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北师大版高中数学选修(2-2)-2.2拓展资料:导数几何意义的应用分类解析

北师大版高中数学选修(2-2)-2.2拓展资料:导数几何意义的应用分类解析
北师大版高中数学选修(2-2)-2.2拓展资料:导数几何意义的应用分类解析

导数几何意义的应用分类解析

函数y =f(x)在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起,使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此,用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.下面就导数几何意义的应用分类解析.

一、切线的夹角问题

例1已知抛物线y =x 2﹣4与直线y =x +2相交于A 、B 两点,过A 、B 两点的切线分别为l 1和l 2.(1)求直线l 1与l 2的夹角.

解析:由方程组??? y =x 2﹣4y =x +2,解得A(-2,0),B(3,5),

由y '=2x ,则y '|x =-2=﹣4,y '|x =3=6,设两直线的夹角为θ,

根据两直线的夹角公式,tanθ=|-4-61+(-4)×6

|=1023,所以θ=arctan 1023. 点拨:解答此类问题分两步:第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率;第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号).

二、两条曲线的公切线问题

例2已知抛物线C 1:y =x 2+2x 和C 2:y =-x 2+a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线,称直线l 是C 1和C 2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(1)a 取什么值时,C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;

(2)若C 1和C 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.

解析:(1)函数y =x 2+2x 的导数y '=2x +2,曲线C 1在点P(x 1,x 21+2x 1)处

的切线方程是

y -(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x -x 1),即y =(2x 1+2)x -x 2

1…①,

函数y =-x 2+a 的导数y '=-2x ,曲线C 2在点Q(x 2,-x 2

2+a)处的切线方

程是

y -(-x 22+a)=-2x 2(x -x 2),即y =-2x 2x +x 2

2+a ,…②

如果直线l 是过P 和Q 的公切线,则①式和②式都是直线l 的方程,

所以??? x 1+1=-x 2-x 21=x 22

+a ,消去x 2得方程2x 2

1+2x 1+1+a =0. 当判别式△=4-4×2(1+a)=0时,即a =-12时,解得x 1=-12,此时点P

和Q 重合,

即当a =-12时,C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线的方程为y

=x -14.

(Ⅱ)证明:略

点拨:解答此类问题分三步:第一步分别在两条曲线设出切点,并求出切线方程;第二步根据两个切线方程表示同切线,利用直线重合的条件建立一个二次方程;第三步根据切线的唯一性,结合判别式为零求出结果.

三、切线逆向运算问题

例3已知b >-1,c >0,函数f(x)=x +b 的图象与函数g(x)=x 2+bx +c 的图象相切.求b 与c 的关系式(用c 表示b);

解析:(1)依题意,令f '(x)=g '(x),得2x +b =1,故x =1-b 2,

由于f(1-b 2)=g(1-b 2),得(b +1)2=4c ,∵b >-1,c >0,∴b =-1+2c.

例4曲线y =x 3在点(a ,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴、直线x =a 所围成的三

角形的面积为16,则a =__________________.

解析:y′=3x 2,切线斜率为3a 2,方程为y -a 3=3a 2(x -a ),

当y =0时,x =23a ,当x =a 时,y =a 3,则12·|a 3|·|a -23a|=16,解得a =±1.

点拨:上面两题通过求导,利用导数在某点几何意义求切线斜率的值或相对应的切线方程,建立等式或不等式,进而解决参数问题.

四﹑其它综合问题

例5已知函数f(x)=x 3+x 2,数列{x n }(x n >0)的第一项x n =1,以后各项按如下方式取定:曲线x =f(x)在(x n+1,f (x n+1))处的切线与经过(0,0)和(x n ,f (x n ))

两点的直线平行(如图)求证:当n ∈N*时,(Ⅰ)x 2n +x n =3x 2 n+1+2x n +1;(Ⅱ)(12)

n -1≤x n ≤(12)n -2.

