反比例函数面积专题

反比例函数面积专题

一、选择题（共5小题)

１、(2０1２?泸州)如图,在△OAB中,C就就是AB得中点,反比例函数ｙ= (k>0)在第一象限得图象经过A、Ｃ两点,若△ＯAB面积为6,则k得值为（)

A、2Ｂ、4C、8D、１６

2、(2０１0?无锡)如图,已知梯形ABＣＯ得底边AO在x轴上,ＢC∥AO，AB⊥AO,过点Ｃ得双曲线交OB于D，且OD：ＤB=1:2,若△OBC得面积等于３,则k得值()

A、等于2

B、等于

C、等于

D、无法确定

3、(2010?内江)如图,反比例函数得图象经过矩形ＯABC对角线得交点Ｍ,分别与ＡB、ＢC相交于点D、E、若四边形ODBE得面积为6，则k得值为（)

A、1

B、2Ｃ、３D、4

４、(2010?抚顺)如图所示,点Ａ就就是双曲线ｙ=(x＞０)上得一动点,过A作ＡＣ⊥y轴，垂足为点C,作ＡC得垂直平分线双曲线于点B,交x轴于点Ｄ、当点A在双曲线上从左到右运动时，四边形ＡＢCD得面积(）

A、逐渐变小

B、由大变小再由小变大

Ｃ、由小变大再有大变小D、不变

５、(2006?绵阳)如图,梯形AOBC得顶点A,Ｃ在反比例函数图象上,OA∥BＣ,上底边OA在直线y＝ｘ上,下底边BC交x轴于E(2,０),则四边形AOEＣ得面积为（)

A、3

B、

C、﹣1

D、＋1

二、填空题（共8小题)

６、(2012?福建)如图，点A在双曲线上，点Ｂ在双曲线上,且AＢ∥y轴,点P就就是y轴上得任意一点,则△PAB得面积为_＿＿_＿____、

7、(20１2?常州)如图,已知反比例函数y=(k1>0）,y＝(k２<0)、点A

在y轴得正半轴上,过点A作直线BC∥x轴,且分别与两个反比例函

数得图象交于点Ｂ与C,连接ＯC、OB、若△BOＣ得面积

为,AC:AB=2：３,则k1= ＿__＿_＿＿_＿，k2=_________ 、

８、(20１1?遵义）如图,已知双曲线,,点P为双曲线上得一点，且

PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,PA、ＰＢ分别依次交双曲线于D、

C两点,则△PCＤ得面积为____＿___＿、

9、(２0１1?孝感)如图,点Ａ在双曲线上,点B在双曲线y=上,且AB∥x轴，C、D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它得面积为_＿___＿__＿、

10、(201０?衡阳)如图,已知双曲线y=(ｋ＞0）经过直角三角形OAＢ斜边OB得中点D，与直角边AＢ相交于点Ｃ、若△OＢC得面积为3,则k＝__＿_＿___＿、

１１、如图,Rt△ABC得直角边BC 在ｘ轴正半轴上,斜边ＡC边上得中线BＤ反向延长线交ｙ轴负半轴于E,双曲线(ｘ＞０)得图象经过点A,若S△BEC=10，则k等于_＿＿_＿_＿__、１２、如图,直角梯形OAＢC,AB∥OC,反比例函数y=(x＞0)得图象经过B点与ＢC得中点D,且梯形ＯABC得面积为2,则该反比例函数得解析式为______＿__ 、

１3、如图（1),在Ｒt△ＡBC得边AＢ得同侧,分别以三边为直径作三个半圆,大半圆以外得两部分面积分别为S1、Ｓ3,三角形得面积为Ｓ2；

如图(2),两个反比例函数与在第一象限内得图象如图所示,点P在得图象上，PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点Ｄ,交得图象于分别于点A，B,当点P在得图象上运动时,△BOD,四边形ＯAP Ｂ,△AＯC得面积分别为S1、S2、Ｓ3;

如图(3)，点E为?ABCD边AD上任意一点,三个三角形得面积分别为S1、S2、S3;

如图（4),梯形AＢCＤ中,AB∥CD,∠DＡB＋∠ABC＝90°,AＢ=2CD,以AD、DC、ＣＢ为边作三个正方形得面积分别为Ｓ1、S2、S3、

在这四个图形中满足Ｓ１＋S３=S2有＿____＿___ (填序号)、

2012年９月窗户得初中数学组卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题)

1、(20１2?泸州）如图,在△OAB中,C就就是AB得中点,反比例函数y= (k＞0)在第一象限得图象经过A、C两点,若△OＡB面积为６,则k得值为()

A、２

B、４

C、8Ｄ、16

考点: 反比例函数系数ｋ得几何意义;三角形中位线定理。

分析：分别过点A、点C作OB得垂线，垂足分别为点M、点N，根据C就就是AＢ得中点得到CE为△ＡDE得中位线,然后设MN=NB＝ａ,ＣN=b，AM=2b,根据OM?AM＝ON?CN,得到OM=a,最后根据面积=3a?2b÷2＝３ab=6求得ab=2从而求得k=a?2b=2ab＝４、

解答:解:分别过点A、点C作OB得垂线,垂足分别为点M、点N，如图,

∵点Ｃ为ＡＢ得中点,

∴CE为△AMＢ得中位线,

∴MN＝NＢ=a,CＮ=b,AM=2b，

∵又因为ＯＭ?AＭ=ON?CN

∴OＭ=a

∴这样面积=3a?2b÷2＝3ab=６,

∴ab=2,

∴k=a?2b=2aｂ＝4,

故选B、

点评:本题考查了反比例函数得比例系数得几何意义及三角形得中位线定理，解题得关键就就是正确得作出辅助线、

2、(２010?无锡)如图,已知梯形ABCO得底边AO在x轴上,ＢC∥ＡO，AB⊥ＡO,过点C得双曲线交ＯB于D,且OＤ:DB＝1：2,若△ＯBＣ得面积等于3,则k得值（）

A、等于2

B、等于

C、等于

D、无法确定

考

点：

反比例函数系数k得几何意义。

专

题：

数形结合。

分析:先设出B点坐标，即可表示出C点坐标,根据三角形得面积公式与反比例函数得几何意义即可解答、

解答:解：方法1:设B点坐标为(a，ｂ),

∵OD:DB＝1：2，

∴D点坐标为(a,b),

根据反比例函数得几何意义,

∴a?ｂ=ｋ,

∴ab=９k①,

∵BC∥AＯ,AB⊥AO,C在反比例函数y=得图象上，

∴设C点横坐标为m,

则C点坐标为(m,b)

