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平面几何的26个定理

平面几何的26个定理
平面几何的26个定理

高一数学竞赛班二试讲义

第1讲 平面几何中的26个定理

班级 姓名

一、知识点金 1. 梅涅劳斯定理:若直线l 不经过ABC ?的顶点,

并且与ABC ?的三边,,BC CA AB 或它们的延长线

分别交于,,P Q R ,则1BP CQ AR PC QA RB

??= 注:梅涅劳斯定理的逆定理也成立

(用同一法证明)

2. 塞瓦定理: 设,,P Q R 分别是ABC ?的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点,

若,,AP BQ CR 三线共点,则1BP CQ AR PC QA RB

??= 注:塞瓦定理的逆定理也成立

3. 托勒密定理:在四边形ABCD 中,有AB CD BC AD AC BD ?+?≥?,并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时,等式成立。 AB AE AC AD

BC ED AC AD

==?又

4. 西姆松定理:若从ABC ?外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线,

垂足分别为,,D E F ,则,,D E F 三点共线。

西姆松定理的逆定理:从一点P 作,,BC AB CA 的垂线,垂足分别为,,D E F 。若,,D E F 三点共线,则点P 在ABC ?的外接圆上。

5. 蝴蝶定理:圆O 中的弦PQ 的中点M ,过点M 任作两弦AB ,CD ,弦AD 与BC 分别交PQ 于X ,Y ,则M 为XY 之中点。

证明:过圆心O 作AD 与BC 的垂线,垂足为S 、T ,

,OY ,OM ,SM ,MT 。

∽△CMB ∴AM/CM=AD/BC

∵AS=1/2AD ,BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT

又∵∠A=∠C ∴△AMS ∽△CMT

∴∠MSX=∠MTY

∵∠OMX=∠

∴∠OMX+∠OSX=180°

∴O ,S ,X ,M

同理,O ,T ,

∴∠MTY=∠MOY ,∠MSX=∠MOX

∴∠MOX=∠MOY , ∵OM ⊥PQ ∴XM=YM

注:把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立

6. 坎迪定理:设AB 是已知圆的弦,M 是AB 上一点,弦,CD EF

过点M ,连结,CF ED ,分别交AB 于,L N ,则1111LM MN AM MB -=-。 7. 斯特瓦尔特定理:设P 为ABC ?的BC 边上任一点,则有

2222P C B P B P P C A P A B A C B C B C B C B C B C

=?+?-??。 注:斯特瓦尔特定理的逆定理也成立

8.张角定理: 设,,A C B 顺次分别是平面内一点P 所引三条射线,,AB AP AC 上的点,线段,AC CB

对点P 的张角分别为,αβ,且180αβ+<,则,,A C B 三点共线的充要条件是:

sin()sin sin PC PB PA

αβαβ+=+ 9.九点圆定理:三角形的三条高的垂足、三边的中点,以及垂心与顶点的三条连接线段的中点, 共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆,或称欧拉圆。ABC ?的九点圆的圆心是其

外心与垂心所连线段的中点,九点圆的半径是ABC ?的外接圆半径的

12

。 证明:ABC ?的九点圆与ABC ?的外接圆,以三角形的垂心为外位似中心,又以三角形的重心为内位似中心。位似比均为1:2。

10.欧拉线:ABC ?

的垂心H ,重心G ,外心O 三点共线。此线称为欧拉线,且有关系:2HG GO =

11.欧拉公式:设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为R 和r ,则这两圆的圆心距

OI =2R r ≥。

证明:设外心为O ,内心为I ,连结OI ,延长交外接圆于,N P 两点,令d OI =,AI 交

外接圆于L ,则()()2sin 22sin 2

A r R d R d NI IP LI IA L

B IA R Rr A

-+=?=?=?=?= 12.笛沙格定理;在ABC ?和A B C '''?中,若,,AA BB CC '''相交于一点O ,则AB 与AB

'',BC 与B C '',AC 与A C ''的交点,,F D E 共线。

证明:OBC ?和梅尼线B C D '',1OB BD CC B B

DC C O ''??='';OAB ?和梅尼线A B F '',

1OA AF BB A A FB B O

''??=''; OAC ?和梅尼线A C E '',1OC CE AA C C EA A O ''??='',三式相乘,得1BD CE AF DC EA FB

??=。得证 13.牛顿(Newton )定理1:

圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。 证法1:设四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 与内切圆分别切于点E,F,G,H.

首先证明,直线AC,EG,FH 交于一点.设EG,FH 分别交AC 于点I,I'.

显然 ∠AHI‘=∠BFI ’ ,因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'

故 AI'/CI'=AH/CF. 同样可证:AI/CI=AE/CG

又AE=AH,CF=CG. 故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.

从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH 交于一点.

