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高三数学精品复习4 函数综合

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高三数学精品复习4 函数综合

1.奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致(在整个定义域内未必单调),推广:函数在其对称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反,推广:函数在其对称轴两侧的单调性相反;此时函数值的大小取决于离对称轴的远近。解“抽象不等式(即函数不等式)”多用函数的单调性,但必须注意定义域。关注具体函数“抽象化”。

[举例1]设偶函数f (x )=log a |x -b |在(-∞,0)上递增,则f (a +1)与f (b +2) 的大小关系是 A.f (a +1)=f (b +2)B.f (a +1)>f (b +2) C.f (a +1)<f (b +2)D.不确定

解析:函数f (x )=log a |x -b |为偶函数,则b=0,f (x )=log a |x |,令g(x)=|x|,函数g(x)(图象为“V ”字形)在(-∞,0)递减,而函数f (x )=log a g(x) 在(-∞,0)上递增,∴0f (b +2),故选B 。

[举例2] 设函数x x x f +=3

)(,若0≤θ≤2

π

时,(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立,则实数m 的取值范围是

解析:此题不宜将msin θ及1-m 代入函数x x x f +=3

)(的表达式,得到一个“庞大”的不等式,因为运算量过大,恐怕很难进行到底。注意到:函数f(x)为奇函数,原不等式等价于:

)1()sin (->m f m f θ,又函数f(x)递增,∴msin θ>m-1对0≤θ≤

2

π

恒成立,分离参变量m (这是求参变量取值范围的通法)得:m<

θ

sin 11

-,(0<1- sin θ≤1,事实上当sin θ=1时

不等式恒成立,即对m 没有限制,所以无需研究),记g(θ)=θ

sin 11

-,则m

又∵0<1- sin θ≤1,∴g(θ)min =1(当且仅当θ=0时等号成立),∴m<1。

[巩固]定义在[-1,a]上的函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x),且在[2,5]上递增,方程f(x)=0的一根为4,解不等式f(3+x)>0

[提高]定义在R 上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=

)

(1

x f ,且f(x)在[-3,-2]上是减函数,又α、β是钝角三角形的两锐角,则下列结论中正确的是: A.f(sin α)>f(cos β) B. f(sin α)

2.关注“分段函数”。分段函数的反函数、值域一般分段求,分段函数的奇偶性、单调性一般要借助于图象。f(x)=max{g(x),h(x)} 、f(x)=min{g(x),h(x)}也是一种分段函数,作出它的图象是研究这类函数的有效途径。 [举例] 对于函数时

当时

当x x x x x x x f cos sin cos sin cos sin )(<≥???=给出下列四个命题:

①该函数的值域为[-1,1] ②当且仅当)(2

2Z k k x ∈+

π时,该函数取得最大值1

③该函数是以π为最小正周期的周期函数 ④当且仅当)(2

322Z k k x k ∈+

<<+π

πππ时,0)(

的命题个数为( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 解析:作出函数y=f(x)在[2π-

,2

3π]上 的图象如右(先分别作函数y=sinx,y=cosx

的图象,观察图象,保留两者中之较“高”者)。 从图象上不难看出:该函数的值域为[-

22,1],当)(2

2Z k k x ∈+=π

π或πk x 2=时函数取得最大值1,该函数是以2π为最小正周期的周期函数,当且仅当

)(2

322Z k k x k ∈+

<<+π

πππ时,0)(

的命题个数为3个,选C 。 [巩固]已知???≥<+-=1,log 1

,4)13()(x x x a x a x f a

是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 取值范围

是。

3.研究方程根的个数、超越方程(不等式)的解(特别是含有参量的)、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质(包括值域)、含有绝对值的函数性质、已知函数值域研究定义域等一般用函数图象(作图要尽可能准确)。 [举例1]若在]2

,

0[π

内有两个不同的实数值满足等式,12sin 32cos +=+k x x 则k 的范围是

解析:x x 2sin 32cos +=2sin(62π

+

x ),∵x ∈]2

,

0[π

,将6

+

x 视为一个角θ,θ∈

[6π,67π],作函数θsin 2=y 在[6π,6

7π]上的图象(注意:无需作函数y =2sin(6

+

x )的图象),容易

看出,当y =k +1∈[1,2)时,函数θsin 2=y 与函数y =k +1的图象有两个交点,此时k ∈[0,1)。

[举例2]不等式ax x >-12

的解集为[1,2),则a 的值为 解析:分别作函数12-=x y 和函数ax y = 的图象如右,(函数12-=

x y 即122=-y x ,

0≥y ,双曲线在x 轴上方的部分)