将(ｍ,b)代入y=得,

ｍ=,

BC=a﹣,

又因为△OBC得高为AB,

所以S△OBＣ=(ａ﹣）?b=3,

所以（a﹣）?b=3,

(a﹣）ｂ=6，

aｂ﹣k=6②，

把①代入②得,

9k﹣k=6，

解得ｋ=、

方法2:延长BＣ交y轴于E,过D作x轴得垂线,垂足为F、

由△OAB得面积=△OBＥ得面积,△OＤF得面积＝△ＯＣE得面积，

可知,△ODＦ得面积=梯形DFAＢ＝△ＢOC得面积=,

即k＝，

k=、

故选Ｂ、

点评:本题考查了反比例系数ｋ得几何意义、此题还可这样理解:当满足OＤ：ＤB＝1:2时,当Ｄ在函数图象上运动时,面积为定值、

3、(2010?内江)如图,反比例函数得图象经过矩形ＯABC对角线得交点M，分别与AB、BＣ相交于点D、E、若四边形ＯＤBE得面积为6,则ｋ得值为( )

Ａ、1B、２C、３D、４

考

点:

反比例函数系数k得几何意义。

分析:本题可从反比例函数图象上得点E、M、D入手,分别找出△OCＥ、△OAD、□OABC得面积与｜k|得关系,列出等式求出k值、

解答:解:由题意得:E、M、D位于反比例函数图象上,则S△OCＥ=,S△OAＤ=,

过点M作ＭG⊥y轴于点G,作MN⊥ｘ轴于点N,则S□OＮMG=|k|,

又∵M为矩形ABCO对角线得交点,则S矩形ABＣO=4S□OＮMG=4｜k|, 由于函数图象在第一象限,k>0,则＋＋6＝4k,k＝2、

故选B、

点评:本题考查反比例函数系数k得几何意义，过双曲线上得任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成得矩形面积就等于|k|、本知识点就就是中考得重要考点,同学们应高度关注、

4、（201０?抚顺)如图所示,点A就就是双曲线y=(x＞0)上得一动点,过Ａ作AＣ⊥ｙ轴，垂足为点C，作AC得垂直平分线双曲线于点Ｂ,交x轴于点D、当点Ａ在双曲线上从左到右运动时,四边形AＢCD得面积（)

A、逐渐变小

B、由大变小再由小变大

C、由小变大再有大变小

D、不变

考点: 反比例函数系数k得几何意义。

专题：数形结合；几何变换。

分析:四边形ABCD得面积等于×AC×BD,AC、BＣ可以用A点得坐标表示,即可求解、

解答：解:设A点得坐标就就是（m,ｎ),则ｍ?n=１,则D点得横坐标就就是,

把x=代入y=,得到y=，即BＤ=、

∴四边形ＡBCD得面积=AC×BD=×m×＝1、

即四边形ＡBCＤ得面积不随C点得变化而变化、

故选D、

点评：本题主要考查得就就是利用反比例函数系数ｋ得几何意义求对角线互相垂直得四边形面积得计算方法、

5、（2006?绵阳）如图,梯形AOBC得顶点A，C在反比例函数图象上，OA∥BC,上底边OＡ在直线ｙ=x上,下底边BC交x轴于Ｅ（2，０),则四边形AOＥC得面积为( )

Ａ、3B、Ｃ、﹣1 D、＋1

考

点:

反比例函数系数k得几何意义;梯形。

专

题:

综合题。

分析:四边形ＡOEC得面积＝梯形AOBC得面积﹣三角形OBE得面积、

根据AO∥BC,且直线BC经过E(2,0),用待定系数法求出BE得解析式，再求出B、Ｃ两点得坐标、根据C点坐标得出反比例函数解析式为ｙ=,解方程组,求出A点坐标、根据勾股定理求出OA、BＣ得长度,易求梯形AＯBC得高,从而求出梯形ＡＯBC得面积、△OBE 就就是等腰直角三角形，腰长就就是２,易求其面积、

解答：解:因为AO∥BC,上底边ＯA在直线ｙ＝ｘ上, 则可设ＢE得解析式为y=x＋b,

将E(２,０)代入上式得,ｂ=﹣2,

BE得解析式为y=x﹣2、

把y=1代入ｙ=x﹣２,得x＝3,Ｃ点坐标为(3,1）, 则反比例函数解析式为y＝,

将它与y=x组成方程组得:,

解得x=,ｘ＝﹣(负值舍去)、

代入y＝x得，ｙ=、

A点坐标为(,),

ＯA＝=,

BＣ==３,

∵Ｂ(0,﹣２），E(2,0),

∴BE=2，

∴BE边上得高为,

∴梯形AOＢC高为：,

梯形ＡOBC面积为:×(3+）×=3+，

△OBE得面积为:×２×2=２,

则四边形AOＥC得面积为３+﹣2=1＋、

故选D、

点评:此题综合考查了梯形与函数得有关知识,此题难度较大，考查了函数与方程得关系,交点坐标与方程组得解得关系,以及反比例函数系数ｋ得几何意义、要用梯形、三角形得面积公式及勾股定理来计算、

二、填空题(共8小题）

6、（2012?福建)如图,点A在双曲线上,点B在双曲线上,且AB∥y轴,点P就就是y轴上得任意一点,则△PAB得面积为１、

考点: 反比例函数系数k得几何意义。

专题: 探究型。

分析：设Ａ(x,),则B（ｘ，),再根据三角形得面积公式求解、

解答:解:设Ａ（ｘ，),

∵AＢ∥ｙ轴,

∴Ｂ(x,),

∴Ｓ△ＡBＣ=AB?x＝（﹣)×x=1、

故答案为:1、

点评：本题考查得就就是反比例函数系数k得几何意义,先根据设出Ａ点坐标,再由ＡB∥y轴得出B点坐标就就是解答此题得关键、

7、(2012?常州)如图，已知反比例函数y＝(k1＞0),y＝(k2＜0)、点A在y轴得正半轴上,过点A 作直线ＢC∥x轴,且分别与两个反比例函数得图象交于点B与C,连接ＯＣ、OＢ、若△BOC得面积为,AC:AＢ=２:3,则k1＝2,k2＝﹣３、

