第二节函数的求导法则

第二节 函数的求导法则

要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一

点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠 实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少 人的思维活动.

-------F. 莱布尼茨

求函数的变化率——导数，是理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题. 但根据定义求导往往非常繁难，有时甚至是不可行的. 能否找到求导的一般法则或常用函数的求导公式，使求导的运算变得更为简单易行呢？从微积分诞生之日起，数学家们就在探求这一途径. 牛顿和莱布尼茨都做了大量的工作. 特别是博学多才的数学符号大师莱布尼茨对此作出了不朽的贡献. 今天我们所学的微积分学中的法则、公式，特别是所采用的符号，大体上是由莱布尼茨完成的.

分布图示

★ 引言 ★ 和、差、积、商的求导法则

★ 例1-2 ★ 例3-4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 反函数的导数 ★ 例7 ★ 例8 ★ 复合函数的求导法则 ★ 初等函数的求导法则

★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 隐函数的导数 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 ★ 对数求导法 ★ 例20 ★ 例21 ★ 例22 ★ 参数方程表示的函数的导数 ★ 例23 ★ 例24 ★ 高阶导数的定义 ★ 例25-26 ★ 例27-28 ★ 例29

★ 例30 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2- 2

内容要点

一、导数的四则运算法则

二、反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 三、复合函数的求导法则

定理3 若函数)(x g u =在点x 处可导, 而)(u f y =在点)(x g u =处可导, 则复合函数)]([x g f y =在点x 处可导, 且其导数为

)()(x g u f dx

dy

'?'= 或

dx

du

du dy dx dy ?

= 注: 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以

中间变量对自变量的导数. 这一法则又称为链式法则.

复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.

四、初等函数的求导法则：基本求导公式 函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则

五、隐函数的导数

假设由方程0),(=y x F 所确定的函数为)(x y y =，则把它代回方程0),(=y x F 中，得到恒等式

0))(,(≡x f x F

利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数dx

dy

，这就是隐函数求导法.

六、对数求导法：对幂指函数)()(x v x u y =，直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x 求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法. 七、参数方程表示的函数的导数

设???==)

()(t y t x ψ?，)(t x ?=具有单调连续的反函数)(1x t -=?, 则变量y 与x 构成复合函数关系)].([1x y -=?ψ 且 .dt

dx

dt

dy dx dy =

八、高阶导数

如果函数)(x f y =的导数)(x f '仍可导, 则称)(x f '的导数))((''x f 为函数)(x f y =的二阶导数, 记为

.)

(,),(2

222dx

x f d dx y d y x f 或'''' 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数, 记为

33,

),(dx y

d y x f ''''''，或3

3)(dx x f d . 一般地, )(x f 的1-n 阶导数的导数称为)(x f 的n 阶导数,记为

.)

(,),()

()

(n

n n n n n dx

x f d dx y d y x f

或 注: 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, )(x f 称为零阶导数; )(x f '称为

一阶导数.

例题选讲

导数的四则运算法则的应用

例1 (E01) 求x x x y sin 223+-=的导数. 解 )(sin )2()(23'+'-'='x x x y .cos 432x x x +-=

例2 (E02) 求x x y sin 2=的导数.

解 )sin (2)sin 2('='='x x x x y ])(sin )sin )[(2'+''=x x x x ???

?

??+=x x x x cos sin 212

.cos 2sin 1x x x x

+=

例3 (E03) 求x y tan =的导数;

解 '

??

? ??='='x x x y cos sin )(tan ,cos )(cos sin cos )(sin 2x x x x x '

-'= ,sec cos 1

cos sin cos 22

222x x

x x x ==+= 即.sec )(tan 2x x =' 同理可得.csc )(cot 2x x -='

例4 求x y sec =的导数;

解 x x x x y 2cos )(cos cos 1)(sec '

-=

'

??

? ??='='.tan sec cos sin 2x x x x == 同理可得.cot csc )(csc x x x -='

例5 (E04) 人体对一定剂量药物的反应有时可用方程：)3

2(

2

M

C M R -=来刻画，其中，C 为一正常数，M 表示血液中吸收的药物量。衡量反应R 可以有不同的方式：若反应R 是用血压的变化来衡量，单位是毫米水银柱；若反应R 用温度的变化衡量，则单位是摄氏度。

解

)31

()32(22-+-=M M C M dM dR 2M MC -= 例6 求x x y ln 2sin ?=的导数.

