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2019届人教版八年级数学下册16.1 第1课时 二次根式的概念教案

2019届人教版八年级数学下册16.1 第1课时 二次根式的概念教案
2019届人教版八年级数学下册16.1 第1课时 二次根式的概念教案

16.1 二次根式

第1课时 二次根式的概念

1.能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系,体会研究二次根式的必要性;(难点)

2.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质,会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.(重点)

一、情境导入

问题1:你能用带有根号的式子填空吗?

(1)面积为3的正方形的边长为________,面积为S 的正方形的边长为________.

(2)一个长方形围栏,长是宽的2倍,面积为130m 2,则它的宽为________m.

(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t (单位:s)与落下的高度h (单位:m)满足关系h =5t 2,如果用含有h 的式子表示t ,则t =______.

问题2:上面得到的式子3,S ,65,h

5

分别表示什么意义?它们有什么共同特征?

二、合作探究

探究点一:二次根式的定义

下列各式中,哪些是二次根式,

哪些不是二次根式?

(1)11;(2)-5;(3)(-7)2; (4)3

13;(5)15-1

6

;(6)3-x (x ≤3); (7)

-x (x ≥0);(8)

(a -1)2;

(9)-x 2-5;

(10)(a -b )2(ab ≥0).

解析:要判断一个根式是不是二次根式,一是看根指数是不是2,二是看被开方数是不是非负数.

解:因为11,(-7)2,15-16

=130

,3-x (x ≤3),

(a -1)2,

(a -b )2(ab ≥0)中的根指数都是2,且被开方数为非负数,所以都是二次根式.313的根指数不是2,-5,-x (x ≥0),-x 2-5的被开方数小于0,所以不是二次根式.

方法总结:判断一个式子是不是二次根式,要看所给的式子是否具备以下条件:(1)带二次根号“

”;(2)被开方数是非负

数.

探究点二:二次根式有意义的条件

【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围

求使下列式子有意义的x的取值

范围.

(1)

1

4-3x

;(2)

3-x

x-2

;(3)

x+5

x.

解析:根据二次根式的性质和分式的意

义,被开方数大于或等于0且分母不等于0,

列不等式(组)求解.

解:(1)由题意得4-3x>0,解得x<

4

3.

当x<

4

3时,

1

4-3x

有意义;

(2)由题意得

??

?

??3-x≥0,

x-2≠0,

解得x≤3且

x≠2.当x≤3且x≠2时,

3-x

x-2

有意义;

(3)由题意得

??

?

??x+5≥0,

x≠0,

解得x≥-5且

x≠0.当x≥-5且x≠0时,

x+5

x有意义.

方法总结:含二次根式的式子有意义的

条件:

(1)如果一个式子中含有多个二次根式,

那么它们有意义的条件是各个二次根式中

的被开方数都必须是非负数;(2)如果所给式

子中含有分母,则除了保证二次根式中的被

开方数为非负数外,还必须保证分母不为

零.

【类型二】

利用二次根式的非负性求

(1)已知a、b满足2a+8+|b-3

|=0,解关于x的方程(a+2)x+b2=a-1;

(2)已知x、y都是实数,且y=x-3+

3-x+4,求y x的平方根.

解析:(1)根据二次根式的非负性和绝对

值的非负性求解即可;(2)根据二次根式的非

负性即可求得x的值,进而求得y的值,进

而可求出y x的平方根.

解:(1)根据题意得

?

?

?2a+8=0,

b-3=0,

解得

?

?

?a=-4,

b= 3.

则(a+2)x+b2=a-1,即-2x+3

=-5,解得x=4;

(2)根据题意得

??

?

??x-3≥0,

3-x≥0,

解得x=3.则

y=4,故y x=43=64,±64=±8,∴y x的平

方根为±8.

方法总结:二次根式和绝对值都具有非

负性,几个非负数的和为

0,这几个非负数

都为0.

探究点三:和二次根式有关的规律探究

性问题

先观察下列等式,再回答下列问

题.

①1+112+122=1+11-11+1=112; ②1+122+132=1+12-12+1=116; ③

1+132+142=1+13-13+1=1112

. (1)请你根据上面三个等式提供的信息,写出

1+142+1

5

2的结果; (2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用

含n 的式子表示的等式(n 为正整数). 解析:(1)从三个等式中可以发现,等号右边第一个加数都是1,第二个加数是个分数,设分母为n ,第三个分数的分母就是n +1,结果是一个带分数,整数部分是1,分数部分的分子也是1,分母是前项分数的分母的积;(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子.

解:(1)1+142+152=1+14-1

4+1

=1120

; (2)

1+1n 2+1(n +1)2=1+1n -1n +1

=11

n (n +1)

(n 为正整数). 方法总结:解答规律探究性问题,都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系,通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示

出来.