考点: 反比例函数系数k得几何意义。

分析:根据反比例函数系数得几何意义可得,|ｋ1|＋|k2|得值以及|k1｜:|ｋ2|得值,然后联立方程组求解得到|k1|与|ｋ２|得值,然后即可得解、

解答:解:∵△BOC得面积为,

∴|k１｜+｜k2|=,

即|k１|＋|k2|=5①,

∵AC:ＡＢ=2:3,

∴|k1|:｜ｋ2|=2:3②,

①②联立,

解得|k1|=2,|k2|=3,

∵ｋ1＞０，ｋ２＜0，

∴k1=2,k２=﹣3、

故答案为:2,﹣3、

点评:本题考查了反比例函数系数得几何意义,过双曲线上得任意一点分别向两条坐标作垂线,与坐标轴围成得矩形面积就等于|k｜,根据题意得到两个关于反比例函数系数得方程就

就是解题得关键、

８、(2011?遵义)如图,已知双曲线,,点P为双曲线上得一点,且PＡ⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B，PA、PB分别依次交双曲线于D、Ｃ两点,则△ＰCD得面积为、

考点：反比例函数系数k得几何意义。

分析:根据ＢC×BO=1,BP×ＢO=4,得出ＢC=ＢP,再利用AO×AD=１,AO×ＡP=４,得出ＡD=AP,进而求出PB×PA=ＣP×DP=,即可得出答案、

解答:解:作CE⊥AO于Ｅ,DＦ⊥CE于F,

∵双曲线，,且ＰA⊥x轴于点A,PＢ⊥y轴于点B,ＰA、PＢ分别依次交双曲线于D、Ｃ两点,

∴矩形BＣEO得面积为：xy=1,

∵BC×BO=1,ＢP×ＢＯ=4,

∴BC＝BＰ,

∵AＯ×ＡＤ=1,ＡＯ×AP=４,

∴AＤ=AP,

∵PＡ?ＰB=４，

∴ＰB×PA=PＡ?ＰB=CＰ×DP=×4=,

∴△PCD得面积为:、

故答案为：、

点评：此题主要考查了反比例函数系数k得几何意义,根据已知得出PB×PＡ=CP×ＤＰ＝就就是解决问题得关键、

9、(201１?孝感)如图,点A在双曲线上，点B在双曲线y=上,且AＢ∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ＡBCＤ为矩形,则它得面积为 2 、

考点: 反比例函数系数ｋ得几何意义。

分析:根据双曲线得图象上得点与原点所连得线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成得矩形得面积Ｓ得关系S＝｜k｜即可判断、

解答：解:过A点作AE⊥y轴,垂足为E,

∵点A在双曲线上,

∴四边形AEOD得面积为１,

∵点B在双曲线y＝上,且AＢ∥ｘ轴,

∴四边形BEOＣ得面积为３，

∴四边形ＡＢCD为矩形,则它得面积为3﹣１＝2、

故答案为:2、

点评:本题主要考查了反比例函数中k得几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、ｙ轴垂线,

所得矩形面积为|k|,就就是经常考查得一个知识点；这里体现了数形结合得思想，做此类题一定要正确理解k得几何意义、

１0、(2０10?衡阳)如图,已知双曲线ｙ=(k＞0)经过直角三角形ＯAＢ斜边OB得中点D，与直角边ＡＢ相交于点Ｃ、若△OＢC得面积为3,则k= 2 、

考点：反比例函数系数k得几何意义。

分析:过双曲线上任意一点与原点所连得线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成得直角三角形面积S就就是个定值,即S=｜k|、

解答:解:过D点作DE⊥x轴，垂足为Ｅ,

∵Rt△OAＢ中,∠ＯAB＝９0°,

∴DE∥AB,

∵D为Ｒｔ△OAB斜边OB得中点D,

∴ＤＥ为Rt△OAＢ得中位线，

∵△OED∽△ＯAB,

∴两三角形得相似比为:＝

∵双曲线y=(k>0),可知Ｓ△ＡOＣ＝Ｓ△DOE=ｋ,

∴S△ＡOＢ＝4S△DOE=2k,

由S△AOＢ﹣S△AOC=S△OＢC=３,得２k﹣k=3，

解得ｋ=2、

故本题答案为:2、

点评:主要考查了反比例函数中k得几何意义，即过双曲线上任意一点引ｘ轴、y轴垂线,所得三角形面积为|k|,就就是经常考查得一个知识点;这里体现了数形结合得思想,做此类题一定要正确理解k得几何意义、

11、如图,Rt△ABC得直角边BC 在x轴正半轴上,斜边ＡC边上得中线BD反向延长线交y轴负半轴于Ｅ,双曲线(ｘ>0)得图象经过点A,若S△BEC=10,则ｋ等于20、

考点: 反比例函数系数k得几何意义;三角形得面积。

分析:先根据题意证明△BOE∽△ＣBA,根据相似比及面积公式得出ＢO×AB得值即为｜k|得值,再由函数所在得象限确定k得值、

解答：解：∵ＢD为Rｔ△ABC得斜边AC上得中线，

∴ＢＤ＝DC,∠DBC=∠ACB,

又∠DBC=∠ＥＢO，

∴∠EBO=∠AＣB,

又∠BＯE=∠CBA=90°,

∴△BＯＥ∽△ＣBＡ,

∴=,即BC×OE=BO×ＡB、

又∵S△BEＣ＝10,即BＣ×OE=20=BＯ×ＡB=|ｋ|、

又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0、

所以k等于20、

故答案为:20、

点评:此题主要考查了反比例函数中k得几何意义，即过双曲线上任意一点引ｘ轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,就就是经常考查得一个知识点;这里体现了数形结合得思想,做此类题一定要正确理解k得几何意义、图象上得点与原点所连得线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成得直角三角形面积S得关系即S＝|k｜、

１2、如图,直角梯形OＡBC,AB∥OC,反比例函数y＝(ｘ>0)得图象经过B点与BＣ得中点Ｄ,且梯形OAＢC得面积为２,则该反比例函数得解析式为ｙ=、

考点: 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k得几何意义；直角梯形。

分析:首先设出点B与点C得坐标，再进一步表示出线段ＢC得中点D得坐标;