同理可证:直线BD,EG,FH 交于一点. 因此 直线AC,BD,EG,FH 交于一点。

证法2:外四边形为ABCD ,对应内切四边形为EFGH 。连接EG ,FH 交于P 。

下面证明BD 过P 即可。

过D 座EG 的平行线交BA 与S ,过D 做FH 的平行线交BC 于T 。由于弦切角及同位角,角BEG=角CGE=角CDS=角BSD 。所以SEGD 四点共圆,且为等腰梯形。设此圆为圆M ,圆M 与圆O ,内切圆交于EG ,所以其根轴为EG ,同理对圆N ,DHFT ,与圆O 交于HF 。HF 为此两圆的根轴。由根轴定理,只需证明BD 为圆M 与圆N 的根轴即可证明BD ,EG ,HF 共于点P 。

D 在圆M 和圆N 上,所以其为根轴一点。由于SEGD ,和DHFT 为等腰梯形,所以ES=DG ,DH=FT 。由切线长定理,DH=DG ,BE=BF ;所以BE=BF ,ES=FT ,BS=BT 。若B 为圆M 与圆N 的根轴上一点,则BE*BS=BF*BT ,其为割线长。明显等式成立。所以BD 为圆M 与圆N 的根轴,则BD ,EG ,HF 共于点P 。同理AC ,EG ,HF 共于点P 。命题得证。

14.牛顿(Newton )定理2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线。

证明:设四边形ABCD 是⊙I 的外切四边形,E 和F 分别是它的对角线AC 和BD 的中点,连接EI 只需证它过点F ,即只需证△BEI 与△DEI 面积相等。

显然,S △BEI=S △BIC+S △CEI-S △BCE ,而S △DEI=S △ADE+S △AIE-S △AID 。 注意两个式子,由ABCD 外切于⊙I ,AB+CD=AD+BC ,S △BIC+S △AID=1/2*S 四边形ABCD ,S △ADE+S △BCE=1/2*S △ACD+1/2*S △ABC=1/2*S 四边形ABCD

即S △BIC+S △AID=S △ADE+S △BCE ,移项得S △BIC-S △BCE=S △ADE-S △AID ,由E 是AC 中点,S △CEI=S △AEI ,故S △BIC+S △CEI-S △BCE=S △ADE+S △AIE-S △AID ,即S △BEI=△DEI ,而F 是BD 中点,由共边比例定理EI 过点F 即EF 过点I ,故结论

成立。

15.牛顿(Newton)定理3:完全四边形两条对边的延长线的

交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三点共线。这条

直线叫做这个四边形的牛顿线。

证明:四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点

M,AC中点L,EF中点N 取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=Q

R,L,Q共线,QL/LR=EA/AB;M,R,P共线,RM/MP=CD/DE;

N,P,Q共线,PN/NQ=BF/FC。

三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC

QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1

及梅尼线LMN,

PQR

由梅涅劳斯定理的逆定理知L,M,N三点共线。

16.布利安双定理:设一六角形外切于一条圆锥曲线,那么它的三双对顶点的连线共点。在此,提供用初等几何证明外切于圆的情形。

记六边形为ABCDEF外切于圆O,AB,BC,CD,DE,EF,FA上的切点分别是G,H,I,J,K,L.设AB,DC交于X,AF,DE交于Y.则四边形AXDY外切于圆O,切点分别是G,I,J,L。圆外切四边形对边切点连线与主对角线交于一点,有AD,GJ,LI共点(记为点P)。同理,BE,GJ,KH共点(记为点r),CF,LI,KH共点(记为点q则命题可转为证明DP,BR,FQ共点。

17.拿破仑定理:若在任意三角形的各边向外作正三角形。则它们的中心构成一个正三角形。

证明:设等边△ABD的外接圆和等边△ACF的外接圆相交于O;连AO、CO、BO。

∴∠ADB=∠AFC=60°;∵ A、D、B、O四点共圆;A、F、C、O四点共圆;

∴∠AOB=∠AOC=120°;∴∠BOC=120°;∵△BCE是等边三角形

∴∠BEC=60°;∴ B、E、C、O四点共圆;∴这3个等边三角形的外接圆共点。

设等边△ABD的外接圆⊙N,等边△ACF的外接圆⊙M,等边△BCE的外接圆⊙P 相交于O;连AO、CO、BO。∵ A、D、B、O四点共圆;A、F、C、O四点共圆,B、E、C、O四点共圆,∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°;∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°;

∵NP、MP、MN是连心线;BO、CO、AO是公共弦;∴BO⊥NP于X;CO⊥MP于Y;AO⊥NM于Z。

∴X、P、Y、O四点共圆;Y、M、Z、O四点共圆;Z、N、X、O四点共圆;

∴∠N=∠M=∠P=60°;即△MNP是等边三角形。

18.帕斯卡(Pascal)定理:如图,圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G,边BC、EF的延长线交于点H,边CD、FA的延长线交于点K。则H、G、K三点共线。

证明:延长AB、CD、EF,分别交直线CD、EF、AB于M、N、L三点,构成△LMN。

直线BC截LM、MN、NL于B、C、H三点,则…①

直线DE截LM、MN、NL于G、D、E三点,则|LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1…②

直线AF截LM、MN、NL于A、K、F三点,则…③

连BE,则LA·LB=LF·LE,∴…④。同理…⑤,…⑥。

将①②③④⑤⑥相乘,得。

∵点H、G、K在△LMN的边LN、LM、MN的延长线上,∴H、G、K三点共线。

19.蒙日定理(根心定理):平面上任意三个圆,若这三个圆圆心不共线,则三条根轴相交于一点,这个点叫它们的根心;若三圆圆心共线,则三条根轴互相平行。

注:在平面上任给两不同心的圆,则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线,这条线称为这两个圆的根轴。另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴,或者称作等幂轴。

