第二章 平面向量
1 向量和差作图全攻略
两个非零向量的和差作图,对同学们是一个难点,这里对其作图方法作出细致分析,以求尽快掌握.
一、向量a 、b 共线
例1 如图,已知共线向量a 、b ,求作a +b .
(1)a 、b 同向;
(2)a 、b 反向,且|a |>|b |;
(3)a 、b 反向,且|a |<|b |.
作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →=a ,AB →=b ,OB →=a +b ,具体作法是:当
a 与
b 方向相同时,a +b 与a 、b 的方向相同,长度为|a |+|b |;当a 与b 方向相反时,a +b 与a 、b 中长度长的向量方向相同,长度为||a |-|b ||.为了直观,将三个向量中绝对值最大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移,然后分别标上a ,b ,a +b .作图如下:
例2 如图,已知共线向量a 、b ,求作a -b .
(1)a 、b 同向,且|a |>|b |;
(2)a 、b 同向,且|a |<|b |;
(3)a 、b 反向.
作法 在平面上任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则BA →=a -b .事实上a -b 可看作是a +(-
b ),按照这个理解和a +b 的作图方法不难作出a -b ,作图如下:
二、向量a 、b 不共线
如果向量不共线,可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.
例3 如图,已知向量a 、b .
求作:(1)a +b ;(2)a -b .
作法1 (应用三角形法则)
(1)一般情况下,应在两已知向量所在的位置之外任取一点O .
第一步:作OA →=a ,方法是将一个三角板的直角边与a 重合,再将直尺一边与三角板的另一
直角边重合,最后将三角板拿开,放到一直角边过点O ,一直角边与直尺的一边重合的位
置,在此基础上取|OA →|=|a |,并使OA →与a 同向.
第二步:同第一步方法作出AB →=b ,一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB
→作成与b 的方向相反.)
第三步:作OB →,即连接OB ,在B 处打上箭头,OB →即为a +b .
作图如下:
(2)第一步:在平面上a ,b 位置之外任取一点O ;
第二步:依照前面方法过O 作OA →=a ,OB →=b ;
第三步:连接AB ,在A 处加上箭头,向量BA →即为a -b .
作图如下:
点评 向量加法作图的特点是“首尾相接,首尾连”;向量减法作图的特点是“共起点,连终点,箭头指被减”.
作法2 (应用平行四边形法则)
在平面上任取一点A ,以点A 为起点作AB →=a ,
AD →=b ,以AB ,AD 为邻边作?ABCD ,则AC →=a +b ,DB →
=a -b .作图如下:
点评 向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的,但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性,因此两种法则都应熟练掌握.
向量和差作图,要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同,长度相等”,最忌讳的是
“作法不一”,比如作法中要求的是作AB →=b ,可实际上作的是AB →=-b .只要作图的过程与
作法的每一步相对应,一定能作出正确的图形.
2 向量线性运算的应用
平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算,在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时,要准确利用对应的运算法则、运算律,注意向量的大小和方向两个方面.
一、化简
例1 化简下列各式:
(1)(2AB →-CD →)-(AC →-2BD →);
(2)124
[3(2a +8b )-6(4a -2b )]. 解 (1)(2AB →-CD →)-(AC →-2BD →)
=2AB →-CD →-AC →+2BD →=2AB →+DC →+CA →+2BD →
=2(AB →+BD →)+(DC →+CA →)=2AD →+DA →=AD →.
(2)124
[3(2a +8b )-6(4a -2b )] =124(6a +24b -24a +12b )=124
(-18a +36b ) =-34a +32
b . 点评 向量的基本运算主要有两个途径:一是基于“形”,通过作出向量,运用平行四边形法则或三角形法则进行化简;二是基于“数”,满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简,解题时要注意观察是否有这两种形式出现,同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算,可类比实数积的运算方法进行,将向量a ,b ,
c 等看成一般字母符号,其中向量数乘之间的和差运算,相当于合并同类项或提取公因式,这里的“同类项”与“公因式”指的是向量.