(北师大版)高一数学必修1全套教案

(北师大版)高一数学必修1全套教案

第一章集合 课题:§0 高中入学第一课(学法指导) 教学目标:了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求,了解新课程标准的基本思路,了解高考意向,掌握高中数学学习基本方法,激发学生学习数学兴趣,强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程: 一、欢迎词: 1、祝贺同学们通过自己的努力,进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动, 圆满完成高中三年的学习任务,并祝愿同 学们取得优异成绩,实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了,收获应是:吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学,暂定 一年,… 4、本节课和同学们谈谈几个问题:为什么 要学数学?如何学数学?高中数学知识结

构?新课程标准的基本思路?本期数学教 学、活动安排?作业要求? 二、几个问题: 1.为什么要学数学:数学是各科之研究工具,渗透到各个领域;活脑,训练思维;计算机等高科技应用的需要;生活实践应用的需要。 2.如何学数学: 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点:抓好自学和预习;带着问题认真听课;独立完成作业;及时复习。注重自学能力的培养,在学习中有的放矢,形成学习能力。 高中数学由于高考要求,学习时与初中有所不同,精通书本知识外,还要适当加大难度,即能够思考完成一些课后练习册,教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料,如订阅一份数学报刊,购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构: 书本:高一上期(必修①、②),高一下期(必

修③、④),高二上期(必修⑤、选修系列), 高二下期(选修系列),高三年级:复习资 料。 知识:密切联系,必修(五个模块)+选修系列(4个系列,分别有2、3、6、10个模块)能力:运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念: ①构建共同基础,提供发展平台;②提供多样课程,适应个性选择;③倡导积极主动、勇于探索的学习方式;④注重提高学生的数学思维能力;⑤发展学生的数学应用意识;⑥与时俱进地认识“双基”;⑦强调本质,注意适度形式化;⑧体现数学的文化价值;⑨注重信息技术与数学课程的整合;⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排: 本期学习内容:高一必修①、②,共72课时,

高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题

导数的概念、运算及其几何意义 黑龙江 依兰高中 刘 岩 A 组基础达标 选择题: 1.已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时, (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ,那么正确的说法是( ) A .9.8/m s 是在0~1s 这一段时间内的平均速度 B .9.8/m s 是在1~(1+t ?)s 这段时间内的速度 C .9.8/m s 是物体从1s 到(1+t ?)s 这段时间内的平均速度 D .9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2. 已知函数f ’ (x)=3x 2 , 则f (x)的值一定是( ) A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限,则函数f / (x)的图象是( ) 4.下列求导数运算错误.. 的是( ) A. 20122013x 0132c x ='+)( (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+=')( C. 2x cosx xsinx x cosx +=')( D . 3ln 33x x =')( 5..已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ,则切点的横坐标为( ) A . 2 B . 3 C . 12 D .1 填空题: 1.若2012)1(/ =f ,则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ,x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ,x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= , x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2.函数y=(2x -3)2 的导数为 函数y= x -e 的导数为 A x D C x B

导数的概念和几何意义.doc

题号 ■ ? — 总分 得分 评卷人 得分 绝密★启用前 导数的概念和几何意义 注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷(选择题) 1. 曲线y=2sinx 在点P ( n , 0)处的切线方程为( ) A. y = -2x + 2〃 B. y = 0 C. y — -2x - 2/r D. y = 2x + 2/r 【答案】A 【解析】 试题分析:因为,y=2sinx,所以,y' = 2cosx,曲线y=2sinx 在点P ( n , 0)处的切 线斜率为-2,由直线方程的点斜式,整理得,曲线y 二2sinx 在点P ( n , 0)处的切线 方程为),二一2工+ 2几,选A 。 考点:导数的几何意义 点评:简单题,曲线切线的斜率,等于在切点的导函数值。 2. 若蓦函数),二 /(】)的图像经过点A (:S ),则它在A 点处的切线方程是( ) A. 4x + 4y+ 1 = 0 B. 4x-4y + l = 0 C. 2x-y = 0 D. 2x+ y = 0 【答案】B 【解析】 试题分析:设/(x ) = f ,把人(一,一)代入,得一=一,得。=一,所以j 、(x ) = E=£, 4 4 广(:)=1 ,所以所求的切线方程为y — ! = * — !即4x — 4y +1 = 0 , 选B. 考点:羸函数、曲线的切线. 3. 函数f (x ) = e x cosx 的图像在点(0,/(0))处的切线的倾斜角为() 考试范围:导数的概念和几何意义;考试时间: 100分钟;命题人:张磊