(1)平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线;

(2)若两圆相交,则两圆的根轴为公共弦所在的直线;

(3)若两圆相切,则两圆的根轴为它们的内公切线;

20.莫利定理(Morley's theorem),也称为莫雷角三分线定理:将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

证法一:在△ABR中,由正弦定理,得AR=csinβ/sin(α+β)。不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定理,知c=sin3γ,所以AR= (sin3γ*sinβ)/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2 γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]= 2sinβsinγ(√3cosγ+sinγ)=4sinβsinγsin(60°+γ). 同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β) 在△ARQ中,由余弦定理,得RQ^2 =16sin^2 βsin^2 γ[sin^2 (60+γ)+sin^2 (60°+β)-2sin(60°+γ)*sin(60°+β)cosα]=16sin^2 αsin^2 βsin^2 γ. 这是一个关于α,β,γ的对称式,同理可得PQ^2 ,PR^2 有相同的对称性,故PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形。

证法二:∵AE:AC=sinγ:sin(α+γ),AF:AB=sinβ:sin(α+β),AB:AC=sin3γ:sin3β,∴AE:AF=(ACsin(α+γ)/si nγ):(ABsin(α+β)/sinβ),而sin3γ:sin3β=(sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ):(sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ),

∴AE:AF=sin(60°+γ):sin(60°+β),∴在△AEF中,∠AEF=60°+γ,

同理∠CED=60°+α,∴∠DEF=60°,∴△DEF为正三角形。

21.斯坦纳—莱默斯定理:

如图,已知△ABC中,两内角的平分线BD=CE。求证:AB=AC。

证法①作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC

∵BD=EC,∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF.

设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β,

∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);

∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β); ∴∠FBC=∠CDF,

∵2α+2β<180°,

∴α+β<90°,∴∠FBC=∠CDF>90°

∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上.

设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD,∴CG=FH,BC=FD 连接CF,∵CF=FC,FH=CG,∴Rt△CGF≌△FHC(HL),∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE,∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB,∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC.

证法②设二角的一半分别为α、β ,sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β, ∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0

→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2(α+β)+ sin2α]=0

→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0

→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0 ,

∴sin[(α-β)/2]=0 ∴α=β,∴AB=AC.

证法③用张角定理:2cosα/BE=1/BC+1/AB ,2cosβ/CD=1/BC+1/AC ,

若α>β 可推出AB>AC矛盾!若α<β 可推出AB

证明: 在平面三角形中: (1).三内角皆小于120°的三角形,分别以AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求. (3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合 (1)等边三角形中BP=PC=PA,BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。 (2)当BC=BA但CA≠AB时,BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。

证明 (1)费马点对边的张角为120度。

△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度,得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度,∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度,因此A、P、D三点在同一直线上, 又∠CPB=∠A1DB=120度,∠PDB=60度,∠PDA1=180度,所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M(不与点P重合),连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1

23.等差幂线定理:已知A、B亮点,则满足AP2-BP2=k(k为常数)的点P轨迹是垂直于AB

的一条直线。

24.婆罗摩笈多定理

若圆内接四边形ABCD的对角线相互垂直,则垂直于一边CD且过对角线交点E 的直线EF将AB平分对边。

25.莱莫恩(Lemoine)定理:过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线,分别

和BC、CA、AB所在直线交于P、Q、R,则P、Q、R三点共线。直线PQR称为△ABC的莱莫恩线。

证明:由弦切角定理可以得到:sin∠ACR=sin∠ABC ,sin∠BCR=sin∠BAC

sin∠BAP=sin∠BCA,sin∠CAP=sin∠ABC

sin∠CBQ=sin∠BAC sin∠ABQ=sin∠BCA

所以,我们可以得到:(sin∠ACR/sin∠BCR)*(sin∠BAP/sin∠CAP)*(sin∠CBQ/sin∠ABQ)=1,这是角元形式的梅涅劳斯定理,所以,由此,得到△ABC被直线PQR所截,即P、Q、R共线。

26.清宫定理:设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点,P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F,则D、E、F在同一直线上

证明:设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点,P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F 这时,P、Q两点和D、F、E、三点有如下关系:将三角形的三边或者其延长线作为镜面,则从P点出发的光线照到D点经过BC反射以后通过Q 点,从P点出发的光线照到E点经AC的延长线反射后通过Q点,从P点出发的光线照到F点后通过Q点从而,如果P、Q两点重合,则D、E、F三点成为从P (即Q)点向BC,CA,AB或者它们的延长线所引的垂线的垂足。于是,如果P、Q

两点重合,清宫定理就成为西摩松定理。

我们决定将证明清宫定理的方针确定如下:因为D、E、F三点中,有两点在△ABC 的边上,其余一点在边的延长线上,如证明(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1,则根据梅涅劳斯定理的逆定理,就可证明DEF三点在同一直线上。

首先,A、B、P、C四点在同一圆周上,因此∠PCE=∠ABP

但是,点P和V关于CA对称所以∠PCV=2∠PCE

又因为P和W关于AB对称,所以∠PBW=2∠ABP

从这三个式子,有∠PCV=∠PBW

另一方面,因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角,

所以∠PCQ=∠PBQ 两式相加,有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ

即∠QCV=∠QBW 即△QCV和△QBW有一个顶角相等,

因此S(△QCV)/S(△QBW)=(CV·CQ)/(BW·BQ)