。 两图象交于M 点,要使不等式解集为[1,2), 则M (2,3),即2

3

=

a 。 [巩固]已知函数f(x)=x 2log 的定义域为[a,b],值域为[0,2],则a,

b 满足: A .a=

41,b=1或 a=1,b=4, B .a=4

1

,1≤b ≤4, O

1

C .

41≤a ≤1,b=4, D. a=41,1≤b ≤4或4

1

≤a ≤1,b=4。 4. 求最值的常用方法:①单调性:研究函数在给定区间内的单调情况是求函数值域的最重要也是最根本的方法。②基本不等式:满足条件“一正、二定、三相等”时方可使用,如果“不相等”,常用函数)0(,>+

=a x

a

x y 的单调性解决。③逆求法:用y 表示x ,使关于x 的方程有解的y 的范围即为值域,常用于求分式函数的值域,判别式法就是其中的一种。 ④换元法:需要把一个式子看作一个整体即可实施换元,“三角换元”是针对“平方和 等于1”实施的,目的多为“降元”;求值域时的换元主要是为了“去根号”。⑤数形结合。

[举例1]已知函数)1(1

2

22->+++=

x x x x y ,则其图象的最低点的坐标是 ( ) A 、(1,2) B 、)2,1(- C 、(0,2) D 、不存在

解析:求函数图象的最低点的坐标即求函数当x 取何值时函数取得最小值,最小值是多少; 此题不宜“逆求”(判别式法),因为⊿≥0不能保证x>-1(这是使用“判别式法”时需特别

注意的)。记x+1=t,(t>0),此时x=t-1,设g(t)=

21

12)1(2)1(22≥+=+=+-+-t

t t t t t t (当且仅当t=1即x=0时等号成立,(注意这里的“换元”实质是“整体化”的具体落实,将需要

“整体化”的部分换成一个变量,比“凑”更具一般性也更易实施),选C 。

[举例2]已知R b a b a ∈=+,,1+

,则ab ab 1

+

的最小值为 解析:本题关注ab 的取值范围,对ab

ab 1

+使用基本不等式,当且仅当ab =±1时等号成立,

事实上:4

1

)2(02=+≤

(0

ab 1

+=t +t 1=g(t ),函数g(t )在(0,41]上递减,∴g(t )min =g(41)=417。

5.求参变量的取值范围通常采用分离参数法,转化为求某函数的值域或最值;也可以整体研

究函数y=f(a,x)的最值。

[举例] 关于x 的方程22x -m2x

+4=0(x<0)有解,求实数m 的取值范围。

解析:令2x =t,(0

-mt+4=0在(0,1)上有解,这里显然不能简单地用判别式处理,因为⊿≥0不能保证方程在(0,1)上有解,还需附加更多的条件才成,繁! 事实上,求参变量范围的问题首先考虑的是“分离参变量”:t

t m 4

+

==)(t g ,所谓方程有解,即m 在函数)(t g 的值域内(这也是解决方程有解问题的通法),∵t ∈(0,1),∴不能使用基本不等式(等号不成立),注意到函数)(t g 在(0,1)上递减,∴)(t g ∈(5,∞+)即m ∈(5,∞+)。

[迁移]若函数f(x)=log a (x 2

-ax+3),(a>0且a ≠1)满足:对任意x 1,x 2,当x 1

a ≤

时,f(x 1)-f(x 2)>0,则实数a 的取值范围是

A.(0,1)∪(1,3)

B.(1,3)

C. (0,1)∪(1,32)

D. (1,32)

简答

1. [巩固] 函数y=f(x)的图象关于x=2对称,得a=5,图示可得1

2

π

,移项得sin α

1,71[ 3. [巩固]D ;

