已知 是椭圆x^2除4+y^2除3=1的左顶点,斜率为k 的直线交 与 , 两点,点 在 上,

已知A 是椭圆E ：22

143

x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，

MA NA ⊥. （Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ?的面积； （Ⅱ）当AM AN =

2k <<. 解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4

π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22

143

x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127

y =. 因此AMN ?的面积11212144227749AMN S ?=???=.

椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式 θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题： 若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、 短半轴长和焦半距，则有θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 及题设可得： 24c o s 816)22(422 2 =-??α ，解得 αc o s ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴， 直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π ，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为5 16，求椭圆E 的 方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为 1)1() 3(2 2 2 2 =-+ --b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线 为Y 轴，故有 32 +=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有 3 cos 22 2 2 2 πc a ab -= 5 16 （2） 又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32 =b ，1=c ， 从而所求椭圆E 的方程为 13 ) 1(4) 4(2 2 =-+ -y x 。 例3、已知椭圆C ： 12 22 2=+ b y a x （0>>b a ），直线1l ： 1=- b y a x 被椭圆C 截得的

椭圆中的常见最值问题.

椭圆中的常见最值问题 1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点,取得最小值的点在椭圆长轴的端点。 例1、椭圆19 252 2=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的 最大值时,P 点的坐标是.P （0，3)或（０,-3） 例２、已知椭圆方程122 22=+b y a x (222,0c b a b a +=>>）ｐ为椭圆上一点,2 1,F F 是椭圆的二焦点,求||||21PF PF 的取值范围。 分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=,)|(|a x ≤ 当a x ±=时,min 21||||PF PF ＝222b c a =-，当0=x 时,2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤ ２、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点，最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。 例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15 92 2=+y x 的左右焦点,Ｐ为椭圆上一动点, 则||||2PF PA -的最大值是，此时P 点坐标为。||||2PF PA -的最小值是，此时P 点坐标为。 3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。 例４、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则

||||1PF PA +的最小值是，此时P 点坐标为。||||1PF PA +的最大值是,此时Ｐ点坐 标为。 分析:||||||||||2121AF PF PF PF PA ++≤+，当Ｐ是2AF 的延长线与椭圆的交点时取等号。||||||||||2121AF PF PF PF PA -+≥+，当Ｐ是2AF 的反向延长线与椭圆的交点时取等号。 ４、椭圆上的点Ｐ到定点A 的距离与它到椭圆的一个焦点F 的距离的e 1倍的和||1 ||PF e PA +的最小值(e 为椭圆的离心率）,可通过 e d PF =| |转化为d PA +||(d 为P 到相应准线的距离）最小值,取得最小值的点是Ａ到准线的垂线与椭圆的交点。 例5、已知定点)3,2(-A ,点F 为椭圆112 162 2=+y x 的右焦点,点M 在该椭圆上 移动，求||2||MF AM +的最小值,并求此时M 点的坐标． 例6、已知点椭圆19 252 2=+y x 及点)0,3(),2,2(-B A ,),(y x P 为椭圆上一个动点， 则||5||3PB PA +的最小值是。 ５、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。 例7、过椭圆122 22=+b y a x (222,0c b a b a +=>>)的中心的直线交椭圆于B A ,两 点,右焦点)0,(2c F ,则2ABF ?的最大面积是． 例8、已知F 是椭圆22525922=+y x 的一个焦点,PQ 是过原点的一条弦，求PQF ?面积的最大值。 ６、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。

2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题

微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题 定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律. 过椭圆C ：x 24＋y 2 ＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭 圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标． 本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线 存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 2 3＝1的左顶点为A ， P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．

(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN → 为定值； (2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R . 图34-1 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T 的方程为x 2 2＋y 2 ＝1. 设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM → ＝cos θOA →＋sin θOB →. (1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； (2)求OA 2＋OB 2的值． (江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2 9＋ y 2 5＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.

椭圆中的焦点三角形(总结非常好)

学习任务单 椭圆焦点三角形的性质 班级_______________学号_______________姓名_______________ 任务一课前小测，知识回顾 1.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3 A π=，2a =，求,b c .2.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，4b c +=. (1)若23B π=，求c ；(2)设B θ=，试用θ表示c . 3.(教材习题)如果椭圆22 110036 x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是________. 4.(教材习题)已知经过椭圆22 12516 x y +=的右焦点2F 作直线AB ，交椭圆于A ,B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则△1AF B 的周长为________.思考与总结: ①你能说出椭圆焦点三角形，焦点弦的定义吗？ ②通过题3、题4的解答，你能说说“椭圆焦点三角形的元素”与“椭圆的几何性质”间的一些关系吗？ 任务二抽丝剥茧，试题分析