(C) (l,e) (D) (0,2) 7[ 3兀 A 、一 B N 0 C N — D 、1 4 4 【答案】A 【解析】 试题分析:由广⑴= / (cosx — sin X ),则在点(0,/(0))处的切线的斜率k =广 (0) = 1, TT 故倾斜角为一.选A. 4 考点:1.利用导数求切线的斜率;2.直线斜率与倾斜角的关系 4. 曲线y = b 在点(2,疽)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) 2 A. * B. 2e 2 C. 4e 2 D.— 2 【答案】D 【解析】 试题分析:?.,点(2,疽)在曲线上,..?切线的斜率k = y x _2 = e x x _2 = e 2 , ..?切线的方程为y —疽=疽(工—2),即e 2 x-y-e 2 =0, 两坐标轴的交点坐标为 (0,-乃,(1,0), 考点:1.利用导数求切线方程;2.三角形面积公式. 5.曲线= e v 在点A 处的切线与直线x —y + 3 = 0平行,则点月的坐标为( ) (A) (-l,e _,) (B) (0,1) 【答案】B 【解析】 试题分析:直线x —y + 3 =。的斜率为1,所以切线的斜率为1, B|J k = y , = e x ^=} 解得%0=0,此时y = e° = \ ,即点A 的坐标为(0,1). 考点:导数的几何意义. 6.设|1】|线),=史在点(3,2)处的切线与直线” + y + l = 0垂直,则。等于( ) %-1 A. 2 B. — C. — D. — 2 2 2 【答案】D 【解析】 试题分析:由y = - => y'= ~~ = ------ 曲线y =三口 在点(3,2)处 , A-1 . (X-1)- (X-1)- ? X-1

导数的概念及其几何意义教案

§2 导数的概念及其几何意义 第四课时 导数的几何意义习题课 一、教学目标:会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。 二、教学重点:曲线上一点处的切线斜率的求法 教学难点:理解导数的几何意义 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、复习:导数的几何意义:函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点(x 0,)(0x f )处的切线的斜率。 (二)、探究新课 例1、在曲线34x y =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件: (1)平行于直线y =x +1; (2)垂直于直线2x -16y +1=0; (3)倾斜角为135°。 解:设点坐标为(0x ,0y ),则 202002020202020) (48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?--=??+?-?-=?-?+=?? ∴当Δx 趋于0时,30 400088)(x x x x f -=-='。 (1)∵切线与直线y =x +1平行。 ∴1)(0='x f ,即1830 =-x , ∴20-=x ,10=y 。 即P (―2,1)。 (2)∵切线与直线2x -16y +1=0垂直, ∴1)16 2(·)(0-=--'x f ,即181·830-=-x ,

∴10=x ,40=y 。 即P (―1,4)。 (3)∵切线倾斜角为135°, ∴1135tan )(00-=='x f ,即1830 -=- x , ∴20=x ,10=y 。 即P (2,1)。 例2、求曲线1)(3+==x x f y 过(1,1)点的切线的斜率。 解:设过(1,1)点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ,则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?+=??+?+?=?+-+?+=?? 当Δx 趋于0时, 2003)(x x f =', 由导数的几何意义可知,曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ① 又过(1,1)点的切线的斜率1 11030--+=x x k ② ∴由①②得:130302 -=x x x 解得:00=x 或230=x ,∴0=k 或427=k , ∴曲线13+=x y 过(1,1)点的切线的斜率为0或427。 例3、如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2() 4.9 6.510h x x x =-++,根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况. 解:我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线,刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴,所以,在0t t =附近曲线 比较平坦,几乎没有升降. (2) 当1t t =时,曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<,所以,在1t t =附近

高中数学目录——北师大版

北师大版高中数学必修一 ·第一章集合 · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算 ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性 · 4、二次函数性质的再研究 · 5、简单的幂函数 ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数 · 4、对数 · 5、对数函数 · 6、指数函数、幂函数、对数函数增·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图 · 3、直观图 · 4、空间图形的基本关系与公理· 5、平行关系 · 6、垂直关系 · 7、简单几何体的面积和体积 · 8、面积公式和体积公式的简单应用·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动:随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征