三、板书设计 1.二次根式的定义

一般地,我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式.

2.二次根式有意义的条件

被开方数(式)为非负数;a 有意义?a ≥0.

通过将新知识与旧知识进行联系与对比,随后由学生熟悉的实际问题出发,用已有的知识进行探究,由此引入二次根式.在教学过程中让学生感受到研究二次根式是

实际的需要,体会到数学与实际生活间的紧密联系,以此充分激发学生学习的兴趣.

(完整)人教版八年级下册二次根式教案

16.1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 (a ≥0 )的意义解答具体题目. 提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 教学重难点关键 1(a ≥0)的式子叫做二次根式的概念; 2(a ≥0 )”解决具体问题. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个课本P2 的三个思考题: 二、探索新知 ,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根(a ≥0)?的式子叫做二 (学生活动)议一议: 1.-1有算术平方根吗? 2.0的算术平方根是多少? 3.当a<0有意义吗? 老师点评: (略) 例 1.下列式子,哪些是二次根式, x>0) 、、、 (x ≥0,y?≥0). 分析”;第二,被开方数是正数 或0 . (x>0、 x ≥0,y ≥0);不是二、. 例2.当x 1 x 1 x y +1x 1x y +

分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0, 才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x ≥ 当x ≥ 三、巩固练习 教材P5练习 1、2、3. 四、应用拓展 例3.当x +在实数范围内有意义? 分析+ 中的≥0和中的x+1≠0. 解:依题意,得 由①得:x ≥- 由②得:x ≠-1 当x ≥- 且x ≠-1+ 在实数范围内有意义. 例4(1)已知 +5,求 的值.(答案:2) (2)=0,求 a 2004+ b 2004的值.( 答案: ) 五、归纳小结(学生活动,老师点评) 本节课要掌握: 1(a ≥0”称为二次根号. 2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 六、布置作业 1.教材P5 1,2,3,4 2.选用课时作业设计. 1 3 1 3 1 1 x +1 1 x +1 1 x +230 10 x x +≥??+≠?32 3211 x +x y 25

二次根式的概念及性质教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科:_____________ 任教年级:_____________ 任教老师:_____________ xx市实验学校

5.1.1二次根式的概念及性质 (第1课时) 教学内容: 二次根式的概念及其运用 教学目标: (a ≥0)的意义解答具体题目. 提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 教学重难点关键: 1.重点:形如a ≥0)的式子叫做二次根式的概念; 2a ≥0)”解决具体问题. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,甲这次射击的方差是S 2,那么S=_________. 老师点评: 由方差的概念得. 二、探索新知 ,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的 a ≥0)?的式子叫做二次根式, (学生活动)议一议: 1.-1有算术平方根吗? 2.0的算术平方根是多少? 3.当a<0 老师点评:(略) 例1.下列式子,哪些是二次根式,1x (x>0)、1x y +x ≥0,y?≥0).

分析;第二,被开方 数是正数或0. (x>0)、x ≥0,y ≥0); 、1x 、1x y +. 例2.当x 在实数范围内有意义? 分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1 ≥0,才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x ≥13 当x ≥13 三、巩固练习 P157 练习1、 四、应用拓展 例3.当x 11x +在实数范围内有意义? 分析+ 11x +中的≥0和11 x +中的x+1≠0. 解:依题意,得23010 x x +≥??+≠? 由①得:x ≥-32 由②得:x ≠-1 当x ≥-32且x ≠-1+11 x +在实数范围内有意义. 例4(1)已知,求 x y 的值.(答案:2) (2)=0,求a 2004+b 2004的值.(答案:25 ) 五、归纳小结(学生活动,老师点评) 本节课要掌握: 1a ≥0)的式子叫做二次根式,

