD DC AC += . 首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量AB 的和等于AB . 3. 向量的减法 向量AB 与向量BA 叫做相反向量.记作:AB BA =- . 则AB CD AB DC -=+ . 要点诠释： ①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用. ②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义： 一般地，实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ，它的长与方向规定如下： （1）||||||λ=λ? a a ； （2）当λ>0时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当λ<0时，λ a 的方向与 a 的方向相反； 当λ=0时，0λ= a ； 2．运算律 设λ，μ为实数，则 （1）()()λμ=λμ a a ； （2）()λ+μ=λ+μ a a a ；

平面向量概念教学设计

篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计

第1讲平面向量的概念及线性运算 (1)

第1讲 平面向量的概念及线性运算 一、选择题 1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋ CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →.其中结果为零向量的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B 2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a | D.|－λa |≥|λ|·a 解析 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小. 答案 B 3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( ) A.0 B.BE → C.AD → D.CF → 解析 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D 4.设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二

平面向量的基本概念练习题

平面向量的实际背景及基本概念 一、选择题： 1．下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO 、OB 、CO 、OD 是（ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3．下列命题中，正确的是（ ） A ．||||a b =a b ?= B ．||||a b >a b ?> C ．a b a =?与b 共线 D ．||00a a =?= 4．在下列说法中，正确的是（ ） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 B ．模为0的向量与任一非零向量平行 C ．向量就是有向线段 D ．若||||a b =，则a b = 5．下列各说法中，其中错误的个数为（ ） （1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量；（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 *6．ABC ?中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF 共线的向量有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．6个 D ．7个 二、填空题： 7．在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是 ． 8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， （1）与AO 相等的向量有 ； （2）与AO 共线的向量有 ； （3）与AO 模相等的向量有 ； （4）向量AO 与CO 是否相等答： ． 9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO a =，OB b =，AB c =，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中： （1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有 ． O A B C D E F

平面向量的基本概念

平面向量的实际背景及基本概念 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。 2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。 数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。 4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别； （1）相同点：都有大小和方向 （2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段 比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。 ②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。 ③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母： AB ； 7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念： 长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。 9.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量 A(起点) B （终点） a

长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关） 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。 （2）共线向量是可以相互平行的。 例1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？ 解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。 （2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。 （3）零向量 （4）零向量 （5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同 （7）不一定，可以平行。 例2.下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. B A O D E F

平面向量的概念及线性运算

§5.1平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念

向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. [难点正本 疑点清源] 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 1.化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果为________. 2.在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE → ＝____________. 3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________. 4.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD → ，则实数λ的值为________. 5.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC → ＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D.2AO →＝OD →

题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量a 与a |a |的关系是：a |a | 是a 方向上的单位向量. 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ； (2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等. 题型二 向量的线性运算 例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边 上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ， 设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

高一必修4平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算 一、目标认知 学习目标： 1?了解向量的实际背景? 2.理解平面向量和向量相等的含义. 3?理解向量的几何表示. 4.掌握向量加、减、数乘运算，并理解其几何意义. 5 ?理解两个向量共线的含义. 6. 了解向量的线性运算性质及其几何意义. 重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量 难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系 二、知识要点梳理 知识点一：向量的概念 1 ?向量：既有大小又有方向的量叫做向量 2.向量的表示方法:(1)字母表示法：如一.等.(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如■等. (3)向量的有关概念 向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量：长度为零的向量叫零向量. 单位向量：长度等于1个单位的向量. 相等向量：长度相等且方向相同的向量. 相反向量：长度相等且方向相反的向量. 共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定：：■与任一向量共线. 要点诠释： 1 ?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2 ?零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 3 ?平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 知识点二：向量的加(减)法运算 1 ?运算法则：三角形法则、平行四边形法则 2?运算律：①交换律：、：= ：.：；②结合律： 要点诠释： 1 ?两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终占 八、、- 2 ?二；：.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题 知识点三：数乘向量 1 ?实数与向量的积：实数二与向量产的积是一个向量，记作：■ (1) ； (2) ①当！：：时，｛的方向与?的方向相同；②当?时.力的方向与V的方向相反；③当-=」时，-一. 2 ?运算律：设：，为实数 结合律：也；-申肓；分配律：〔丹+尊=時+闰，■IGi+i)三危+庖 3 ?共线向量基本定理：非零向量交与向量，共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使，?.要点诠释:是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一) 平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 平面向量的有关概念 [典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b | 成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b | (2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [解析] (1)因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b |b | ，所以向量a 与 向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故a ＝2b 是a |a |＝b |b | 成立的充分条件． (2)向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0 平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. [答案] (1)C (2)D [易错提醒] (1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上． 突破点(二) 平面向量的线性运算 1．向量的线性运算：加法、减法、数乘 2．平面向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 平面向量的线性运算 [例1] (1)在△ABC 中， AB ＝c ， AC ＝b .若点D 满足 BD ＝2 DC ，则 AD ＝( ) A.13b ＋23c B.53c －23b C.23b －13c D.23b ＋13 c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN ＝12 NC ，P 是BN 上一点，若 AP ＝m AB ＋29 AC ，则实 数m 的值是________． [解析] (1)由题可知 BC ＝ AC － AB ＝b －c ，∵ BD ＝2 DC ，∴ BD ＝23 BC ＝23 (b －c )，则 AD ＝ AB ＋ BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋1 3c ，故选D. (2)如图，因为 AN ＝12 NC ，所以 AN ＝13 AC ，所以 AP ＝m AB ＋29 AC ＝ m AB ＋23 AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13 . [答案] (1)D (2)1 3 [方法技巧] 1．平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求． 平面向量共线定理的应用 [例2] 设两个非零向量a 和b 不共线． (1)若 AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线． (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．

