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【高考讲坛】第3章 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

【高考讲坛】第3章 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
【高考讲坛】第3章 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

[考情展望] 1.利用同角三角函数的基本关系求三角函数值.2.借助诱导公式化简三角函数式,进而求三角函数值.

一、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin 2α+cos 2α=1.

2.商数关系:tan α=sin αcos α(α≠π

2+k π,k ∈Z).

二、六组诱导公式

组数

一 二

2k π+

α(k ∈Z)

π+α

-α

π-α

π2

-α π2

+α 正弦 sin α -sin_α -sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α -cos_α cos_α -cos_α sin_α -sin_α

正切

tan α

tan_α

-tan_α

-tan_α

诱导公式记忆口诀

对于角“k π

2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k

为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k 为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号”.

【基础自测】

1.已知cos(α-π)=-5

13,且α是第四象限角,则sin α=( )

A .-1213 B.1213 C.512 D .±1213

2.已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|<π

2,则θ等于( )

A .-π6

B .-π

3

C.π6

D.π3

3.sin 585°的值为( ) A .-

22 B.22 C .-32 D.3

2

4.若cos α=-3

5且α∈????π,3π2,则tan α=( ) A.34 B.43 C .-34 D .-4

3

5.(辽宁高考)已知sin α-cos α=2,α∈(0,π),则sin 2α=( ) A .-1 B .-

22 C.2

2

D .1 6.(广东高考)已知sin ????5π2+α=1

5,那么cos α=( ) A .-25 B .-15 C.15 D.2

5

考向一 [050] 同角三角函数关系式的应用

(1)已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5,则sin 2α-sin αcos α的值是( )

A.25 B .-2

5

C .-2

D .2 (2)(嘉兴模拟)已知α∈????π,3π

2,tan α=2,则cos α=________.

规律方法1 1.利用sin 2α+cos 2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin α

cos α =tan α可以实现角α的弦切互化.

2.注意公式逆用及变形应用:1=sin 2α+cos 2α,sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α. 对点训练 (1)(汕头模拟)若tan α=2,则2sin α-cos α

sin α+2cos α的值为( )

A .0 B.34 C .1 D.5

4

(2)若α∈????π2,π,且sin α=4

5

,则tan α=________.

考向二 [051] 诱导公式的应用

(1)sin 600°+tan 240°的值等于( ) A .-

32 B.32 C.3-12 D.3+12

(2)若sin ????π6-α=1

3,则cos ????π3+α等于( ) A .-79 B .-13 C.13 D.7

9

(3)(潍坊模拟)已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边在直线2x -y =0上,则sin ????

3π2+θ+cos (π-θ)

sin ????π2-θ-sin (π-θ)

=( )

A .-2

B .2

C .0 D.23

规律方法2 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系,选择恰当的公式,向所求角和三角函数进行化归.

2.诱导公式的应用原则:负化正、大化小、小化锐、锐求值.

考向三 [052] sin α±cos α与sin α·cos α的关系

(昌平模拟)已知-π<x <0,sin x +cos x =1

5.

(1)求sin x -cos x 的值; (2)求sin 2x +2sin 2x 1-tan x 的值.

规律方法3 1.第(1)问应注意x 的范围对sin x -cos x 的符号的影响.事实上根据条件可进一步判定x ∈

???

?-π2,0 .2.对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可求,转化公式为(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,体现了方程思想的应用.

对点训练 (威海模拟)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=3-1

2

,则tan θ的值为( ) A .-3或-3

3

B .-33

C .- 3

D .-

32

易错易误之七 拨云见日——三角函数式中“角范围”的信息提取

例题:大纲全国卷)已知α为第二象限角,sin α+cos α=3

3

,则cos 2α=( ) A .-

53 B .-5

9

C.

59 D.5

3

【防范措施】 (1)由sin α+cos α=3

3

,隐含着sin α+cos α>0,即sin α>-cos α,结合α为第二象限角可进一步约束角α的范围.

(2)利用平方关系求三角函数值,开方时应注意三角函数值符号的判断.