人教版八年级下册数学教案全册

八年级数学下学期教学工作计划 一、指导思想 在教学中努力推进九年义务教育,落实新课改,体现新理念,培养创新精神通过数学课的教学,使学生切实学好从事现代化建设与进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识与基本技能;努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力,以及分析问题与解决问题的能力。 二、学情分析 八年级就是初中学习过程中的关键时期,学生基础的好坏,直接影响到将来就是否能升学。我班优生稍少,学生非常活跃,有少数学生不求上进,思维不紧跟老师。有的学生思想单纯爱玩,缺乏自主学习的习惯,有部分同学基础较差,厌学无目标。要在本期获得理想成绩,老师与学生都要付出努力,查漏补缺,充分发挥学生就是学习的主体,教师就是教的主体作用,注重方法,培养能力。 三、教材分析 本学期教学内容共计五章,知识的前后联系,教材的教学目标,重、难点分析如下: 《义务教育教科书?数学》八年级下册包括二次根式,勾股定理,平行四边形,一次函数,数据的分析等五章内容,学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准(2013年版)》(以下简称《课程标准》)中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。其中对于“综合与实践”领域的内容,本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习,并在每一章的最后安排了两个数学活动,通过这些课题学习与数学活动落实“综合与实践”的要求。 第16章“二次根式”主要讨论如何对数与字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。通过本章学习,学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构,并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。 第17章“勾股定理”主要研究勾股定理与勾股定理的逆定理,包括它们的发现、证明与应用。 第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质与判定,还研究了矩形、菱形与正方形等几种特殊的平行四边形。 第19章就是“一次函数”,其主要内容包括:常量与变量的意义,函数的概念,函数的三种表示法,一次函数的概念、图象、性质与应用举例,一次函数与二元一次方程等内容的关系,以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。 第20章“数据的分析”主要研究平均数(主要就是加权平均数)、中位数、众数以及方差等统计量的统计意义,学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势与离散情况,并通过研究如

北师大版八年级数学下册全套教案(精华版)

1.1 不等关系 教学目的和要求: 理解不等式的概念,感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点: 重点: 对不等式概念的理解 难点: 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来,到问题中去。 1. 如图1-1,用用根长度均为l ㎝的绳子,分别围成一个正方形和圆。 (1)如果要使正方形的面积不大于25㎝2,那么绳长l 应满足怎样的关系式? (2)如果要使圆的面积大于100㎝2,那么绳长l 应满足怎样的关系式? (3)当l =8时,正方形和圆的面积哪个大?l =12呢? (4)改变l 的取值再试一试,在这个过程中你能得到什么启发? 分析解答:在上面的问题中,所围成的正方形的面积可以表示为2 )4 (l ,圆的面积可以表示 为2 2?? ? ??ππl 。 (1) 要使正方形的面积不大于25㎝2,就是 25)4 (2 ≤l ,即25162≤l 。 (2) 要使圆的面积大于100㎝2,就是 2 2?? ? ??ππl >100, 即 π 42 l >100 (3) 当l =8时,正方形的面积为)(41682 2cm =,圆的面积为)(1.54822cm ≈π ,

4<5.1,此时圆的面积大。 当l =12时,正方形的面积为)(916122 2cm =,圆的面积为)(5.1141222cm ≈π , 9<11.5,此时还是圆的面积大。 (4) 不论怎样改变l 的取值,通过计算发现:总是圆的面积大,因此,我们可以猜想, 用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆,无论l 取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即 π42l >16 2 l 2. (1)通过测量一棵树的树围(树干的周长)可能计算出它的树龄,通常规定以树干 离地面1.5m 的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝,以后树围每年增加约3㎝,这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ?(只列关系式) (2)燃放某种礼花弹时,为了确保安全,人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ,人离开的速度为4m/s ,导火线的长度x (m )应满足怎样的关系式? 答案:(1)设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ,则5+3x >240。 (2)人离开10m 以外的地方需要的时间,应小于导火线燃烧的时间,只有这样才能保证人的安全: 410<2 .0x 分析巩固练习: 用不等式表示: (1) a 的相反数是正数; (2) m 与2的差小于3 2; (3) x 的 3 1 与4的和不是正数; (4) y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答:(1)a 的相反数是-a ,正数是比零大的数,所以“a 的相反数是正数”就是-a >0; (2)“m 与2的差”就是m-2,“ 差小于 32”即是m-2<3 2 ; (3)“x 的31”就是31x ,“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0; (4)“y 的一半”不是2 1 y,“x 的2倍”就是2x ,“不小于3”即指大于或等于3,故 “y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2 1 y+2x ≥3。

-人教版第十六章二次根式教案

第十六章 二次根式 课题:16.1二次根式 课型:新授课 教学目标: 1、理解二次根式的定义,会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件,知道a (a ≥0)是非负数,并会运用会进行二次根式的平方运算, 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究 ()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析,归纳并掌握性质 教学重点: 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3.()2a 和2a 的运算、化简 教学难点: 当a <0时2a 的化简 教学过程: 一、复习引入 在七年级实数中,已经用到过简单的二次根式,在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 (一)定义及非负性 活动1、填空,完成课本思考1: 65,S ,2,5h 活动2、观察其形式上的共同点,被开方数的共同点,说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义,介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题: ①9的运算结果是3,9是不是二次根式?3是不是? ②定义中为什么要加a ≥0?若a<0,a 表示什么?有无意义? ③当 a=0时,a 表示什么?结果是什么?当 a>0时,a 表示什么?可不可能为负数?a (a ≥0)是什么样的数呢? 例1、当x 是怎样的实数时,下列二次根式有意义?在下列二次根式有意义的情况下,其运算结果是怎 样的实数? 2-x , 11 +x , 32+x 练习:1、课本思考2:当x 是怎样的实数时, 2x ,3x 有意义?