但是CV=CP,BW=BP,所以S(△QCV)/S(△QBW)=(CP·CQ)/(BP·BQ)同理S(△QAW)/S(△QCU)=(AP·AQ)/(CP·CQ)

S(△QBU)/S(△QAV)=(BP·BQ)/(AP·AQ)

于是(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=[S(△QBU)/S(△QCU)]·[S(△QCV)/S(△QAV)]·[S(△QAW)/S(△QBW)] =[S(△QBU)/S(△QAV)]·[S(△QCV)/S(△QBW)]·[S(△QAW)/S(△QCU)] =[(BP·BQ)/(AP·AQ)]·[(CP·CQ)/(BP·BQ)]·[(AP·AQ)/(CP·CQ)] =1

根据梅涅劳斯定理的逆定理,D、E、F三点在同一直线上

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

任意四边形、梯形与相似模型 卜亠\ 模型三蝴蝶模型(任意四边形模型) 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”): D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分,△ AOB面积为1平方千米,△ BOC面积为2平方千米,△ COD勺面积为3平方千米,公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米? 【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米,公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米,所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米 【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:⑴三角形BGC的面积:⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理,S BGC 1=2 3,那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理,AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . (? ??) 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的 1 ,且AO =2 , DO =3,那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:T AO :OC = S ABD: S BDC =1 : 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二:作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求:⑴求A OCF的面积;⑵求A GCE的面积。 【解析】⑴根据题意可知,△BCD的面积为2 4 4 ^16,那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理,EG:FG 二 Sg E:S.COF =2:4 =1:2,所以S.GCE:S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷? S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3

高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理

平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1.塞瓦定理及其证明 定理:在?ABC 内一点P ,该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ,且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点,则有 1AD BE CF DB EC FA ??=. 证明:运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==. 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -, 所以APC BPC S AD DB S ??=.同理可得APB APC S BE EC S ??=,BPC APB S CF FA S ??=. 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=. 注:在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高” A B C D F P

还是“等底”,这样就可以产生出“边之比”. 2.塞瓦定理的逆定理及其证明 定理:在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ,且D 、 E 、 F 均不是?ABC 的顶点,若1AD BE CF DB EC FA ??=,那么直线CD 、AE 、BF 三线共点. 证明:设直线AE 与直线BF 交于点P ,直线CP 交AB 于点D /,则据塞瓦定理有 / / 1AD BE CF D B EC FA ??=. 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=,所以有/ /AD AD DB D B =.由于点D 、D /都在线段AB 上,所以点D 与D /重合.即得D 、E 、F 三点共线. 注:利用唯一性,采用同一法,用上塞瓦定理使命题顺利获证. 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /

平面几何基本定理

. 一.平面几何 1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理)(广义勾股定理)(1)锐角对边 的平方,等于其他两边之平方和,减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍. (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍. 2. 射影定理(欧几里得定理) 3. 中线定理(巴布斯定理)设△ABC 的边BC 的中点为P ,则 有)(22222BP AP AC AB +=+; 中线长:2 222 22a c b m a -+= 4. 垂线定理:2 2 2 2 BD BC AD AC CD AB -=-?⊥ 高 线 长 : C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---= 5. 角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线 段与这个角的两边对应成比例. 如△ABC 中,AD 平分∠BAC ,则AC AB DC BD =;(外角平分线定 理) 角平分线长:2 cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+= (其中 p 为周长一半) 6. 正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===, (其中R 为三角形外接圆半径) 7. 余弦定理:C ab b a c cos 2222 -+= 8. 张角定理:AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin 9. 斯特瓦尔特(Stewart )定理:设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ,则有AB 2 ·DC +AC 2 ·BD -AD 2 ·BC =BC ·DC ·BD 10. 圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一 半.(圆外角如何转化?) 11. 弦切角定理:弦切角等于夹弧所对的圆周角 12. 圆幂定理:(相交弦定理:垂径定理:切割线定理(割线定 理):切线长定理:) 13. 布拉美古塔(Brahmagupta )定理: 在圆内接四边形ABCD 中,AC ⊥BD ,自对角线的交点P 向一边作垂线,其延长线必平分对边 14. 点到圆的幂:设P 为⊙O 所在平面上任意一点,PO =d ,⊙ O 的半径为r ,则d 2-r 2就是点P 对于⊙O 的幂.过P 任作 一直线与⊙O 交于点A 、B ,则PA ·PB = |d 2 -r 2 |.“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线,如果此二圆相交,则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴”.三个圆两两的根轴如果不互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆的“根心”.三个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相交时,三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点. 15. 托勒密(Ptolemy )定理:圆内接四边形对角线之积等于两 组对边乘积之和,即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ,(逆命题成立) .(广义托勒密定理)AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD 16. 蝴蝶定理:AB 是⊙O 的弦,M 是其中点,弦CD 、EF 经过 点M ,CF 、DE 交AB 于P 、Q ,求证:MP =QM . 17. 费马点:定理1等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近 两顶点距离之和等于到另一顶点的距离;不在等边三角形外接圆上的点,到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距 离.定理2 三角形每一内角都小于120°时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是120°,该点到三顶点距离和达到最小,称为“费马点”,当三角形有一内角不小于120°时,此角的顶点即为费马点 18. 拿破仑三角形:在任意△ABC 的外侧,分别作等边△ABD 、 △BCE 、△CAF ,则AE 、AB 、CD 三线共点,并且AE =BF = CD ,这个命题称为拿破仑定理. 以△ABC 的三条边分别向 外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,它们的外接圆⊙C 1 、⊙ A 1 、⊙ B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形,⊙ C 1 、 ⊙A 1 、⊙B 1三圆共点,外拿破仑三角形是一个等边三角形;△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形,⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点,内拿破仑三角形也是一个等边三角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中心 19. 九点圆(Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆):三角形 中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,九点圆具有许多有趣的性质,例如: (1)三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 (2)九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点 (3)三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕 20. 欧拉(Euler )线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心 依次位于同一直线(欧拉线)上. 21. 欧拉(Euler )公式:设三角形的外接圆半径为R ,内切圆半 径为r ,外心与内心的距离为d ,则d 2 =R 2 -2Rr . 22. 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各 边距离的和. 23. 重心:三角形的三条中线交于一点,并且各中线被这个点分 成2:1的两部分;)3 ,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质:(1)设G 为△ABC 的重心,连结AG 并延长交BC