高三理科数学综合测试题附答案

数学检测卷(理) 姓名----------班级----------总分------------ 一. 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 . 1.若集合{}{} 2 ||,0A x x x B x x x ===+≥,则A B = ( ) (A )[1,0]- (B )[0,)+∞ (C ) [1,)+∞ (D) (,1]-∞- 2.直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为( ) (A )0543=++y x (B )0543=-+y x (C )0543=-+-y x (D )0543=++-y x 3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算, 其参考数据如下: 那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确到0.1)为( )。 A .1.2 B .1.3 C .1.4 D .1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f ) ,,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+, 则 )()()(2 2221n x f x f x f +++ 的值等于( ) (A) 2 1 (B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中,1815296a a a ++=则9102a a -= A .24 B .22 C .20 D .-8 6. 执行如图的程序框图,如果输入11,10==b a ,则输出的=S ( ) (A)109 (B) 1110 (C) 1211 (D) 13 12 7. .直线21y x =-+上的点到圆2 2 4240x y x y + +-+=上的点的最近距离是 A B 1+ C 1- D .1 8. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥,{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥,若向区 (第6题)

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D

7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:

()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任

2020-2021高三数学上期末试卷(及答案)(5)

2020-2021高三数学上期末试卷(及答案)(5) 一、选择题 1.在ABC ?中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是 ( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰三角形或直角 三角形 2.若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A . 11 a b > B .a b -> C .22a b > D .33a b < 3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若63 3S S =, 则9 6S S =( ) A .2 B . 73 C .8 3 D .3 4.在等差数列{}n a 中,若10 9 1a a <-,且它的前n 项和n S 有最大值,则使0n S >成立的正整数n 的最大值是( ) A .15 B .16 C .17 D .14 5.已知ABC ?的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、,面积为S ,且 2S =,则A 等于( ) A . 6 π B . 4 π C . 3 π D . 2 π 6.设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥?? +-≥??--≤? 则2z x y =+的最大值为( ) A .2 B .3 C .12 D .13 7.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,前n 项和为n S ,若26442,S 6a S a =-=,则5a = A .4 B .10 C .16 D .32 8.已知数列{}n a 的前n 项和2 n S n n =-,数列{}n b 满足1 sin 2 n n n b a π+=,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,则2017T =( ) A .2016 B .2017 C .2018 D .2019 9.在ABC ?中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若2b c = ,a = 7 cos 8 A = ,则ABC ?的面积为( )

抽象函数、图像、函数零点

函数基本知识 抽象函数: 1. 已知函数()y f x =的定义域为R ,且对任意,a b R ∈,都有()()()f a b f a f b +=+,且当0x >时,()0f x <恒成立. 证明:(1)函数()y f x =是R 上的减函数;(2)函数()y f x =是奇函数. 2. 已知)(x f 在(-1,1)上有定义,且满足),1( )()()1,1(,xy y x f y f x f y x --=--∈有 证明:)(x f 在(-1,1)上为奇函数; 3. 设)(x f 是R 上的函数,且满足1)0(=f ,并且对于任意的实数x ,y 都有 )12()()(+--=-y x y x f y x f 成立,则=)(x f _____________. 4. 已知定义在R + 上的函数()f x 同时满足下列三个条件:① (3)1f =-; ② 对任意x y R +∈、 都有()()()f xy f x f y =+;③0)(,1<>x f x 时. (1)求)9(f 、)3(f 的值; (2)证明:函数()f x 在R + 上为减函数; (3)解关于x 的不等式2)1()6(--

高中数学总结归纳 抽象函数的对称性

抽象函数的对称性 关于抽象函数图象的对称问题,下面给出四种常见类型及其证明。 一、设y f x =()是定义在R 上的函数,若f a x f b x ()()+=-,则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 证明:设点A (m ,n )是y f x =()图象上任一点,即f m n ()=,点A 关于直线x a b = +2的对称点为()A a b m n '+-,。 []∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--== ∴点A'也在y f x =()的图象上,故y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 二、设y f x =()是定义在R 上的函数,则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 证明:设点A (m ,n )是y f a x =+()图象上任一点,即f a m n ()+=,点A 关于直线x b a =-2 的对称点为()A b a m n '--,。 ∵f b b a m f a m n [()]()---=+= ∴点A'在y f b x =-()的图象上 反过来,同样可以证明,函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2 的对称点也在函数y f a x =+()的图象上,故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 说明:可以从图象变换的角度去理解此命题。