解 因为,ln cos sin 2x x x y ??=所以

x x x x x x y ln )(cos sin 2ln cos )sin 2(?'?+??'=')(ln cos sin 2'??+x x x

x x x x x x ln )sin (sin 2ln cos cos 2?-?+??=x

x x 1cos sin 2?

?+ .2sin 1

ln 2cos 2x x

x x +=

注: 此题如果利用后面讲到的复合函数的求导法则则计算过程更为简单.那时，不必按本题那样拆开为两项来计算 .

反函数的导数

例7 (E05) 求函数x y arcsin =的导数.

解 y x sin = 在???

??-=2,2ππy I 内单调、可导,且,0cos )(sin >='y y

∴在对应区间)1,1(-=x I 内有

y y x cos 1)(sin 1)(arcsin =

'=

'.11sin 1122x

y -=-= 同理可得 ,11)(arccos 2

x

x --

=' ,11)(arctan 2

x

x +=

'.11)cot (2

x

x arc +-

='

例8 (E06) 求函数x y a log =的导数.

解 y a x = 在),(+∞-∞=y I 内单调、可导，且,0ln )(≠='a a a y y ∴在对应区间),0(+∞=x I 内有

.ln 1ln 1)(1)(log a x a

a a x y

y a =='=

' 特别地.1

)(ln x x ='

复合函数的求导法则

例9 (E07) 求函数x y sin ln =的导数. 解 设,ln u y =.sin x u = 则 dx du du dy dx dy ?=x u cos 1?=x

x sin cos =.cot x =

例10 (E08) 求函数102)1(+=x y 的导数. 解 设.1,210+==x u u y 则

x u dx

du du dy dx dy 2109?=?=.)1(202)1(109292+=?+=x x x x 注：复合函数求导既是重点又是难点.

在求复合函数)]}([{x f y ψ?=的导数时，要从外层, 逐层推进.先求f 对大括号内的变量u 的导数)]),([(x u ψ?=再求?对中括号内的变量v 的导数)),((x v ψ=最后求ψ对小括号内的变量x 的导数.

在这里，首先要始终明确所求

的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数;

其次,在逐层求导时,不要遗漏, 也不要重复. 熟练之后可以不设中间变量的字母, 心中记住,一气呵成.

例11 (E10) 求函数32)sin (x x y +=的导数.

解 ])sin [(32'+='x x y )sin ()sin (3222'++=x x x x ])(sin sin 21[)sin (322'?++=x x x x

).2sin 1()sin (322x x x ++=

例12 (E09) 求函数)2(2

1

ln

3

2>-+=x x x y 的导数.

解 ),2ln(3

1

)1ln(212--+=x x y

)2(2

1

31)1(112122'-?-?-'+?+?='∴x x x x y )2(31211212

--?+?=x x x .)2(3112--+=x x x

例13求函数 )0(arcsin 2222

2>+-=a a

x a x a x y 的导数. 解

'???? ??+'??? ??-='a x a x a x y arcsin 22222'??? ??+'-+-?'??

? ??=a x a x a x x a x arcsin 2)(222

2

222 2

222222

212

)(21221??

? ??-'

??? ??+-'-?+-=a x a x a x a x a x x a

2222222222121x a a x a x x a -+---= .22x a -=

例14 求函数x x x y ++=的导数.

解 )(21

'++++='x x x x x x y ?

??? ??'+++++=)(21121

x x x

x x x x

???? ??+++++=)211(21121

x x

x x x x .812422x x x x x x x x x x +?+++++=

例15 求导数 x y x sin log =).1,0(≠>x x

解 在函数表达式中,考虑到对数的底是变量,可用对数换底公式,将其变形为.ln sin ln x

x y =

这时x x

x x x y 2ln sin ln 1

ln cot -?='.ln sin sin ln sin ln cos 2

x

x x x x x x x ???-?=

例16 求导数 .log /1x

x x e y +=

解 .ln 1

ln ln log x

x e e x ==

)()(log /1'+'='∴x

x x e y '???

? ??+'??? ??=x x e x ln 1ln 1'??? ??+-=x x e x x x x ln 1ln 1ln 12 .ln 1ln 12

1

2??? ??-+-=x x x x x x

隐函数的导数

例17 (E11) 求由方程1ln =+y xy 所确定的函数)(x f y =的导数.