例题:若sin θ,cos θ是关于x 的方程5x 2-x +a =0(a 是常数)的两根,θ∈(0,π),则cos 2θ的值为________. 课时限时检测(十八) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、选择题(每小题5分,共30分)

1.全国卷)已知α是第二象限角,sin α=5

13

,则cos α=( )

A .-1213

B .-513 C.513 D.1213

2.若sin θ·cos θ=12,则tan θ+cos θ

sin θ

的值是( )

A .-2

B .2

C .±2 D.1

2

3.(西城模拟)已知sin(3π-α)=-2sin ????π

2+α,则sin αcos α等于( ) A .-2

5

B.2

5 C.25或-25

D .-15

4.(2登期中)若α=11π

3

,则tan αcos α=( )

A.12 B .-12

C .-32 D.3

2

5.已知sin(π-2)=a ,则sin ????

π2-2的值为( )

A .-1-a 2

B .-a

C.1-a 2

D .a

6.若sin α是5x 2-7x -6=0的根,则sin ????-α-3π2sin ???

?3π

2-αtan 2(2π-α)cos ????π2-αcos ????π2+αsin (π+α)

=( )

A.35

B.53

C.45

D.54 二、填空题(每小题5分,共15分)

7.(菏泽模拟)已知sin θ+cos θ=4

3?

???0<θ<π4,则sin θ-cos θ=________.

8.已知tan α=2,则7sin 2α+3cos 2α=________.

9.已知sin ????x +π6=14,则sin ????7π6+x +cos 2???

?5π

6-x =________. 三、解答题(

10.(10分)已知函数f (x )=1-sin ????x -3π2+cos ????x +π2+tan 34

πcos x

.

(1)求函数y =f (x )的定义域; (2)设tan α=-4

3

,求f (α)的值.

11.(12分)已知tan ????α+8

7π=a . 求证:sin ????157π+α+3cos ????α-137πsin ????207π-α-cos ???

?α+227π=a +3a +1.

12.(13分)在△ABC 中,若sin(2π-A )=-2sin(π-B ),3cos A =-2cos(π-B ),求△ABC 的三个内角.

同角三角函数与诱导公式

同角三角函数基本关系 1,平方关系:sin 2α+cos 2α=1; 2,商数关系:tan α=α αcos sin 3,同角三角函数的关系式的基本用途: 根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角三角函数式;证明同角的三角恒等式. 题型一,同角间的计算 利用基本关系计算,开方时注意正负 1,若sin α=45 ,且α是第二象限角,则tan α的值等于( ) A .-43 B.34 C .±34 D .±43 2,化简1-sin 2160°的结果是( ) A .cos160° B .-cos160° C .±cos160° D .±|cos160°| 3,若cos α=-817 ,则sin α=________,tan α=________ 4,若α是第四象限的角,tan α=-512 ,则sin α等于( ) A.15 B .-15 C.315 D .-513 5,若α为第三象限角,则cos α1-sin 2α+2sin α1-cos 2α 的值为( ) A .3 B .-3 C .1 D .-1 6,计算1-2sin40°·cos40°sin40°-1-sin 240° =________。 7,已知8 1cos sin =?αα,则ααsin cos -的值等于( ) A .±34 B .±23 C .23 D .-2 3

8,已知 2cos sin cos sin =-+θθθθ,求θθcos sin ?的值。 9,已知sin α·cos α= 81,且24παπ<<,则cos α-sin α的值是多少? 10,已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π),求值: (1)tan θ; (2)sin θ-cos θ;(3)sin 3θ+cos 3θ。 11,求证: ()x x x x x x x x cos sin 1sin cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+。

三角函数公式大全(很详细)

高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数: ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义

图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中,如下定义六个三角函数: ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式

3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先,sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》)因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(正弦和角公式) 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα(正弦差角公式) 将正弦的和角、差角公式相加,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2(“积化和差公式”之一) 同样地,运用诱导公式cosα=sin(π/2-α),有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是

高中常用三角函数公式大全

高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa

cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin (2kπ+α)= sinα cos (2kπ+α)= cosα tan (2kπ+α)= tanα cot (2kπ+α)= cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin (π+α)= -sinα cos (π+α)= -cosα tan (π+α)= tanα cot (π+α)= cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:

三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导

三角函数诱导公式: 诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n?(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀: “一全正;二正弦;三两切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数; 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积,下面4个也存在这种关系。)。由此,可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanα ?tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα

同角三角函数基本关系式与诱导公式

第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,sin α cos α =tan α;2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2± α,π±α的正弦、余弦、正 切的诱导公式. 知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)sin α cos α =tan__α. 2.三角函数的诱导公式 [常用结论与微点提醒] 1.诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形: (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( ) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( ) (4)若sin(k π-α)=13(k ∈Z ),则sin α=1 3.( ) 解析 (1)对于α∈R ,sin(π+α)=-sin α都成立. (4)当k 为奇数时,sin α=1 3, 当k 为偶数时,sin α=-1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(2018·成都诊断)已知α为锐角,且sin α=4 5,则cos (π+α)=( ) A.-35 B.35 C.-45 D.45 解析 因为α为锐角,所以cos α=1-sin 2α=3 5,所以cos(π+α)=-cos α =-3 5,故选A. 答案 A 3.已知sin ? ????5π2+α =1 5,那么cos α=( ) A.-25 B.-15 C.15 D.25 解析 ∵sin ? ????5π2+α=sin ? ???? π2+α=cos α,∴cos α=15.故选C. 答案 C 4.(必修4P22B3改编)已知tan α=2,则 sin α+cos α sin α-cos α 的值为________. 解析 原式=tan α+1tan α-1=2+1 2-1 =3. 答案 3 5.已知sin θ+cos θ=43,θ∈? ? ???0,π4,则sin θ-cos θ的值为________. 解析 ∵sin θ+cos θ=43,∴sin θcos θ=7 18.

三角函数和差公式练习题

第12课时 三角函数和差公式及辅助角公式 1.函数y=sin (2x+6π)+cos (2x+3 π)的最小正周期和最大值分别为( ) A π,1 B π,2 C 2π,1 D 2π,2 2、)4sin(2cos παα -=-22,则cos α+sin α的值为( ) 3.函数y=sin (x+3π)sin (x+2 π)的最小正周期T 是( ) 4、函数的最小正周期是________ . 5.函数的最大值为 _________________-。 6.已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ=-+-+ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]122ππ -上的值域 7.已知函数f (x )=)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 本小题满分12分)为偶函数,且函数y =f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为 .2π (Ⅰ)美洲f (8 π)的值; (Ⅱ)将函数y =f (x )的图象向右平移 6π个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )的单调递减区间. 8.已知函数。 (Ⅰ)求 的最小正周期: (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值。 2()sin(2)4f x x x π =--sin()cos()26y x x ππ=+-()4cos sin()16f x x x π=+-()f x ()f x ,64ππ??-????

9.已知函数 (1)求 的值; (2)设求的值. 10、已知函数 (1)求的最小正周期和最小值; 11.已知函数f (x )=2cos (x+ 4π)cos (x-4 π)+3sin2x ,求它的值域和最小正周期 12.已知cos ? ???α- π4=14,则sin2α的值为 ( ) A.78 B .-78 C.34 D .-34 13.已知sin ????α-π3=13,则cos ????π6+α的值为 ( ) A.13 B .-13 C.233 D .-233 14.函数f (x )=sin ? ???2x -π4-22sin 2x 的最小正周期是________. 15.y =sin(2x -π3 )-sin2x 的一个单调递增区间是( ) A .[-π6,π3]B .[π12,712π]C .[512π,1312 π] D .[π3,5π6 ] 16.设函数f (x )=22cos(2x +π4)+sin 2x (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期; (2)写出函数f (x )的单调递增区间. 18.已知函数 ()cos cos()3f x x x π=?-. (1)求2()3f π的值; (2) 求对称轴和对称中心; (3) 求使1()4f x <成立的x 的取值集合. 1()2sin(),.36f x x x R π=-∈5()4f π106,0,,(3),(32),22135f a f ππαββπ??∈+=+=???? cos()αβ+73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈()f x

常用的三角函数公式大全

三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A =2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+

tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积

sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = - 2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2

三角函数公式大全81739

三角函数公式大全三角函数定义 函数关系 倒数关系: 商数关系: 平方关系: . 诱导公式 公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系:

公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及与的三角函数值之间的关系: 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数

名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号; (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限: 其中的奇偶是指的奇偶倍数,变余不变试制三角函数的名称变化若变,则是正弦变余弦,正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋,来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角. 以诱导公式二为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终 边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数 值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得 到了诱导公式二. 以诱导公式四为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终 边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负 值.这样,就得到了诱导公式四. 诱导公式的应用:运用诱导公式转化三角函数的一般步骤: 特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角 的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项 数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。

三角函数诱导公式专项练习(含答案)

三角函数诱导公式专项练习 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题 1.() A. B. C. D. 2.的值为() A. B. C. D. 3.已知,则cos(60°–α)的值为 A. B. C. D.– 4.已知,且,则()A. B. C. D. 5.已知sin(π-α)=-,且α∈(-,0),则tan(2π-α)的值为( ) A. B.- C.± D. 6.已知,则=( ) A. B. C. D. 7.已知,,则() A. B. C. D. 8.已知,则() A. B. - C. D. - 9.如果,那么 A. - B. C. 1 D. -1 10.已知,则() A. B. C. D. 11.化简的值是()

