2020-2021学年江苏省泰州市姜堰区高一上学期期中考试数学试卷 答案和解析
【最新】江苏省泰州市姜堰区高一上学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合{}=12A ，
,{}=23B ，,则A B ?= ． 2
．函数y =
_______.
3．已知幂函数()f x x α
=
的图象过(，则()f x = ．
4．函数2()log (2)f x x =-在[0,1]x ∈上的最大值为 ． 5．满足不等式1
327
x
<
的实数x 的取值范围是 ． 6．著名的Dirichlet 函数??
?=取无理数时
取有理数时
x x x D ,0,1)(，则)2(D =_________．
7．若()2
122,f x x x +=++，则()2f =___________． 8．计算21()lg 2lg 52
---=_______________． 9．若2
()21
x
f x a =-
+是奇函数，则a =_______. 10．若函数2
()(1)3f x kx k x =+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 ． 11．若函数()()lg 13f x x x =++-的零点为0x ，满足()0,1x k k ∈+且k Z ∈，则k= ．
12．已知函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，若点A 也在函数
()3x f x b =+的图象上，则()3log 2f =____．
13．已知定义在R 上的函数
是满足()()0f x f x +-=，在(,0)-∞上()()1212
0f x f x x x -<-，且
，则使()0f x <的取值范围是___________．
14．已知函数()4log ,04
13,42
x x f x x x ?<≤?
=?-+>??，若a b c <<且()()()f a f b f c ==，则
()
1c
ab +的取值范围是___________．
二、解答题
15．已知全集U =R ，集合{}|210,A x x =-≤{}
2
|2150B x x x =--=．
（1）分别求A 、B ； （2）求U C A 和()U C A B ?．
16．（本题满分14分）已知函数f(x)＝2
2 , 0
2(1) 1 , 0
x x x x ?
()2
f x =
． 17．（本题满分14分）已知函数x
mx
x f +-=
11)(． （1）当2m =时，用定义证明：)(x f 在(0,)x ∈+∞上的单调递减； （2）若不恒为0的函数)(lg )(x f x g =是奇函数，求实数m 的值．
18．姜堰某化学试剂厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤）
，每小时可获得的利润是3
51x x
+-千元． （1）要使生产该产品2小时获得利润不低于30千元，求x 的取值范围；
（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
19．（本题满分16分）已知函数(3),03
()(3)(),3
x x x f x x a x x -<
（1）求(2)(4)f f +的值；
（2）若()y f x =在[3,5]x ∈上单调增，在[6,8]x ∈上单调减，求实数a 的取值范围； （3）设函数()y f x =在区间[3,5]上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式．
20．已知函数1()31,[,1),3
x
f x a =-∈若函数()()
g x f x a =-有两个不同的零点
1212,()x x x x <，函数()()21
a
h x f x a =-
+有两个不同的零点3434,()x x x x <． （1）若2
3
a =
，求1x 的值； （2）求2143x x x x -+-的最小值．
参考答案
1．{}2 【解析】
试题分析：两集合的交集即两集合的相同的元素构成的集合{}2A B ∴?= 考点：集合的交集运算 2．[1,)+∞ 【分析】
根据被开方数是非负数，解不等式即可. 【详解】
要使得函数有意义，则
10x -≥，解得[)1,x ∈+∞.
故答案为：[
)1,+∞. 【点睛】
本题考查具体函数的定义域，涉及被开方数是非负的求解，属基础题. 3．
12
x
【解析】
试题分析：由题()()1
21
22,2
f f x x α
α==∴==
考点：幂函数 4．1 【解析】
试题分析：函数由()2log ,2f t t t x ==-复合而成，由复合函数单调性的判定可知函数
()f x 在定义域上是减函数，因此函数最大值为()()20log 201f =-=
考点：函数单调性与最值 5．3x <- 【解析】
试题分析：等式1327
x
<
转化为333x -<，结合指数函数3x
y =是增函数可得3x <-
考点：指数不等式解法 6．0 【解析】
为无理数，当自变量x =0D =
考点：分段函数求值 7．5 【解析】
试题分析：令121x x +=∴=，代入函数式得()212125f =+?+= 考点：函数求值 8．3 【解析】
试题分析：()221()lg 2lg52lg 2lg54lg104132
---=-+=-=-= 考点：指数式对数式化简 9．1 【分析】
根据奇函数在0x =处有意义时()00f =可构造方程，解方程求得结果. 【详解】
()f x 为奇函数且在0x =处有意义 ()010f a ∴=-=，解得：1a =
本题正确结果：1 【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，常采用特殊值的方式来进行求解，属于基础题.