2、已知053=-+ +y x ,求y x ,的值各是多少? (二)两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析,归纳出:一个非负数先开方再平方,结果不变. 练习:课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析,归纳出:一个非负数先平方再开方,结果不变;一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习:课本例3 补充练习: 1、化简:2)4(-π,2)32(-; 2、直角三角形的三边分别为a ,b ,c ,其中c 为斜边,则式子()2a -()2 c 与式子2)(c a -有什么关系? 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质,平方为“父对象”,开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题,供学生记录. 五、作业设计 必做:P5:1、2、3、4、5、6 选做:P5:7、8、9、10 教学反思

华师大版八年级数学下册教案全集

第17章 分式 §17、1、1 分式的概念 教学目标: 1、经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式就是否就是分式 3、能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件, 渗透数学中的类比,分类等数学思想。 教学重点: 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点: 能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。 教学过程: 一、做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_____米; (2)面积为S 平方米的长方形一边长a 米,则它的另一边长为________米; (3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的售价就是___元; 二、概括: 形如B A (A 、 B 就是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式、其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母、 整式与分式统称有理式, 即有理式 整式,分式、 三、例题: 例1 下列各有理式中,哪些就是整式?哪些就是分式? (1)x 1; (2)2 x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -、 解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3)、 注意:在分式中,分母的值不能就是零、如果分母的值就是零,则分式没有意义、例如,在分式a S 中,a ≠0;在分式n m -9中,m ≠n 、 例2 当x 取什么值时,下列分式有意义? (1)11-x ; (2)3 22+-x x 、 分析 要使分式有意义,必须且只须分母不等于零、 解 (1)分母1-x ≠0,即x ≠1、 所以,当x ≠1时,分式1 1-x 有意义、 (2)分母23+x ≠0,即x ≠-2 3、 所以,当x ≠-23时,分式3 22+-x x 有意义、 四、练习: P5习题17、1第3题(1)(3) 1.判断下列各式哪些就是整式,哪些就是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,9 1-x

【K12学习】初中数学《二次根式》教案

初中数学《二次根式》教案 一、教材分析 “二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在第13章的基础上,进一步研究二次根式的概念,性质,和运算。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密,同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。节研究了二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键,它也是学习二次根式的化简和运算的依据。 二、教学目标 课标要求:学生要学会学习、自主学习,要为学生终生学习打下坚实的基础,根据教学大纲和新课标的要求,根据教材内容和学生的特点我确定了本节课的教学目标了解二次根式的概念 了解二次根式的基本性质,经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程,发展学生的归纳概括能力。 通过对二次根式的概念和性质的探究,提高数学探究能力和归纳表达能力。 学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性与创造性,体验发现的乐趣,并提高应用的意识。

教学重点:二次根式的概念和基本性质 教学难点:二次根式的基本性质的灵活运用 三、教法和学法 教学活动的本质是一种合作,一种交流。学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者,本节课主要采用自主学习,合作探究,引领提升的方式展开教学。依据学生的年龄特点和已有的知识基础,本节课注重加强知识间的纵向联系,,拓展学生探索的空间,体现由具体到抽象的认识过程。为了为后续学习打下坚实的基础,例如在“锐角三角函数”一章中,会遇到很多实际问题,在解决实际问题的过程中,要遇到将二次根式化成最简二次根式等,本课适当加强练习,让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。 四、教学过程 活动一:根据学生已有知识探究二次根式的概念 探究二次根式概念 由四个实际问题入手,设置问题情境,让学生感受到研究二次根式于生活又服务于生活。 思考:用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点? 要做一个两条直角边的长分别为7c和4c的三角尺,斜边的长应为

八年级数学下册第十六章二次根式教案新版[新人教版]

