定积分与微积分基本定
理
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课题:定积分与微积分定理使用时间:2011-10-11
【使用说明及学法指导】
1.先仔细阅读教材选修2-2:,再思考知识梳理所提问题,有针对性的二次阅读教材,构建知识体系,画出知识树;
2.限时30分钟独立、规范完成探究部分,并总结规律方法.
【学习目标】
1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念、几何意义。
2.直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。
3.应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题,在解决问题的过程中体验定积分的价值.
学习重点:正确计算定积分,利用定积分求面积。
学习难点:定积分的概念,将实际问题化归为定积分问题。
学习策略:
①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法,理解定积分的概念。
②求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.
③求导运算与求原函数运算互为逆运算.
【课前预习】
一、基础知识梳理:
知识点一:定积分的概念
如果函数在区间上连续,用分点
将区间分为n个小区间,在每个小区间上任取一点
(i=1,2,3…,n),作和式,当时,上述和式无限趋近于某个常数,这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即
=,这里,与分别叫做积分与积分,区间叫做,函数叫做,叫做,叫做 .
说明:(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限.
知识点二:定积分的几何意义:
设函数在区间上连续.
在上,当时,定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的;
在上,当时,由曲线以及直线与轴围成的
曲边梯形位于轴下方,定积分在几何上表示曲边梯形面积
的;
在上,当既取正值又取负值时,曲线的某些部分在轴的上方,而其他部分在轴下方,如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号,在轴下方的图形的面积赋予负号;
在一般情形下,定积分的几何意义是曲线,两条直线与轴所围成的各部分面积 .
知识点三:定积分的性质:
(1)(为常数),
(2),
(3)(其中),
知识点四:微积分基本定理:
微积分基本定理(或牛顿-莱布尼兹公式):
如果在上连续,且,则
。其中叫做的一个原函数.
注意:
①求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算.
②由于也是的原函数,其中c为常数.
知识点五:应用定积分求曲边梯形的面积:
1. 如图,由三条直线,,轴(即直线)及一条曲线
()围成的曲边梯形的面积:
2.如图,由三条直线,,轴(即直线)及一条曲线
()围成的曲边梯形的面积:
3.由三条直线轴及一条曲线(不妨设在区间上,
在区间上)围成的图形的面积:
=+.
4. 如图,由曲线及直线,
围成图形的面积:
知识点六:定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程,等于其速度函数
在时间区间上的定积分,即.
②变力作功物体在变力的作用下做直线运动,并且物体沿着与相同的方向从移动到
,那么变力所作的功.
规律方法指导
3.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤:
(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像;
(2)解方程组求出交点坐标,确定积分的上、下限;
(3)借助图形确定出被积函数;
(4)写出平面图形的定积分表达式;
(5)运用公式求出平面图形的面积.
二、我的知识树:
【我的疑问】
【课内探究】
经典例题精析:
类型一:利用定积分的几何定义求定积分:
1.说明定积分所表示的几何意义,并根据其意义求出定积分的值。
【变式】由,,以及轴围成的图形的面积写成定积分是
____________;
类型二:运用微积分定理求定积分
例题:运用微积分定理求定积分:
计算下列定积分的值:
(1),(2),(3)
类型三:运用积分的性质求定积分:
例题3.求定积分:;
类型四:利用定积分求平面图形面积
例题4.求直线与抛物线所围成的图形面积.
【变式】求由曲线(),,围成的平面图形的面积.
二、总结提升
1.知识方面:
2.数学思想方法:
课题:定积分与微积分定理
【课后训练案】
使用说明:1.限时45分钟完成:2.独立、认真;规范快速。
1.说明下列定积分所表示的几何意义,并根据其意义求出定积分的值。
(1);(2);
2.利用定积分的几何定义求定积分:
(1);(2)
3.计算下列定积分的值:
(1);(2);(3).
4.已知函数,计算.
5.求由曲线围成的平面图形的面积.
6.求抛物线与直线所围成的图形的面积.
【自主纠错】请珍惜每一次训练的机会,发现自己存在的问题,重视纠错,总结经验,继续前进!