二、求参数
例2 如图,已知△ABC 和点M 满足MA →+MB →+MC →=0,若存在实数m 使得AB →+AC →=mAM →成立,则
m =________.
高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
2019年爱云校西藏高考模拟高中数学试卷(12月份组卷)(四) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合M ={m ∈Z|?3
专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 (一)平面向量知识结构图 (二)重点难点分析
本专题内容包括:平面向量的概念、运算及应用. 课标要求: 平面向量(约12课时) (1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。(2)向量的线性运算 ①通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。 ②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 (4)平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 (5)向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求,并结合前面的分析可知:新概念、新运算的定义,向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点,平面向量基本定理是坐标表示(几何代数化)的关键,也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 (一)在概念教学中,依据概念教学的方法,建构概念知识体系 本专题的教学中,向量、向量的运算等都是新定义的概念,如何让这些概念的出现自然轻松,还能让学生迅速把握住本质,达成理解?不妨遵循概念教学的方法。 比如说:“向量的概念”教学中,可从力、位移等实例引入,进行抽象概括,形成向量的概念。之后,提出“温度、功是不是向量?”这样的问题,通过比较,对向量的概念进行辨析,在此基础上,抓住向量的两个要点:大小、方向进行拓展,按如下表格整理,将向量概念精致化。 概念辨析:
高 中 数 学 公 式 大 全(简化版)
目录 1 集合与简易逻辑 (01) 2 函数 (03) 3 导数及其应用 (09) 4 三角函数 (11) 5 平面向量 (13) 6 数列 (14) 7 不等式 (15) 8 立体几何与空间向量 (17) 9 直线与圆 (20) 10圆锥曲线 (23) 11排列组合与二项式定理 (25) 12统计与概率 (26) 13复数与推理证明 (29)
§01. 集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.集合运算 全集U :如U=R 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且I 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 3.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?:任意B x A x ∈? ∈ B A B B A B A A B A ??=??=Y I 注:数形结合---文氏图、数轴 4. 包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ????U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 5.集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个. 6. 真值表 7. 常见结论的否定形式
8. 四种命题 原命题:若p 则q 逆命题:若q 则p 否命题:若p ?则q ? 逆否命题:若q ?则p ? 原命题与逆否命题真假相同 否命题与逆命题真假相同 9. 充要条件 (1)充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件. (2)必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件. (3)充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
SM数列高中数学组卷1 一.选择题(共1小题) 1.已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数x1,x2满足f(x1+x2)=f(x1)+f (x2)+2,数列{a n}满足a1=0,且对任意n∈N*,a n=f(n),则f(2010)=()A.4012 B.4018 C.2009 D.2010 二.填空题(共4小题) 2.记集合P={ 0,2,4,6,8 },Q={ m|m=100a1+10a2+a3,且a1,a2,a3∈P },将集合Q中的所有元素排成一个递增的数列,则此数列的第68项是.3.在等差数列{a n}中,a1=3,其前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,. (Ⅰ)求a n与b n; (Ⅱ)求数列{c n}满足,求{c n}的前n项和T n. 4.已知数列{a n}满足a1=33,a n+1﹣a n=2n,则的最小值为. 5.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=,则a n= 三.解答题(共25小题) 6.已知f(x)=(x﹣1)2,g(x)=4(x﹣1).数列{a n}中,对任何正整数n,﹣a n)g(a n)+f(a n)=0都成立,且a1=2,当n≥2时,a n≠1;设b n=a n 等式(a n +1 ﹣1. (Ⅰ)求数列{b n}的通项公式; (Ⅱ)设S n为数列{nb n}的前n项和,,求的值.7.设正项等比数列{a n}的首项a1=,前n项和为S n,且210S30﹣(210+1)S20+S10=0.(Ⅰ)求{a n}的通项;