10．(,0]-∞ 【解析】
试题分析：函数为偶函数()()f x f x ∴-=恒成立()2
1013k k f x x ∴-=∴=∴=+，减
区间为(,0]-∞
考点：函数奇偶性与单调性
11．2
【解析】试题分析：首先函数()()lg 13f x x x =++-在定义域{}
0x x 上是增函数，又()2lg323lg310f =+-=-<， ()3lg433lg40f =+-=>，所以()02,3x ∈，即2k =． 考点：函数的零点． 12．
8
9
【详解】
试题分析：根据对数函数的性质知函数log (3)1a y x =+-（0,1a a >≠）的图象恒过定点
(2,1)A --，因为点A 在函数()3x f x b =+的图象上，
所以3log 22
3101010813,,()3,(log 2)3.9999
x b b f x f --=+∴=-
∴=-∴=-= 考点：本小题主要考查对数过定点和指数、对数的运算.
点评：指数函数和对数函数都恒过顶点，解题时要首先考虑是否能用这条性质简化运算. 13．(5,0)(5,)-?+∞ 【解析】 试题分析： ∵定义在R 上的函数
是满足()()0f x f x +-=，
∴即()()f x f x -=-，所以函数
是奇函数；
又∵函数
在(,0)-∞上
()()1212
0f x f x x x -<-，
∴函数在(,0)-∞上是减函数，则在()0,+∞上也是减函数； ∵
，
∴()()550f f -=-=，
∴()()()055f x f f <==-，即505x x -<或， 则使()0f x <的取值范围是505x x -<或. 故答案为(5,0)(5,)-?+∞.
考点：函数的奇偶性和单调性. 14．()16,64 【解析】
作出函数()4log ,0413,42
x x f x x x ?<≤?
=?-+>??的图象，如图所示．
∵a b c <<时，()()()f a f b f c ==，∴44log log a b -=，即44log log =0a b +，则
4log =0ab ，∴
11464
a b c <<<<<<，且1ab =，∴()4616212264c c ab =<+=<=，即()1c
ab +的取值范围是()16,64，故答案为()16,64.
15．（1）1,2A ??=-∞ ??
?，{}3,5B =-（2）1,2
U C A ??=+∞ ???
，(){}5U C A B ?=
【解析】
试题分析：解一元一次不等式得到的x 的取值范围即集合A ，解一元二次方程得到的x 的取值即集合B ，U C A 为在全集中但不在集合A 中的所有元素构成的集合，()U C A B ?为集合
U C A 与集合B 的相同的元素构成的集合
试题解析：（1）解不等式可得12x ≤
，所以1
(,]2
A =-∞ 解方程得35x =-或，所以{}3,5
B =-
（2）1(,)2
u C A =+∞
{}()5u C A B ?=
考点：1．一元一次不等式解法；2．一元二次方程解法；3．集合的交并补运算 16．（1）单调减区间(0,1)；（2
）方程的解为1,1- 【解析】
试题分析：（1）分段函数求减区间，需在两段内分别求对应的减区间，如若有多个减区间，之间用“，”分隔开；（2）方程的根即函数值为1
2
时对应的自变量的值，求解时需令每一段函数式都为
1
2
来求解满足相应范围的自变量x 值 试题解析：（1）当0x <时，由解析式可知不存在减区间； 当0x ≥时，函数为二次函数，对称轴为1x =，因此减区间为(0,1)
（2）由1()2f x =
得1212
x x =∴=-，或(
)2
121112x x --=∴=±
，所以方程的解为
1,1-±
考点：1．函数单调性；2．函数求值 17．（1）详见解析（2）1=m 【解析】
试题分析：（1）证明函数单调性一般采用定义法，首先在定义域内任取12x x <，判断
()()12f x f x -的正负，若()()12f x f x <则函数是增函数，若()()12f x f x >则函数为减
函数；（2）由()g x 是奇函数，则有()()g x g x -=-，代入函数式整理得1=m ，求解时要注意验证()g x 是否恒为零
试题解析：（1）12()1x f x x -=+，设120x x <<()()()()()211212311x x f x f x x x -∴-=++