易知,函数y f x a b =++? ? ???2与y f x a b =-++?? ?? ?2的图象关于直线x =0对称,由y f x a b =++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--?? ???++?? ????=+22()的图象,由y f x a b =-++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---?? ???++????? ?=-22()的图象,它们的平移方向和长度是相同的,故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 三、设y f x =()是定义在R 上的函数,若f a x c f b x ()()+=--2,则函数y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2,对称。 证明:设点() A m n ,是y f x =()图象上任一点,则f m n ()=,点A 关于点a b c +?? ?? ?2,的对称点为()A a b m c n '+--,2。 []∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222 ∴点A'也在y f x =()的图象上,故y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2,对称 说明:(1)当a b c ===0时,奇函数图象关于点(0,0)对称。(2)易知此命题的逆命题也成立。 四、设y f x =()是定义在R 上的函数,则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -?? ?? ?2,对称。 证明:设点A (m ,n )是y f a x =+()图象上任一点,即f a m n ()+=,点A 关于点b a c -?? ?? ?2,的对称点为()A b a m c n '---,2

2014高中数学抽象函数专题

2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f (x )的定义域是[-2,2],则函数y = f (x+1)+f (x -1)的定义域为 11≤≤-x 。 解:f(x)的定义域是[]2,2-,意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析:已知f(x)的定义域是A ,求()()x f ?的定义域问题,相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习:已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ,求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2:已知函数()x f 3log 的定义域为[3,11],求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析: 已知函数()()x f ?的定义域是A ,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。

高三复习 高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质

高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质 第1课 函数的概念 【基础练习】 1. 设有函数组:①y x = ,y = y x = ,y = ;③y ,y = ;④1(0),1 (0), x y x >?=?-

(3) ()1f x x =+,(1,2]x ∈. 值域是(2,3]. 【范例解析】 例 1.设有函数组:①21 ()1 x f x x -=-,()1g x x =+; ②()f x = , ()g x = ③()f x =()1g x x =-;④()21f x x =-,()21g t t =-.其中表示同一个函数的有 . 例2.求下列函数的定义域:① 12y x =+- ② ()f x = 例3.求下列函数的值域: (1)242y x x =-+-,[0,3)x ∈; (2)2 2 1 x y x =+()x R ∈; (3 )y x =- 【反馈演练】 1.函数f (x )=x 21-的定义域是___________. 2.函数) 34(log 1 )(2 2-+-= x x x f 的定义域为_________________. 3. 函数2 1 ()1y x R x = ∈+的值域为________________. 4. 函数23y x =-+_____________. 5.函数)34(log 25.0x x y -= 的定义域为_____________________. 6.记函数f (x )=1 3 2++- x x 的定义域为A ,g (x )=lg [(x -a -1)(2a -x )](a <1) 的定义域为B . (1) 求A ; (2) 若B ?A ,求实数a 的取值范围.

【易错题】高三数学下期末试卷(带答案)(4)

【易错题】高三数学下期末试卷(带答案)(4) 一、选择题 1.已知在ABC V 中,::3:2:4sinA sinB sinC =,那么cosC 的值为( ) A .14 - B . 14 C .23 - D . 23 2.命题“对任意x ∈R ,都有x 2≥0”的否定为( ) A .对任意x ∈R ,都有x 2<0 B .不存在x ∈R ,都有x 2<0 C .存在x 0∈R ,使得x 02≥0 D .存在x 0∈R ,使得x 02<0 3.已知平面向量a r =(1,-3),b r =(4,-2),a b λ+r r 与a r 垂直,则λ是( ) A .2 B .1 C .-2 D .-1 4.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =u u u v A .3144 AB AC -u u u v u u u v B .1344 AB AC -u u u v u u u v C .3144+AB AC u u u v u u u v D .1344 +AB AC u u u v u u u v 5.设01p <<,随机变量ξ的分布列如图,则当p 在()0,1内增大时,( ) ξ 0 1 2 P 12 p - 12 2 p A .()D ξ减小 B .()D ξ增大 C .() D ξ先减小后增大 D .()D ξ先增大后减小 6.如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为( )