· 6、用样本估计总体 · 7、统计活动:结婚年龄的变化· 8、相关性 · 9、最小二乘法 ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计 · 3、排序问题 · 4、几种基本语句 ·第三章概率 · 1、随机事件的概率 · 2、古典概型 · 3、模拟方法――概率的应用 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数 · 2、角的概念的推广 · 3、弧度制 · 4、正弦函数 · 5、余弦函数 · 6、正切函数 · 7、函数的图像 · 8、同角三角函数的基本关系 ·第二章平面向量 · 1、从位移、速度、力到向量 · 2、从位移的合成到向量的加法· 3、从速度的倍数到数乘向量 · 4、平面向量的坐标 · 5、从力做的功到向量的数量积· 6、平面向量数量积的坐标表示· 7、向量应用举例 ·第三章三角恒等变形 · 1、两角和与差的三角函数 · 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数 · 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用 北师大版高中数学必修五 ·第一章数列 · 1、数列的概念 · 2、数列的函数特性 · 3、等差数列

高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书( A 版)数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》,《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后,过渡到瞬时变化率,从而得出导数的概念,再从平均变化率的几何意义,迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一,是从生产技术和自然科学的需要中产生的,它深刻揭示了函数变化的本质,其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用,而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中,导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看,导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点,是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具, 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看,导数是函数一章学习的延续和深化,也是对极限知识的发展, 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础, 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度,因此,先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度, 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型, 并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学生认知规律的. 而在第一课时平均变化率的学习中,课本给出了一个思考,观察函数 )(x f y 的图像,平均变化x y 表示什么?这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此,在将瞬时变化率定义为导数之后, 立即让学生继续探索导数的几何意义,学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知,解析式抽象三个角度认识导数的含义,应用导数的定义求简单函数在某点处的导数, 掌握求导数的基本步骤,初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力,通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观

《导数的概念与几何意义》导学案

第1课时 导数的概念与几何意义 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n=1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么? 问题1:根据创设的情境,割线PP n 的变化趋势是 . 问题2:导数的概念与求法: 我们将函数f (x )在x=x 0处的瞬时变化率称为f (x )在x=x 0处的导数, lim Δx→0 f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx 即有f'(x 0)==,所以求导数的步骤为:lim Δx→0Δy Δx lim Δx→0f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (1)求函数的增量:Δy=f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)算比值:=; Δy Δx f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (3)求极限:y'=. | x =x 0lim Δx→0Δy Δx 问题3:函数y=f (x )在x=x 0处的导数,就是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率k=f'(x 0)= 相应的切线方程是: . 问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直

线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点 . 1.下列说法正确的是( ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点  B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点  C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线  D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在 2.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ). A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标 为 . 4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0). 三,课后反思:

北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)

高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一 ·第一章集合(考点的难度不是很大,是高考的必考点) · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算(重点) (2课时) ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性(重点) · 4、二次函数性质的再研究(重点) · 5、简单的幂函数 (5课时) ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数(重点) · 4、对数 · 5、对数函数(重点) · 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性(重点) (3课时) ·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 (2课时) 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图(重点) · 3、直观图(1课时) · 4、空间图形的基本关系与公理(重点) · 5、平行关系(重点)

· 6、垂直关系(重点) · 7、简单几何体的面积和体积(重点) · 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点)(4课时) ·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 (4课时) 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动:随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征(重点) · 6、用样本估计总体 · 7、统计活动:结婚年龄的变化 · 8、相关性 · 9、最小二乘法 (3课时) ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计(重点) · 3、排序问题(重点) · 4、几种基本语句 (2课时) ·第三章概率 · 1、随机事件的概率(重点) · 2、古典概型(重点) · 3、模拟方法――概率的应用(重点、难点) (4课时) 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数