A. B. C. D. 12.的值是() A. B. C. D. 13.已知角的终边经过点,则的值等于 A. B. C. D. 14.已知,则() A. B. C. D. 15.已知的值为()A. B. C. D. 16.已知则() A. B. C. D. 17.已知,且是第四象限角,则的值是( ) A. B. C. D. 18.已知sin=,则cos=( ) A. B. C.- D.- 19.已知cos α=k,k∈R,α∈,则sin(π+α)=( ) A.- B. C.± D.-k 20.=( ) A. sin 2-cos 2 B. sin 2+cos 2 C.±(sin 2-cos 2) D. cos 2-sin 2 21.的值为 A. B. C. D. 22.() A. B. C. D.

任意角的三角函数及基本公式

第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 (第课时) 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点:1.任意角三角函数的定义;2.同角三角函数关系式;3.诱导公式。 难点:1.正确选用三角函数关系式和诱导公式;2.公式的理解和应用。 2.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义;3.掌握同角三角函数的基本关系式;4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的,射线旋转开始的位置叫做角的始边,旋转终止的位置叫做角的终边,射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2.弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意:1sin 表示1弧度角的正弦,2sin 表示2弧度角的正弦,它们与?1sin 、?2sin 不是

一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α,则 r l = α (l 为这角所对的弧长,r 为半径)。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的,这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度,1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ,扇形面积为S ,圆心角大小为α弧度,半径为r , 则 αr l = ,α22 1 21r lr S == 。 3.角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角(始边也相同),则 αβ+??=360k (也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈) 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<

三角函数公式及记忆方法

三角函数公式 诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式,就是将角απ ±?)2 (n 的三角函数转化为角α的三角函数。 常用的诱导公式Z k ∈ 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: ααπs i n )2s i n (=+k ααπcos )2cos(=+k ααπt a n )2t a n (=+k ααπcot )2cot(=+k ααπs e c )2s e c (=+k ααπcsc )2csc(=+k 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: ααπs i n )s i n (-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπt a n )t a n (=+ ααπcot )cot(=+ ααπs e c )s e c (-=+ ααπcsc )csc(-=+ 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: ααs i n )s i n (-=- ααcos )cos(=- ααt a n )t a n (-=- ααcot )cot(-=- ααs e c )s e c (=- ααcsc )csc(-=- 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ααπs i n )s i n (=- ααπcos )cos(-=- ααπt a n )t a n (-=- ααπcot )cot(-=- ααπs e c )s e c (-=- ααπcsc )csc( =- 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ααπs i n )2 s i n (-=- ααπcos )2cos(=- ααπt a n )2 t a n (-=- ααπcot )2cot(-=- ααπs e c )2s e c (=- ααπcsc )2csc(-=-

(完整版)三角函数诱导公式一览表(打印)

三角函数有关诱导公式一览表 公式 ) ( tan ) 2 tan( cos ) 2 cos( sin ) 2 sin( .1Z k k k k ∈ ? ? ? ? ? = + = + = + α α π α α π α α π ? ? ? ? ? = + - = + - = + α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .2 ? ? ? ? ? - = - = - - = - α α α α α α tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .3 ? ? ? ? ? - = - - = - = - α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .4 ? ? ? ? ? = - = - α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .5 ? ? ? ? ? - = + = + α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .6 ? ? ? ? ? - = - - = - α α π α α π sin ) 2 3 cos( cos ) 2 3 ( sin .7 口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看先象限 图形 简记结合图形,7组公式可用口诀概括为:“奇变偶不变,符号看象限” 说明①公式的推导思路:前面4组通过找角的终边位置关系—坐标关系—三角函数关系而得出(后面3组通过角的变换,进而借助前面的有关公式转化得到)②各组诱导公式都可用含角度的形式

③在应用诱导公式解题时,基本思路是:“负化正,大化小,化成锐角再求值”。 一定要记清特殊角的三角函数值,根据问题做到准确应用,正确求解。

考研必备三角函数公式

三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为人意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与-α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα

公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。 当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆

同角三角函数基本关系及诱导公式(经典)