第十六章二次根式 16.1二次根式 第1课时二次根式的概念和性质 1.二次根式的概念和应用. 2.二次根式的非负性. 重点 二次根式的概念. 难点 二次根式的非负性. 一、情景导入 师:(多媒体展示)请同学们看屏幕,这是东方明珠电视塔. 电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r=2Rh(R为地球半径).如果两个电视塔的高分别为h1km,h2km,那么它们的传播半径之比为多少?同学们能化简这个式子吗? 由学生计算、讨论后得出结果,并提问. 生:半径之比为2Rh1 2Rh2 ,暂时我们还不会对它进行化简. 师:那么怎么去化简它呢?这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算?如何进行二次根式的化简?这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授 活动1:知识迁移,归纳概念 (多媒体演示)用含根号的式子填空. (1)17的算术平方根是________; (2)如图,要做一个两条直角边长分别为7 cm和4 cm的三角形,斜边长应为________cm; (3)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为________m; (4)面积为3的正方形的边长为________,面积为a的正方形的边长为____________; (5)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,则t=________.【答案】(1)17 (2)65 (3)65 (4) 3 a (5)h 5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子a表示的实际意义是什么?被开方数a满足什么条件时,式子a才有意义? (2)当a>0时,a________0;当a=0时,a________0;二次根式是一个________.【答案】(1)a的算术平方根,被开方数a必须是非负数(2)>=非负数 老师结合学生的回答,强调二次根式的非负性. 当a>0时,a表示a的算术平方根,因此a>0; 当a=0时,a表示0的算术平方根,因此a=0. 也就是说,当a≥0时,a≥0.

八年级数学下册全册教案

16.1.1 二次根式 教案序号:1 时间: 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 理解二次根式的概念,并利用a(a≥0)的意义解答具体题目. 提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 教学重难点关键 1.重点:形如a(a≥0)的式子叫做二次根式的概念; 2.难点与关键:利用“a(a≥0)”解决具体问题. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题:二、探索新知 很明显3、10、4 6 ,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根 的式子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如a(a≥0)?的式子叫做二 次根式,“”称为二次根号. (学生活动)议一议: 1.-1有算术平方根吗? 2.0的算术平方根是多少? 3.当a<0,a有意义吗? 老师点评:(略) 例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1 x 、x(x>0)、 0、42、-2、 1 x y + 、x y +(x≥0,y?≥0). 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0. 解:二次根式有:2、x(x>0)、0、-2、x y +(x≥0,y≥0);不是二 次根式的有:33、1 x 、42、 1 x y + . 例2.当x是多少时,31 x-在实数范围内有意义?

分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,?31x -才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x ≥1 3 当x ≥ 1 3 时,31x -在实数范围内有意义. 三、巩固练习 教材P5练习1、2、3. 四、应用拓展 例3.当x 是多少时,23x ++1 1 x +在实数范围内有意义? 分析:要使23x ++ 1 1 x +在实数范围内有意义,必须同时满足23x +中的≥0和1 1 x +中的x+1≠0. 解:依题意,得230 10 x x +≥??+≠? 由①得:x ≥- 32 由②得:x ≠-1 当x ≥- 3 2 且x ≠-1时,23x ++11x +在实数范围内有意义. 例4(1)已知y=2x -+2x -+5,求 x y 的值.(答案:2) (2)若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值.(答案: 25 ) 五、归纳小结(学生活动,老师点评) 本节课要掌握: 1.形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号. 2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 六、布置作业 1.教材P5 1,2,3,4 2.选用课时作业设计. 第一课时作业设计 一、选择题 1.下列式子中,是二次根式的是( ) A .-7 B .37 C .x D .x 2.下列式子中,不是二次根式的是( )

16.1 二次根式教案(公开课)

第16章二次根式 16.1二次根式(1) 【教学目标】 1.根据算术平方根的意义了解二次根式的概念;知道被开方数必须是非负数的理由; 2.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系. 【教学重点】 从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念. 【教学过程】 一.创设情境提出问题 1.电视塔越高,从塔顶发射的电磁波传得越远,从而能收看到电视节目的区域越广,电视塔高h(单位:km)与电视节目信号的传播半径r(单位:km) 之间存在近似关系r=,其中地球半径R≈6 400 km.如果两个电视塔的 高分别是h1 km、h2 km 你能化简这个 式子吗? 式子 表示什么? 公式中 r=中的 表示什么意义? 2.问题: (1)面积为3 的正方形的边长为_______,面积为S 的正方形的边长为_______. (1)中式子你是怎么得到?得到的两个式子有什么不同? (2)一个长方形围栏,长是宽的2 倍,面积为130m2,则它的宽为______m.(2)中得到的式子有什么意义? (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系h =5t2,如果用含有h 的式子表示t ,则 . (3)中当h 的值分别为0,10,15,20,25时,得到的结果分别是什么?

表示的数怎样变化? 二.合作探究 形成知识 (1)这些式子分别表示什么意义? (2)这些式子有什么共同特征? 分别表示3,S ,65,5 h 的算术平方根 这些式子的共同特征是: 都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根. (3)根据你的理解,请写出二次根式的定义. 用来表示一个非负数的算术平方根的式子,叫做二次根式. a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 三.初步应用 巩固知识 练习2 二次根式和算术平方根有什么关系? 二次根式都是非负数的算术平方根;带有根号的算术平方根是二次根式.