解 在题设方程两边同时对自变量x 求导，得

0'1

'=++y y xy y

解得1

'2

+-=xy y y

例18 (E12) 求由下列方程所确定的函数的导数.

0)cos(sin =--y x x y . 解 在题设方程两边同时对自变量x 求导，得

0)1()sin(sin cos =-?-+?

+dx

dy

y x dx dy x y 整理得 x y y x dx

dy

x y x cos )sin(]sin )[sin(+-=-- 解得

.sin )sin(cos )sin(x

y x x y y x dx dy --+-=

例19 求由方程0=+-y

x

e e xy 所确定的隐函数y 的导数 .,0

=x dx

dy dx dy

解 方程两边对x 求导,

0=+-+dx

dy e e dx dy x

y y x 解得 ,y

x e x y

e dx dy +-=

由原方程知,0,0==y x 所以

.1|0

00=+-====y x y

x x e x y e dx dy

对数求导法

例20 (E13) 设),0(sin >=x x y x 求 y '. 解 等式两边取对数得

x x y ln sin ln ?= 两边对x 求导得

,1sin ln cos '1x

x x x y y ?+?=

∴??? ???+?=x x x x y y 1sin ln cos '.sin ln cos sin ??

? ??

+?=x x x x x x

例21. (E14) 设y x x y )(sin )(cos =，求 y '.

解 在题设等式两边取对数 x y y x sin ln cos ln = 等式两边对x 求导，得

.sin cos sin ln cos sin cos ln x

y

y x y y y y x

y ?+'='?- 解得

.sin ln tan cot cos ln 'x

y x x

y y y +-=

例22 (E15) 设x

e

x x x y 23)4(1

)1(+-+=, 求 y '. 解 等式两边取对数得

,)4ln(2)1ln(3

1

)1ln(ln x x x x y -+--++=

上式两边对x 求导得

,14

2)1(3111'-+--++=x x x y y ∴.142

)1(3111)4(1)1('23??

????-+--+++-+=x x x e x x x y x

参数方程表示的函数的导数

例23 (E16) 求由参数方程 ?

??+==)1ln(arctan 2

t y t

x 所表示的函数)(x y y =的导数. 解

.211122

2

t t t t dt dx

dt dy

dx dy =++==

例24 求由摆线的参数方程?

??-=-=)cos 1()

sin (t a y t t a x 所表示的函数)(x y y =的二阶导数.

解 dt

dx dt dy

dx dy =t a a t a cos sin -=t

t cos 1sin -=

),2(Z n n t ∈≠π ??? ??=dx dy dx d dx y d 22??? ??-=t t dx d cos 1sin dt

dx

t t dt d 1

cos 1sin ???

??-= 2

)cos 1(1)cos 1(1cos 11t a t a t --=-?--=).,2(Z n n t ∈≠π

高阶导数的定义

例25 (E17) 设,5322

3+-=x x y 求.y ''

解 ,662

x x y -=' .612-=''x y

例26 (E18) 设,ln 2

x x y =求).2(f '''

解 ,ln 2)(ln ln )()ln (2

2

2

x x x x x x x x x y +='+'='=' ,3ln 2+=''x y ,2

x

y =''' 所以.12)2(2

==

'''=x x f

例27 (E19) 求指数函数x

e y =的n 阶导数. 解 ,,,,)4(x x x x

e y e y e y e y =='''=''='一般地，可得,)(x n e y =

即有.)

()

(x n x e e =

例28 求对数函数)1ln(x y +=的n 阶导数. 解 ,)1(!

2,

)1(1

,11

3

2

x y x y x y +=

'''+-

=''+=

'

).1!0,1()1()!1()1(,,)

1(!

31

)(4

)

4(=≥+--=+-

=-n x n y x y n

n n

例29 (E20) 求x y sin =的n 阶导数. 解 ,2sin cos ??

?

?

?+

=='πx x y ,22sin 22sin 2cos )(??? ?

?

?+=??? ??++=???

?

?+=''=''ππππx x x y y …… .2sin )

(??? ?

?

?+=πn x y

n

即 .2sin )

(sin )

(??? ???+=πn x x n 同理可得 .2cos )(cos )(??? ?

?