12211200,10,10x x x x x x <<∴->+>+>()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴>，
因此函数在(0,)x ∈+∞上的单调递减；
（2）因为函数x mx
x g +-=11lg
)(是奇函数， mx
x
x mx x mx x g x g -+=+--=-+-=-∴11lg
11lg 11lg ),()(， ,1111mx
x x mx -+=-+∴即,11222x x m -=-∴ ,0)1(22=-∴x m .1±=∴m
当1-=m 时，011lg
)(=++=x
x
x g 与不恒为0矛盾，所以1=m 考点：1．函数单调性证明；2．函数奇偶性判断
18．（1）310x ≤≤（2）该工厂应该选取6千克/小时生产速度，利润最大，且最大利润为610千元 【解析】
试题分析：（1）借助于每小时的利润得到关于2小时的利润不等式3
2(51)30,x x
+-≥在不等式两边同乘以x 将分式不等式转化为整式不等式，进而解一元二次不等式求x 的取值范围；
（2）由题意建立利润和生产速度的函数关系式
2120331
(51)120(5),[1,10]y x x x x x x
=
+-=-++∈，将其转化为二次函数求最值问题 试题解析：（1）由题意可知：3
2(51)30,x x
+-≥
25143(51)(3)0,x x x x ∴--=+-≥1
3,5x x ∴≤-≥或
又因为110x ≤≤，310x ∴≤≤…
（2）
2120331
(51)120(5),[1,10]y x x x x x x =
+-=-++∈ 令11[,1]10t x =∈，2
120(35)y t t ∴=-++
当1
6
t =即6x =时，max 610y ∴=千元．
答：该工厂应该选取6千克/小时生产速度，利润最大，且最大利润为610千元． 考点：1．函数的实际应用；2．二次函数求最值；3．分式不等式解法
19．（1）(2)(4)2f f a +=-；（2）[7,9]；（3）2
0,3(3)(),3742(5),7
a a g a a a a ≤??
-?=<
【解析】
试题分析：（1）函数求值只需要将自变量值代入相应的函数解析式即可；（2）结合二次函数单调性可确定对称轴3
2
a x +=
与单调区间边界值的大小关系，解不等式得到实数a 的取值范围；（3）讨论对称轴与区间[3,5]的关系，从而得到函数单调性，求得不同的函数最值，因此()g a 的表达式为分段函数
试题解析：（1）()()()(2)(4)2324342f f a a +=-+--=- （2）当3x ≥时()()()()()33f x x a x x x a =--=---，对称轴为3
2
a x +=
，结合单调性可知3
52
362
a a +?≥???+?≤??，解不等式得实数a 的取值范围[7,9]
考点：1．函数求值；2．函数单调性与最值；3．分情况讨论 20．（1）11x =-（2）1 【详解】
试题分析：（1）将2
3
a =
代入得到关于x 的方程，解方程可求得x 的值，其中比较小的值为1x ；（2）首先由()0g x =解方程得到12,x x ，由()0h x =解方程得到34,x x ，将其值代入
2143x x x x -+-中化简，转化为用a 表示的函数式，即转化为求以a 为自变量的函数的最值问
题
试题解析：（1）当23
a =
时，2()3103x
g x =--=，即15333x =或，
121,1x x x <∴=-
（2）
()310,31x x g x a a =--=∴=±
121323log (1),log (1),x x x a x a <∴=-=+
()310,312121
x x a a
h x a a =--
=∴=±++ 343343log (1),log (1),2121
a a
x x x x a a <∴=-=+++
2143333(1)(1)
13421log log log (3)11(1)(1)21a
a a a x x x x a a a a a ++++∴-+-===-----+
34log (3)1y a =--在1
[,1)3a ∈上单调递增，
所以当1
3
a =时，2143x x x x -+-的最小值为1．