导数的概念及其几何意义

导数的概念及其几何意义 一.教学内容解析 (一)内容结构图 1.章内容结构图 2.单元内容结构图 (二)教学内容解析 1.本章内容解析 本章内容——导数及其应用是众多知识的交汇,是研究函数性质,解决不等式、数列、几何等相关问题的重要工具. 为了描述现实世界中的运动变化现象,在数学中引入了函数.在对函数的深入研究中,数学家创立了微积分,这是具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关:一是已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度,反之,已知物体的加速度作为时间的函数,求速度与路程;二是求曲线的切线;三是求函数的最大值与最小值;四是求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心内容之一,是现代数学的基本概念,蕴含着微积分的基本思想;它定量地刻画了函数的局部变化,是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法 .因而也是解决诸如增长率、

膨胀率、效率、密度、加速度等实际问题的基本工具. 2.本单元内容解析 在本单元——导数的概念及其意义中,学生将通过实际情境,经历用平均变化率和瞬时变化率刻画实例的过程,感受数学的极限思想,抽象生成导数的概念,并通过函数图像直观感受导数的几何意义,感受“以直代曲”的极限思想.能够用导数的概念解释生活中的现象,体会用导数的知识研究函数的思想方法.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用,体会导数的意义. 本单元设计了三个分讲,共计4课时,分别是章引言与两个变化率问题(2课时),导数的概念及其几何意义(1课时),导数的应用及导函数(1课时). 3. 课时内容解析 本课时内容选自人教社A 版《选修2-2》第一章导数及其应用中第一单元导数的概念及其意义中的单元分讲2——导数的概念及其几何意义,用时1课时. 本课时内容是在学生已经学习了分讲1——章引言和两个变化率问题,即:已经研究了物理学中的平均速度和瞬时速度,几何学中的割线斜率和切线斜率的基础上,通过数学抽象,生成导数的概念及其表达.从“数”的角度理解导数概念的本质就是瞬时变化率.从“形”的角度,类比分讲1中曲线2 ()f x x =在点(0,0)处的切线的斜率就是函数2 ()f x x =在0x =处的导数的几何意义,抽象生成一般曲线()y f x =在0x x =处的导数的几何意义. 通过信息技术,直观感受“以直代曲”的极限思想,感受“数”与“形”的相辅相成.由质疑“切线的原始定义”为出发点,类比分讲1中曲线2 ()f x x =在点(0,0)处的切线定义,抽象生成一般曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线定义. 体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.课时中的两个生活实例,意在引导学生用导数的概念解决 “原油的瞬时变化率”问题,用导数的几何意义解决运动员“高台跳水”不同时刻的变化情况,感受数学源于生活,用于生活的价值.培养学生用数学的眼光观察世界,用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界,提升分析问题、解决问题的能力,提升数学抽象和直观想象的数学核心素养. 基于以上分析,确定本课时的教学重点:抽象生成导数的概念,直观感受导数的几何意义,体会“以直代曲”的极限思想. 二.教学目标设置 (一)本章教学目标

北师大版高中数学课本目录标准版

必修1 第一章集合 §1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集 第二章函数 §1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射 §3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数 对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 第四章函数应用 §1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解 §2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例 必修2 第一章立体几何初步 §1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状

第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式 必修3 第一章统计 §1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的 数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动:结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计 第二章算法初步 §1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句 第三章概率 §1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用 必修4 第一章三角函数 §1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像 从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用

导数的概念、几何意义及其运算

导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 : +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数; ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==; e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1: )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2: )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3: )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u (一)基础知识回顾: 1.导数的定义:函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数,记作)(0/ x f 或0/x x y =,即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个),(b a x ∈, 都对应着一个确定的导数)(/ x f ,从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数,简称导数,也可记作/ y ,即)(/ x f =/ y = x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =,就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值,即0 / x x y == )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; (2).求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; (3).取极限,得导数/ y =x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义:函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。 基础练习: 1.曲线324y x x =-+在点(13), 处的切线的倾斜角为( ) A .30° B .45° C .60° D .120° 2.设曲线2ax y =在点(1,a )处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( ) A .1 B . 1 2 C .1 2 - D .1 -

(精心整理)高中数学导数知识点归纳总结

§14. 导 数 知识要点 1. 导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数, 记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注:①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→