学而不思则罔，思而不学则殆 5.(2020顺德二模第19题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ,2F ，122F F =， 设点P 为椭圆C 上一点,123 F PF π∠= ，且△12F PF (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左右顶点为1A ,2A ，称以12A A 为直径的圆为椭圆C 的“伴随圆”.设直线1l ,2l 为过点1F 的两条互相垂直的直线，设1l 交椭圆于Q ,T 两点，2l 交椭圆C 的“伴随圆”于M ,N 两点，当QT 取到最小值时，求四边形QMTN 的面积.思考与总结： ①题5条件中有很多△12F PF 的信息，由这些出发，你能得到什么？这些对第(1)问求椭圆C 的标准方程有帮助吗？ ②第(2)问表面上“高深莫测”，请耐心一点，逐句分析，你能得到哪些基本信息？请一一写出来！ ③你能想到什么方法求QT 的最小值？ 任务三方法感悟，素养提升

椭圆中焦点三角形的性质(含答案解析)

焦点三角形习题 性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 2 2 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,22 22121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 性质三：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得： 1222242)(2cos 2 12 221221221212 212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题温县第一高级中学数学组任利民 问题1：平面上一动点 (,) P x y 与两点 (2,0),(2,0) A B - 的连线的斜率之积是 3 4 - ，求 点P的轨迹方程 22 1(2) 43 x y x +=≠± . 问题2：椭圆 22 1 43 x y += 上任一点P与两点 (2,0),(2,0) A B - 的连线的斜率之积是 123 4 k k=- . 探究：（1）已知椭圆 22 22 1 x y a b += 上两点 (,0),(,0) A a B a - ,椭圆上任意异于A、B的点P 与A、B连线的斜率之积是 2 2 b a - . （2）已知椭圆 22 22 1 x y a b += 上两点(0,),(0,) A b B b -,椭圆上任意异于A、B的点P与A、 B连线的斜率之积是 2 2 b a - . （3）已知椭圆 22 22 1 x y a b += 上两定点0000 (,),(,) A x y B x y -- ，椭圆上任意异于A、B 的点P与A、B连线的斜率之积是 2 2 b a - . 结论1.设 A、B是椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>> 上关于原点对称的两点，点P是该椭圆 上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则 2 122 b k k a =- ． 探究：（3）设 A、B是双曲线 22 22 1(0) x y a b a b -=>> 上关于原点对称的两点，点P是该 双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA,PB的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．

高中数学椭圆公式大全

高中数学椭圆公式大全 椭圆的标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴： 1)焦点在X轴时,标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 2)焦点在Y轴时,标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1(a>b>0) 其中a>0,b>0.a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时,焦点在x 轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c 又及：如果中心在原点,但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时,方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m≠n).既标准方程的统一形式. 椭圆的面积是πab.椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是：x=acosθ,y=bsinθ 标准形式的椭圆在x0,y0点的切线就是：xx0/a^2+yy0/b^2=1 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式. 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和.如

L=∫[0,π/2]4a*sqrt(1- (e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2)[椭圆近似周长],其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线 x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0|PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离,数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M(x0,y0)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^2<1 点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^2>1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m①

高中数学-公式-椭圆

椭圆 Ⅰ 定义与推论 1、定义1的的认知： 设M 为椭圆上任意一点，F 1、F 2 分别为椭圆两焦点，A 1、A 2 分别为椭圆长轴端点， 则有(1)明朗的等量关系：a MF MF 221=+ (解决双焦点半径问题的首选公式) (2)隐蔽的不等关系：a MA MA 221≥+， c MF MF 221≤- 2、定义2的推论： 根据椭圆第二定义，设),(00y x M 为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 。上任意一点，F 1、F 2分别为椭圆左、 右焦点，则有： (d 1为点M 到左准线l 1的距离)； (d 2为点M 到右准线l 2的距离) 由此导出椭圆的焦点半径公式： ， Ⅱ 标准方程与几何性质 1、椭圆的标准方程 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆标准方程 ① 中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆标准方程 ② (1)标准方程①、②中的a 、b 、c 具有相同的意义与相同的联系： (2)标准方程①、②统一形式： 2、椭圆 的几何性质 (1)范围： (有界曲线) (2)对称性：关于x 轴、y 轴及原点对称(两轴一中心，椭圆的共性) (3)顶点与轴长：顶点 ，长轴2a ，短轴2b(由此赋予a 、b 名称与几何意义) (4)离心率： 刻画椭圆的扁平程度 (5)准线：左焦点 对应的左准线 ； 右焦点 对应的右准线 (6)椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为 ； 中心到准线的距离为 ；焦点到相应准线的距离为 . Ⅲ 挖掘与引申 1、具特殊联系的椭圆的方程 (1)共焦距的椭圆的方程，且 (2)同离心率的椭圆的方程，且 2、弦长公式：