根据反比例函数得解析式以及梯形得面积,即可求解、

解答:解：设Ｂ点得坐标就就是(m,n)，点C得坐标就就是(p,0),

∵D就就是BＣ得中点,

∴D得坐标就就是(,),

∵点D在函数y=(ｘ>0）得图象上,

则有k＝，即(ｍ＋p)?n=４ｋ,

根据梯形OＡＢC得面积为2,

则得到(AB＋ＯＣ）?ＯA=2,

即(ｍ+p)?n=2k=2,

因而k=、

则该反比例函数得解析式为y=、

点评:求函数得解析式得问题,一般要转化为求点得坐标得问题，求出图象上点得横、纵坐标得积就可以求出反比例函数得解析式、

１3、如图(1),在Rt△AＢＣ得边AB得同侧,分别以三边为直径作三个半圆,大半圆以外得两部分面积分别为S1、S3,三角形得面积为S2；

如图(２）,两个反比例函数与在第一象限内得图象如图所示,点P在得图象上,PC⊥x轴于点Ｃ,PD⊥y轴于点Ｄ,交得图象于分别于点Ａ，B,当点P在得图象上运动时,△BOD,四边形ＯAＰB,△AOC得面积分别为Ｓ1、S2、S3；

如图（3)，点E为?ABCD边AD上任意一点,三个三角形得面积分别为S1、S2、S3；

如图(4)，梯形ABCD中，AＢ∥CD,∠ＤＡＢ+∠ABC=90°，AＢ=２CD,以ＡD、DC、CB为边作三个正方形得面积分别为S1、S2、S3、

在这四个图形中满足Ｓ1+S3=S2有（1)（2）(3)(4)(填序号)、

考点：勾股定理;反比例函数系数k得几何意义;平行四边形得性质;梯形。

专题: 综合题。

分析:图(１)根据ＡB２＝ＡC2+BＣ2,半圆得面积等于πr２,可得出Ｓ1、S２、S3得关系、图(2)过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积S就就是个定值|k|,△BOＤ得面积为矩形面积得一半,即｜k｜，从而可判断出S1、S２、S3得关系、

图(3）根据平行四边形得性质可得Ｓ2=SＡＢCD,从而可得出S1＋S３＝Ｓ2、

图（4)过点Ｄ作EE∥BC交AB于点E，得到平行四边形ＤCBE与Rt△ADＥ，根据平行四边形得性质与勾股定理,不难证明三个正方形得边长对应等于所得直角三角形得边、解答:解:(1)S1=π=AＣ2;S2=π＝AB2,S3得=π=ＢＣ2,

又∵AB２=AC2+BC2,

∴S1＋Ｓ３=S2、

(２)根据k得几何意义可得：S BDO=|k|=,ＳAOC＝｜k|=,ＳOAPB=２﹣ＳBDO﹣S AＯC=1,

∴S1＋S3＝Ｓ2、

(3)根据平行四边形得性质可得Ｓ2=SＡBCD,

∴S1+Ｓ2=S AＢCＤ,

∴S1＋S３=S2、

（4)∵AＢ∥ＤC，

∴四边形DCBＥ就就是平行四边形,

∴DC=ＢE，BC=DE,∠ＡBC＝∠AEＤ，

∵∠DAＢ＋∠ABC＝90°,2DC＝ＡB,

∴DC=AＥ,∠DAＥ＋∠AED＝90°，

∴∠ADE=90°那么AＤ２＋DE２=ＡE2，

∵S1＝ＡD2,Ｓ2＝DC2=AE2，S3=BC2=AE2,

∴S2=S1＋S3、

综上可得(1）(2)(３)(4）四个图形均满足Ｓ2＝S1+S3、

故答案为(1)(2)（３）(４)、

点评：本题考查了勾股定理、反比例函数得几何意义及平行四边形得性质,涉及得知识点较多,难度较大,解答本题关键就就是根据反比例函数得几何意义,平心四边形得性质,梯形得知识分别表示出各图中得S1、S２、S3、

反比例函数的面积问题练习题

例1、 如图，P 是反比例函数的图象上的一点，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到 的图中的阴影部分的面积为6，则该反比例函数的表达式为 变式练习： 1、如图，P 是反比例函数y=x k 的图象上的一点，由P 点向x 轴引垂线PA ，若阴影部分 △POA 的面积为3，则这个反比例函数的解析式是： 若S △ABC =3呢？ 2、在反比例函数y=x 4的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ） 3、（2010?泸州）y=x 10（x ＞0），A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1，若A 1横坐标为2，且以后每横坐标与它前一个横坐标差都为2．现分别过A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1作x 轴与y 轴垂线段，构成若干个矩形如所示，依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，S 1= ， S 1+S 2+S 3+…+S n = （用n 代数式表示） ． 3、如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y=x k （k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的

面积等于9，则这个反比例函数的解析式为： ，若在第二个图中，阴影面积为10π，解析式为？ 例2、（2012巴中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y 1=k 1x+1的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，与反比例函数y 2=x k 的图象分别交于点M 、N ，已知△AOB 的面积为1，点M 的纵坐标为2． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出y 1＞y 2时x 的取值范围 练习： 1、如图，已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=-x 8的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2，则阴影分部的面积是？ 2、（2012?济南）如图，已知双曲线y=x k 经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC （1）求k 的值； （2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； （3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．

反比例函数中的面积问题专题课程教案

教学过程 一、复习预习 由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。这类反比例函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，归纳起来有两个方面：1、函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究x取何值时，一次函数与反

比例函数值的大小比较； 2、相交时所围成的三角形的面积问题。现以近年中考试题为例加以分析，希望能对同学自主学习有所帮助。 、知识讲解 k1 1．反比例函数的定义：一般地，形如y＝（y kx 1或xy k ）（ k 为常数， k __________________________________ 0）的 x 函数叫做反比例函数． k 2．反比例函数的性质：反比例函数y＝k （ k≠0）的图象是 ___ ___ ．当 k>0 时，两分 x 支分别位于第 ___ 象限内，且在每个象限内， y随 x 的增大而；当 k<0时，两分 支分别位于第 ___ 象限内，且在每个象限内， y 随 x 的增大而． 3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为 _ ；反比例函数还是___ 图 形，它有两条 ___ ，分别是直线 __ ________ ． k 4．在双曲线 y ＝k上任取一点 P 向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 x k 5．因在反比例函数的关系式y＝k（ k≠0）中，只有一个待定系数 k，确定了 k 的值，也 x 就确定了反比例函数的关系式，因而一般只要给出一组 x、y 的值或图象上任意一点的坐标， 然后代入 y＝k中即可求出__ 的值，进而确定出反比例函数的关系式． x k 6、利用反比例函数中 |k| 的几何意义求解与面积有关的问题。设 P 为双曲线y k 上任意一 x 点，过点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的 k 的矩形 PMON的面积为 S=|PM|×|PN|=|y| ×|x|=|xy| y k, xy k,s k 。从而得： x 结论 1：过双曲线上任意一点作 x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形的面积 S为定值