北师大版高中数学必修知识点总结

北师大版高中数学必修3知识与题型归纳 第一章《统计》知识与题型归纳复习 (一)、抽样方法 1、简单随机抽样 (1)、相关概念:总体、个体、样本、样本容量。(2)、基本思想:用样本估计总体。 (3)、简单随机抽查概念。一般的,设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本)(N n ≤ ,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽 样。其特点:①总体个数有限;②逐个抽取;③不放回抽样;④等可能抽样。 (4)、抽样方法:①抽签法;②随机数表。 2、系统抽样 (1)、定义:当总体元素个数很大时,样本容量不宜太小,这时可将总体分为均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本(等距抽样)。 (2)、步骤:①编号;②分段;③不确定起始个体编号;④按规则抽取。 3、分层抽样 (1)、定义:当总体由差异明显的几部分组成时,为了使抽取的样本更好的反应总体情况,我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分,每一部分叫做层,在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样。 适用特征①总体由差异明显的几部分组成;②分成的各层互不重叠;③各层抽取的比例等于样本客样在总体中的比例,即 N n 。 (二)、用样本的频率分布估计总体的分布(统计图表) 1、列频率分布表,画频率分布直方图: (1)计算极差(2)决定组数和组距(3)决定分点(4)列频率分布表(5)画频率分布直方图 2、茎叶图;3、扇形图; 4、条形图;5、折线图; 6、散点图。 (三)、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、有关概念 (1)、众数:频率分布最大值所对应的样本数据(或出现最多的那个数据)。 (2)、中位数:累积频率为0.5时,所对应的样本数据。 (3)、平均数:)(1 21n x x x n x +++= Λ (4)、三个概念的区别:①都是描述一组数据集中趋势的量,平均数较重要。②平均数的大小与每个数相关。③众数考查各个数据出现的频率,大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,众数更能反映问题,中位数仅与排列有关。 2、样本方差与样本标准差 1样本方差:( )()( )[]2 22212 1 x x x x x x n S n -++-+-=Λ样本方差大说明样本差异和波动性大。 (2)、样本标准差:方差的算术平方根( )()( )[]2 22211 x x x x x x n S n -++-+-= Λ (3)、要有单位,方差的单位是原数据的单位的平方,标准差的单位与原数据单位同。 (四)、变量的相关性: 1、变量与变量之间存在着的两种关系①函数关系:确定性关系。②相关关系:自变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系。

导数的概念及导数的几何意义

§57 导数的概念及导数的几何意义⑴ 【考点及要求】了解导数的概念,理解导数的几何意义,通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。 【基础知识】 1.一般地,函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为,平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢),或说在某个区间上曲线陡峭的程度; 2.不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ,则割线PQ 的斜率为, 设x 1-x 0=△x ,则x 1 =△x +x 0,∴=PQ k ,当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时,割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率,即当△x 无限趋近于0时,x x f x x f k PQ ?-?+=) ()(00无 限趋近点Q 处切线。 3.曲线上任一点(x 0,f(x 0))切线斜率的求法:x x f x x f k ?-?+= ) ()(00,当 △x 无限趋近于0时,k 值即为(x 0,f(x 0))处切线的,记为. 4.瞬时速度与瞬时加速度:位移的平均变化率: t t s t t s ?-?+) ()(00,称为;当无限趋近于0 时, t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数,这个常数称为t=t 0时的;速度的平均变化率: t t v t t v ?-?+)()(00,当无限趋近于0 时,t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数,这个常数 称为t=t 0时的. 【基础练习】 1.已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 . 2.A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】 例1.已知函数f(x)=2x+1, ⑴分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数f(x)的平均变化率; ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ,n]上的平均变化率的特点; 练习:已知函数f(x)=x 2+2x ,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率; ⑴[1,2]; ⑵[3,4]; ⑶[-1,1]; ⑷[2,3] 【课堂检测】 1.求函数()y f x == 在区间[1,1+△x]内的平均变化率

北师大版数学高二-高中数学《导数的计算》教案5 选修2-2

高中数学《导数的计算》教案5 选修2-2 教学目标: 1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式; 2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数. 教学重点:四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式及应用 教学难点: 四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1y x =的导数公式 教学过程: 一.创设情景 我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数()y f x =,如何求它的导数呢? 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数. 二.新课讲授 1.函数()y f x c ==的导数 根据导数定义,因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y x ?→?→?'===? 0y '=表示函数y c =图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0.若y c =表示路程关于时间的函数,则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态. 2.函数()y f x x ==的导数

因为()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim11x x y y x ?→?→?'===? 1y '=表示函数y x =图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数,则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. 3.函数2 ()y f x x ==的导数 因为22 ()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-==??? 222 2()2x x x x x x x x +?+?-==+?? 所以00 lim lim(2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=? 2y x '=表示函数2y x =图像(图3.2-3)上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当0x <时,随着x 的增加,函数2y x =减少得越来越慢;当0x >时,随着x 的增加,函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数,则2y x '=可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x 的瞬时速度为2x . 4.函数1()y f x x ==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==???