苏教版初中数学八年级下册教案 全册

苏教版小学数学八年级下册教案(全册) 第七章 教学目标与要求: (1)了解不等式的意义,掌握不等式的基本性质。 (2)会解一元一次不等式(组),能正确用轴表示解集。 (3)能够根据具体问题中的数量关系,用一元一次不等式(组),解决简单的问题。 知识梳理: (1)不等式及基本性质; (2)一元一次不等式(组)及解法与应用; (3)一元一次不等式与一元一次方程与一次函数。 1不等式:用不等号表示不等关系的式子叫做不等式 2不等式的解:能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 不等式的解集:一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。 3不等式的性质:○1不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变。 ○2不等式的两边都乘(或除以)一个正数,不等号的方向不变。不等式的两边都乘(或除以)一个负数,不等号的方向改变。 4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。 但是,在不等式两边都乘(或除以)同一个不等于0的数时,必须根据这个数是正数,还是负数,正确地运用不等式的性质2,特别要注意在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,要改变不等号的方向。 5用一元一次不等式解决问题步骤:(1)审:认真审题,分清已知量、未知量的及其关系,找出题中不等关系,要抓住题设中的关键字“眼”,如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义。 (2)设:设出适当的未知数。 (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式。 (4)解:解出所列不等式的解集。 (5)答:写出答案,并检验答案是否符合题意。 6一元一次不等式组: 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集,求不等式组解集的过程叫解不等式组。 一元一次不等式组解决实际问题的步骤:与一元一次不等式解决实际问题类似,不同之处在与列出不等式组,并解出不等式组。 7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数 当一次函数中的一个变量的值确定时,可以用一元一次方程确定另一个变量的值;当已知一次函数中的一个变量范围时,可以用一元一次不等式(组)确定另一个变量取值的范围。

人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式教案

16.1 二次根式(1) 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 知识与技能目标:a≥0)的意义解答具体题目. 过程与方法目标:提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 情感与价值目标:通过本节的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,发展学生观察、分析、发现问题的能力. 教学重难点关键 1a≥0)的式子叫做二次根式的概念. 2a≥0)”解决具体问题. 教法:1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链,使学生产生认知冲突,感悟新知,建立分式的模型,引导学生观察、类比、参与问题讨论,使感性认识上升为理性认识,充分体现了教师主导和学生主体的作用,对实现教学目标起了重要的作用。 2、讲练结合法:在例题教学中,引导学生阅读,与平方根进行类比,获得解决问题的方法后配以精讲,并进行分层练习,培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。 学法:1、类比的方法通过观察、类比,使学生感悟二次根式的模型,形成有效的学习策略。 2、阅读的方法让学生阅读教材及材料,体验一定的阅读方法,提高阅读能力。 3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换,达到取长补短,体验学习活动中的交流与合作。 4、练习法采用不同的练习法,巩固所学的知识;利用教材进行自检,小组内进行他检,提高学生的素质。 媒体设计:PPT课件,展台。 课时安排:1课时。 教学过程 一、复习引入

(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:已知反比例函数y=3 x ,那么它的图象在第一象限,横、纵坐标相等的点的坐标 是___________. 问题2:如图,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB边的长是__________. B A 老师点评: 问题1:横、纵坐标相等,即x=y,所以x2=3.因为点在第一象限,所以x ). 问题2:由勾股定理得 二、探索新知 都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子, 我们就把它称二次根式.因此,一般地, a≥0)的式子叫做二次根式, ” 称为二次根号. 议一议: 1.-1有算术平方根吗? 2.0的算术平方根是多少? 3.当a<0 例1.下列式子,哪些是二次根式, 、 1 x x>0) 、、 、 1 x y + (x≥0,y≥0). 分析 ”;第二,被开方数是正数或0. 解: (x>0) 、 x≥0,y≥0);不是二次

新人教版八年级下册数学教案

第十六章二次根式 教材内容 1.本单元教学的主要内容: 二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式. 2.本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标 1.知识与技能 (1)理解二次根式的概念. (2a≥0)是一个非负数,2=a(a≥0)(a≥0). (3(a≥0,b≥0); a≥0,b>0)a≥0,b>0). (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减. 2.过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.?再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,?并运用规定进行计算. (3)利用逆向思维,?得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,?给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的. 3.情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点 1.a≥0)a≥0)是一个非负数;2=a(a≥0) (a≥0)?及其运用. 2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念. 4.二次根式的加减运算. 教学难点 1a≥0)2=a(a≥0(a≥0)