A . 34 B .16 C .1112 D . 2524 7.函数2 ||()x x f x e -=的图象是( ) A . B . C . D . 8.圆C 1:x 2+y 2=4与圆C 2:x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12=0的公共弦的长为( ) A 2B 3 C .22 D .329.某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人,用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数为( ) A .7 B .8 C .9 D .10 10.在ABC V 中,若 13,3,120AB BC C ==∠=o ,则AC =( ) A .1 B .2 C .3 D .4 11.已知锐角三角形的边长分别为2,3,x ,则x 的取值范围是( ) A 513x << B 135x < C .25x << D 55x << 12.样本12310,? ,?,? a a a a ???的平均数为a ,样本12310,?,?,? b b b b ???的平均数为b ,那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ???的平均数为( ) A .()a b + B .2()a b + C . 1 ()2 a b + D . 1 ()10 a b + 二、填空题 13.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2 21y ax a x =+++相切,则a= . 14.如图所示,平面BCC 1B 1⊥平面ABC ,∠ABC =120?,四边形BCC 1B 1为正方形,且AB =BC =2,则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____.

函数的概念与表示复习讲义与习题.doc

第四讲函数的概念与表示 一.知识归纳: 1.映射 ( 1)映射:设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合 A 中的任一个 元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f : A→B。 ( 2)象与原象:如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射,那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象, a 叫做 b 的原象。 注意:( 1)对映射定义的理解。( 2)判断一个对应是映射的方法。 2.函数 ( 1)函数的定义 ①原始定义:设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值与它对应,那么就称y 是 x 的函数, x 叫作自变量。 ②近代定义:设 A 、 B 都是非空的数的集合,f: x→y是从 A 到 B 的一个对应法则,那么从 A 到 B 的映射 f : A→B就叫做函数,记作y=f(x) ,其中 x∈ A,y ∈ B,原象集合 A 叫做函数的定义域,象集合 C 叫做函数的值域。 注意:①C B; ② A,B,C 均非空 ( 2)构成函数概念的三要素:①定义域②对应法则③值域 3.函数的表示方法:①解析法②列表法③图象法 注意:强调分段函数与复合函数的表示形式。 二.例题讲解: 【例 1】下列各组函数中,表示相同函数的是() (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答:选D 点评:判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。 变式:下列各对函数中,相同的是( D ) (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】( 1)集合 A={3,4},B={5,6,7} ,那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是;从B 到 A 的映射的个数是。 ( 2)设集合 A 和 B 都是自然数集合N,映射 f:A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素2n+n,则在映射 f 下,像20 的原象是。 解答:( 1)从 A 到 B 可分两步进行,第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法( 5 或 6 精选

高三综合测试数学试卷

浙江省余杭高级中学高三上学期第二次阶段性检测 数学(理)试题 考生须知: 1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟. 2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名. 3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效. 4. 考试结束, 只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知i z i -=?+)1(,那么复数z 对应的点位于复平面内的( ▲ ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2.设集合{} {} 1log ,0122<=>-=x x B x x A ,则B A 等于(▲ ) A .{|1}x x <- B .{} 20<<-或 3.如果对于任意实数,<>表示不小于的最小整数,例如<1.1>2=,< 1.1->1=-,那么“||1x y -<”是“x y <>=<>”的 ( ▲ ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 4.设数列的前n 项和,则的值为( ▲ ) A .15 B . 16 C .49 D . 64 5.8月在北京召开了国际数学家大会, 会标如图示, 它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为θ, 大正方形面积是1, 小正 方形面积是 251 , 则θθ22cos sin -的值是( ▲ ) A .2524- B .257- C .2524 D .25 7 6.已知非零向量a ,b 满足|a + b | =|a –b |= 23 |a |,则a + b 与a –b 的夹角为( ▲ ) A . 30? B .60? C .120? D .150? 7.设函数2 )()(x x g x f +=,曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为12+=x y ,则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线的斜率为( ▲ ) {}n a 2 n S n =8a

高中数学专题:抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [,-,求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f (x ),同时满足下列条件:① 51 )6(1)2(= =f f ,;② )()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2 )]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在 R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题