?+=πn x x n

例30（E21） （弹簧的无阻尼振动）设有一弹簧，它的一端固定，另一端系有一重物，

然后从静止位置O （记作原点）沿x 轴向下（记为正方向） 把重物拉长到4个单位，之后松开，若运动过程中忽略阻尼介质（如空气、水、油等）的阻力作用，则重物的位置x 与时间t 的关系式为：t x cos 4=.试求t 时刻的速度和加速度，并尝试分析弹簧整个运动过程的详细情况：

(1) 物体会在某个时刻停止下来还是会做永不停止的周期运动？

(2) 何时离点O 最远，最近？ (3) 何时速度最快，最慢？ (4) 何时速度变化最快，最慢？

(5) 据前面问题再加以分析，对无阻尼振动的运动性态作一详细阐述.

解 位移：t x cos 4=; 速度：t dt

dx

v sin 4-==; 加速度：t dt x d a cos 422-==.

(1) 弹簧和重物构成的系统在整个运动过程中可认为不存在能量的损耗，而只是势能

（弹性势能和重力势能）与动能的互相转化，所以物体的运动会永不停止，并据其位移、速度、加速度公式分析知重物作π2=T 的周期运动.

(2) 由t x cos 4=易知:

当0≥=πk t (k 为非负整数，本题中的k 同此说明)时，质点达到离原点O 的最远位置

4±=x 处，正负表示运动的方向（以下同）

，且正值表示与初始位移方向一致，负值表示与初始位移方向相反；

当02

≥+=

ππ

k t 时，质点达到离原点O 的最近位置0±=x 处，即原点O 处．

(3) 由速度公式t dt

dx

v sin 4-==，知： 当02

≥+=

ππ

k t 时，达到最大绝对速度4±=v ；

当0≥=πk t ，达到最小绝对速度0±=v ． (4) 由加速度公式t dt

x

d a cos 42

2-==，知：

当0≥=πk t 时，达到最大绝对加速度4±=a ；

当02

≥+=

ππ

k t 时，达到最小绝对加速度0±=a .

(5) 根据上面的计算再加以分析我们知道：当重物在原点O 时，其速度达到最大值，加速度为0，再往上或下继续振动时，速度减慢，且减慢的程度越来越快，这表示加速度的方向与瞬间速度的方向相反且大小越来越大，当到达最大绝对位移处时，加速度达到最

大值，同时其速度减为0，这之前的过程可视为四分之一个周期2/4/π=T ，紧接着瞬间速度方向即将发生改变，但注意此时加速度方向不发生改变也即与瞬间速度方向一致，也就是说，此时加速度反方向给重物加速，直到再回到原点O 处使重物获得瞬间最大绝对速度，这之间的过程又可视为2/4/π=T .剩下的半个周期相仿于前半个周期，故不再重述并请读者自述。

课堂练习

1. 求函数x x

x

y ln 41tan 22

++=

的导数. 2. .,)1(tan 2y x y x '+=求

3. 求函数x x y ln cos 2

=的二阶导数.

反函数和复合函数的求导法则

二、反函数的导数法则 定理1：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)(y ?在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ?，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且) (1 )(00y x f ?'= '。 证明：0 0000)()(1 lim )()(lim )()(lim 000 y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→???? )(1 )()(lim 100 00y y y y y y y ???'=--= → 所以 ) (1 )(00y x f ?'='。 注1：00 y y x x →? →，因为)(y ?在0y 点附近连续，严格单调； 2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ?'= '或)(1 dy dx dx dy =，其中dy dx dx dy , 均为整体记号，各代表不同的意义； 3：)(x f '和)(y ?'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。 【例1】 求x y arcsin =的导数， 解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2 ,2[,sin π π- ∈=y y x 的反函数，由定理1 得： 2211 sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -= -=='='。 注1：同理可证：2 22 11 )tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+= '-- ='；

常用基本初等函数求导公式积分公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：

求导法则与求导公式

§2.2 求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。 教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数 前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。 注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±， 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数 解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式 定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。 注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==， 即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。 例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+； 解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

常用基本初等函数求导公式积分公式.doc

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ， (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设，都可导，则 （ 1）（ 2）（是常数） （ 3）（ 4） 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且 或 复合函数求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．

可以推出下表列出的公式： 常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别， 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别，e x d x e x c ln a

⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别， a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别， a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2

反函数的导数

反函数的导数 首先证明反函数的求导公式： 定理：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)y （?在点y 0的某邻域内连续，严格单 调且()0' 0≠y ?，则()x f 在点()()00y x x ?=可导，且()() 00'1 'y x f ?= 证：设()()00y y y x ??-?+=?，()()00x f x x f y -?+=?因为?在0y 的某邻域内连续且 严格单调，故1-=?f 在0x 的某邻域内连续且严格单调，从而当且仅当0=?y 时0=?x ， 并 且 当 且仅当 →?y 时 0→?x ，由()0'0≠y ?，可得 ()()00000'1 lim 1lim lim 'y y x x y x y x f y y x ?= ??=??=??=→?→?→?。 例6 证明： （i ）(a a a x x ln )'(=其中） 1.0(≠>a a 特别地()x x e e =' . (ii) )arcsin ' (x = x 2 -11； ()x arccos '=— x 2 -11 (iii) () x arctan ' = x 2 11 +；() x arc cot ' =— x 2 11 + 证 （i ）由于R x y a x ∈= .为对数函数 ，y x a log = .),0(+∞∈y 的反函数，故由公 式（6）得到 ()a x '=) (log ' 1 y a = e y a log = a a x ln . （ii ）由于)1,1(,arcsin -∈=x x y 是) 2.2(,sin π π-∈=y y x 的反函数，故由公式（6）得到 ()x arcsin ' = () y sin ' 1 = y cos 1 = y sin 2 -11= )1,1(.-112 -∈x x 同理可 证:()x arccos ' =—)1,1(.-11 2 -∈x x

多元函数求导法则

多元函数求导法则

理论与实验课教案首页 第17 次课授课时间2016年12月23日第3～5节课教案完成时间2016年12月16日 课程名 称高等数学 教 员 职 称 副教 授 专业层 次药学四年制 本科 年 级 201 6 授课方 式 理 论 学 时 3 授课题目（章，节） 第七章多元函数及其微分法§3.全微分§4.多元复合函数与隐函数的偏导数 基本教材、主要参考书和相关网站基本教材：《高等数学》，顾作林主编，人民卫生出版社，2011年，第五版 主要参考书：《医科高等数学》，张选群主编，高教出版社，2009年，第二版 — 2 —

教学目标与要求： 了解：全微分存在的必要条件和充分条件；一阶全微分形式的不变性；全微分的概念掌握：全微分的求法；复合函数、隐函数的偏导数的求法 教学内容与时间分配： 复习5分钟全微分概念5分钟 可微与可导间的关系5分钟全微分的算法及应用25分钟 复合函数求导法则（推广及特例4种）40分钟 一阶全微分形式的不变性15分钟隐函数求导法20分钟 小结5分钟 — 3 —

教学重点与难点： 重点：全微分的概念；复合函数求导规则；隐函数求导法 难点：全微分的概念；全微分存在的充分条件；锁链法则的理解；函数结构图的分析 教学方法与手段： 教学方法：讲授式为主，启发式和讨论式相结合，借助示意图及实例分析，加深对抽象概念理解。 教学手段：传统教学手段（板书）与现代化教学手段（多媒体）相结合，既有演算推导过程，又提高单位时间授课信息量。 教学组长审阅意见： 签名：年月日教研室主任审阅意见： 签名：年月日 — 4 —

理论与实验课教案续页 基本内容教学方法手段和时间分配 — 5 —

(完整版)【经典】常用的求导和定积分公式(完美)

一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且

)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+ （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+?

反函数求导法则

反函数求导法则 刘云 （天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班 甘肃天水 741000） 摘 要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。 关键词：反函数；基本初等函数；求导 引 言 除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。 1. 反函数求导定理 若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导，且有 [])(1)(1x f y f '='-. 证明： 因为函数)(x f y =在()b a ,上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调，这时0)()(≠-?+=?x f x x f y 等价于0)()(11≠-?+=?--y f y y f x ，并且当0→?y 时有0→?x 。 因此

[]y y f y y f y f y ?-?+='--→?-)()(lim )(1101 )()(lim 0x f x x f x x -?+?=→? )(1)()(lim 10x f x x f x x f x '=?-?+=→?. 2.基本初等函数的导数和微分公式： 0)(='C 0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax x dx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin =' xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -=' xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan =' xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -=' xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec =' xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -=' xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广 (1)多个函数线性组合的导函数 ∑∑=='='?? ????n i i i n i i i x f c x f c 11)()(， 其中),,3,2,1(n i c i =为常数。 （2）多个函数乘积的导函数 ∑∏∏=≠==?? ????????'='??????n j n j i i i j n i i x f x f x f 111)()()(.