二次根式的概念及其化简教案

2.7二次根式 第1课时二次根式的概念及其化简【学习目标】 1.理解二次根式概念及性质. 2.会用公式ab=a·b(a≥0,b≥0),a b= a b (a≥0,b>0)进行二次根式的化简运算. 【学习重点】 二次根式乘除法法则. 【学习难点】 二次根式乘除法法则的灵活运用. 学习行为提示:让学生通过阅读教材后,独立完成“自学互研”的所有内容,并要求做完了的小组长督促组员迅速完成. 学习行为提示:教会学生看书,独学时对于书中的问题一定要认真探究,书写答案. 教会学生落实重点. 说明:学生亲自计算,通过观察、猜想,借助计算器验证得出结论,这比教师讲无数遍的效果要好得多,同时也为后面归纳二次根式的基本性质作了很好的引导.情景导入生成问题

观察下列代数式: 5,11,7.2,49 121,(c+b)(c-b)(其中b=24,c=25). 这些式子都是我们在前面已经学习过的,它们有什么共同特征呢? 【说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点,为给二次根式下定义做好准备.【归纳结论】它们都含有开方运算,并且被开方数都是非负数. 一般地,形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数. 二次根式有些什么性质呢?让我们一起去研究吧! 自学互研生成能力 知识模块一二次根式积的算术平方根与商的算术平方根 先阅读教材第41页“做一做”的内容,然后完成下面的问题. 做一做: (1)计算下列各式,你能得到什么猜想? 4×9=________,4×9=________; 4 9=________,4 9 =________; 25 49=________,25 49 =________; (2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进行交流. 6×7与6×7,6 7与 6 7 . 【归纳结论】ab=a·b(a≥0,b≥0),a b= a b (a≥0,b>0).即积的算术平方根,等于各个因式算术平 方根的积,商的算术平方根,等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.注意:a、b的取值范围不能忽略. 知识模块二二次根式的化简 先独立完成下面例1的化简,然后再对照教材第42页例1的规范解答自评自解.例1:化简: (1)81×64;(2)25×6;(3)5 9.

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义务教育课程标准人教版 数学教案 九年级下册 科任老师 二次根式 16.1 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习引入: (1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2,用式子表示为 =__________; 正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式? 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么? 4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么? 5、如何确定一个二次根式有无意义? (三)自主学习 自学课本第2页例前的内容,完成下面的问题: 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34,5-,)0(3≥a a , 12+x 2、计算 : (1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2)3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负 2 )3(________ )(2=a 4

二次根式的概念教学设计

1 6.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 1.能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系,体会研究二次根式的必要性;(难点) 2.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质,会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.(重点) 一、情境导入 问题1:你能用带有根号的式子填空吗? (1)面积为3的正方形的边长为________,面积为S 的正方形的边长为________. (2)一个长方形围栏,长是宽的2倍,面积为130m 2,则它的宽为________m. (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t (单位:s)与落下的高度h (单位:m)满足关系h =5t 2,如果用含有h 的式子表示t ,则t =______. 问题2:上面得到的式子3,S ,65,h 5 分别表示什么意义?它们有什么共同特征? 二、合作探究 探究点一:二次根式的定义 下列各式中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? (1)11;(2)-5;(3)(-7)2; (4)313;(5)15-16 ;(6)3-x (x ≤3); (7)-x (x ≥0);(8)(a -1)2;(9)-x 2-5; (10)(a -b )2(ab ≥0). 解析:要判断一个根式是不是二次根式,一是看根指数是不是2,二是看被开方数是不是非负数. 解:因为11,(-7)2,15-16=130 ,3-x (x ≤3),(a -1)2,(a -b )2(ab ≥0)中的根指数都是2,且被开方数为非负数,所以都是二次根式.313的根指数不是2,

-5,-x (x ≥0),-x 2-5的被开方数小于0,所以不是二次根式. 方法总结:判断一个式子是不是二次根式,要看所给的式子是否具备以下条件:(1)带二次根号“ ”;(2)被开方数是非负数. 探究点二:二次根式有意义的条件 【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围 求使下列式子有意义的x 的取值范围. (1)14-3x ;(2)3-x x -2;(3)x +5x . 解析:根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0且分母不等于0,列不等式(组)求解. 解:(1)由题意得4-3x >0,解得x <43.当x <43时,14-3x 有意义; (2)由题意得?????3-x ≥0,x -2≠0, 解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时,3-x x -2有意义; (3)由题意得? ????x +5≥0,x ≠0,解得x ≥-5且x ≠0.当x ≥-5且x ≠0时,x +5x 有意义. 方法总结:含二次根式的式子有意义的条件: (1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数;(2)如果所给式子中含有分母,则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外,还必须保证分母不为零. 【类型二】 (1)x 的方程(a +2)x +b 2=a -1; (2)已知x 、4,求y x 的平方根. 解析:(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可;(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值,进而求得y 的值,进而可求出y x 的平方根. 解:(1)根据题意得???2a +8=0,b -3=0,解得???a =-4,b = 3. 则(a +2)x +b 2=a -1,即-2x +3=-5,解得x =4; (2)根据题意得? ????x -3≥0,3-x ≥0,解得x =3.则y =4,故y x =43=64,±64=±8,∴y x 的平方根