设斜率为k 的直线l 与椭圆交于不同两点 ，则 ； 或 。 1、椭圆标准方程的两种形式是：12222=+b y a x 和122 22=+b x a y )0(>>b a 。 2、椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2 ± =，离心率是a c e =，通径的长是a b 22。其中2 22b a c -=。 3、椭圆12222=+b y a x 的通径(最短弦)为a b 22，焦准距为2=b p c . 4、若点),(00y x P 是椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 上一点，21F F 、是其左、右焦点，则点P 的焦半径的长是 01ex a PF +=和02ex a PF -=。(椭圆焦半径公式) 5、过椭圆122 22=+b y a x (a>b>0)左焦点的焦点弦为AB ，则)(221x x e a AB ++=，过右焦点的弦 )(221x x e a AB +-=； 6、处理椭圆的弦中点问题常用代点相减法，设A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为椭圆122 22=+b y a x (a>b>0)上不同的两点， M(x 0,y 0)是AB 的中点，则K AB K OM =22 a b -。

椭圆中三角形

椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略 最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略 一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆 )0(12 22 2 >>=+ b a b y a x 的右焦 点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。 分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解 解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 00)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再 求函数的最大值。 解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是 1242 =+y x ，由椭圆的对称性知，点 B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则 12 020=+y x ，即442 02 0=+y x 。设四边形ABCD 的面 积为S ，则S=S △ABD + S △BCD =2S △AOB +2S △COB =|0A|×y 0+|0C|?x 0=2y 0+x 0. 法一: 12 04 20=+y x 可设x 0 =2cos θ,y 0 =sin θ,∴S=2y 0 +x 0 =2sin θ+2cos θ=22 sin(θ+450)≤2 2,当且仅当θ=450 时取等号。故四边形ABCD 面积的最大值是22。 法二: S=2y 0+x 0= 2 00)2(y x += 02 02044y x y x ++= ≤??+00224y x 4 42 02 0++y x =2 2，当且仅当2y 0 =x 0 =2时取等号。故四边形ABCD 面积的最大值是22。 点评: 将四边形ABCD 的面积表示成关于点B 的坐标（x 0,y 0）的二元函数，再利用基本不等式或参数求最大值，是本题的解题技巧，若将四边形ABCD 的面积表示成关于k 的函数，则运算量要大许多。 三 巧设直线方程，简化运算 例3 已知椭圆C: 13 4 22 =+ y x ，若经过椭圆右焦点F 2作直 线l 交椭圆于A,B 两点，求1ABF ?面积的最大值。 分析: 直线l 过x 轴上的一点，故可设直线l 方程为1+=my x 可简化讨论和运算， 不会出错，认真领会。 解 :设直线AB 的方程为 1+=my x () R m ∈把1 +=my x 代入1 22=+ y x 得() 964322 =-++my y m ① 显 然 >?设 A ()11,y x ， B () 22,y x 则

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

圆锥曲线中斜率乘积问题 为定值的问题 Prepared on 24 November 2020

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题 温县第一高级中学数学组 任利民 问题1：平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 3 4- ，求点P 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠± . 问题2：椭圆22 143x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之 积是 1234k k =- . 探究：（1）已知椭圆22 221x y a b +=上两点(,0),(,0)A a B a -,椭圆上任意异于 A 、 B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. （2）已知椭圆22 221x y a b +=上两点(0,),(0,)A b B b -,椭圆上任意异于A 、B 的 点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. （3）已知椭圆22 221x y a b +=上两定点0000(,),(,)A x y B x y --，椭圆上任意异 于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. 结论1.设 A 、B 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是 该椭圆上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则 2 122 b k k a =-．

探究：（3）设 A 、B 是双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点， 点P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA,PB 的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值并给予证明． 结论2.设 A 、B 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点 P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2， 则 2 122 b k k a =． 应用拓展： 1.设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>> ,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与斜率之积为12 -，则椭圆的离心率为 . 解析：利用k AP ·k BP ＝22b a -，可以得到2c e a ====. 2.椭圆C:22 143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜 率的取值范围是[2,1]-- ，那么直线1PA 斜率的取值范围是 A. 13[,]24 B. 33[,]84 C. 1[,1]2 D. 3 [,1]4 解析：因为122 2 34 PA PA b k k a ?=- =-，所以123 4PA PA k k - = ,∵2 [2,1]PA k ∈-- ∴133 [,]84 PA k ∈,故选B.