求导基本法则和公式

四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且

多个积、商函数的导数

6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 2010-08-19 16:30 杨爽赵晓婷高璞译人民邮电出版社我要评论(0)字号：T | T 综合评级： 想读(0)在读(0)已读(7)品书斋鉴(2)已有7人发表书评 《普林斯顿微积分读本》阐述了求解微积分的技巧, 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，第6章讲述如何求解微分问题。本节说的是通过乘积法则求积函数的导数。 AD： 6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 处理函数乘积的时候要更有技巧的, 你不能只是将两个导数乘在一起. 例如,不做展开 (那样将会太费时 间了),我们想要求 的导数. 我们设 f(x) = x5+2x?1及 g(x) = 3x8?2x7?x4?3x.函数 h 是 f和 g 的乘积. 我们可以很容易地写出 f 和 g 的导数, 它们是 f0(x) = 5x4+2及g0(x)=24x7?14x6?4x3?3.正如我说的,乘积h的导数是这两个导数的乘积,这是不正确的. 即h0(x)6=?5x4+2￠?24x7?14x6?4x3?3￠.说h0(x)不是什么是没有用的,我们需要说它是什么！ 这表明你需要混合匹配. 这就是说,你取f 的导数并用它和g 相乘(不是g 的导数). 然后, 你也需要取 g 的导数并用它和 f 相乘. 最后, 将它们加在一起. 这就是法则： 因此, 对于我们例子中的 h(x) =?x5+2x?1￠?3x8?2x7?x4?3x￠,我们将h写成f 和g 的乘积并求它们的导数,就像我们上面做的一样. 将我们的发现总结一下,取每一列分别对应 f 和 g：

复合函数求导法则及其应用

习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ?? ? ? ?- =221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。 （2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。 （3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。 （4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。 （5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。 （6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。

（7 ）1'2y = （8 ）2 2 'x x y --= = = 1 22 2--x e x 。 （9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。 （10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。 （11 ）'y = = 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。 （12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。 （13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。 （14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。

反函数的求导法则辨析

昨天的文章中提到过反函数的求导法则。反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。这话听起来很简单，不过很多人因此犯了迷糊： y=x3的导数是y'=3x2，其反函数是y=x1/3，其导数为y'=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛！ 出现这样的疑问，其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，因变量当成自变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数。所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3，只不过为了符合习惯，经常将x写成y，y写成x而已，这一点，因为在中学的时候没怎么强调，所以到了大学就有些不适应。因此： y=x1/3的导函数应该这样求y‘=1/(y3)'=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3)， =1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则 所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数。我们再以反三角函数来作为例子，希望学到这点的朋友能够真正理解他。 例题：求y=arcsinx的导函数。首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy 因为x=siny，所以cosy=√1-x2；(那个啥，这个符号输入有点蛋疼，不过各位应该能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。

同理大家可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。 相信大家对这一点应该有所明白的吧！大家可以试着求y=arctanx的导函数，然后与结果进行对照。

反函数的导数复合函数的求导法则

§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则 一、反函数的导数 设)(y x ?=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ?=在I y 内单调、 可导，而且0)(≠'y ?，则反函数)(x f y =在间} ,)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单 调、可导的，而且 )(1 )(y x f ?'= ' (1) 证明：?∈x I x ，给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??=??1 因直接函数)(y x ?=在 I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数 )(x f y =在I x 上也是连续的，当0→?x 时，必有0→?y ) (11lim lim 00y y x x y y x ?'= ??=??→?→? 即： )(1)(y x f ?'= ' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11 121 131 22x x arctgx x a x a x '= -'= +'=

证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在 ) 2,2(π π-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在 )1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1 )arcsin (= ' 注意到，当)2,2(π π-∈y 时，0cos >y ，2 21sin 1cos x y y -=-= 因此， 211)arcsin (x x -= ' 证2 设x tgy = ，)2,2(π π-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 0cos 1 2>= 'y x 故 22211 11cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='= ' 证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (= ='= ' 类似地，我们可以证明下列导数公式： (arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=- -'=- +'= 1 11 11 22 二、复合函数的求导法则