人教版八年级数学下册二次根式教学设计

人教版数学 16.1二次根式教学设计 四海店镇中学

16.1 二次根式(1) 一、学习目标: 知识与技能:1、根据算术平方根的意义了解二次根式的概念,能判断一个式子 是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 过程与方法:先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳得出概念。 情感态度与价值观:经过探索二次根式的重要结论,发展学生观察、发现问题 的能力及研究问题的严谨性。 二、学习重点:理解二次根式的概念 三、学习难点:明确二次根式有意义的条件,并运用其解决具体问题。 四、学习过程 (一)复习引入: 1、已知一个正数x,满足x2 = a,x是a的________, 记为______, a一定是_______数。 2、(1) 4的算术平方根为_______ ,用式子表示为 __________; (2) 16的算术平方根是_______,用式子表示为 __________; (3) 0 的算术平方根是_______; (4)正数a的算术平方根为_______, (5)-7_______算术平方根。 归纳:_______和_______都有算术平方根;_______没有算术平方根 (二)出示学习目标:1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 (三)探索新知、提出问题 思考:用带有根号的式子填空 1、面积为3的正方形的边长是_______,面积为S的正方形的边长是_______。 2、一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130平方米,则它的宽为_______米。 3、一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为_______. 很明显:所得的结果都表示一些正数的算术平方根。像这样一些非负数的算术平方根的式子,我们就把它称二次根式。一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式 (学生举例巩固) (四)议一议 1、-1有算术平方根吗? 2、0的算术平方根是多少? 3、当a<0时,有意义吗? 点评:1、表示非负数a的算术平方根。 2、a可以是数也可以是一个含有字母的式子。

八年级下册数学教案新人教版

第十六章 分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1. 了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1.让学生填写P2[思考],学生自己依次填出:7 10,a s ,33 200,s v . 2.学生看P1的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,及以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100 小时,逆流航行60千米所用 时间 v -2060小时,所以v +20100 = v -2060. 3. 以上的式子 v +20100, v -2060,a s ,s v ,有什么共同点?它们及分数有什 么相同点和不同点? 五、例题讲解 P3例1. 当x 为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时.. 满足两个条件:○1分母不能为零;1-m m 32 +-m m 112 +-m m

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第十六章二次根式 课题:16.1二次根式 课型:新授课 教学目标: 1、理解二次根式的定义,会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件,知道a(a≥0)是非负数,并会运用会进 行二次根式的平方运算, 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究()2a和2a所含运 算、运算顺序、运算结果分析,归纳并掌握性质 教学重点: 1.a有意义的条件. 2.a≥0时a≥0的应用. 3.()2a和2a的运算、化简 教学难点: 当a<0时2a的化简 教学过程: 一、复习引入 在七年级实数中,已经用到过简单的二次根式,在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 (一)定义及非负性 活动1、填空,完成课本思考1: h 65,S,2, 5 活动2、观察其形式上的共同点,被开方数的共同点,说明各式所表示的共同意义.

活动3、给出二次根式的定义,介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题: ① 9 的运算结果是3,9是不是二次根式?3 是不是? ②定义中为什么要加a ≥0?若a<0,a 表示什么?有无意义? ③当 a=0时,a 表示什么?结果是什么?当 a>0时,a 表示什么?可不可能为负数?a (a ≥0)是什么样的数呢? 例1、当x 是怎样的实数时,下列二次根式有意义?在下列二次根式有意义的 情况下,其运算结果是怎样的实数? 2-x , 1 1+x , 32+x 练习:1、课本思考2:当x 是怎样的实数时,2x ,3x 有意义? 1、若m x -=-2,则x 和m 的取值范围是x_____;m______. 2、已知053=-++y x ,求y x ,的值各是多少? (二)两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对 ()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析,归纳出:一个非负数先开方 再平方,结果不变. 练习:课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对 2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析,归纳出:一个非负数先平方再 开方,结果不变;一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习:课本例3 补充练习: 1、化简:2)4(-π,2)32(-; 2、直角三角形的三边分别为a ,b ,c ,其中c 为斜边,则式子( )2 a -()2 c 与式子 2 )(c a -有什么关系? 三、课堂训练

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