解析几何中斜率之积为定值的问题探究

微专题：解析几何中斜率之积为定值（2 2 21a b k k -=?）的问题探究 【教学重点】掌握椭圆中2 2 21a b k k -=?的形成的路径探寻及成果运用理性判断 【教学难点】运算的设计和化简 活动一：2 2 21a b k k -=?形成的路径探寻 1. 若AB 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，求PO AB K K ?． 【解析】 ：设点()0 ,y x P ，()1 1 ,y x A ，()2 2 ,y x B ， 则有；；)2(1)1(122 222 222 122 1=+=+b y a x b y a x （代点作差） 将①式减②式得， ， ， 所以所以， 即2 2 a b K K PO AB -=?． 【结论1】 若AB 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且 直线OP,AB 的斜率都存在，则1222 -=-=?e a b K K PO AB ． 2.已知AB 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，

若直线PA,PB的斜率都存在，记直线PA,PB的斜率分别为 2 1 k k，．求 2 1 k k?的值。 【解法1】：设()0 ,y x P，()1 1 ,y x A又因为A,B是关于原点对称， 所以点B的坐标为()1 1 -, -y x B，所以 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1x x y y x x y y x x y y k k - - = + + ? - - = ?． 又因为点()0 ,y x P，()1 1 ,y x A在椭圆上，所以有； ；)2(1 )1(1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 0= + = + b y a x b y a x 两式相减得， 2 2 2 1 2 2 1 2 0- a b x x y y = - - ，所以 2 2 2 1a b k k- = ?． 【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。 ------------------------------------------------------------------------------- 【解法2】椭圆圆化；由圆的结论类比到椭圆中。 过圆2 2 2r y x= +上异于直径两端点的任意一点与一条直 径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值 1- = ? PB PA K K 类比上述圆的结论通过伸缩变换椭圆圆化 令 ' ;'y b y x a x = = 则有 ()1 ' )'( )0 (12 2 2 2 2 2 = + ? > > = +y x b a b y a x ()? ? ? ? ? ? b y a x P y x P0 , ' ,；点P,A,B为椭圆上点 ()? ? ? ? ? ? b y a x A y x A1 1 1 1 , ' ,点p’,A’,B’为新圆上点 ()? ? ? ? ? - - ? - - b y a x B y x B1 1 1 1 , ' ,由圆上的1- ' ' ' ' = ? B P A P k k的关系过渡到PA,PB上

椭圆中最值问题的巧解

巧用定义求椭圆中四类最值问题 圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。 一、的最值 若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e 是C的离心率，求的最小值。 例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为 椭圆C上的动点，求的最小值。 分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》 一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。 二、的最值 若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。 例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆 上动点，求的最大值与最小值。 解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0） 图1 由椭圆的第一定义得： 可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为 ，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。 故的最大值为，最小值为。

三、的最值 若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。 例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动 点，点P到的距离为d，求的最小值。 解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为 图2 根据椭圆的第二定义有：，即 可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。 故的最小值为10。 四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值 例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆 上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。 解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M” 图3 则 当且仅当AB过焦点F时等号成立。

椭圆中以原点为顶点的三角形面积

题目一：y kx m =+与椭圆221a b +=交于A ，B 两点，则 22222222 OA OB OAB b ab k k k a b m S a ??=-?+=?= 提示：记忆方式利用直线与椭圆相切的公式特点记忆。 222222 y kx m b x a y a b =+??+-=?， 22222222()2()0 b k a x kma x a m b +++-=， 22 2 2 2 2 4()0a b k a b m ?=+->，2112222kma x x k a b -+=+，2221122 2 () a m b x x k a b -?=+， 222 12121222212()()OA OB y y b b b k k kx m kx m x x a x x a a ?=-??=-?+?+=- 2222222 222 121222222222 ()2()()0()0b b a m b kma k x x km x x m k km m a a k a b k a b --++++=?+++=++， 化简得：2222 2k a b m +=。 2221222OAB ab S AB d k a b ?=?===+。 题目二：y kx m =+与椭圆22 221x y a b +=交于A ，B 两点，则 2 OAB ab S ?≤ ，当且仅当2222 2k a b m +=时等号成立。 简证：1122OAB S AB d ?=?=222222221()22 ab k a b m m ab k a b +-+≤?= +， m =，即2222 2k a b m +=时均值不等式中的等号成立。 解法2：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A a b B a b ααββ，则12211 2 OAB S x y x y ?= - 1cos sin sin cos sin()222 ab ab ab ab αβαβαβ= -=-≤。 注意：椭圆参数方程中参数的几何意义不是极角。

圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题探究

斜率乘积为定值的问题探究 【教学目标】 会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中 的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用. 【教学难、重点】解题思路的优化. 【教学过程】 【温故习新】 2 2 1. （2012天津理19改编）设椭圆 笃?爲= l （a b - 0）的左、右顶点分别为 A, B ，点P 在 a b 2 2 2.如图2,在平面直角坐标系 xOy 中，F 1;F 2分别为椭圆 笃-当=1（a b 0）的左、右焦 a b 点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线 BF 2与椭圆的另一交点为 D.若cos / F 1BF 2 =云, 则直线CD 的斜率为 _______________ . X 2 2 3. （2016如东月考）已知椭圆C: 2 y =1，点M 1N2, ll|M 5为其长轴AB 的6等分点， 分别过这五点作斜率为 k （k 式0）的一组平行线，交椭圆 C 于点PhPjH’P o ,则这10条直线 AR, AP 2,|",AR 0的斜率的乘积为 ____________ iy 椭圆上且异于 A, B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为

2 2 4. (2011江苏18改编)如图3，已知椭圆方程为—-L =1，过坐标原点的直线交椭圆 4 2 于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC，并延长交椭圆 于点B,设直线PA的斜率为k，对任意k 0 , 求证：PAI PB. 二.释疑拓展 2 2 例1.(南京市、盐城市2017 一模改编)已知椭圆C的方程——1,直线I : y = kx亠m , 4 2 (m =0 )交椭圆C于P,Q两点，T为弦PQ的中点，M(-1,0),N(1,0)，记直线TM ,TN的斜率分别为k1,k2，当2m2 -2k2=1时，求k1 k2的值.

椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式θ2222 21cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题。 结论：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 例1.已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点， 设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 解：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，由焦点弦长公式 θ222221cos 2c a ab F F -=及题设可得：24c o s 816)22(4222 =-??α，解得αco s ±=22-，即α=a rc 22c o s -或arc -π22cos -。 例2.在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 解：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2 2 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a ；由焦点弦长公式有3cos 22222π c a ab -=5 16；又 222c b a +=；解得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13 )1(4)4(2 2=-+-y x 。 例3.已知椭圆C ：122 22=+b y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的5 2，求椭圆C 的方程。 解：由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点，故有822=+b a ，又由焦点弦长公式得 θ2222 cos 2c a ab -=5 4a ， 因tan θ=3，得3πθ=，又 222c b a += ，解得：62=a ，22=b ，从而所求椭圆E 的方程为1262 2=+y x 。

椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)

椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点， θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 21212 21c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 10022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例 2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）

A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 例3（04湖北）已知椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 49或7 79 答案： 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 1641002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上， ∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(212 21=-+r r r r .144340021=-∴r r 从而.3 256 21= r r .3 36423325621sin 212121=??== ?θr r S PF F 解法二：在椭圆 1641002 2=+y x 中，642=b ，而.60?=θ .3 3 6430tan 642 tan 221= ?==∴?θ b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！

圆锥曲线斜率乘积为定值

斜率乘积为定值的问题探究 知识梳理 结论1：设A 、B 是椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A 、B 的任一点，直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则22 21a b k k -=?。 结论2：设A 、B 是双曲线122 22=-b y a x )0,0(>>b a 上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A 、B 的任一点，直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则22 21a b k k =?。 基础训练 1、设椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的左右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为2 1-，则椭圆的离心率为 。 2、在平面直角坐标系中，21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，B 、C 分别为椭圆的上下顶点，直线2BF 与椭圆的另一交点为D ，若21cos BF F ∠25 7= ，则直线CD 的斜率为 。 3、已知椭圆C ：12 22 =+y x ，点54321,,,,M M M M M 为其长轴AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则这10条直线1011,,AP AP AP 的斜率的乘积为 。

4、如图所示，已知椭圆方程为12 42 2=+y x ，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ，对任意0>k 。求证：PB PA ⊥。 方法梳理： 一、解决直线和圆锥曲线问题的一般方法： Step1 设（点的坐标、直线方程、曲线方程） Step2 代（点的坐标带入方程，方程联立方程组带入消元） Step3 化（化简方程，解方程） 二、常用的化简策略 “设而不求”，整体代换

专题：椭圆的焦点三角形

椭圆的焦点三角形 一 知识梳理 定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点 三角形叫焦点直角三角形。 性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值2a+2c 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角 形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得： 2(cos 2212 22 1r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 性质三：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角 形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.2112cos 222 e a b -=-≥θ并且点P 在y 轴上是张角最大。 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得： 1244242)(2c o s 2 12221221221212 212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