举例说明函数的积的求导法则

举例说明函数的积的求导法则 山东省临朐县第二中学 刘海涛 李本习 在导数这一章中，导数的运算是非常重要的内容，也是这一章中的重点，在这里我们讨论一下函数积的求导法则。 （一）、函数积的求导法则是： 设f(x)、g(x)是可导的，则 [()()]f x g x '=()()f x g x '+()()f x g x ' 即：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数加上第一个函数乘上第二个函数的导数。 例：（1）求y=x 2cosx 的导数 分析：此题就是简单的积的求导，在此过程中要注意x 2与cosx 这两个基本函数的导数公式。 解：y '=2(cos )x x ' =2()cos x x '+2(cos )x x ' =22cos sin x x x x - (2) 求y=(x 2 解：y ' =2[(x '+ =2(1)x + 2(x + =2 21x + =251x +

利用此法则需要注意：（1）必须是f(x)、g(x)可导的 （2）要正确掌握应用此公式，不要用错此法则， 如： [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ （3）此题的关键是要正确的掌握基本初等函数的导数公式。如：y=c y=x n y=a x y=sinx 等 （二）、要灵活的应用法则以简便的方法求解 例：求2311()y x x x x =++的导数 分析：直接应用积的求导法则时，中间有一个和的求导法则，若我们把此题的式子进行一下化简，那么此题将会是直接的和的求导法则。 解：法一：应用积的求导法则 22331111()()y x x x x x x x x '''=+++++ =3x 2 - 32x 法二：应用和的求导法则 3211y x x =++ 所以2323y x x '=- 显然法二相对来说比较简单明了。 （三）、若f(x)g(x)中，f(x)g(x)有一个为常数，则此求导法则为： 常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数

函数的求导法则解析

第二节 函数的求导法则 教学目的：1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则； 2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则； 3使学生熟练掌握初等函数的求导公式。 教学重点：初等函数的求导公式、复合函数的求导法则 教学过程： 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1：若函数)(x u 和)(x v 在点0x 都可导，则)()()(x v x u x f ±=在0x 点也可导，且 )()()(000x v x u x f '±'='。 证明：0 0000)] ()([)]()([lim )()(lim 00 x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x -±-±=--→→ =0 000)()(lim )()(lim 00x x x v x v x x x u x u x x x x --±--→→=)()(00x v x u '±' 所以)()()(000x v x u x f '±'='。 注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。 2：本定理的结论也常简记为v u v u '±'='±)(。 定理2：若)(x u 和)(x v 在0x x =点可导，则)()()(x v x u x f =在0x 点可导，且有 )()()()()(00000'+'='x v x u x v x u x f 。 证明：0 0000) ()()()(lim )()(lim 00 x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x --=--→→ =0 0000) ()()()()()()()(lim 0x x x v x u x v x u x v x u x v x u x x --+-→ =0 0000) ()()(lim )()()(lim 00x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x --+--→→ =0 0000) ()(lim )()(lim )()(lim 000x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x x x --+--→→→

第四节 多元复合函数的求导法则

第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 d z z d u z d v d t u d t v d t ?? = + ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f z u v u v u v εε???= ?+ ?+?+??? 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 1 2z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→ →??， 所以 0l i m t d z z f d u f d v d t t u d t v d t ?→??? ==+???，即 d z f d u f d v z d u z d v d t u d t v d t u d t v d t ?? ? ?= + =+????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??= + ??两端除以d t 得到 的，常将 d z d t 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 d z z d u z d v z d w d t u d t v d t w d t ?? ? = + +?? ? 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dt du ．