高中数学平面向量基本概念

平面向量基本概念 一．考试内容： 向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离.平移. 二．考试要求： (1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式. 【注意】向量是数学的重要概念之一，它给平面解析几何奠定了必要的基础，同时也为物理学提供了工具，这部分内容与实际结合比较密切.在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用. 三．基础知识: 1.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a（交换律）; (2)（λa）·b= λ（a·b）=λa·b= a·（λb）; (3)（a+b）·c= a·c +b·c. 切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律， 3.平面向量基本定理 如果e 1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有 一对实数λ 1、λ 2 ，使得a=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 ．不共线的向量e 1 、e 2 叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底．

(完整版)平面向量基本概念练习题

第二章 平面向量 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 班级___________姓名____________学号____________得分____________ 一、选择题 1．下列物理量中，不能称为向量的是 （ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO OB CO OD u u u r u u u r u u u r u u u r 、、、是 （ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3．下列命题中，正确的是 （ ） A ．|a | = |b |?a = b B ．|a |> |b |?a > b C ．a = b ?a 与b 共线 D ．|a | = 0?a = 0 4．在下列说法中，正确的是 （ ） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同; B ．模为0的向量与任一非零向量平行; C ．向量就是有向线段; D ．若|a |=|b |，则a =b 5．下列各说法中，其中错误的个数为 （ ） （1）向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等;（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 *6．△ABC 中，D 、 E 、 F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF u u u r 共线的向量有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．6个 D ．7个 二、填空题 7．在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是_______________________． 8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， （1）与AO u u u r 相等的向量有_________________________； （2）与AO u u u r 共线的向量有_________________________； （3）与AO u u u r 模相等的向量有_______________________； （4）向量AO u u u r 与CO u u u r 是否相等？答：_______________． 9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO =u u u r a ，OB =u u u r b ，AB =u u u r c ，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中： （1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有 ． *10．下列说法中正确是_______________（写序号） （1）若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反； （2）若AB u u u r 与CD u u u r 共线，则点A 、B 、C 、D 共线； （3）四边形ABCD 为平行四边形，则AB u u u r =CD u u u r ； （4）若a = b ，b = c ，则a = c ； （5）四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r 且||||AB AD =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 为正方形； （6）a 与b 方向相同且|a | = |b |与a = b 是一致的； 三、解答题 11．如图，以1×3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？ O A B C D E F

平面向量的概念及几何运算

1A C 2A B 9- C 3- D 3．若(1,1,1),(0,1,1)a b =--=且()a b b λ+⊥，则实数λA 4．已知平面向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，则向量2a --56 7 8 ) 9．下列命题： a b =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；

（a b =且a 与b 的方向相同，则a b =；（）非零向量a 与b 满足a b ∥，则向量a 与b 方向相同或相反；（）向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线； （）若a b ∥，且b c ∥，则a c ∥ 正确的个数：（ ） 10．下列命题正确的是 A C 11 12A 13=（1,5）， = ，则 =_________. 14．已知(tan ,1),(1,2)a b θ=-=-，若()()a b a b +⊥-，则tan 15（（）所有的单位向量都相等。 （（（（16