反比例函数动点面积专题

反比例函数 ---动点、面积专题（附详解） 一、解答题（共7小题） 1、已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1）． （1）试确定此反比例函数的解析式； （2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由； （3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值． 2、已知：反比例函数经过点B（1，1）． （1）求该反比例函数解析式； （2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由； （3）若该反比例函数图象上有一点F（m，）（其中m＞0），在线段OF 上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FM⊥x轴于点M，连接EM，使△OEM的面积是，求代数式的值． 3、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数的图象的一个交点．（1）求这两个函数的解析式； （2）在反比例函数的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足 为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：（x＞0）的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2； （1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值； （2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小． 5、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB 垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

反比例函数有关的面积问题

反比例函数面积基本模型： 如图1,过双曲线()0k y k x = ≠上的任一点(),P x y ,作x 轴（或y 轴）的垂线,则 12 2 AOP k S x y ?= ?=. 如图2,过双曲线()0k y k x = ≠上的 任一点(),P x y ,作x 轴、y 轴的垂线, 则AOBP S x y k =?=矩形. 以上是反比例函数图象的一个重要性质, ,有广泛的应用. 利用以上结论我们可以解决以下一系列的问题. 【例1】如图3,在平面直角坐标系中,点A 、B 在反比例函数x k y = 图象上,AC ∥y 轴,BD ∥x 轴,设△AOC 和△BOD 的面积分别 是S 1、S 2,比较它们的大小,可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 【例2】如图4,点A 、B 是双曲线()0k y k x = >上的点,过点 A 作AC 垂直于x 轴,垂足为C ,过点 B 作BD 垂直于x 轴, 垂足为D ,设△AOE 和四边形ECDB 的面积分别是S 1、S 2, 比较它们的大小,可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 (图反比例函数与面积问题

【例3】如图5,函数()0y mx m =≠与()0k y k x = ≠ 交于A 、B 两点,过点A 作AC 垂直于x 轴,垂足为C ,则 A B C △的面积为 . 【例4】如图6-1,函数()0y mx m = ≠与()0k y k x = ≠垂直y 轴（亦可向x 轴作垂线图6-2）于点C 、D ,则四边形ACBD 的面积为 . 【例5】如图7,函数() 0y mx m =≠与()0k y k x =≠的图象交于A 、B 两点,AC 、BD 分别垂 直x 与y 轴于点C 、D ,连结CD ,则四边形ACBD 的面积为 . 【例6】如图8,函数()0y mx m =≠与()0k y k x =≠的图象交于A 、B 两点,AC 、BF 分别垂 直x 于点C 、F , AE 、BD 分别垂直y 于点E 、D , 连结CD ,则六边形AEFBDC 的面积为 . 【例7】如图9,已知一次函数b kx y +=的图像与反比例函数12y x =的图像交于A 、B 两点, 且点A 的横坐标是1,点B 的纵坐标是－1 , 求（1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积. (图6-1) (图6-2) (图7) (图8)

24.1.反比例函数与面积关系

四、反比例函数图象中的面积规律 （1）过双曲线上任意一点作轴的垂线，则垂足、已知点及原点这三点所构 成的三角形面积为S ＝ k 21。 （2）反比例函数y=k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=k x (k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k │. 1、如图，A 为反比例函数x k y = 图象上一点，AB ⊥x 轴与点B ，若3=?AOB S ，则k 为（ ） 2、已知，如图所示的P 是反比例y=k x 函数图象上的一点，?若图中阴影部分的矩形面积为2，则这个反比例函数的关系式为（ ） A ．y= 2x B ．y=－2x C ．y=12x D ．y=－12x 3、如图：A ，B 是函数x y 1=的图象上关于原点O 对称的任意两点。AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，求△ABC 的面积。 4、正比例函数y=x 与反比例函数y=1x 的图象相交于A 、C 两点.AB ⊥x 轴于B,CD ⊥y 轴于D(如图),则四边形ABCD 的面积为( ) A.1 B. 32 C.2 D.52 例3、如图，点A 在反比例函数)0(≠=k x k y 的图象上，AB 垂直于x 轴，若S △AOB=4，那么这个反比例函数的解析式 为 。 X O 例3 变式议练1 变式议练2

变式议练1、如图，过反比例函数x y 1=（x ＞0）的图形上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB 。设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S1，S2，比较它们的大小，可得（ ） A. S1＞S2 B. S1=S2 C. S1＜S2 D. 大小关系不能确定 变式议练2、如图，A 、B 是函数x y 1=的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S ，则（ ） A. S=1 B. 1＜S ＜2 C. S=2 D. S ＞2 2、反比例函数与斜三角形面积 例4、如图，函数kx y -=（0≠k ）与x y 4-=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为 。 变式议练、如图，正比例函数kx y =（k ＞0）与反比例函数x y 1= 的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，△ABC 面积S= 例4

八年级下学期数学专题-反比例函数有关的面积问题

八年级数学 反比例函数面积基本模型： 如图1,过双曲线()0k y k x =≠上的任一点(),P x y ,作x 轴（或y 轴）的垂线,则1 22 AOP k S x y ?=?=. 如图2,过双曲线()0k y k x = ≠上的 任一点(),P x y ,作x 轴、y 轴的垂线, 则AOBP S x y k =?=矩形. 以上是反比例函数图象的一个重要性质, ,有广泛的应用. 利用以上结论我们可以解决以下一系列的问题. 【例1】如图3,在平面直角坐标系中,点A 、B 在反比例函数x k y = 图象上,AC ∥y 轴,BD ∥x 轴,设△AOC 和△BOD 的面积分别 是S 1、S 2,比较它们的大小, 可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 【例2】如图4,点A 、B 是双曲线()0k y k x = >上的点,过点 A 作AC 垂直于x 轴,垂足为C ,过点B 作BD 垂直于x 轴, 垂足为D ,设△AOE 和四边形ECDB 的面积分别是S 1、S 2, 比较它们的大小,可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 (图反比例函数与面积问题