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结:大概知道解题方向了,但没有解出来,请老师分析 考查知识点: ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程: 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为(4,2), 因此曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为: 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案:C 规律方法: 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点,确定出积分区间和被积函数,然后利用导数和积分的关 系求解. 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx (0≤x ≤π)与直线y=?围成的封闭图形面积是? 问题症结:找不到突破口,请老师帮我理一下思路 考查知识点: ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程: 规律方法: 利用定积分的知识求解。 知识点:定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点: [导数及其应用] 包含次级知识点: 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解,不能死记硬背。只有理解了定积分的概念,才能理解定积分的几何意义。 2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主,其应用主要是求一个曲边梯形的面积,题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地,设函效()f x 在区间[a ,b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<< 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 教学过程 一、课堂导入 问题:什么是定积分?定积分与微积分基本定理是什么? 二、复习预习 1.被积函数若含有绝对值号,应先去绝对值号,再分段积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负. 5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分,可使面积的求解变得简捷. 三、知识讲解 考点1 定积分的概念 设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上用分点a=x0 在每个小区间内任取一点ξi,作和式I n=∑n-1 i=0 f(ξi)Δx i.当λ→0时,如果和式的极限存在,把和式I n的极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]上的定积分,记作?b a f(x)d x,即?b a f(x)d x=lim λ→0∑n-1 i=0 f(ξi)Δx i,其中f(x)叫做被积函数,f(x)d x叫做被积式,a 为积分下限,b为积分上限. (1)?b a kf(x)d x=k?b a f(x)d x (k为常数). (2)?b a[f(x)±g(x)]d x=?b a f(x)d x±?b a g(x)d x. (3)?b a f(x)d x=?c a f(x)d x+?b c f(x)d x (a 定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1. a =??02x d x ,b =??02e x d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a 定积分与微积分基本定理 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数! 学习目标: ● 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念、几何意义. ● 直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分. ● 应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题,在解决问题的过程中体验定积分的价值. 重点难点: ● 重点:正确计算定积分,利用定积分求面积. ● 难点:定积分的概念,将实际问题化归为定积分问题. 学习策略: ● 运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法,理解定积分的概念. ● 求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数. ● 求导运算与求原函数运算互为逆运算. 二、学习与应用 常见基本函数的导数公式 (1)()f x C =(C 为常数),则'()f x = (2)()n f x x =(n 为有理数),则'()f x = (3)()sin f x x =,则'()f x = (4)()cos f x x =,则'()f x = (5)()x f x e =,则'()f x = (6)()x f x a =,则'()f x = “凡事预则立,不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前,看看你的知识贮备过关了吗? (7)()ln f x x =,则'()f x = (8)()log a f x x =,则'()f x = 函数四则运算求导法则 设 ()f x ,()g x 均可导 (1)和差的导数:[()()]'f x g x ±= (2)积的导数:[()()]'f x g x ?= (3)商的导数:()[]'() f x g x = (()0g x ≠) 知识点一:定积分的概念 如果函数)(x f 在区间[,]a b 上连续,用分点b x x x x x a n n =<??<<<=-1210将区间[,]a b 分为n 个小区间,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ(i =1,2,3…,n ),作和式1 1 ()()n n i i i i b a f x f n ξξ==-?=∑∑ ,当∞→n 时,上述和式无限趋近于某个常数,这个常数叫做)(x f 在区间[,]a b 上的 .记作 .即()b a f x dx ?= , 这里, 分别叫做积分下限与积分上限, 叫做积分区间, 叫做被积函数, 叫做积分变量, 叫做被积式. 说明: (1)定积分的值是一个 ,可正、可负、可为零; (2)用定义求定积分的四个基本步骤: 知识点二:定积分的几何意义 设函数)(x f 在区间[]b a ,()a b ≠上连续. 在[]b a ,上,当0)(≥x f 时,定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以 及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的 ; 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材,尝试把下列知识要点内容补充完整,带着自己预习的疑惑认真听课学习。课堂笔记或者其它补充填在右栏。预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID : #tbjx6#233073 第三节定积分和微积分基本定理 考纲解读 1?了解定积分的实际背景、基本思想及概念 ? 2?了解微积分基本定理的含义 . 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主, 其应用主要是求一个曲边梯形的面积, 题型主要为选择题和填空 题? 知识点精讲 一、基本概念 1.定积分的极念 一般地,设函效 f (x )在区间[a , b ]上连续.用分点a = x 0 < x 2< L < x — < x b - a < L < X n 二b 将区间[a,b ]等分成n 个小区间,每个小区间长度为 D x ( D x = ), n n 在每个小区间[X i -^X i ]上任取一点\ i =1,2J||,n ,作和式:S^v f(i)C x =: i 二 n b _a f ( i ),当D x 无限接近于0 (亦即n —; ? ?)时,上述和式S n 无限趋近于常数 S , i i n b 那么称该常数S 为函数f (x)在区间[a,b ]上的定积分?记为: S 二 f (x)dx , f (x)为 * a 被积函数,X 为积分变量, 需要注意以下几点: [a, b ]为积分区间,b 为积分上限,a 为积分下限. b (1) 定积分 f(x)dx 是一个常数,即S n 无限趋近的常数S (n 时),称为 a b f (x)dx ,而不是 S n . a (2) 用定义求定积分的一般方法 . b n ? b -^a a f(x)dx 二[imj f i -" a - i n b t 2 b (3)曲边图形面积:S = f x dx ;变速运动路程s 二 v(t)dt ;变力做功S = F(x) dx 2 ?定积分的几何意义 b 从几何上看,如果在区间[a ,b ]上函数f (x )连续且恒有f(x)_0,那么定积分a f x dx 表 示由直线 X =a,x =b(a =b), y =0和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影 ①分割:n 等分区间[a ,b ];②近似代替:取点 n b — a i ?〔x 」,X i 丨;③求和:、? 口 f(i ); ◎ n ④取极限: 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0 ()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . (2)在 ()d b a f x x ? 中,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数()f x 叫做被 积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. 4.定积分的性质 (1)()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数); (2)[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??; (3) ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 定积分与微积分基本定理 [考纲传真] 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义. 【知识通关】 1.定积分的有关概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在 每个小区间上任取一点ξi (i =1,2,…,n ),作和式∑n i =1f (ξi )Δx =∑n i =1 b -a n f (ξi ),当n →∞ 时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定 积分,记作??a b f (x )d x ,即??a b f (x )d x =lim n →∞∑n i =1 b -a n f (ξi ). 在??a b f (x )d x 中,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数f (x )叫做被积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. (2)定积分的几何意义 图形 阴影部分面积 S =??a b f (x )d x S =-??a b f (x )d x S =??a c f (x )d x -??c b f (x )d x S =??a b f (x )d x -??a b g(x )d x =??a b [f (x )-g(x )]d x 2.(1)??a b kf (x )d x =k ??a b f (x )d x (k 为常数);定积分及微积分基本定理练习题及答案
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