高一数学必修①第一章_集合与函数概念讲义

心智家三优教育高一特训营数学教学进度表

¤学习目标:通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;能选择自然语言、图形语言、 集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点: 1. 把一些元素组成的总体叫作集合(set ),其元素具有三个特征,即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来,基本形式为123{,,,,}n a a a a ???,适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法,即用集合所含元素的共同特征来表示,基本形式为{|()x A P x ∈},既要关注代表元素x ,也要把握其属性()P x ,适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示,如自然数集N ,正整数集*N 或 N +,整数集Z ,有理数集Q ,实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于(belong to )与不属于(not belong to ),分别用符号∈、?表示,例如3N ∈, 2N -?. ¤例题精讲: 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合; (2)大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空:已知{|32,}A x x k k Z ==+∈,{|61,}B x x m m Z ==-∈,则有: 17 A ; -5 A ; 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合:(教材P 6 练习题2, P 13 A 组题4) (1)一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合; (2)二次函数24y x =-的函数值组成的集合; (3)反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解,试用列举法表示集合A .

2018届江苏省无锡市普通高中高三上学期期末考试数学试题Word版含答案

无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷 数学 一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置.......上. .) 1.已知集合{1,3}A =,{1,2,}B m =,若A B B =,则实数m = . 2.若复数 312a i i +-(a R ∈,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a = . 3.某高中共有学生2800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为 . 4.已知,{1,2,3,4,5,6}a b ∈,直线1:210l x y +-=,2:30l ax by -+=,则直线12l l ⊥的概率为 . 5.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值为 . 6.直三棱柱111ABC A B C -中,已知AB BC ⊥,3AB =,4BC =,15AA =,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 . 7.已知变量,x y 满足2 42x x y x y c ≥?? +≤??-≤? ,目标函数3z x y =+的最小值为5,则c 的值为 . 8.函数cos(2)(0)y x ??π=+<<的图像向右平移 2 π 个单位后,与函数sin(2)3y x π=-的图像重合,则 ?= . 9.已知等比数列{}n a 满足2532a a a =,且4a ,5 4 ,72a 成等差数列,则12n a a a ???的最大值 为 . 10.过圆2 2 16x y +=内一点(2,3)P -作两条相互垂直的弦AB 和CD ,且AB CD =,则四边形ACBD 的面积为 .

高一数学之抽象函数专题集锦-含详细解析

高一数学之抽象函数专题集锦 一、选择题(本大题共14小题,共70.0分) 1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,则f(?2),f(?π),f(3)的大小顺序是( ) A. B. C. D. 2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x +2)关于x =?2对称,若f(?2)=1,则f(x ?2)≤1的x 的取值范围 是( ) A. [?2,2] B. (?∞,?2]∪[2,+∞) C. (?∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4] 3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3],则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=?1,则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. [0,4] D. [1,3] 5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B. [?3,?1]∪[0,1] C. [?1,0]∪[1,+∞) D. [?1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={ x 2+4x x ≥0 , 4x ?x 2 , x <0 若f(2?a 2)>f(a),则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1) B. (?1 , 2) C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞) D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞) 7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x),且在[1,+∞)上为增函数,则下列关系式正确的是 A. f(?1)0,则f (x 1)+ f (x 2)的值( ) A. 恒为负值 B. 恒等于零 C. 恒为正值 D. 无法确定正负

高中数学抽象函数专题含答案-教师版

抽象函数周期性的探究(教师版) 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征,寻找函数的周期,从而解决问题.以下给出几个命题:命题1:若a是非零常数,对于函数y=f(x)定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=f(x)是周期函数. (1)函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期. (2)函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ,则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期. (3)函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1,则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期. : 命题2:若a、b(a b )是非零常数,对于函数y=f(x)定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b),则f(x)是周期函数,且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a,x=b对称,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a,及点M(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是它的一个周期. 命题3:若a是非零常数,对于函数y=f(x)定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=f(x)是周期函数. (1)若f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=a对称,则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期. (2)若f(x)是定义在R上的奇函数,其图象关于直线x=a对称,则f(x)是周期函数,且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3(1),其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C (2001年全国高考第22题第二问) ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期