【例3】如图5,函数()0y mx m =≠与()0k y k x = ≠ 交于A 、B 两点,过点A 作AC 垂直于x 轴,垂足为C ,则 ABC △的面积为 . 【例4】如图6-1,函数()0y mx m =≠ 与()0k y k x = ≠垂直y 轴（亦可向x 轴作垂线图6-2）于点C 、D , 则四边形ACBD 的面积为 . 【例5】如图7,函数()0 y mx m =≠与()0k y k x =≠的图象交于A 、B 两点,AC 、BD 分别垂 直x 与y 轴于点C 、D ,连结CD ,则四边形ACBD 的面积为 . 【例6】如图8,函数()0y mx m =≠与()0k y k x = ≠的图象交于A 、B 两点,AC 、BF 分别垂直x 于点C 、F , AE 、BD 分别垂直y 于点E 、D , 连结CD ,则六边形AEFBDC 的面积为 . 【例7】如图9,已知一次函数b kx y +=的图像与反比例函数1 2y x =的图像交于A 、B 两点,且点A 的横坐标是1,点B 的纵坐标是－1 , 求（1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积. (图6-1) (图6-2) (图7) (图8)

反比例函数中的面积问题__经典难题复习巩固

反比例函数中的面积问题 一、导入： 《飞翔的蜘蛛》 信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。 一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。 温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。奇迹是执着者造成的。 二、知识点回顾 由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下： 利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy| ∴xy=k 故S=|k| 从而得 结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为： 结论2：在直角三角形ABO中，面积S= 结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k| 三、专题讲解

反比例函数中K与面积(一)

反比例函数中与K 有关的面积问题 （经典题组训练 学案+林建华微课视频） 【知识梳理】 1.如图（1），点P （m,n ）在反比例函数x k y = 的图象上，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线段，垂足分别是点A 、B ，则矩形OAPB 的面积是. 2.如图（2），点P （m,n ）在反比例函数x k y = 的图象上，过点P 向x 轴作垂线，垂足为点A ，则△APO 的面积是. 3.如图（3），这些矩形的面积相等吗？ 4.如图（4），这些三角形的面积相等吗？ 【熟练运用】 1.如图（5），点P 在反比例函数x y 3-= 的图象上，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，则矩形PMON 的面积为. 2.如图（6），点P 在反比例函数x y 2= 的图象上，过点P 向x 轴作垂线，则△DPO 的面积为. 3.如图（7），双曲线x y 2-=和x y 1=在x 轴上方的图像，作一平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，则△AOB 的面积为.

【拓展提升】 1.如图（8），过反比例函数x y 2= （x ＞0）图像上任意两点A 、B ，分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，比较它们的大小，可得（ ） A. S 1＞S 2 B. S 1＝S 2 C. S 1＜S 2 D. S 1与S 2 的大小不确定 2.如图（9），A 、B 是函数x y 1= 图像上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC 垂直x 轴于点C ，BD 垂直x 轴于点D ，如果四边形ADBC 的面积分别为S ，则（ ） A. S ＝1 B. 1＜S ＜2 C. S ＞2 D. S ＝2 【知识归纳】

反比例函数与面积有关的计算

反比例函数与面积有关的计算 1．如图，已知双曲线)0k (x k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________． 2． 如图，已知点A 、 B 在双曲线x k y =（x ＞0）上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，则k ＝ ． 3.如图，双曲线k y x =（k ＞0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为 ． 第3题图 4.如图，已知双曲线k y x =（x ＞0）经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为6，则k= ． 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，已知双曲线k y x =（x ＜0），经过OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k 为 . 第2题图

6.如图，直角梯形OABC ，AB ∥OC ，过B 点的双曲线x y 4= (x ＞0)恰好过BC 中点D ，则梯形OABC 的面积为 . 7.如图，A,B 是双曲线k y x =上的点，A,B 两点的横坐标分别是a,2a ，线段AB 的延长线交于x 轴于点c ，若△AOC 的面积为9，则k 的值为__ __ 8．如图，矩形OABC 的两边OA ，OC 在坐标轴上，且OC=2OA ，M ，N 分别为OA ，OC 的中点，BM 与AN 交于点E ，且四边形EMON 的面积为2，则经过点B 的双曲线的解析式为 ． 11.如图， C 是AB 的中点，反比例函数k y x = (k ＞0)在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为（ ） A 、2 B 、4 C 、8 D 、16 12.如图，反比例函数 （x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ） 3 D ． 4 13题 13.如图，双曲线k y=x 经过Rt△OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 ．

初二下反比例函数与面积和动点问题小综合

1、如图所示，Rt△ABC在第一象限，∠BAC=90°，AB=AC=2，点A在直线y=x 上，其中点A的横坐标为1，且AB∥x轴，AC∥y轴，若双曲线y=k/x（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是_________ 2、如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y= 4/x（x＞0） 的一个分支上，点B在x轴上，CD⊥OB于D，则△AOC的面积为（）A、2 B、3 C、4 D、32 3、已知点A、B是反比例函数y=2x（x＞0）的图象上任两点，过A、B两 点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，连接AB，AO，BO， 则S四边形ABCD：S△AOB等于（） 4、在平面直角坐标系中，有反比例函数y= 1x与y=- 1x的图象和正方形ABCD，原点O与对角线AC、BD的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则 AB=__________ 5、反比例函数y=- 5x的图象如图所示，P是图象上的任意点，过点P分 别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是对角线OP上的 动点，连接DA、DB，则图中阴影部分的面积是____________

6、如图，点A，C在反比例函数y= 3x（x＜0）的图象上，B，D在x轴 上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标是____________ 7、如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…P n（x n，y n）在函数 y= 9x（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n… 都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2…A n-1A n，都在x轴上，则 y1+y2+…y n=________ 8、如图，在直角坐标平面内，函数y=mx（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB． （1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB； （3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

反比例函数面积

一．简单题 1．（2011?漳州）如图，P（x，y）是反比例函数y=的图象在第一象限分支上的一个动点， PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（） A．不变 B．增大 C．减小 D．无法确定 考点：反比例函数系数k的几何意义。 专题：计算题。 分析：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．解答：解：依题意有矩形OAPB的面积=2×|k|=3，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的 面积将不变． 故选A． 点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂 线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 2．（2011?江津区）已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是（） A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6 考点：反比例函数系数k的几何意义。 分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角 形面积S是个定值，即S=|k|． 解答：解：根据题意可知：S△AOB=|k|=3，