几何五大定理

第一大定理:共角定理(鸟头定理) 即在两个三角形中,它们有一个角相等(互补),则它们就是共角三角形。它们的面积之 比,就是对应角(相等角、互补角)两夹边的乘积之比。 雪帆华数: 这个不建议记,符合这种的直接用,不符合这种的呢?还不如直接记推导的思 路。
2013-5-20 22:15 回复
第二大定理:等积变换定理。 1、等底等高的两个三角形面积相等; 2、两个三角形(底)高相等,面积之比等于高(底)之比。 3、在一组平行线之间的等积变形。
如图所示,S△ACD=S△BCD;反之,如果 S△ACD=S△BCD,则可知直线 AB 平行于 C D。 第三大定理:梯形蝴蝶定理。
这个为了竞赛,不得不记

对,竞赛的数学图形题都是这一类型的题。 任意四边形中,同样也有蝴蝶定理。
2013-5-20 22:15 回复 2013-5-22 13:22 回复
上述的梯形蝴蝶定理,就是因为 AD‖EC 得来的。
如果知道鸟头定理是怎么推导的,这个简直就是小菜。
2013-5-20 22:16 回复
:是的,共角定理。
2013-5-21 12:22 回复
这个很好,尤其是由△ABC 和△ADC 的面积得出对角线的比,对于任意四边形都可以,可 以当个定理来用了。
2013-5-21 19:17 回复
第四大定理:相似三角形定理。 1、相似三角形:形状相同,大小不相等的两个三角形相似; 2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线 相交,所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质:1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比; ②相似三角形周长的比等于相似比;③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有 BC 平行 DE 这样的一对平行线!

平面几何60条著名定理

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理) 2、射影定理(欧几里得定理) 3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2:1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足为L,则AH=2OL 9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线(欧拉线)上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上, 11、欧拉定理:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理:(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式:r=(s-a)(s-b)(s-c)s,s为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理:(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理:P将三角形ABC的边BC内分成m:n,则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理:圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时,连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理:到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P,位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理:设四边形ABCD内接于圆,则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,则△DEF是正三角形,

几何五大模型之二(鸟头定理)

三角形之鸟头模型 共角定理(鸟头模型) 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在△ABC 中,D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上),则 AC AB AE AD AC AE AB AD S S ABC ADE ??=?=?? (夹角两边:大 大小 小??) 即,共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例题讲解: 1、如图,BD 长12厘米,DC 长4厘米,B 、C 和D 在同一条直线上。求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍? 2、如右图,已知在△ABC 中,BE=3AE ,CD=2AD .若△ADE 的面积为1平方厘米.求三角形ABC 的面积. 3、如图在△ABC 中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且AB : AD = 5 : 2,AE :EC = 3: 2, 平方厘米12=?ADE S ,求△ABC 的面积.

4、 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘 米,求ABC △的面积. E D C B A 【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那 么三角形ABC 的面积是多少? E D C B A A B C D E 【巩固】如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面 积是甲部分面积的几倍? 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 5、 如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =, :3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积. E D C B A E D C B A

专题平面几何的四个重要定理

专题平面几何的四个重 要定理 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

竞赛专题讲座06 -平面几何四个重要定理 四个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R,则P、 Q、R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理(塞瓦点) △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R,则AP、BQ、CR共点 的充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题: 1.设AD是△ABC的边BC上的中线,直线CF交AD于F。求 证:。

【分析】CEF截△ABD→(梅氏定理) 【评注】也可以添加辅助线证明:过A、B、D之一作CF的平行线。 2.过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F, 交CB于D。 求证:。 【分析】连结并延长AG交BC于M,则M为BC的 中点。 DEG截△ABM→(梅氏定理) DGF截△ACM→(梅氏定理) ∴===1 【评注】梅氏定理 3. D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上, ,AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4.以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证:AE、 BF、CG相交于一点。