函数的和、差、积、商的求导法则

一、授课题目：函数的和、差、积、商的求导法则 二、目的要求 教学目的：介绍函数的和、差、积、商的求导法则。 教学要求：要求学生熟练掌握函数的求导法则，能运用求导法则进行函数导数的计算及解决实际问题。 三、重点、难点 教学重点：理解掌握函数的和、差、积、商的求导法则。 教学难点：函数的求导法则的证明。 四、授课内容 函数的和、差、积、商的求导法则 定理1. 如果函数()u u x =及()v v x =都在点x 具有导数，那么()u x 及()v x 的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x 可导，且 （1）[()()]()()u x v x u x v x '''±=± （2）[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+ （3）2()()()()()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x '''??-=≠???? 下面分三部分加以证明，并同时给出相应的推论和例题。 （1）[()()]()()u x v x u x v x '''±=± 证：设()()()f x u x v x =±，则 0()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 0[()()][()()]lim x u x x v x x u x v x x ?→+?±+?-±=? 0[()()][()()]lim x u x x u x v x x v x x ?→+?-±+?-=? 00()()()()lim lim x x u x x u x v x x v x x x ?→?→+?-+?-=±??

学法心得

在前一阶段的学习中，我主要是从法律的历史渊源以及总体框架入手，了解了中国的法律体系的相关知识，下面我对我这一阶段学习的情况做一个总结，重点说说自己学法的一些心得体会，不当之处请各位领导和同事批评指正。 首先第一点，简单说一下我国法律发展的历史。 我国的法律历史源远流长，最早的一部法律可以追溯到夏朝，距今已有四千多年的历史，由于处于奴隶社会，所以当时的法律神权色彩极为强烈，到后来的封建社会，重刑、严刑思想占了法律体系的主导地位，法律逐步走向残酷，例如我们都知道的中国历史上最严酷的死刑－凌迟，就出现在这一时期的宋朝，到清末变法，标志着中国近代法律的开始，这一阶段的法律主要体现了废除旧法，提倡男女平等的思想。而在我们所处的当代，我们所说的法律，用通俗的话讲就是为了维护正常的社会秩序，保障正常的人身权利、自由，保护公民、法人或者其他组织的合法权益而制定的一种约束性的、规范性的、惩戒性的条文。由此可见，法律与我们的日常生活是息息相关的。 第二点，简单介绍一下我国现行的法律情况。 改革开放以来，随着我国与世界交往的日益频繁，加上我国自主择业以及流动人口的激增，矛盾的发生与日俱增，不可避免的出现了各种因矛盾而导致的纠纷、损害和诉讼，要合理的、合程序的、合乎规范的来解决各种各样的的问题，就必须依靠法律手段来实现。 为解决社会中出现的一系列问题，也为了更好地维护社会稳定，自九届全国人大以来，全国人大及其常委会共制定了近60件法律和有关法律问题的决定，其中构成有中国特色社会主义法律体系的7个法律部门中基本的、主要的法律大多已制定出来。这7个法律部门是：宪法及宪法相关法、民法商法、行政法、经济法、社会法、刑法、诉讼与非诉讼程序法。可以说我国现行法律体系主要就是有这七种部门的法律构成，但是在谈到对我国法律体系所应包含的具体内容时，社会上却存在分歧，主要有以下两种观点： 一种观点认为，我国的法律体系应该只包括宪法和法律，不包括其它规范性文件，也就是说法律体系只应当是由法律规范所构成的体系。另一种观点认为：我国的法律体系不仅包括宪法和法律、行政法规，还包括地方性法规、民族自治地方的自治条例和单行条例等规范性文件。 我国的立法法对这个问题作了合理的解释：他的主要意思就是说，法律的制定是为了创设权利义务规范，而行政法规的制定则是为实现法律所创设的规范服务。由此可以看出，我国的法律体系，只能是由法律规范所构成，一般意义上的行政法规、地方性法规、自治条例和单行条例等规范，不能看作是国家法律体系的组成部分。 第三点说说我的心得体会。通过近期的学习，我收获很多，能够对我国法律制度建设的现状有一个客观清醒的认识。体会主要有以下几点， 第一：我觉得对法律知识的学习贵在坚持，我们应该注意时时刻刻学习法律，不要等要用法律的时候才意识到自己法律知识不足，出现那种书到用时方恨少的尴尬局面。 第二：我们学法的目的是为了懂法，而懂法的目的就是为了学会用法。这就需要我们领会法的实质，理解法的内涵精髓。我觉得在学习法律的时候，完全可以联系自身实际，结合自身体会，加以通读、领会和贯穿。虽然有些法律条文不需要一字不落的背下来，但是个中脉络要领会清楚。同时还需要我们日常生活中多听多看、多观察、多积累。

常用的基本求导法则与导数公式

常用的基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且