又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0， 则k=6． 故选C． 点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y 轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想， 做此类题一定要正确理解k的几何意义． 12．如图，A，C是函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C 作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则S1和S2 的大小关系是（） A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．由A，C两点的位置确定 考点：反比例函数系数k的几何意义。 专题：数形结合。 分析：根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 解答：解：结合题意可得：A、C都在双曲线y=上， 由反比例函数系数k的几何意义有S1=S2． 故选C． 点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 5．（2010?牡丹江）如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为（）

反比例函数中的面积问题--经典难题复习巩固

反比例函数中的面积问题 一、专题讲解 【例1】如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点， AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝． （2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且 四边形的面积为2，则． 如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点， 轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标． （3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标． （2）(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、 两点向轴、轴作垂线段，若则． 【例3】如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数 的图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积． 如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x 轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积. 考点四、利用对称性求反比例函数有关的面积问题 【例4】已知, A、B、C、D、E是反比例函数（x>0）图象上五个整数点 （横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的 正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴 影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示） 分析：∵x,y为正整数，∴x=1,2,4,8,16 即A、B、C、D、E五个点的坐标为 (1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五个橄榄形关于y=x对称，故有 S==13 π-26 如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图 象上，则图中阴影部分的面积等于 .

反比例函数与图形的面积

一、教学课题: 反比例函数与图形的面积 二、教学目标： 知识与能力目标： 1、了解反比例函数式中的K的几何意义。 2、理解反比例函数与图形面积的在联系。 3、掌握运用数形结合法双向解决反比例函数与图形的面积数学问题。 过程与方法目标： 1、通过探索反比例函数与图形面积的在联系，理解反比例函数表达式的中K的几何意义。 2、在解决问题的过程中，体会数形结合思想在数学应用中的重要地位。 3、经历探索反比例函数与图形面积的在联系，体会函数的思想与建模的思想在数学问题中的运用。 情感态度与价值观： 1、在小组交流学习活动中学会与人合作获得成功的体验，培养学生的合作意识和乐于探究的良好品质。 2、在探究活动中培养学生学会观察、分析、归纳的能力，培养学生数学类比和数学建模思想。感悟数形结合思想方法。 3、在问题变式中感受函数图象的简洁美，激发学生学数学的兴趣。欣赏和感悟，体验数学 的价值。 教学重点：探索反比例函数式中的K与图形的面积联系。 教学难点：分析图象息来确定K与图形面积的关系。 三、教材分析 人教版第十七章反比例函数是在学完第六章平面直角坐标系和第十四章一次函数的基础上再加深的函数知识学习，教材只安排8个课时掌握其概念、图象和性质，以及用反比例函数分析和解决实际问题等抽象的新知。大部分学生实在有点吃不消，有点水过鸭背的感觉。而反比例函数的图象与几何图形往往结合紧密，如何识别图象息来解决数学问题对初学反比例函数的八年级学生来说是一大难点，也是近几年各省市中考数学试题中的热点方向。而这类以反比例函数为背景的图形面积题型在教材中没有系统呈现，但在教辅资料、考题中常见，学生在解此类题型由于缺乏方法而颇感吃力，但它的掌握又直接影响到后续的中学会考。我结合平时教学并参考了网上资源而设计了本节课，作为此章知识学习的拓展和补充， 四、设计理念 义务教育数学（7-9年级）教学指导意见（2012年版）提到：数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下的生动活泼地、主动地、富有个性

反比例函数与面积问题的经典中考题

反比例函数与面积问题的经典中考题 一、 填空题 1.如图，已知矩形OABC 的面积为3 100，它的对角线OB 与双曲线x k y 相交于点D ，且OB ∶OD ＝5∶3，则k ＝____________．（12） 2. 如图，M 为双曲线y ＝上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y ＝－x ＋m 于点D 、C 两点，若直线y ＝－x ＋m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD ?BC 的值为___________．（2） 3．双曲线y 1＝ 1 x 、y 2＝ 3 x 在第一象限的图像如图，过y 2上的任意一点A ，作x 轴的平行线交y 1于B ，交y 轴于C ，过A 作x 轴的垂线交y 1于D ，交x 轴于E ，连结BD 、CE ，则 BD CE ＝ ． （23 ） 4．如图，双曲线y ＝经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 ．（12）

5．如图，点A 在双曲线上，点B 在双曲线y ＝上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 （2） ． 6．如图，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 （用含n 的代数式表示） （5(4)11n n +或65(1) n n +） 7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数 k y x = (k 为常数，且0k >)在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若BE 1BF m =(m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，则 12 S S =________． (用含m 的代数式表示)（11+-m m ）

反比例函数面积问题专题

反比例函数面积问题专题 【围矩形】 1．如图所示，点P是反比例函数图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线， 如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（） A. B. C.. D. 2．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（） A.-1 B. C.1 D.2 3．如图，A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段． S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3=1，且S1+S2=4，则k值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 4．如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4， 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线， 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=（） A.1 B.1.5 C.2 D.无法确定 5．如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞0＞k2）在第一象限内的图象是C1， 第二、四象限内的图象是C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点M，交C2于点C， PA⊥y轴于点N，交C2于点A，AB∥PC，CB∥AP相交于点B，则四边形ODBE的面积为（）A.|k1﹣k2|B. C.|k1?k2|D. 【围三角形】 6．如图，A、C是函数y=的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B， 过C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则（） A.S1＞S2 B.S1＜S2 C.S1=S2 D.关系不能确定 7．如图，过y轴上任意一点p，作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于A点， 若B为x轴上任意一点，连接AB，PB则△APB的面积为（）A.1B.2C.3D.4 8．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P在y轴上， △ABP的面积为1，则k的值为（）A.1B.2C.-1D.-2 9．反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线 分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（） A. B.2C.3D.1 10．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，

反比例函数求面积问题

反比例函数图形面积问题 1、已知点A 在反比例函数x k y = 的图象上，y AB ⊥轴， 点C 在x 轴上， ，则反比例函数的解析式为______ ． 2、如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 的面积为2，则这个反比例函数的解析________． 3、如图，过x 轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线交反比例函数y ＝2 x (x ＞ 0) 和y ＝－ 4 x (x ＞0)的图象于A ，B 两点，C 是y 轴上任意一点，则△ABC 的面积为 ________． 4、如图，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数x y x y 2 4=-=和的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ， 则△ABC 的面积为________． 5、如图，A 、B 是函数2 y x =的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴， AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S > 6、一次函数y=mx 与反比例函数y=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM ，若S ABM =3，则k 的值是 ． 7、如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x 的图象交于点 A(－3，m ＋8)，B(n ，－6)两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积． 8、如图所示，直线l 1的方程为y ＝－x ＋l ，直线l 2的方程为y ＝x ＋5，且两 直线相交于点P ，过点P 的双曲线与直线l 1的另一交点为Q （3，M ）． （1）求双曲线的解析式． k y x =

