数学高考复习:导数
经典例题精析
类型一:导数的运算
1.求下列函数的导数:
(1);(2);
(3);(4)
(5)(6)
举一反三:
【变式】求下列函数的导数
(1);(2);
(3);(4);
(5);(6)
类型二:导数的几何意义和物理意义
2.已知曲线C:y=x2,点M(1,1)在C上
(1)求M点处切线的斜率及切线方程;
(2)求过点P(2,2)与曲线y=x2相切的直线方程。
举一反三:
【变式1】曲线在点处的切线方程是_________。
【变式2】已知曲线,曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直,并写出这一点的切线方程。
【变式3】求曲线的分别满足下列条件的切线:
(1)在点的切线;(2)过点的切线;
【变式4】运动曲线的方程为:,求t=3时的速度,加速度。
3.在曲线C:上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线C关于该点对称。
举一反三:
【变式】已知曲线,其中,且均为可导函数,求证:两曲线在公共点处相切。
类型三:函数的单调区间
4.求函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调递增区间。
5.是否存在这样的k值,使函数在区间(1,2)上递减,在(2,∞)上递增,若存在,求出这样的k值;
6.若恰有三个单调区间,试确定的取值范围,并求出这三个单调区间。
举一反三:
【变式1】设恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间。
【变式2】当x>0时,证明不等式:
类型四:函数的极值
7.求函数的极值。
举一反三:
【变式】求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值。
8.已知函数在与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-1,2],不等式恒成立,求c的取值范围。
举一反三:
【变式1】已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值。
(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线的方程。
【变式2】已知函数,当且仅当时,取得极
值,并且极大值比极小值大4.
(1)求常数的值;(2)求的极值。
【变式3】设是函数的一个极值点.
(Ⅰ)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(Ⅱ)设,.若存在使得成立,求的取值范围.
类型五:函数的最值
9.求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值。
10.已知的最大值为3,最小值为-29,求
的值;
举一反三:
【变式1】设,函数的最大值为1,最小值
为,求常数的值。
【变式2】设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直
线x-6y-7=0垂直,导函数的最小值为-12
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值。
类型六:导数的实际应用
11.如右图所示,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围
成图形中有个内接矩形ABCD,求这个矩形面积的最大值。
举一反三:【变式1】一艘渔艇停泊在距岸9km处,今需派人送信给距渔艇km处的海
岸渔站,如果送信人步行每小时5km,船速每小时4km,问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省?
【变式2】请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1m的正六棱柱,
上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)。试问当帐篷的顶点O
到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?
【变式3】如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长
为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,
上底CD的端点在椭圆上,记CD=2x,梯形面积为S(Ⅰ)求面积S以x为自
变量的函数式,并写出其定义域;
(Ⅱ)求面积S的最大值。