三、解答题17．18．在矩形的中点，在以A 、B 、C 、D 、19．已知点 （1AC ＝BC ，求角（2）若AC BC ?＝－120．ABC ?平面向量))sin(,1(A B m -=，平面向量(sin C n -=（I （II 21．已知分AB 所成的比. 22．为起点，且与向量b ＝（－3，4） 垂直的单位向量，求

1．2．B 3．(1,1,b λλλ=-b ，所以()110a b b λλλ+?=-+-=，4．5．6．7．0AB AD =故选择B 8．9．【解析】解：因为 （1a b =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；不成立 （2a b =且a 与b 的方向相同，则a b =；满足定义 （3）非零向量a 与b 满足a b ∥，则向量a 与b 方向相同或相反；成立 （4）向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线；可能构成能四边形，错误 （5）若a b ∥，且b c ∥，则a c ∥，当b 为零向量时，不成立。 10中，两边平方可知成立，选项C 中，当→ b 为中，夹角不定，因此数量积结果不定，选B 1112131415因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上。 （2个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相（3为零向量时，它不成立。（想一想：你能举

矢量基本概念讲解

(一) 矢量基本概念 定义既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。 表示法 定义有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度），a 。 特殊的向量 零矢量：长度为0的向量。零向量的方向是不确定的。 单位矢量：长度为1的矢量。 向量之间的关系 两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。 反矢量：长度相同，方向相反的矢量。 共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。 共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。 关于向量之间的关系，有下面结论： 零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）； 共线矢量必共面； 两矢量必共面； 三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。

(二) 矢量的運算 （一）矢量的加法 矢量的和（三角形法则） 设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA =，b AB =得一折线OAB ，从折线的端 点O 到另一端点B 的矢量c OB =，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c +=。 矢量的和（平行四边形法则） 如图示，有b a c +=。 一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...-+++= 运算规律： 1） 1） 交换律：a b b a +=+； 2） 2） 结合律：)()(c b a c b a ++=++。 矢量的差 若a c b =+，则称c 为矢量a 与b 的差，并记作b a c -=。

由定义，得矢量减法的几何作图法： 矢量加法的性质 （1）)(b a b a -+=- （2）||||||b a b a +≤+ （3）||||||+≤- （4）?++≤+???++||||||2121a a a a a n ||n a ?+? （二）矢量的数乘 定义（数量乘矢量） 实数λ与矢量的乘积a λ是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ?=λλ； （2） （2） 其方向由下列规则决定：当0>λ时，λ与方向相同；当0<λ时，λ与方向相反；当0=λ或0=时，是零向量，方向不定。 定义 如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0 a 为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。 由定义，0 ||a a a ?= | |0 a a =∴ 数量乘法的运算规律 1）结合律：a a )()(λμμλ= 2）第一分配律：μλμλ+=+)( 3）第二分配律：b a b a λλλ+=+)( 由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。例如： )()(222111μλνμλν+-+ 22221111μνλνμνλν--+= )()(22112211μνμνλνλν-+-= （三）两矢量的数性积 一、 一、数性积的定义与性质

平面向量的概念及线性运算

§5.1 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称______) 平面向量是自由向量 零向量 长度为______的向量；其方向是任意的 记作______ 单位向量 长度等于________的向量 非零向量a 的单位向量为±a |a | 平行向量 方向____或____的非零向量 0与任一向量______或共线 共线向量 __________________的非零向量又叫 做共线向量 相等向量 长度______且方向______的向量 两向量只有相等或不等，不能 比较大小 相反向量 长度______且方向____的向量 0的相反向量为0 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运 算 (1)交换律：a＋b＝ ____________.(2)结 合律：(a＋b)＋c＝ ____________. 减法 求a与b的相反向 量－b的和的运算 叫做a与b的差________法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 数λ与向量a的积 的运算 (1)|λa|＝________； (2)当λ>0时，λa的方向与 a的方向________；当λ<0 时，λa的方向与a的方向 ________；当λ＝0时，λa ＝______ λ(μa)＝______；(λ＋ μ)a＝________； λ(a＋b)＝_______ 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. [难点正本疑点清源] 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 1.化简OP →－QP→＋MS→－MQ→的结果为________. 2.在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB →＝a，AD→＝b，则BE→＝____________.