§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1. (2)商数关系:sin αcos α =tan α. 2. 下列各角的终边与角α的终边的关系 3.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( × ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角. ( × ) (3)若cos(n π-θ)=13(n ∈Z ),则cos θ=1 3 . ( × ) (4)已知sin θ=m -3m +5,cos θ=4-2m m +5,其中θ∈[π 2,π],则m <-5或m ≥3. ( × ) (5)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=3-12,则tan θ的值为-3或-3 3 . ( × ) (6)已知tan α=-12,则1+2sin αcos αsin 2α-cos 2α 的值是-1 3. ( √ ) 2. 已知sin(π-α)=log 814,且α∈(-π 2,0),则tan(2π-α)的值为 ( ) A .-25 5 B.255 C .±25 5 D. 52 答案 B 解析 sin(π-α)=sin α=log 814=-2 3, 又α∈(-π 2,0), 得cos α=1-sin 2α= 53, tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-sin αcos α=25 5. 3. 若tan α=2,则2sin α-cos α sin α+2cos α 的值为________. 答案 34

三角函数与倍角公式

二倍角公式 sin2A=2sinA?cosA cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2A-1 tan2A=(2tanA)/(1-tan^2A) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina

=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)^2-sin^2a] =4sina(sin^260°-sin^2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/ 2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cos^2a-cos^230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-3 0°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

常用三角函数公式和口诀

常用三角函数公式及口诀 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五:

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意:在做题时,将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 规律总结 上面这些诱导公式可以概括为: 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值,

(完整版)三角函数诱导公式总结

三角函数诱导公式与同角的三角函数 【知识点1】诱导公式及其应用 公式一: sin()-sin αα-=; cos()cos αα-= ; tan()tan αα-=- 公式二: ααπ-sin sin(=+); ααπ-cos cos(=+); ααπtan tan(=+). 公式三: ααπsin sin(=-); ααπ-cos cos(=-); ααπtan tan(-=-) 公式四: sin(2sin παα-=-); cos(2cos παα-=); tan(2tan παα-=-) 公式五: sin( 2π-α) = cos α; cos(2π -α) = sin α. 公式六: sin(2π+α) = cos α; cos(2π +α) =- sin α. 公式七: sin(32π-α)=- cos α; cos(32π -α) = -sin α. 公式八: sin(32π+α) = -cos α; cos(32 π +α) = sin α. 公式九:απαsin )2sin(=+k ; απαcos )2cos(=+k ; απαtan )2tan(=+k .(其中Z ∈k ). 方法点拨: 把α看作锐角 一、前四组诱导公式可以概括为:函数名不变,符号看象限 公式(五)到公式(八)总结为一句话:函数名改变,符号看象限(原函数所在象限) 二、奇变偶不变,符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ +?2 k 或是απ-? 2 k ,符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数,是奇数就改变函 数名,偶数就不变

例1、求值(1)29cos( )6π= __________. (2)0tan(855)-= _______ ___. (3)16 sin()3 π-= __________. 的值。 求:已知、例)sin(2)4cos() 3sin()2cos( , 3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+ 例3、 )2cos()2sin(21++-ππ【 】 A .sin2-cos2 B .cos2-sin2 C .±(sin2-cos2) D .sin2+cos2 例4、下列各式不正确的是【 】 A . sin (α+180°)=-sin α B .cos (-α+β)=-cos (α-β) C . sin (-α-360°)=-sin α D .cos (-α-β)=cos (α+β) 例5、若sin (π+α)+sin (-α)=-m ,则sin (3π+α)+2sin (2π-α)等于【 】 A .-23 m B .-32 m C .23 m D .3 2 m 例6、已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ,满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为【 】 A .5 B .-5 C .6 D .-6 例7、试判断 sin(2)cos() (9tan (5) 2αππαα παπα-+??+- ??? ··cos 为第三象限角)符号 例8、化简3 sin(3)cos()cos(4) 25 tan(3)cos()sin() 22 πααππαπαπααπ-?-?+-?+?- 例9、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π),求 ) sin()2 3sin(2) 2cos(5)sin(α--α-π α-π+α-π 例10、若1sin()3 πθ-= ,求 []cos() cos(2) 3 3 cos()1cos sin()cos()sin() 22 πθθππθθ θπθπθπ+-+ --?-?--+的值. 提示:先化简,再将1sin 3 θ=代入化简式即可.

三角函数诱导公式大全

三角函數誘導公式大全 三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四:

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为:

对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(42π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。 当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k2360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四余弦”. 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”. 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦

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