数学必修1讲义

第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合得含义: 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成得总体叫做集合(简称为集)。 2、集合得中元素得三个特性: (1)元素得确定性:对于一个给定得集合,集合中得元素就是确定得,任何一个对象或者就是或者不就是这个给定得集合得元素。 (2)元素得互异性:任何一个给定得集合中,任何两个元素都就是不同得对象,相同得对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)元素得无序性:集合中得元素就是平等得,没有先后顺序,因此判定两个集合就是否一样,仅需比较它们得元素就是否一样,不需考查排列顺序就是否一样。 3、元素与集合得关系:2hf7sHC。51kBEbP。 (1)如果 a 就是集合 A 得元素,就说 a 属于A,记作: (2)如果 a 不就是集合 A 得元素,就说 a 不属于A,记作: 4、集合得表示: *用拉丁字母表示集合:A={我校得篮球队员},B={1,2,3,4,5} *常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R (1)列举法:把集合中得元素一一列举出来,写在大括号内。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2} aypYuMZ。0DeBxzM。 (2) 图示法:Venn图 (3) 描述法(数学式子描述与语言描述):把集合中得元素得公共属性描述出来,写在大括号{}内。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素得一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有得共同特征。

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形}90qy1aJ。2fZxY1j。 5、集合得分类: (1)有限集含有有限个元素得集合 (2)无限集含有无限个元素得集合 (3)空集不含任何元素得集合例:{x|x2=-5} 二、集合间得基本关系 1、包含关系 (1)子集:真子集或相等 (2)真子集 2、相等关系:元素相同 两个结论:任何一个集合就是它本身得子集,即A A 对于集合A,B,C,如果 A B, B C ,那么 A C 3、空集 结论:空集就是任何集合得子集,就是任何非空集合得真子集 *集合子集公式:含n个元素得集合子集有2?个,真子集有2?-1个 三、集合得基本运算 1、并集 2、交集 *性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∩B=A, A∩B=B AUA=A, AUΦ=A,AUB=BUA ,AUB包含A, AUB包含B 3、全集与补集 *性质:CU(CUA)=A,(CUA)∩A=Φ,(CUA)∪A=U,(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB),(CuA) U (CuB)= Cu(A∩B)al5t6aw。eN17HuK。 选择补充:集合中元素得个数: 四、函数有关概念

2020-2021高三数学下期末模拟试题(及答案)(21)

2020-2021高三数学下期末模拟试题(及答案)(21) 一、选择题 1.若圆与圆22 2:680C x y x y m +--+=外切,则m =( ) A .21 B .19 C .9 D .-11 2.(1+2x 2 )(1+x )4的展开式中x 3的系数为 A .12 B .16 C .20 D .24 3.一动圆的圆心在抛物线2 8y x =上,且动圆恒与直线20x +=相切,则此动圆必过定点( ) A .(4,0) B .(2,0) C .(0,2) D .(0,0) 4.数列2,5,11,20,x ,47...中的x 等于( ) A .28 B .32 C .33 D .27 5.已知双曲线C :22221x y a b -= (a >0,b >0)的一条渐近线方程为5 2 y x =,且与椭圆 22 1123x y +=有公共焦点,则C 的方程为( ) A .221810 x y -= B .22145 x y -= C .22 154 x y -= D .22 143 x y -= 6.已知当m ,[1n ∈-,1)时,33sin sin 2 2 m n n m ππ-<-,则以下判断正确的是( ) A .m n > B .||||m n < C .m n < D .m 与n 的大小关系不确定 7.在如图的平面图形中,已知1,2,120OM ON MON ==∠=o ,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v 则·BC OM u u u vu u u u v 的值为 A .15- B .9- C .6- D .0 8.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm ),则该柱体的体积(单位:cm 3)是

赋值法解答抽象函数的赋值

赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略 函数是高中数学的重要内容,也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数,称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多,其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑:①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值;②令x=x 2,y=x 1或y=1 x 1,且x 10、y>0时,恒有f(xy)=f(x)+f(y). (1)求证:当x>0时,f(1 x )=﹣f(x);(2)若x>1时恒有f(x)<0,求证:f(x)必有反函数; 解析:(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(1)=0,又令y=1x ,得f(x)+f(1x )=f(x ·1 x )= f(1)=0, ∴当x>0时,f(1 x )=﹣f(x); (2)设x 1>0、x 2>0且x 11,∴f(x 2x 1)<0,又在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x= x 2,y=1 x 1 , ∴f(x 2·1x 1)=f(x 2)+f(1x 1).由(1)得,f(1x 1)=﹣f(x 1),∴f(x 2 x 1 )=f(x 2)﹣f(x 1) <0,∴f(x 2)0时,f(x)>0.试判

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