高中数学-导数的几何意义及应用

高中数学 导数及其应用复习学案 例2、若函数y f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y f(x)在区间[a,b]上的图象 练习1.如右图:是f (x)的导函数 , 例3、(1)求曲线y 2x 1 在点1,1 处的切线方程。2 5 (2)求抛物线y= x过点一,6的切线方程 2 (C) (A)(B) f/(x) 的图象如右图所示,则 f ( X)的图象只可能是(

练习:若存在过点(1,0)的直线y X 3和y ax 2 15 X 9都相切,则a 等于( ) 4 25 21 _ 7 25 7 . A.-1 或- B. 1 或 C.—或- D.—或 7 64 4 4 64 4 7.曲线y = x 2— 2x + a 与直线y = 3x + 1相切时,常数a 的值是 ____________ . 类型三:利用导数研究函数的单调性 例4、已知a , b 为常数,且 0,函数f (x ) =-ax+b+axInx , f(e)=2 (e=2.71828…是自然对数的底数) (I) 求实数b 的值; (II) 求函数f (x )的单调区间; 例5、已知函数f(x)= ax _1在(一2,+^ )内单调递减,求实数 a 的取值范围 x 2 1 1 练习:若函数y= — x 3— ax 2+ (a — 1) x+1在区间(1, 4)内为减函数,在区间(6, +1 内为增函数,试 3 2 求实数a 的取值范围 类型四:导数与极值 ln x 例6求函数f x 的极值。 x 3 2 2 例7、已知f x x 3ax bx a 在x 2、直线y = a 与函数f(x) = x 3 — 3x 的图象有相异的三个公共点,则求 a 的取值范围。 类型五:导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e (1)求f(x)的单调区间; 1有极值0,求常数a,b 的值 _ 3 2 练习 1、已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是() (A ) -1 v a v 2 (B ) -3 v a v 6 (C ) a v -1 或 a > 2 (D ) a v -3 或 a > 6

导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)

1 导数的概念和几何意义同步练习题 一、选择题 1.若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42 A ,则它在A 点处的切线方程是( ) A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C .20x y -= D. 20x y += 【答案】B 【解析】试题分析:设()a f x x =,把11(,)42A 代入,得1142a =, 得1 2 a =, 所以1 2()f x x = ()f x '= ,1 ()14f '=,所以所求的切线方程为11 24 y x - =-即4410x y -+=,选B.考点:幂函数、曲线的切线. 2.函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、 4π B 、0 C 、4 3π D 、1 【答案】A 【解析】试题分析:由)sin (cos )('x x e x f x -=,则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k , 1.利用导数求切线的斜率; 2.直线斜率与倾斜角的关系 3.曲线x y e =在点2 (2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.2 e B.2 2e C.2 4e D.22 e 【答案】D 【解析】试题分析:∵点2 (2)e ,在曲线上,∴切线的斜率'22 2 x x x k y e e --===, ∴切线的方程为22(2)y e e x -=-,即22 0e x y e --=,与两坐标轴的交点坐标为2 (0,)e -,(1,0), ∴22 1122 e S e =??=.考点:1.利用导数求切线方程;2.三角形面积公式. 4.函数2 ()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A .44y x =- B .44y x =+ C .42y x =+ D .4y = 【答案】A 【解析】 试题分析:由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ,又4)2(=f ,所以切线方程为)2(44-=-x y ,即44-=x y .也可以直接验证得到。考点:导数求法及几何意义 5.曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行,则点A 的坐标为( ) (A )() 1 1,e -- (B )()0,1 (C )()1,e (D )()0,2

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