2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。考试结束后,将本试卷降答题卡一同交回,满分150分,考试用时120分钟
注意事项:
1. 答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填
写清楚,并认真找准条形码上的准考证号,姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。
2. 每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷的答案无效。
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在,每小题给出的四个选项中, 参考公式:
如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式 P (A+B )=P(A)+P(B) S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立,那么 P (A-B )=P(A)-P(B)
一、选择题
(A ){}1,4 (B ){}1,5 (C ){}2,4 (D ){}2,5
【解析】 C :本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。B={3,5},∴ {1,3,5}A B =,∴(){2,4}U C A B =故选 C .
(2)不等式
3
2
x x -+<0的解集为 (A ){}
23x x -<< (B ){}2x x <- (C ){}23x x x <->或 (D ){}
3x x > 【解析】A :本题考查了不等式的解法
∵ 3
02x x -<+,∴ 23x -<<,故选A
(3)已知2
sin 3
α=
,则cos(2)x α-= (A
)3-
(B )19-(C )1
9
(D
)3
【解析】B :本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3,
∴
21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-
(4)函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 (A )y=1
x e
+-1(x>0) (B) y=1
x e
-+1(x>0)
(C) y=1
x e
+-1(x ∈R) (D )y=1
x e -+1 (x ∈R)
【解析】D :本题考查了函数的反函数及指数对数的互化,∵函数Y=1+LN (X-1)(X>1),∴
11ln(1)1,1,1y x x y x e y e ---=--==+
(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-??
≥??+≤?
则z=2x+y 的最大值为
(A )1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C :本题考查了线性规划的知识。
∵ 作出可行域,作出目标函数线,可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点,∴即为(1,1),当1,1x y ==时
max 3
z =
(6)如果等差数列{}n a 中,3a +4a +5a =12,那么1a +2a +?…+7a = (A )14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【解析】C :本题考查了数列的基础知识。
∵
34512
a a a ++=,∴
44a =1271741
7()728
2a a a a a a ++
+=??+==
(7)若曲线2
y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=,则
(A )1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 【解析】A :本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵
2x y x a
a
='=+=,∴ 1a =,(0,)b 在切线10x y -+=,∴ 1b =
(8)已知三棱锥S ABC -中,底面ABC 为边长等于
2的等边三角形,SA 垂直于底面
ABC ,SA =3,那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
(A )
4
(B) 4
(C)
(D) 34
【解析】D :本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ,连结SE ,过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ,连BF ,∵正三角形ABC ,∴ E 为BC 中点,∵ BC ⊥AE ,SA ⊥BC ,∴ BC ⊥面SAE ,∴ BC ⊥AF ,AF ⊥SE ,∴ AF ⊥面SBC ,∵∠ABF 为直线AB 与面SBC 所成角,由正三角形边长3,∴
AE =AS=3,∴
SE=AF=32,∴
3
sin 4ABF ∠=
(9)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有
(A ) 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
【解析】B :本题考查了排列组合的知识
∵先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4个数中选两个放一个信封有
246
C =,余下放入最后一个信封,∴共有
2
4318
C =
(10)△ABC 中,点D 在边AB 上,CD 平分∠ACB ,若CB = a , CA = b , a = 1 ,
b = 2, 则CD =
(A )
13a + 23b (B )23a +13b (C )35a +45b (D )45a +3
5
b 【解析】B :本题考查了平面向量的基础知识
∵ CD 为角平分线,∴ 1
2BD BC AD AC ==,∵ AB CB CA a b =-=-,∴ 222333AD AB a b =
=-,∴ 2221
3333CD CA AD b a b a b =+=+-=+
(11)与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点
(A )有且只有1个 (B )有且只有2个 (C )有且只有3个 (D )有无数个 【解析】D :本题考查了空间想象能力
∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴,以正方体边长为半径的圆柱面上,∴三个圆柱面有无数个交点,
(12)已知椭圆C :22
221x y a b
+=(a>b>0
)的离心率为2,过右焦点F 且斜率为k (k>0)
的直线于C 相交于A 、B 两点,若3AF FB =。则k =
A
B
C S E
F
(A )1 (B
(C
(D )2
【解析】B :
1122(,),(,)
A x y
B x y ,∵ 3AF FB =,∴ 12
3y y =-, ∵
e =
,设
2,a t c ==,b t =,∴ 222