【分析】 【评注】塞瓦定理 5.已知△ABC中,∠B=2∠C。求证:AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D,连结BD。则 CD=DA=AB,AC=BD。 由托勒密定理, AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6.已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证:。(第21届全苏数学竞赛) 【分析】 【评注】托勒密定理 7.△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P,作PE⊥AB于E,延长ED交 AC延长线于F。 求证:BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理(西姆松线) 8.正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的 比为AM:AC=CN:CE=k,且B、M、N共 线。求k。(23-IMO-5) 【分析】 【评注】面积法 9. O为△ABC内一点,分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离,以R a、 R b、R c表示O到A、B、C的距离。

第十九讲平面几何中的几个著名定理

第十九讲平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量,几千年来,人们对几何学进行了深入的研究,现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支.人们从少量的公理出发,经过演绎推理得到不少结论,这些结论一般就称为定理.平面几何中有不少定理,除了教科书中所阐述的一些定理外,还有许多著名的定理,以这些定理为基础,可以推出不少几何事实,得到完美的结论,以至巧妙而简捷地解决不少问题.而这些定理的证明本身,给我们许多有价值的数学思想方法,对开阔眼界、活跃思维都颇为有益.有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美,使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受.下面我们来介绍一些著名的定理. 1.梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus,约公元100年,他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》,着重讨论球面三角形的几何性质.以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中,是证明点共线的重要定理. 定理一直线与△ABC的三边AB,BC,CA或延长线分别相交于X,Y,Z,则 证过A,B,C分别作直线XZY的垂线,设垂足分别为Q,P,S,见图3-98.由△AXQ∽△BXP得

同理 将这三式相乘,得 说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交,而相交在延长线上,同样可证得上述结论,但一定要有交点,且交点不在顶点上,否则定理的结论中的分母出现零,分子也出现零,这时定理的结论应改为 AX×BY×CZ=XB×YC×ZA, 仍然成立. (2)梅内劳斯定理的逆定理也成立,即“在△ABC 的边AB和AC上分别取点X,Z,在BC的延长线上取点Y,如果 那么X,Y,Z共线”.梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线. 例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF,∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D,求证:D,E,F共线. 证如图3-99有 相乘后得

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型 一、 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在ABC △中,,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上,E在AC上),则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明:由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中, ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°, 则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图 ACD BCD S S= △△ ; 反之,如果 ACD BCD S S = △△ ,则可知直线AB平行于CD. ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; ⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. b a S2 S1 D C B A

三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”): ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记:上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系. 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”): ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③S 的对应份数为()2a b +. 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===; ②22:ADE ABC S S AF AG =△△:. 相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下: ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

初中平面几何四个重要定理

初中数学知识重点整理 -平面几何四个重要定理 四个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R,则P、Q、 R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理(塞瓦点) △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R,则AP、BQ、CR共点的 充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题: 1.设AD是△ABC的边BC上的中线,直线CF交AD于F。求证: 。

【分析】CEF截△ABD→(梅氏定理) 【评注】也可以添加辅助线证明:过A、B、D之一作CF的平行线。 2.过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F, 交CB于D。 求证:。 【分析】连结并延长AG交BC于M,则M为BC的中 点。 DEG截△ABM→(梅氏定理) DGF截△ACM→(梅氏定理) ∴===1 【评注】梅氏定理 3. D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上, ,AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4.以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证:AE、BF、 CG相交于一点。

【分析】 【评注】塞瓦定理 5.已知△ABC中,∠B=2∠C。求证:AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D,连结BD。则 CD=DA=AB,AC=BD。 由托勒密定理, AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6.已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证:。(第21届全苏数学竞赛) 【分析】 【评注】托勒密定理 7.△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P,作PE⊥AB于E,延长ED交 AC延长线于F。 求证:BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理(西姆松线) 8.正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比 为AM:AC=CN:CE=k,且B、M、N共线。 求k。(23-IMO-5) 【分析】 【评注】面积法 9. O为△ABC内一点,分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离,以R a、R b、R c表示O到A、B、C的距离。

认识平面几何的61个著名定理

【认识平面几何的61个著名定理,自行画出图形来学习,★部分要求证明出来】 ★1、勾股定理(毕达哥拉斯定理) ★2、射影定理(欧几里得定理) ★3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2:1的两部分 4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 ★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。 ★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC 的外心为O ,垂心为H ,从O 向BC 边引垂线,设垂足不L ,则AH=2OL 9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上, 11、欧拉定理:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇大上定理:(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 ★13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式: ()()()s c s b s a s r ---=,s 为三角形周长的一半 ★14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理:(巴布斯定理)设三角形ABC 的边BC 的中点为P ,则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2) 16、斯图尔特定理:P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段,则有n×AB 2+m×AC 2=BC×(AP 2+mn ) 17、波罗摩及多定理:圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时,连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理:到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n (值不为1)的点P ,位于将线段AB 分成m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上 ★19、托勒密定理:设四边形ABCD 内接于圆,则有AB×CD+AD×BC=AC×BD