反比例函数面积问题专题(一)

反比例函数 面积问题专题(一) 【围矩形】 1．如图所示，点B 是反比例函数图象上一点，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线， 如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．反比例函数 的图象如图所示，则k 的值可能是（ ） A ． ﹣1 B ． C ． 1 D ． 2 3．如图，A 、B 是双曲线上的点，分别过A 、B 两点作x 轴、y 轴的垂线段．S 1，S 2，S 3分别表示图中三个矩形的面积，若S 3=1，且S 1+S 2=4，则k 值为 （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 4．如图，在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，有点P 1、P 2、P 3、P 4，它们的横坐标依次为1， 2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S 1、S 2、S 3，则S 1+S 2+S 3=（ ） A ． 1 B ． 1.5 C ． 2 D ． 无法确定 5．如图，两个反比例函数y=和y=（其中k 1＞0＞k 2）在第一象限内的图象是C 1，第二、四象限内的图象是C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点M ，交C 2于点C ，PA ⊥y 轴于点N ，交C 2于点A ，AB ∥PC ，CB ∥AP 相交于点B ，则四边形ODBE 的面积为（ ） A ． |k 1 ﹣k 2| B ． C ． |k 1?k 2| D ． 【围三角形】 6．如图，A 、C 是函数y=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则（ ） A ． S 1＞S 2 B ． S 1＜S 2 C ． S 1=S 2 D ． S 1和S 2的大小关系不能确定 7．如图，过y 轴上任意一点p ，作x 轴的平行线，与反比例函数 的图象交于A 点，若B 为x 轴上任意一点，连接AB ，PB 则△APB 的面积为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 1题 2题 3题 4题 5题 6题 7题

反比例函数中的面积问题

反比例函数中的面积问题 一、以反比例函数图像上的点和过这点作坐标轴的垂线所得的垂足所围成的图形面积 例1 反比例函数y=的图像如图1所示，点M是该函数图像上一点，MN 垂直于x轴，垂足是点N，如果S =2，则k的值为. △MON 变式1：如图2，已知点P在函数y=（x＞0）的图像上，PA⊥x轴、PB ⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为. 二、以反比例函数图像与正比例函数图像的交点和坐标平面上的一些特殊点所围成的图形面积 例2 如图3，反比例函数y=的图像与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于个面积单位.

分析Rt△ABC的两个顶点是反比例函数图像与正比例函数图像的交点，分别在反比例函数图像的两个分支上，且知道反比例函数图像上的A、B两点关于 =|2x×2y|=2|xy|=10. 原点成中心对称，∴S △ABC 变式1. 如图4，直线y=mx与双曲线y=交于点A、B. 过点A作AM⊥x 轴，垂足为点M连接BM. 若S =1，则k的值是（）. △ABM A．1 B. m-1 C．2 D. m 分析图形变为反比例函数图像上的A、B两点和其中一点与坐标轴的交点 所围成的△AMB，底为|y|，高为|2x|，则S =|y×2x|=|xy|=|k|=1，得k=±1 △ABM （根据图形知k＞0），所以k=1. 变式2. 如图5，直线y=mx与双曲线y=交于点A、B过点A、B分别作AM⊥x轴、BN⊥x轴，垂足分别为M、N，连接BM、AN. 若S AMBN=1，则k 的值是. 分析图形变成AMBN，它的面积实际上就是△ABM面积的2倍，则S =2|xy|=2|k|=1，结合图像可知k=. AMBN 三、以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形面积

(完整版)反比例函数与面积问题练习题

反比例函数中的面积问题 由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下： 一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy| ∴xy=k 故S=|k| 从而得 结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为： 结论2：在直角三角形ABO中，面积S= 结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k| （一）、已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k） 1、（1）(2008广东省深圳市)如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交

于A 点，AB ⊥x轴于点B，△OAB的面积为2， 则k＝． （2）（2008甘肃省兰州市）如图，已知双曲线（）经过矩形 的边的中点，且四边形的面积为2，则． 2、（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标． （3）若点P是y轴上一动点，且， 求点P的坐标． （二）、已知反比例函数解析式，求图形的面积 3、（1）（2008湖北省鄂州市）在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）

专题训练：用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题(含答案)

名师点金：反比例函数的系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数y＝(k≠0)图1．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－和y＝的 2．如图，P是反比例函数y＝的图象上一点，过P点分别向x轴，y轴作垂线，所得A．y＝－B．y＝C．y＝－D．y＝ 4．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点专训1用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题 k x 象上任意一点向两坐标轴所作垂线与坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用系数k的几何意义求解． 反比例函数的系数k与面积的关系 42 x x 图象交于A点和B点，若C为x轴上的任意一点，连接AC，△BC，则ABC的面积为() A．3B．4C．5D．6 (第1题)(第2题)(第3题) k x 到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为() 6633 x x x x 3．【2016·菏泽】如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°， 6 反比例函数y＝x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差△S OAC－△S BAD 为() A．36B．12C．6D．3 (第4题)(第5题)(第6题) 1 x C，则△ABC的面积为() A．1B．2C．3D．4

x x 2 本 4 5．如图，函数 y ＝－x 与函数 y ＝－ 的图象相交于 A ，B 两点，过 A ，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C ，D ，则四边形 ACBD 的面积为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 k 6．【2016· 溪】如图，点 A ，C 为反比例函数 y ＝ (x ＜0)图象上的点，过点 A ，C 分 别作 AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为 B ，D ，连接 OA ，AC ，OC ，线段 OC 交 AB 于点 E ， 3 点 E 恰好为 OC 的中点，当△AEC 的面积为 时，k 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．－4 D ．－6 已知面积求反比例函数的表达式 题型1 已知三角形面积求函数表达式 7．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点 A (－2，0)，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点 B (2，n)，连接 BO ，已知 S △AOB ＝4. (1)求该反比例函数的表达式和直线 AB 对应的函数表达式； (2)若直线 AB 与 y 轴的交点为 C ，求△OCB 的面积． (第 7 题)