440x y t +-=,直线AB
方程为x sy =。代入消去x ,
∴
222
(4)0s y t ++-=,∴
2
121222,44t y y y y s s +=-=-++,
22222234t y y s -=-=-+,解得212s =
,k =(13)已知α是第二象限的角,tan α=1/2,则cos α=__________
【解析】
5-
:本题考查了同角三角函数的基础知识 ∵
1
tan 2α=-
,∴
cos 5α=-
(14)(x+1/x)9的展开式中,x 3的系数是_________
【解析】84:本题考查了二项展开式定理的基础知识
∵ 9191
()r r r r T C x x -+=,∴ 923,3r r -==,∴ 3
984C =
(15)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的准线l ,过M (1,0)且斜率为的直线与l 相交于
A ,与C 的一个交点为
B ,若
,则p=_________
【解析】2:本题考查了抛物线的几何性质
设直线AB
:y =代入22y px =得2
3(62)30x p x +--+=,又∵ AM MB =,
∴
1
22x p =
+,解得
2
4120p P +-=,解得2,6p p ==-(舍去) (16)已知球O 的半径为4,圆M 与圆N 为该球的两个小圆,AB 为圆M 与圆N 的公共
弦,4AB =,若3OM ON ==,则两圆圆心的距离MN = 。 【解析】3:本题考查球、直线与圆的基础知识
∵ ON=3,球半径为4,∴小圆N
,∵小圆N 中弦长AB=4,作NE 垂直于AB ,
∴
同理可得ME =在直角三角形ONE 中,∵
,ON=3,∴
6EON π
∠=
,
∴
3MON π
∠=
,∴ MN=3
三、解答题;本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分10分)
ABC 中,D 为边BC 上的一点,33BD =,5sin 13B =
,3
cos 5
ADC ∠=,求AD 。
【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由ADC ∠与B ∠的差求出BAD ∠,根据同角关系及差角公式求出BAD ∠的正弦,在三角形ABD 中,由正弦定理可求得AD 。
(18)(本小题满分12分)
已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且
1212
112(
)a a a a +=+,345345111
64()a a a a a a ++=++
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设2
1()n n n
b a a =+
,求数列{}n b 的前n 项和n T 。
【解析】本题考查了数列通项、前n 项和及方程与方程组的基础知识。 (1)设出公比根据条件列出关于
1
a 与d 的方程求得
1
a 与d ,可求得数列的通项公式。
(2)由(1)中求得数列通项公式,可求出BN 的通项公式,由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。 (19)(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1 中,AC=BC , AA 1=AB ,D 为BB 1的中点,E 为AB 1上
的一点,AE=3 EB
1
(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB
1
与CD的公垂线;
(Ⅱ)设异面直线AB
1与CD的夹角为45°,
求二面角A
1-AC
1
-B
1
的大小
【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。
(1)要证明DE为AB1与CD的公垂线,即证明DE与它们都垂直,由AE=3EB1,有DE与BA1平行,由A1ABB1为正方形,可证得,证明CD与DE垂直,取AB中点F。连结DF、FC,证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。
(2)由条件将异面直线AB1,CD所成角找出即为 FDC,设出AB连长,求出所有能求出的边长,再作出二面角的平面角,根据所求的边长可通过解三角形求得。
(20)(本小题满分12分)
如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T
1,T
2
,T
3
,T
4
,电源能通过T
1
,
T 2,T
3
的概率都是P,电源能通过T
4
的概率是0.9,电源能否通过各元件相互独立。已知
T 1,T
2
,T
3
中至少有一个能通过电流的概率为0.999。(Ⅰ)求P;
(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率。
【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率,
(1)设出基本事件,将要求事件用基本事件的来表示,将T1,T2,T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得P。
(2)将MN之间能通过电流用基本事件表示出来,由互斥事件与独立事件的概率求得。(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1。
(Ⅰ)设a=2,求f(x)的单调期间;
(Ⅱ)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围。
【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用,主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。
(1)求出函数的导数,由导数大于0,可求得增区间,由导数小于0,可求得减区间。
(2)求出函数的导数
()
f x
'
,在(2,3)内有极值,即为
()
f x
'
在(2,3)内有一个零点,
即可根据
(2)(3)0
f f
''<
,即可求出A的取值范围。
(22)(本小题满分12分)
已知斜率为1的直线1与双曲线C:
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>相交于B、D两点,且BD的
中点为M(1.3)
(Ⅰ)(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|·|BF|=17证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切。
【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决问题的能力。(1)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于BD两点的中点为(1,3),可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。
(2)利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含A的代数式表示,即可求得A,则A点坐标可得(1,0),由于A在X轴上所以,只要证明2AM=BD即证得。