(Ⅱ)求{nS n}的前n项和T n. 8.已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,其中n∈N*. (1)若a1=b1=2,a3﹣b3=9,a5=b5,试分别求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)设A={k|a k=b k,k∈N*},当数列{b n}的公比q<﹣1时,求集合A的元素个数的最大值. 9.已知数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列,数列{b n}是公比为q的(q∈R)的等比数列,若函数f(x)=x2,且a1=f(d﹣1),a5=f(2d﹣1),b1=f(q﹣2),b3=f(q). (1)求数列{a n}和{b n}的通项公式; (2)设数列{c n}的前n项和为S n,对一切n∈N*,都有 成立,求S n. 10.已知函数f(x)=x2+2x. (Ⅰ)数列a n满足:a1=1,a n+1=f'(a n),求数列a n的通项公式; (Ⅱ)已知数列b n满足b1=t>0,b n+1=f(b n)(n∈N*),求数列b n的通项公式;(Ⅲ)设的前n项和为S n,若不等式λ<S n对所有的正整数n恒成立,求λ的取值范围. 11.设等比数列{a n}的前n项和为S n=2n+1﹣2;数列{b n}满足6n2﹣(t+3b n)n+2b n=0(t∈R,n∈N*). (1)求数列{a n}的通项公式; (2)①试确定t的值,使得数列{b n}为等差数列; ②在①结论下,若对每个正整数k,在a k与a k+1之间插入b k个2,符到一个数列{c n}.设T n是数列{c n}的前n项和,试求满足T m=2c m+1的所有正整数m.12.已知函数f (x)=log a x (a>0且a≠1),若数列:2,f (a1),f (a2),…,f (a n),2n+4 (n∈N﹡)为等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式a n; (2)若a=2,b n=a n?f (a n),求数列{b n}前n项和S n; (3)在(2)的条件下对任意的n∈N﹡,都有b n>f ﹣1(t),求实数t的取值范
第二章 平面向量 一、选择题 1.在△ABC 中,AB =AC ,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,则( ). A .AB 与AC 共线 B .DE 与CB 共线 C .与相等 D .与相等 2.下列命题正确的是( ). A .向量与是两平行向量 B .若a ,b 都是单位向量,则a =b C .若=,则A ,B ,C , D 四点构成平行四边形 D .两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足=α OA +β OB ,其中 α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ). A .3x +2y -11=0 B .(x -1)2+(y -1)2=5 C .2x -y =0 D .x +2y -5=0 4.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ). A . 6 π B . 3 π C . 23 π D . 56 π 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),则=( ). A .λ(+),λ∈(0,1) B .λ(+),λ∈(0,22 ) C .λ(-),λ∈(0,1) D .λ(-),λ∈(0, 2 2) 6.△ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则=( ). A .+ B .- C .+ D .+ 7.若平面向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( ). (第1题)
高中数学常用公式及常用结论 1. 包含关系 A B A A B B A B C U B C U A A C U B C U ABR 2 .集合 { a 1, a 2 , , a n } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n – 1 个;非空子集有 2n – 1 个;非空的真子集有 2n – 2 个 . 3.充要条件 ( 1)充分条件:若 ( 2)必要条件:若 ( 3)充要条件:若 p q ,则 p 是 q 充分条件 . q p ,则 p 是 q 必要条件 . p q ,且 q p ,则 p 是 q 充要条件 . 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然 . 4. 函数的单调性 (1) 设 x 1 x 2 a,b , x 1 x 2 那么 (x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f (x)在 a,b 上是增函数; x 2 x 1 (x x ) f ( x ) f ( x ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x)在 a, b 上是减函数 . 1 2 1 2 x 1 x 2 (2) 设函数 y f ( x) 在某个区间内可导,如果 f (x) 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ( x) 0 ,则 f ( x) 为减函 数 . f ( x) 和 g( x) 都是减函数 , , 和函数 f ( x) g( x) 也是减函数 ; 5. 如果函数 则在公共定义域内 如果函数 y f (u) 和 u g (x) 在其对应的定义域上都是减函数 , 则复合函数 y f [ g( x)] 是增函数 . 6.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称 ; 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么 这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 7. 对于函数 y f (x) ( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立 , 则函数 f ( x) 的对称轴是函数 a b x ; 两个函 a b 2 数 y f (x a) 与 y f (b x) 的图象关于直线 x 对称 . 2 8. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0) ( 1) f (x) f (x a) ,则 f (x) 的周期 T=a ; ( 2), f ( x a) 1 ( f ( x) 0) ,或 f (x a) 1 f ( x) ( f (x) 0) , 则 f ( x) 的周期 T=2a ; f (x) 9. 分数指数幂 m 1 m 1 (1) a n ( a 0, m, n N ,且 n 1 ) .(2) a n 0, m, n N ,且 n 1) . n a m m ( a a n 10.根式的性质 ( ) ( n a )n a . ( 2)当 n 为奇数时, n n a ;当 n 为偶数时, n a n | a | a, a 0 . 1 a a, a 0 11.有理指数幂的运算性质 (1) a r a s a r s ( a 0, r , s Q ) .(2) (a r ) s a rs (a 0, r , s Q) .(3) (ab)r a r b r (a 0, b 0, r Q) . 12. 指数式与对数式的互化式log a N b a b N (a 0, a 1, N 0) . ①.负数和零没有对数,② .1 的对数等于 0: log a 1 0 ,③ .底的对数等于 1: log a a 1 , ④ .积的对数: log a (MN ) log a M log a N ,商的对数: log a M log a M log a N , N n log a b 幂的对数: log a M n nlog a M ; log a m b n m
排列组合高中数学组卷 一.选择题(共9小题) 1.(2016?衡阳校级一模)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有() A.90种B.180种C.270种D.540种 2.(2016?黄冈校级自主招生)方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解(x,y)的组数为()A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2016?新余二模)7人站成两排队列,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加一人,后排加两人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为()A.120 B.240 C.360 D.480 4.(2016?内江四模)4名大学生到三家企业应聘,每名大学生至多被一家企业录用,则每家企业至少录用一名大学生的情况有() A.24种B.36种C.48种D.60种 5.(2016?邯郸一模)现有6个白球、4个黑球,任取4个,则至少有两个黑球的取法种数是() A.90 B.115 C.210 D.385 6.(2016?成都校级模拟)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有()个. A.324 B.216 C.180 D.384 7.(2016?湖南校级模拟)某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习,每班2人,则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有() A.12种B.24种C.36种D.48种 8.(2016?陕西模拟)某校开设A类选修课2门,B类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有() A.3种B.6种C.9种D.18种 9.(2016?福建模拟)四位男生和两位女生排成一排,男生有且只有两位相邻,则不同排法的种数是() A.72 B.96 C.144 D.240 二.填空题(共3小题) 10.(2016?黄冈校级自主招生)若p和q为质数,且5p+3q=91,则p=, q=. 11.(2016?黄冈校级自主招生)设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数,则a的值是. 12.(2016?绵阳模拟)从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有个.(用数字作答) 三.解答题(共4小题) 13.(2016?新余三模)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,E,F分别是AC,PB的中点. (1)证明:EF∥平面PCD;
高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2.集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 (1)充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件. (2)必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件. (3)充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数; []1212()()()0x x f x f x -- []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) (1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; (2),)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ,或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ; 9.分数指数幂 (1)m n a = (0,,a m n N * >∈,且1n >).(2)1m n m n a a - = (0,,a m n N * >∈,且1n >). 10.根式的性质 (1 )n a =.(2)当n a =;当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? - . 11.有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数,②.1的对数等于0:01log =a ,③.底的对数等于1:1log =a a , ④.积的对数:N M MN a a a log log )(log +=,商的对数:N M N M a a a log log log -=,