平面几何-五大定理及其证明

平面几何定理及其证明 梅涅劳斯定理 1 .梅涅劳斯定理及其证明 定理:一条直线与 ABC 的三边AB BC CA 所在直线分别交于点 D E 、F ,且D E 、F 均 证明:如图,过点C 作AB 的平行线,交EF 于点G. 因为 CG // AB ,所以 CG CF --------------------- ( 1) AD FA 因为 CG // AB ,所以 EC ( 2) DB BE C F ,即得 A D C F EC FA DB EC FA 2.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明 定理:在 ABC 的边AB BC 上各有一点 D E ,在边 AC 的延长线上有一点 F ,若 二、 塞瓦定理 3 .塞瓦定理及其证明 定理:在ABC 内一点P,该点与ABC 的三个顶点相连所在的 三条直线分别交 ABCE 边AB BC CA 于点D E 、F ,且D E 、F 三点均不是 ABC 不是ABC 的顶点,则有 AD BE CF 1 DB EC 由(1)宁(2) DB 可得兀 AD BE CF DB EC FA 1 ,那么,D E 、F 三点共线. 证明:设直线EF 交AB 于点D ,则据梅涅劳斯定理有 AD / BE CF 丽 EC FA 因为AD Bl CF DB EC FA 1,所以有誥 段AB 上,所以点D 与D 重合.即得D 鴿.由于点D D 都在线 E 、F 三点共线. 证明: 运用面积比可得 AD DB S ADP S BDP S ADC S BDC 根据 等 比定理有 S ADP S ADC S ADC S ADP S APC S S BDP BDC S BDC S BDP S

平面几何四个重要定理

竞赛专题讲座-平面几何四个重要定理 重庆市育才中学瞿明强 四个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R,则P、Q、R共线的充要条件是四个重要定理: 。 塞瓦(Ceva)定理(塞瓦点) △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R,则AP、BQ、CR共点的充要条件是 。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 例题:

1.设AD是△ABC的边BC上的中线,直线CF交AD于F。求证:。 【分析】CEF截△ABD→(梅氏定理) 【评注】也可以添加辅助线证明:过A、B、D之一作CF的平行线。 2.过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F,交CB于D。 求证:。 【分析】连结并延长AG交BC于M,则M为BC的中点。DEG截△ABM→(梅氏定理) DGF截△ACM→(梅氏定理) ∴===1 【评注】梅氏定理

3.D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上, ,AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4.以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证:AE、BF、CG相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 5.已知△ABC中,∠B=2∠C。求证:AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D,连结BD。则CD=DA=AB,AC=BD。由托勒密定理,AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理

平面几何的几个重要定理--托勒密定理

托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组 对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之 和). 即:ABCD AB CD AD BC AC BD ?+?≥? 定理:在四边形中,有: ABCD 并且当且仅当四边形内接于圆时,等式成立; () ABCD E BAE CAD ABE ACD AB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC AD BC ED AD BC AC ED AC AD AB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C ∠=∠∠=∠ ??∴=??=? =∠=∠∴?? ∴=??=? ∴?+?=?+ ∴?+?≥? 证:在四边形内取点,使, 则:和相似 又且和相似 且等号当且仅当在上时成立,即当且仅当、、、 一、直接应用托勒密定理 例1如图2,P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合), 求证:PA=PB+PC. 分析:此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,均为 繁冗.若借助托勒密定理论证,则有PA·BC=PB·AC+PC·AB, ∵AB=BC=AC.∴PA=PB+PC. 二、完善图形借助托勒密定理 例2证明“勾股定理”:在Rt△ABC中,∠B=90°,求证:AC2=AB2+BC2 证明:如图,作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD是 圆内接四边形. 由托勒密定理,有AC·BD=AB·CD+AD·BC.① 又∵ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AC=BD.② 把②代人①,得AC2=AB2+BC2. 例3如图,在△ABC中,∠A的平分线交外接∠圆于D,连结BD, 求证:AD·BC=BD(AB+AC). 证明:连结CD,依托勒密定理,有AD·BC=AB·CD+AC·BD. ∵∠1=∠2,∴BD=CD. 故AD·BC=AB·BD+AC·BD=BD(AB+AC). 三、构造图形借助托勒密定理 例4若a、b、x、y是实数,且a2+b2=1,x2+y2=1.求证:ax+by≤1. 证明:如图作直径AB=1的圆,在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB, 使AC=a,BC=b,BD=x,AD=y. 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的. 据托勒密定理,有AC·BD+BC·AD=AB·CD. ∵CD≤AB=1,∴ax+by≤1. 四、巧变原式妙构图形,借助托勒密定理 例5已知a、b、c是△ABC的三边,且a2=b(b +c),求证:∠A=2∠B. 分析:将a2=b(b+c)变形为a·a=b·b+bc,从而联想到托勒密定理,进 而构造一个等腰梯形,使两腰为b,两对角线为a,一底边为c. 证明:如图,作△ABC 的外接圆,以A为圆心,BC为半径作弧交圆于 D,连结BD、DC、DA.∵AD=BC,ACD BDC =∴∠ABD=∠BAC. 又∵∠BDA=∠ACB(对同弧),∴∠1=∠2. 依托勒密定理,有BC·AD=AB·CD+BD·AC.① 而已知a2=b(b+c),即a·a=b·c+b2.② ∴∠BAC=2∠ABC. 五、巧变形妙引线 借肋托勒密定理 例6在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4, 分析:将结论变形为AC·BC+AB·BC=AB·AC,把三角形和圆联系起 来,可联想到托勒密定理,进而构造圆内接四边形. 如图,作△ABC的外接圆,作弦BD=BC,边结AD、CD. 在圆内接四边形ADBC中,由托勒密定理, 有AC·BD+BC·AD=AB·CD 易证AB=AD,CD=AC,∴AC·BC+BC·AB=AB·AC, 1.已知△ ABC 中,∠ B=2∠ C。求证:AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D,连结BD。 则CD=DA=AB,AC=BD。由托勒密定理,AC·BD=AD·BC+CD·AB。 2.ABC BC P BC AC AB PK PL PN BC AC AB PK PL PM ? =+ 由外接圆的弧上一点分别向边、与作垂线、和, 求证:

小学数学几何五大模型教师版

几何五大模型 一、五大模型简介 (1)等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等; 2、两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图①所示,S1:S2=a:b; 3、两个三角形底相等,面积在之比等于高之比,如图②所示,S1:S2=a:b; 4、在一组平行线之间的等积变形,如图③所示,S△ACD=S△BCD;反之,如果S△ACD=S△BCD,则可知直线AB平行于CD。 例、如图,三角形ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点,求三角形DEF的面积。

(2)鸟头(共角)定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形; 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中,D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有:S△ABC:S△ADE=(AB×AC):(AD×AE) 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理! 如图连接BE,根据等积变化模型知,S△ADE:S△ABE=AD:AB、S△ABE:S△CBE=AE:CE,所以S△ABE:S△ABC=S△ABE:(S△ABE+S△CBE)=AE:AC,因此S△ADE:S△ABC=(S△ADE:S△ABE)×(S△ABE:S△ABC)=(AD:AB)×(AE:AC)。 例、如图在ΔABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,△ADE的面积为12平方厘米,求ΔABC的面积。

(3)蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图,梯形ABCD,AB与CD平行,对角线AC、BD交于点O,已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米,求梯形ABCD的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):

高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理

平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1.塞瓦定理及其证明 定理:在?ABC 内一点P ,该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边 AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ,且D 、E 、 F 三点均不是?ABC 的顶点,则有 1AD BE CF DB EC FA ??=. 证明:运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==. 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-===-, 所以APC BPC S AD DB S ??=.同理可得APB APC S BE EC S ??=,BPC APB S CF FA S ??=. 三式相乘得1AD BE CF DB EC FA ??=. 注:在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”,这样就可以产生出“边之比”. 2.塞瓦定理的逆定理及其证明 定理:在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、 A B C D F P

F ,且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点,若1AD BE CF DB EC FA ??=,那么直线CD 、AE 、BF 三线共点. 证明:设直线AE 与直线BF 交 于点P ,直线CP 交AB 于点D /,则 据塞瓦定理有 //1AD BE CF D B EC FA ??=. 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=,所以有//AD AD DB D B =.由于点D 、D /都在线段AB 上,所以点D 与D /重合.即得D 、E 、F 三点共线. 注:利用唯一性,采用同一法,用上塞瓦定理使命题顺利获证. 二、梅涅劳斯定理 3.梅涅劳斯定理及其证明 定理:一条直线与?ABC 的三 边AB 、BC 、CA 所在直线分别交 于点D 、E 、F ,且D 、E 、F 均不 是?ABC 的顶点,则有 1AD BE CF DB EC FA ??=. A B C D F P D / A B C D E F G

平面几何的几个重要的定理

平面几何的几个重要的定理 一、梅涅劳斯定理: 1=??=??B A A C C B C B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度,则:到直线 、、分别是、、证:设 注:此定理常运用求证三角形相似的过程中的 线段成比例的条件; 。 的交点,证明:与是的中点,是上,在点 的平分线,是是斜边上的高,中,:若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠?11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=??RB AR QA CQ ,则 、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点,并且与不经过:若直线定理??CE //BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FC KF EK AE DA CD F E D ACK EP CK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACK EBC BH B EBC ∴?∴= ====??=∴⊥?=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠?????= 依分比定理有:=即:=于是依梅涅劳斯定理有:、、和三点对于,则:上的高作为等腰三角形 即:则:的平分线中,作在证:Θ

1 11 111111111D B D A : C B C A B D AD :BC AC D C B A D C B A K 1=,试证:、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线,另两条直】从点【练习 注:此定理常用于证明三点共线的问题,且常需要多次使用 再相乘; 共线; 、、证明点引的垂线的垂足, 、、向是从点、、的外接圆上;位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2? 三点共线; 、、综上可得:也重合与的延长线上时,同在与类似地可证得当矛盾=这与于是可得即这时设必定重合,不然的话,与线段上,则同在与若的延长线上; 线段上,或者同在或者同在与因此,或边上的点的个数也为三点中,位于、、由于在同一直线上的= ,则:又得: ,于是由定理交于与直线证:设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RB AR B R AR 1RB AR QA CQ 1B R AR QA CQ 1R AB PQ ''' ' ' ' ' ' ''''''''' '> <-<->=??=???PC BP PC BP Θ三点共线; 、、求证:, ,这时若或边上的点的个数为三点中,位于、、三点,并且 上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、:设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RB AR QA CQ =???? C B A 1 A 1 B 1 C 三点共线; 、、依梅涅劳斯定理可知,=可得 且将上面三条式子相乘, 证:易得:1111 1 1111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PAB cos AP BC AC PAC cos AP PCA cos CP AB CB , PCB cos CP PBC cos BP CA BA ???=∠+∠∠=∠∠=∠∠?∠?-=∠?∠?-=∠?∠?-=Θ

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